fungsi dan grafik diferensial dan integral · adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk...
Post on 06-Mar-2019
240 Views
Preview:
TRANSCRIPT
i
Sudaryatno Sudirham
Darpublic
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik
Diferensial dan Integral
ii
Hak cipta pada penulis, 2010
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Oleh: Sudaryatmo Sudirham
Darpublic, Bandung
fdg-1110
edisi Juli 2011
http://www.ee-cafe.org
Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.
Fax: (62) (22) 2534117
3
BAB 4
Mononom dan Polinom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k
adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.
Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini
beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit
5
10
)5(
735
4
3
222
231
=
=
−=
+−+=
y
xy
xy
xxxy
Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu
pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi
berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat
satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan
fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.
4.1. Mononom
Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai
fungsi genap, kita tuliskan
2kxy = (4.1)
Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan
mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya
akan negatif manakala k negatif.
Kita ingat bahwa pada fungsi linier kxy = nilai k merupakan
kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah
positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar
kemiringan garis makin tajam.
Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x
jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k
makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1.
memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.
4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam.
Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.
Gb.4.1. Kurva fungsi 2kxy = dengan k positif.
Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva
dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada
titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum
pada titik [0,0].
-100
-80
-60
-40
-20
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y = −2x2
y = −10x2
y
x
Gb.4.2. Kurva fungsi 2kxy = dengan k negatif.
Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif;
kita akan melihat bagaimana jika kurva ini digeser. Pergeseran kurva
sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x
dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh
dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan
mononom pangkat dua yang tergeser menjadi
2)()( axkby −=− (4.3)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2
y = 3x2 y = 5x
2 y
5
Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0,
a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k =
10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi 2
1 10xy =
22 )2(10 −= xy
30)2(10 23 +−= xy
Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua.
Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x
sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y
sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.
Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah
berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan
membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat
dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k
positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4.
memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang
memiliki koefisien k sama besar.
Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin
cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1.
Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin
tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat
dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika
pangkat makin besar.
0
50
100
-5 -3 -1 1 3 5x
y1 = 10x2
y2 = 10(x−2)2
y3 = 10(x−2)2 + 30
6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien
sama.
Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika
koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang
sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi.
Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan
koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.
Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama.
Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat
meningkat. Kecepatan peningkatan y dengan koefisien yang lebih besar
sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada
nilai x yang kecil tetap terlihat.
Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang
makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin
kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah
seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.
0
1
2
3
4
5
6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y3 = 2x2
y2 = 3x4
y1 = 6x6 y
x
y2 = 2x4
y3 = 2x6
y1 = 2x2
0
1
2
3
y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x
7
Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan
koefisien yang makin rendah pada mononom
berpangkat tinggi.
Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil.
Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada
nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat
rendah terjadi pada nilai y yang besar.
Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh
peristiwa fisis.
1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan
memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi
waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai
attv =)(
(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).
Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah
2
2
1)( atts =
2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan
waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan
elektron pada waktu mencapai katoda adalah
atvk =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = x6
y = 3x4
y = 6x2
8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
(lihat contoh fungsi linier sub-bab-2.7).
Waktu tempuh dapat dihitung dari formula 2
2
1)( atts = , di mana s(t)
= l.
3). Dalam teori atom, di mana elektron dipandang sebagai gelombang,
fungsi gelombang dari elektron-bebas dibawah pengaruh medan
sentral adalah rje k=ψ dengan k adalah vektor bilangan gelombang
yang searah dengan rambatan gelombang. λ
π=
2k , λ : panjang
gelombang
Energi kinetik elektron sebagai
gelombang, Ek , adalah
ek
m
kE
2
22h
=
me massa electron, h suatu konstanta.
Ek dan k memiliki relasi mononomial
pangkat dua
(Dari Bab-8, ref. [4])
Mononom Pangkat Ganjil. Pangkat ganjil paling kecil adalah 1 dan
dalam hal demikian ini kita mendapatkan persamaan garis kxy = .
Pangkat ganjil berikutnya adalah 3, 5, 7 dan seterusnya. Gb.4.5.
memperlihatkan kurva fungsi mononom berpangkat ganjil.
Kurva fungsi mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik asal. Ia
bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x negatif. Makin
tinggi pangkat mononom makin cepat perubahan nilai y untuk x > 1.
]]]] anoda katoda
l
k
Ek
9
Untuk x < 1 kurva makin landai yang berarti makin tajam
“pembengkokan” garis lurus yang terjadi di dalam rentang 11 ≤≤− x .
Gb.4.5. Kurva fungsi mononom pangkat ganjil.
