fisika zat padat (fis-327)
Post on 01-Jan-2017
286 Views
Preview:
TRANSCRIPT
!"#$%&"'()$"*
!"#"$%&'%(&)%*%(+!"#,-./0
*1223&*45647428&9:#;:+<4564742=>23:4;:?<0
)@AB@%9&#(C*"&!"#"$%!%$CD(%#&9%(E9%("$%&F&"D9C&)EGBE(%HC%G&%D%9
CG"IE@#"(%#&GEBE@"&JABJ%$%@(%
!!
!"#$%&!'(')&*+,-$.-
!"#$%&"&'
("))*+(,&-,.,)
!!
/0,$+12+1$+,
34%$5
!6!"#$%&'(")*"+(,-.'-"/(%/"-/01.2-"/(2"+$)+2$/.2-"
)*"3%/2$.%4".&"/(2"-)4.1"-/%/27+
8/4&9)"$:+;
&1)#"$4)<"9%=
!65(2"-/01,")*"$.6
.1"3%//2$7")$"-)4.1-7"89
:"/(2"
4%$62-/"#$%&'(")*"')&12&-21"3%//2$"+(,-.'-"89
:"-/01.2-"();"/(2"4%$62<-'%42"+$)+2$/.2-")*"-)4.1"
3%/2$.%4-"$2-04/"*$)
3"/(2.$"%/)3.'<-'%42"
+$)+2$/.2-"89
:"*)$3-"/(2"/(2)$2/.'%4"#%-.-")*"
3%/2$.%4"-'.2&'2<7
8/1>1?"91,=
!!
@+2$%9*+4)+$0"+?&4?"&$1"2+
A-"#0,)1#,B:+$0
"&-,B:+"B"#$&1#,B:+-
,C)"$1#+D+4?$1#,BE+
4F+-,$"&1,B+1)+$0"+24B19+2$,$"
A#&*2$,BB1)"+D+,-4&?04%2E
!!
!!
/0,$+,&"+."+C41)C+$4+B",&)5
!G&*2$,B+H$&%#$%&":+!,$$1#"+D+I"#1?&4#,B+!,$$1#"
!!,$$1#"+J13&,$14)+8K0"4&*+4F+;04)4)=
!K0"4&*+4F+L"$,B
8(&%9"+L49"B:+H4--"&F"B9M+N&""+OB"#$&4)+L49"B:+
P",&B*QN&""+OB"#$&4)+L49"B:+O)"&C*+R,)92=
!H"-1#4)9%#$4&
!!
;&"&"S%121$"2
!OB"#$&4-,C)"$12-
!H$,$12$1#,B+L"#0,)1#2+8TK0"&-49*),-1#2=
!U%,)$%-+L"#0,)1#2
!!
K"V$344>2
!G4-?%B24&*'
!@20#&4F$+D+L"&-1):+!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+R&44>2+
G4B":+WXYZ
!@991$14),B'
![-,&:+/
#)0)1'(2,&!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+@99124)Q
/"2B"*:+W
XX\
!]1$$"B:+31
'2"%4.'$"1&'"&!"#$%&!'(')&*+,-$.-:+/1B"*:+
^__`
!!
a&,91)C
!b_c+-19$"&-+"V,-+T+,221C)-")$2
!b_c+F1),B+"V,-
Fisika Zat Padat
Kekisi K
ristal
Apa itu kekisi?
Kekisi (kekisi B
ravais) merupakan deretan tak hingga
dari titik-titik diskrit dengan susunan dan orientasi yang nam
pak tepat sama
!S
ingkatnya: kekisi adalah deretan periodik dan teratur dari titik-titik dalam
ruang!
Kekisi m
erupakan abstraksi matem
atis!
Struktur kristal terbentuk ketika basis yang terdiri atas atom
-atom ditem
pelkan secara identik ke setiap titik kekisi
!S
truktur kristal = kekisi + basis
Auguste B
ravais (1811 – 1863)
Apa itu kekisi?