Apabila peningkatan pangkat disertai juga dengan peningkatan koefisien
k, perpotongan kurva dengan garis kxy = bisa terjadi pada nilai x < 1.
4.2. Polinom Pangkat Dua
Fungsi polinom pangkat dua berbentuk
cbxaxy ++= 2 (4.4)
Berikut ini kita akan melihat apa yang terjadi pada proses penambahan
mononom demi mononom. Untuk penggambaran kurva masing-masing
mononom dalam tinjauan fungsi (4.4) diambil semua koefisien mononom
positif. Dengan mengambil nilai-nilai a = 2, b = 15, dan c = 13, kurva
masing-masing mononom diperlihatkan pada Gb.4.6.
Gb.4.6. Kurva masing-masing mononom dari fungsi kuadrat.
y
y1=2x2
x
y3=13
y2=15x
-150
0
150
-10 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 2x y = 2x5
y = 2x3
10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Jika kurva y2 = 15x ditambahkan pada y1 = 2x2 maka kurva y1 akan
bertambah tinggi di sebelah kanan titik [0,0] dan menjadi rendah di
sebelah kiri titik [0,0] seperti terlihat pada Gb.4.7.a.
(a)
(b)
(c)
Gb.4.7. Penjumlahan y1 = 2x2 , y2 = 15x, dan y3 = 13
y4 = 2x2+15x
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13
y4=2x2+15x
−15/2
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri
−15/4
y1=2x2
y4=2x2+15x
x
y
y2=15x
-150
0
150
-10 0
x = −15/2
11
Karena xy 152 = melalui titik [0,0] dan y1 = 2x2
juga melalui titik [0,0]
maka penjumlahan kedua kurva akan memberikan kurva
xxyyy 152 2214 +=+= (4.5)
yang juga melalui titik [0,0]. Selain di x = 0 kurva penjumlahan ini juga
memotong sumbu-x di 2/15−=x karena dua titik ini (yaitu x = 0 dan
2/15−=x ) memenuhi persamaan 0152 23 =+= xxy . Kurva ini
memiliki sumbu simetri yang memotong sumbu-x di 4/15−=x seperti
terlihat pada Gb.4.7.b. Jika kemudian tetapan 13 ditambahkan pada y4
tebentuklah
13152 25 ++= xxy (4.6)
yang merupakan pergeseran dari y4 ke arah positif sumbu-y sebesar 13
skala, seperti terlihat pada Gb.4.7.c.
Kita lihat sekarang bentuk umum fungsi pangkat dua (4.4)
cbxaxy ++= 2
yang dapat kita tuliskan sebagai
a
acb
a
bxa
ca
b
a
bxacx
a
bxay
4
4
2
42
22
222
−−
+=
+−
+=+
+=
(4.7)
Kurva dari fungsi (4.7) ini dapat kita fahami sebagai berikut: kurva y
adalah kurva y = ax2 yang tergeser sejajar sumbu-x sejauh
a
b
2−
kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y sejauh
−−
a
acb
4
42
.
Perhatikan Gb.4.8.
12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Gb.4.8. Pergeseran kurva y = ax2 sejajar sumbu-x ke kiri
sejauh
–b/2a kemudian tergeser lagi sejajar sumbu-y ke bawah
sejauh –(b2−4ac)/4a.
Sumbu simetri terletak pada a
bx
2−= dan kurva memotong sumbu-x di
sebelah kiri dan kanan sumbu simetri ini, yaitu di x1 dan x2 . Dari
persamaan (4.7) kita dapatkan
04
4
2
22
=−
−
+=
a
acb
a
bxay →
a
acb
a
bxa
4
4
2
22 −=
+
→2
22
4
4
2 a
acb
a
bx
−=
+ →
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
−±=
+
a
acb
a
bxx
2
4
2,
2
21−
±−= (4.8)
yang kita kenal sebagai akar-akar persamaan kuadrat.
Keadaan kritis terjadi pada waktu kurva fungsi kuadrat bersinggungan
dengan sumbu-x; dua akar nyata dari persamaan kuadrat menjadi sama
besar. Hal ini terjadi jika pergeseran sejajar sumbu-y bernilai nol
-50
0
0
y = ax2 +bx +c
x1 x2
}
y
x
y = ax2
−−
a
acb
4
42
a
b
2−
13
0)4(04
4 22
=−⇒=−
− acba
acb (4.9)
Jika 0)4( 2 <− acb maka kurva tidak memotong sumbu-x. Keadaan ini
memberikan akar kompleks yang belum akan kita bahas.
Tinjauan di atas memberikan hal-hal berikut:
1. Jika c = 0, maka fungsi menjadi bxaxy += 2 yang memotong sumbu-
x di x = 0 dan a
bx −= dan memiliki sumbu simetri di
a
bx
2−=
yang juga menjadi sumbu simetri kurva fungsi kuadrat
cbxaxy ++= 2 .
2. Nilai puncak fungsi cbxaxy ++= 2 adalah nilai puncak
bxaxy += 2 ditambah c yaitu ca
by +−=
4
2
atau a
acb
4
42 −
− .
3. Fungsi kuadrat cbxaxy ++= 2 memotong sumbu-x di
a
acb
a
bx
2
4
2
2
2,1−
±−=
14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
4.3. Mononom dan Polinom Pangkat Tiga
Fungsi mononom pangkat tiga kita tuliskan 3kxy = . Jika k positif, fungsi
ini akan bernilai positif untuk x positif dan bernilai negatif untuk x
negatif. Jika k negatif maka keadaan akan menjadi sebaliknya. Kurva
fungsi ini diperlihatkan pada Gb.4.9.
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y =−3x3
y = 2x3
y = 2x3
y =−3x3
y
x
Gb.4.9. Kurva fungsi y = kx
3.
Fungsi mononom yang tergeser sejajar dengan sumbu-x dengan
pergeseran sebesar a skala diperoleh dengan mengganti peubah x dengan
(x − a), dan jika tergeser sejajar sumbu-y sebesar b skala kita peroleh
dengan mengganti y dengan (y − b) . Fungsi mononom pangkat tiga yang
tergeser akan menjadi
baxky +−= 3)( (4.10)
dengan bentuk kurva diperlihatkan pada Gb.4.10.
15
Gb.4.10. Kurva fungsi pangkat tiga tergeser.
Jika mononom pangkat tiga ditambahkan pada polinom pangkat dua,
terbentuklan polinom pangkat tiga, dengan persamaan umum yang
berbentuk
dcxbxaxy +++= 23 (4.11)
Karena 3kxy = naik untuk x positif (pada k positif) maka penambahan
ke fungsi kuadrat akan menyebabkan kurva fungsi kuadrat naik di
sebelah kanan titik-asal [0,0] dan turun di sebelah kiri [0,0].
Kita ambil a = 4 untuk menggambarkan 31 axy = dan b =19, c = −80, d
= −200 untuk menggambarkan kurva fungsi dcxbxy ++= 22 seperti
terlihat pada Gb.4.11.a.
-600
-400
-200
0
200
400
600
-5 -3 -1 1 3 5x
y = 10x3
y = 10(x−2)3
y = 10(x−2)3 + 100
y
16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Gb.4.11. Mononom pangkat tiga y1 dan fungsi kuadrat y2.
Dengan a positif maka kurva y1 bernilai positif untuk x > 0 dan bernilai
negatif untuk x < 0. Kurva fungsi kuadrat y2 telah kita kenal. Jika y1
ditambahkan pada y2 maka nilai-nilai y2 di sebelah kiri titik [0,0] akan
berkurang sedangkan yang di sebelah kanan titik [0,0] akan bertambah.
Kurva yang kita peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.9.b.
Terlihat pada gambar ini bahwa penjumlahan y1 dan y2 menghasilkan
kurva y3 yang memotong sumbu-x di tiga titik. Ini berarti bahwa
persamaan pangkat tiga 023 =+++ dcxbxax (dengan nilai koefisien
yang kita ambil) memiliki tiga akar nyata, yang ditunjukkan oleh
perpotongan fungsi y3 dengan sumbu-x tersebut.
-2000
0
2000
-10
0 10
y
x
y1=
4x3 2008019 2
2 −−= xxy
-2000
0
2000
-10 0 10x
y
y1
y2
20080194 23
213
−−+=
+=
xxx
yyy
(a)
(b)
17
Hal demikian tidak selalu terjadi. Jika koefisien a kurang positif,
penurunan kurva y1 di daerah x negatif tidak terlalu tajam. Hal ini
menyebabkan pengurangan nilai y2 didaerah ini juga tidak terlalu banyak.
Kita akan memperoleh kurva seperti ditunjukkan pada Gb.4.12.a. Di sini
fungsi pangkat tiga memotong sumbu-x di tiga tempat akan tetapi yang
terlihat hanya dua. Titik potong yang ke-tiga berada jauh di x negatif.
Makin kecil nilai a (tetap positif) akan makin jauh letak titik perpotongan
yang ke-tiga ini.
(a) a kurang positif
(b) a terlalu positif
Gb.4.12. Pengaruh nilai a kurva fungsi pangkat tiga y = y1 + y2.