Kekisi B
ravais terdiri atas titik-titik yang mem
iliki vektor posisi R
dengan bentuk
dengan
= sembarang vektor prim
itif yang tidak selalu berada di bidang yang sam
a
= bilangan bulat (negatif, nol, atau positif)
"R#n
1 " a1 $n
2 " a2 $n
3 " a3
" a1 , " a
2 , " a3
n1 , n
2 , n3
Kekisi B
ravais 2D (jejaring/net)
5 kekisi Bravais dasar: (1) jajaran genjang (2) persegi (3) persegi berpusat (4) hexagonal (5)
bujur sangkar
Kekisi B
ravais 3D
Contoh lain kekisi B
ravais 3D
Gam
bar berikut bukan kekisi Bravais!
Susunannya sam
a namun orientasinya beda!
Kekisi Tak H
ingga
!K
ekisi Bravais m
engisi ruang tak hingga!
Nam
un kristal bahan mem
iliki volume berhingga
!K
ekisi tak hingga merupakan idealisasi, jika
kekisinya berhingga akan muncul efek perm
ukaan!
Untuk m
udahnya, kita kaji kristal berhingga yang yang terdiri atas N
situs:untuk m
aka"R#n
1 " a1 $n
2 " a2 $n
3 " a3
0%n
1 &N
1 ,0%n
2 &N
2 ,0%n
3 &N
3 danN#N
1 N2 N
3
Untuk sem
barang kekisi Bravais, set vektor
primitifnya tidak unique!
Contoh lain: kekisi bcc
bcc = body-centered cubic
Jika kekisi simple cubic m
emiliki vektor prim
itif: a'x,a
'y,dan a
' z
Maka untuk bcc: " a
1 #a'x, " a
2 #a'y, " a
3 #a2('x$
'y$' z)
Atau dapat dituliskan sebagai:
" a1 #a2('y$
'z*'x), " a
2 #a2('z$
'x*'y), " a
3 #a2('x$
'y*'z)
Kedua set menyatakan
kekisi Bravais bcc
cek Kittel untuk sel bcc prim
itif
Contoh lain: kekisi fcc
fcc = face-centered cubic
set vektor primitif untuk kekisi fcc:
" a1 #a2('y$
'z), " a2 #a2('z$
'x), " a3 #a2('x$
'y)
cek Kittel untuk sel fcc prim
itif
Catatan: unsur dengan kekisi sim
ple cubic sangat jarang ditem
ukan, fase alpha dari Polonium
(Po) m
erupakan satu-satunya contoh yang ditem
ukan pada kondisi normal
Bilangan K
oordinasi
!Titik-titik pada kekisi B
ravais yang berada paling dekat dengan sebuah titik pilihan disebut nearest neighbors (tetangga terdekat)
!S
etiap titik pada kekisi Bravais m
emiliki jum
lah tetangga terdekat yang sam
a, disebut sebagai bilangan koordinasi dari kekisi tersebut
!B
ilangan koordinasi untuk kekisi sc : 6!
Bilangan koordinasi untuk kekisi bcc : 8
!B
ilangan koordinasi untuk kekisi fcc : 12
Sel S
atuan Prim
itif
!S
el (satuan) primitif m
erupakan volum ruang yang, ketika
ditranslasikan melalui seluruh vektor kekisi B
ravais, tepat m
engisi ruang tanpa overlap atau meninggalkan ruang
kosong (void)!
Untuk sebarang kekisi B
ravais, tidak ada cara khusus untuk m
emilih sel prim
itif!
Sel prim
itif harus mengandung hanya satu titik kekisi
!Volum
e sel primitif tidak bergantung pada pem
ilihan bentuk sel (v = 1/n; v = volum
e, n = rapat titik kekisi)
Sel S
atuan Prim
itif
!S
el primitif yang berkaitan dengan set vektor
primitif m
erupakan set untuk titik r dengan bentuk
!S
et ini umum
nya tidak menunjukkan bentuk
simetri dari kekisi B
ravais. Misal:
" a1 ," a
2 ," a3
" r#x
1 " a1 $x
2 " a2 $x
3 " a3 dengan 0%
xi %
1
Agar diperoleh sim
etri...
Sel S
atuan Konvensional
!S
el satuan merupakan daerah yang m
engisi ruang tanpa overlap ketika ditranslasikan m
elalui set vektor kekisi B
ravais!
Sel satuan konvensional um
umnya dipilih lebih besar
daripada sel satuan primitif agar dapat m
emiliki sim
etri!