Jika koefisien a terlalu positif, penurunan y1 di daerah negatif sangat
tajam. Pengurangan y2 di daerah ini terjadi sangat besar. Kurva yang kita
2000
-10 10
y2
y1
y3 = y1 + y2
-2000
-2000
2000
-10 15
y1
y2
y3 = y1+y2
18 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
peroleh akan terlihat seperti pada Gb.4.12.b. Di sini kurva tidak
memotong sumbu-x di daerah negatif. Hanya ada satu titik potong di
sumbu-x positif. Jika a = 0 akan terjadi fungsi kuadrat yang sudah kita
bahas di sub-bab sebelumnya.
Kita lihat sekarang keadaan di mana a bernilai negatif. Nilai a negatif
akan membuat kurva y1 bernilai positif di daerah x negatif dan bernilai
negatif di daerah x positif. Hal ini menyebabkan nilai y2 akan bertambah
di daerah negatif dan akan berkurang di daerah positif. Jika a tidak
terlalu negatif, kurva yang kita peroleh akan berbentuk seperti terlihat
pada Gb.4.13.a.
(a)
(b)
Gb.4.13. Fungsi pangkat tiga y3 = y1 + y2 dengan a negatif.
Kurva berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi
perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif. Makin negatif a
-2000
0
-10 0
y3 = y1 + y2
y1
y2
15
-2000
0
2000
-10 0 15
y3 = y1 + y2
y1
y2
19
makin jauh letak titik perpotongan tersebut. Jika a terlalu negatif kurva
berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat, seperti terlihat pada
Gb.4.13.b.
CATATA': Sesungguhnya perpotongan kurva fungsi pangkat tiga
dengan sumbu-x tidak semata-mata ditentukan oleh nilai koefisien
a pada mononom pertama ax3. Bentuk dan posisi kurva fungsi
kuadratnya, juga akan menentukan letak titik potong.
4.4. Domain, Kekontinyuan, Simetri
Peubah x pada semua fungsi polinom dapat mengambil nilai dari −∞
sampai +∞. Nilai peubah y akan mengikuti nilai x. Fungsi polinom
kontinyu dalam rentang x tersebut. Demikian pula halnya jika kita
mempunyai fungsi yang merupakan hasilkali antara polinom dengan
polinom, 21 yyy ×= .
Kita telah melihat bahwa kurva mononom pangkat dua 2kxy ==== simetris
terhadap sumbu-y karena penggantian x dengan −x tidak mengubah
fungsi ini. Hal ini juga akan berlaku untuk semua kurva mononom yang
berpangkat genap. Kenyataan ini menimbulkan istilah simetri genap
untuk fungsi-fungsi yang simetris terhadap sumbu-y; misalnya fungsi
cosinus yang akan kita pelajari di bab lain.
Kita juga telah melihat bahwa kurva mononom pangkat tiga 3kxy ====
simetris terhadap titik asal [0,0]. Penggantian y dengan −y dan
penggantian x dengan −x tidak akan mengubah fungsi ini. Hal ini berlaku
pula untuk semua kurva mononom berpangkat ganjil. Istilah simetri
ganjil diberikan pada fungsi yang simetris terhadap titik asal [0,0],
seperti fungsi sinus yang akan kita pelajari di Bab-6.
Penjumlahan antara mononom berpangkat genap dengan mononom
berpangkat ganjil tidak menghasilkan kurva yang memiliki sumbu
simetri. Hal ini disebabkan karena kaidah untuk terjadinya simetri bagi
mononom berpangkat genap tidak sama dengan kaidah yang diperlukan
untuk terjadinya simetri pada kurva mononom berpangkat ganjil.
Keadaan khusus terjadi pada mononom berpangkat satu yang juga
merupakan mononom berpangkat ganjil. Kurva dari fungsi ini juga
simetris terhadap titik asal [0,0]. Namun fungsi ini adalah fungsi linier
dengan kurva yang berbentuk garis lurus, berbeda dengan kurva fungsi
mononom pangkat tiga. Kelinieran ini menyebabkan penjumlahan
20 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
dengan kurva mononom pangkat dua menghasilkan pergeseran kurva
fungsi pangkat dua; kurva yang tergeser ini memiliki sumbu simetri
yang sejajar dengan sumbu-y.
Soal-Soal
1. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
84 ; 123
; 75 ; 4
24
23
22
21
+−=−=
−==
xyxy
xyxy
2. Dari soal nomer-1, tentukanlah koordinat titik perpotongan
antara kurva-kurva fungsi berikut ini
433221 dan ; dan ; dan yyyyyy
3. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
xxyxxyxxy 24 ; 123 ; 105 23
22
21 +−=−=−=
4. Dari soal nomer-3, selidikilah koordinat titik perpotongan
kurva-kurva fungsi berikut.
313221 dan ; dan ; dan yyyyyy
5. Tentukanlah koordinat titik puncak dan perpotongan dengan
sumbu-y kurva fungsi-fungsi berikut ini.
824 ; 2123 ; 7105 23
22
21 ++−=+−=−−= xxyxxyxxy
6. Dari soal nomer-5, selidikilah koordinat titik perpotongan
kurva-kurva fungsi berikut.
313221 dan ; dan ; dan yyyyyy
21
BAB 5
Bangun Geometris
5.1. Persamaan Kurva
Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai
0),( =yxF (5.1)
Persamaan ini menentukan tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi
persamaan tersebut. Jadi setiap titik pada kurva akan memenuhi
persamaan dan setiap titik yang memenuhi persamaan harus pula terletak
pada kurva.
Berikut ini adalah karakteristik umum suatu kurva. Beberapa di
antaranya telah kita pelajari di bab pertama.
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik
tertentu
a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka
kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva
funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva
funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y,
kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
�ilai Peubah. Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata
dari y dan x yang kita perhatikan. Apabila dalam suatu persamaan
terdapat pangkat genap suatu peubah maka akan terlibat suatu nilai yang
berasal dari akar pangkat dua (pangkat genap) dari peubah tersebut.
Dalam keadaan demikian kita anggap bahwa bilangan negatif tidak
memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks. Hal ini
telah dikemukakan di bab pertama dalam sub-bab pembatasan
pembahasan.
Contoh: 122 =+ xy . Jika kita cari nilai y kita dapatkan
21 xy −±=
22 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Apabila nilai mutlak x lebih besar dari 1, maka nilai bilangan di
bawah tanda akar akan negatif. Dalam hal demikian ini kita
membatasi x hanya pada rentang 11 ≤≤− x . Karena kurva ini
simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas
pada rentang 11 ≤≤− y .
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat. Koordinat titik potong dengan
sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan
koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x
= 0.
Contoh: 122 =+ xy . Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0]
dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan
S[0,−1].
Contoh: xy = 1. Dengan memberi nilai x = 0 kita tidak akan
mendapatkan solusi untuk y. Demikian pula memberi y = 0 tidak
akan memberi solusi untuk x. Kurva persamaan ini tidak
memotong sumbu-x maupun sumbu-y.
Asimptot. Suatu titik P[x,y] pada kurva yang bergerak sepanjang kurva
menjauhi titik-asal mungkin akan semakin dekat dengan suatu garis
tertentu, namun tidak akan menyentuhnya. Garis tersebut merupakan
asimptot dari kurva.
Contoh: 10)(222 +=− xxxy .
Persamaan ini memberikan )1(
102
−
+±=
xx
xy
Apa yang berada di dalam tanda akar, tidak boleh negatif. Hal ini
berarti jika x harus positif maka ia tidak boleh lebih kecil dari satu
agar x(x−1) positif; jika x negatif maka x(x−1) akan tetap positif.
Jadi haruslah x < 0 atau x > 1. Tidak ada bagian kurva yang berada
antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah
asimptot dari kurva. Lihat Gb.5.1.
23
Gb.5.1. Garis asimptot (ditunjukkan oleh garis patah-patah).
Persamaan kurva ini juga bisa dituliskan sebagai
x
x
xx
xy
/11
/10110 2
2
22
−
+=
−
+=
Jika x → ±∞ maka y2 = 1, dan y = ±1. Garis mendatar y = 1 dan y
= −1 juga merupakan asimptot dari kurva.
Soal-Soal:
Tentukan sumbu simetri, titik-titik potong dengan sumbu
koordinat, dan garis asimptot kurva-kurva dari fungsi berikut:
xxy
1+= ; 12 += xy ;
1
1
2 +=
xy ;
12 −= xy ; 1
1
2 −=
xy .
5.2. Jarak Antara Dua Titik
Jika koordinat dua titik diketahui, misalnya P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
jarak antara keduanya adalah
22 )()(PQ qpqp yyxx −+−= (5.2)
Formula ini sangat bermanfaat jika kita hendak mencari tempat
kedudukan titik yang berjarak tertentu dari suatu titik lain. Kita akan
melihatnya pada ulasan bentuk-bentuk geometris berikut ini.
-4
0
4
-4 0 4
y
24 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Soal-Soal:
1). Diketahui dua titik P(-2,1) dan Q(2,-3). Dengan menggunakan
persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap P dan Q.
2). Diketahui dua titik P(-1,0) dan Q(2,0). Dengan menggunakan
persamaan persamaan (5.2) tentukan tempat kedudukan R yang
sedemikian rupa sehingga RP = 2× RQ.
5.3. Parabola
Kita telah melihat bentuk kurva
2kxy = (5.3)
yang simetris terhadap sumbu-y. Bentuk kurva ini disebut parabola.
Dalam persamaan ini, ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga jarak
antara satu titik P yang terletak pada kurva dengan titik Q yang terletak
di sumbu-y sama dengan jarak antara titik P dan suatu garis tertentu,
seperti diperlihatkan pada Gb.5.2. Titik Q disebut titik fokus parabola,
dan garis tertentu y = −p disebut garis direktriks dan titik puncak
parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya.
Gb.5.2. Titik fokus dan garis direktriks.
Hubungan antara k dan p dapat dicari sebagai berikut.
xppyyxpyxp 2222222 2 )()PR(PQ ++−=+−=+−=
py )(PR +=
[0,0]
y
x
y=kx2
P[x,y]
Q[0,p]
R[x,−p]
25
Karena PQ = PR, maka
pyxppyy +=++− 222 2
22222 22 ppyyxppyy ++=++−
pyx 42 +=+
atau
p
xy
4
2
= yang berarti p
k4
1= atau
kp
4
1=
Dengan demikian persamaan parabola dapat kita tuliskan
2
4
1x
py = (5.4)
dengan direktiks y = −p dan titik fokus Q[0,p].
Contoh: Persamaan parabola 25,0 xy = dapat kita tuliskan
22
5,04
1
2
1xxy
×==
dan parabola ini memiliki direktrik 5,0−=−= py dan
titik fokus di Q[0,(0,5)].
Soal-Soal:
Tentukan titik fokus dan direktrik parabola-parabola berikut:
842 =+ xy ; 482 =− yx ;
03422 =−−+ yxx ; 02 =++ yxy
5.4. Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama
terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran.
Jika titik tertentu itu adalah titik-asal [0,0] maka jarak suatu titik X[x,y]
ke titik-asal adalah
22XO yx +=
26 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Jika jarak ini tertentu, r misalnya, maka
ryx =+ 22
Oleh karena itu persamaan lingkaran dengan titik pusat [0,0] adalah
222 ryx =+ (5.5)
dengan r adalah jari-jari lingkaran.
Jika titik pusat lingkaran tidak berimpit dengan titik asal, kita dapat
melihatnya sebagai lingkaran tergeser. Lingkaran dengan titik pusat di
P[a,b] mempunyai persamaan
222 )()( rbyax =−+− (5.6)
Gb.5.3. memperlihatkan bentuk lingkaran dengan jari-jari 1 yang disebut
lingkaran-satuan, berpusat di [0,0] dengan persamaan 122 =+ yx .
Gb.5.3. Lingkaran
Pada Gb.5.3 ini pula diperlihatkan lingkaran dengan r2
= 0,4 berpusat di
[(0,5),(0,5)] yang berarti lingkaran tergeser sejajar sumbu-x sebesar 0,5
skala dan sejajar sumbu-y sebesar 0,5 skala, dengan persamaan
4,0)5,0()5,0( 22 =−+− yx
-1
0,5
1
-1 [0,0]
0,5
1 x
y
y1
27
Soal-Soal:
Tentukan persamaan dan cari titik-titik potong dengan sumbu-sumbu
koordinat lingkaran berikut
1) Titik pusat di P(1,2), jari-jari 4.
2) Titik pusat di Q(-2,1), jari-jari 5.
3) Titik pusat R(2,3) jari-jari 3.
4) Titik pusat S(3,2) jari-jari 2.
5.5. Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik
tertentu adalah konstan. Kedua
titik tertentu tersebut merupakan
dua titik fokus dari elips.
Perhatikan Gb.5.4. Misalkan
diketahui posisi dua titik P[−a,0]
dan Q(a,0]. Jarak antara titik
sembarang X[x,y] dengan kedua
titik tersebut masing-masing
adalah
Gb.5.4. Elips
22)(XP ycx ++= dan
22)(XQ ycx +−=
Jika jumlah antara keduanya adalah konstan, misalkan 2a, maka
aycxycx 2)()( 2222 =+−+++
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di
kuadratkan, akan kita peroleh
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++
yang dapat disederhanakan menjadi
22)( ycxxa
ca +−=−
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
28 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Jika kedua ruas di kuadratkan kita dapatkan
2222
2
22 22 yccxxx
a
ccxa ++−=+−
yang dapat disederhanakan menjadi
122
2
2
2
=−
+ca
y
a
x
Kita perhatikan penyebut pada suku ke-dua ruas kiri persamaan terakhir
ini, dengan melihat pada Gb.5.4. Pada segitiga XPQ, jumlah dua sisi
selalu lebih besar dari sisi yang ketiga, (XP + XQ) > PQ atau 2a > 2c,
sehingga penyebut suku ke-2 di ruas kiri selalu positif dan memiliki akar
nyata; misalkan bca =− 22. Dengan demikian kita mendapatkan
persamaan elips
12
2
2
2
=+b
y
a
x (5.7)
Titik-titik potong dengan sumbu-x adalah [±a,0] dan titik-titik potong
dengan sumbu-y adalah [0,±b]. Jadi suatu elips dilingkupi oleh satu segi
panjang 2a×2b; 2a adalah sumbu panjang elips dan 2b adalah sumbu
pendeknya. (Perhatikan bahwa jika a = b yang berarti c = 0, kita
mendapatkan persamaan lingkaran).
Apabila titik fokus elips tidak terletak pada sumbu-x, kita bisa
melihatnya sebagai elips tergeser. Persamaan elips tergeser adalah
1)()(
2
2
2
2
=−
+−
b
qy
a
px (5.8)
dengan p adalah pergeseran sejajar sumbu-x dan q adalah pergeseran
sejajar sumbu-y. Gb.5.5. adalah elips dengan persamaan
15,0
)25,0(
1
)5,0(
2
22
=−
+− yx
29
Gb.5.5. Elips tergeser.
Soal-Soal:
Tentukan titik-titk fokus dan gambarkan (skets) elips berikut:
1) 3649 22 =+ xx ;
2) 14494 22 =+ yx ;
3) 14 22 =+ yx ;
4) 144)3(9)2(16 22 =++− yx
5.6. Hiperbola
Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya
antara dua titik tertentu adalah konstan. Penurunan persamaan hiperbola
dapat dilakukan seperti halnya dengan penurunan persamaan elips di
atas.
Perhatikan Gb.5.6. Misalkan diketahui posisi dua titik P[−c,0] dan
Q(c,0].
Jarak antara titik sembarang X[x,y] dengan kedua titik tersebut masing-
masing adalah
22)(XP ycx ++= dan
22)(XQ ycx +−=
1
-1
0
-1 0 1 2x
y
30 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Gb.5.6. Posisi titik X terhadap P[-c,0] dan Q[c,0].
Jika selisih antara XP dan XQ harus tetap, misalnya 2a, maka
aycxycx 2)()( 2222 =+−−++
Suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan dan kedua ruas di
kuadratkan, kemudian dilakukan penyederhanaan
22)()/( ycxaxac +−=−
Jika kedua ruas dikuadratkan akan diperoleh
122
2
2
2
=−
−ac
y
a
x
Kita lihat lagi Gb.5.6. Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) = 2a selalu
lebih kecil dari PQ = 2c. Jadi a < c sehingga penyebut pada suku kedua
ruas kiri selalu positif, misalkan 222 bac =− . Dengan demikian kita
dapatkan persamaan
12
2
2
2
=−b
y
a
x (5.9)
Inilah persamaan hiperbola, dengan bentuk kurva seperti pada Gb.5.7.
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
31
Gb.5.7. Kurva hiperbola
Dengan memberi nilai y = 0, kita dapatkan titik potong hiperbola dengan
sumbu-x yaitu [±a,0]. Dengan memberikan nilai x = 0, kita tidak
memperoleh solusi untuk y. Kurva tidak memotong sumbu-y; tidak ada
bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a.
Soal-Soal:
Gambarkan (skets) hiperbola berikut:
1) 1169
22
=−yx
; 2) 1169
22
=−xy
;
3) 1916
22
=−yx
; 4) 1169
22
−=−yx
5.4. Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus
kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua. Bentuk umum persamaan
berderajat dua adalah
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx (5.10)
Persamaan parabola adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan
pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======
+∞
−∞
X(x,y)
-c -a a c
y
x
32 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
sehingga diperoleh persamaan (5.4) 2
4
1x
py = .
Lingkaran satuan adalah bentuk khusus dari (5.10) dengan
;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1
Bahkan persamaan garis luruspun merupakan keadaan khusus dari
(5.10), di mana
bFEaDCBA −==−==== ;1 ; ;0
yang memberikan persamaan garis lurus baxy += . Namun dalam
kasus terakhir ini persamaan berderajat dua (5.10) berubah status menjadi
persamaan berderajat satu.
Bentuk Ax2 dan Cy
2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah
sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas. Namun
bentuk Bxy, yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum pernah
kita temui. Dalam sub-bab berikut ini hal tersebut akan kita lihat.
5.5. Perputaran Sumbu Koordinat
Dalam bangun geometris yang sudah kita lihat, mulai dari parabola
sampai hiperbola, tidak satupun mengandung bentuk Bxy. Hal Ini
sesungguhnya merupakan konsekuensi dari pemilihan koordinat. Dalam
bangun hiperbola misalnya, kita telah memilih titik-titik fokus P[−c,0]
dan Q[c,0] sehingga hiperbola simetris terhadap sumbu-x dan memotong
sumbu-x di x = ±a. Sekarang akan kita coba memilih titik fokus di
P[−a,−a] dan Q[a,a] seperti pada Gb.5.8.
Gb.5.8. Titik fokus di P[-a.-a] dan Q[a,a]
Selisih jarak XP dan XQ yang tetap kita misalkan 2a
aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++
P[-a,-a]
Q[a,a]
y
x
33
Jika suku kedua ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan kemudian kedua
ruas dikuadratkan dan dilakukan penyederhanaan, akan kita peroleh
22 )()( ayaxayx −+−=−+
Jika ruas kanan dan kiri dikuadratkan lagi kita dapatkan
22 axy = (5.11)
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva
persamaan ini simetris terhadap garis y = x, yaitu garis bagi kuadran II
dan III seperti terlihat pada Gb.5.9.
Gb.5.9. Kurva 2xy = a
2.
Kalau kita bandingkan kurva Gb.5.9 ini dengan kurva hiperbola
sebelumnya pada Gb.5.7. terlihat bahwa kurva pada Gb.5.9. memiliki
sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran
jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri Gb.5.7 yaitu sumbu-x.
Apakah memang demikian? Kita akan lihat secara umum mengenai
perputaran sumbu ini. Perhatikan Gb.5.10.
Gb.5.10. Perputaran sumbu.
-5
0
5
-5 0
x’
y
x α β
y’ P[x,y]
P[x’,y’]
Q
Q’
O
34 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Sumbu x-y diputar sebesar α menjadi sumbu x’-y’. Titik P dapat
dinyatakan dengan dua koordinat P[x,y] dengan referensi sumbu x-y, atau
P[x’,y’] dengan referensi sumbu x’-y’. Dari Gb.5.10. kita dapatkan
)sin(OPPQ
)cos(OPOQ
β+α==
β+α==
y
x (5.12)
Sementara itu
β==
β==
sinOPPQ''
cosOPOQ''
y
x (5.13)
Dengan kesamaan (lihat fungsi trigonometri di Bab-6)
βα+βα=β+α
βα−βα=β+α
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos( (5.14)
Dengan (5.13) dan (5.14), maka (5.12) menjadi
α+α=
α−α=
cos'sin'
sin'cos'
yxy
yxx (5.15)
Persamaan (5.15) inilah persamaan rotasi sumbu.
Kita coba aplikasikan (5.15) pada (5.11) yang memiliki kurva pada
Gb.5.10, di mana rotasi sumbu terjadi pada sudut 45o sehingga
2/1sincos =α=α . Oleh karena itu kita peroleh
2
'' yxx
−= dan
2
'' yxy
+=
Nilai x dan y ini kita masukkan ke (5.11) dan kita mendapatkan
222)'()'(
2
''
2
''2 ayx
yxyx=−=
+×
−
Bentuk persamaan ini sama dengan bentuk persamaan (5.9); pada (5.9)
sumbu simetri adalah sumbu-x, sedangkan di sini sumbu simetri adalah
sumbu-x’ yaitu sumbu-x yang diputar 45o.
Dengan pembahasan mengenai perputaran sumbu ini, menjadi
lengkaplah pergeseran kurva yang kita bahas. Pergeseran kurva sejajar
sumbu-x dan sumbu-y yang telah kita bahas sebelumnya dapat pula kita
pandang sebagai pergeseran atau translasi sumbu koordinat. Dengan
demikian kita mengenal translasi dan rotasi sumbu koordinat, di mana
sumbu-sumbu simetri dari suatu kurva tidak berimpit dengan sumbu
koordinat, dan titik simetri tidak berimpit dengan titik asal [0,0].
35
Referensi
1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut
Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan
dalam buku ini.
2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison
Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika
di ITB, tahun 1963 - 1964.
3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,
ISBN 979-9299-54-3, 2002.
4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.
5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.
top related