Pada sel konvensional, bcc nam
pak sebagai sel satuan berbentuk kubus dua kali lebih besar dari sel satuan bcc prim
itif!
Dan kekisi fcc nam
pak sebagai sel kubus 4 kali lebih besar dari sel satuan fcc prim
itif
Bilangan yang m
enyatakan ukuran dari sel satuan disebut sebagai tetapan kekisi (lattice constants)
Sel P
rimitif W
igner-Seitz
Eugene W
igner (1902 - 1995)
Frederick Seitz
(1911 - 2008)
Kekisi N
on-Bravais
Struktur Intan
Terdiri atas dua kekisi fcc yang saling menyisip, bergeser
sepanjang diagonal utama kekisi kubus sejauh !
panjang diagonal. D
apat juga dianggap sebagai kekisi fcc dengan basis basis titik 0 dan !a
"4#!$x%$y%
$z#
Struktur H
exagonal Close-P
acked (hcp)
Untuk struktur hcp ideal: ca
&'83
Struktur N
aCl
Terdiri atas ion Na and C
l yang berjum
lah sama dan terletak pada
titik-titik yang berselang-seling pada kekisi sc. D
apat juga digambarkan
sebagai kekisi fcc dengan basis terdiri atas ion N
a 0 dan ion Cl di
!a"2#!$x%
$y%$z#
Fisika Zat Padat
Kekisi B
alik
Definisi
!D
itinjau sekumpulan titik R
yang mem
bentuk kekisi B
ravais, dan gelombang bidang datar
!U
ntuk k secara umum
, gelombang bidang
tersebut tidak mem
iliki sifat periodik kekisi B
ravais, namun dapat dim
iliki oleh vektor gelom
bang tertentu yang dipilih secara khusus!
Kekisi balik didefinisikan sebagai kum
pulan sem
ua vektor gelombang K
yang menghasilkan
gelombang bidang yang m
emiliki sifat periodik
dari suatu kekisi Bravais
ei "k#" r
!K
merupakan kekisi balik dari kekisi B
ravais dengan titik-titik dinyatakan R
, selama relasi
dipenuhi oleh sembarang r dan sem
ua R pada kekisi
Bravais
!M
aka kekisi balik adalah kumpulan vektor gelom
bang K
yang mem
enuhi
!K
ekisi Bravais yang m
enentukan kekisi balik sering disebut sebagai kekisi langsung (direct lattice)
!K
disebut kekisi balik hanya jika kumpulan vektor R
m
erupakan kekisi Bravais
ei "K#$"r%
"R&'ei "K#"r
ei "K# "R'
1
!M
isal merupakan vektor-vektor
primitif untuk kekisi langsung, m
aka kekisi balik dapat ditentukan oleh vektor-vektor prim
itif berikut: " a
1 , " a2 , " a
3
"b1 '
2(" a
2 )" a
3
" a1 #$" a
2 )" a
3 &
"b2 '
2(" a
3 )" a
1
" a1 #$" a
2 )" a
3 &
"b3 '
2(" a
1 )" a
2
" a1 #$" a
2 )" a
3 &
!b
i akan mem
enuhi
!S
embarang vektor k dapat dinyatakan sebagai kom
binasi linear dari b
i
!Jika R
merupakan vektor kekisi langsung (n
i bilangan bulat) :
!M
aka
!K
oefisien ki harus berupa bilangan bulat agar
dipenuhi untuk semua R
!Jadi, kekisi balik m
erupakan kekisi Bravais dan b
i merupakan
vektor-vektor primitif
"bi #" aj '
2(*ij dengan *
ij '+ 0,i,j
1,i'j
"k'k
1 "b1 %k
2 "b2 %k
3 "b3
"R'n
1 " a1 %n
2 " a2 %n
3 " a3
"k# "R'
2($k
1 n1 %k
2 n2 %k
3 n3 &
ei "K# "R'
1
!K
arena kekisi balik merupakan kekisi B
ravais, kita dapat m
embentuk kekisi balik dari kekisi ini,
yang tidak lain adalah kekisi langsung semula
Contoh
!K
ekisi Bravais sim
ple cubic (sc), dengan sel prim
itif bersisi a, mem
iliki kekisi balik berbentuk sim
ple cubic dengan sel primitif bersisi 2
!/a!
Kekisi B
ravais fcc dengan sel kubus konvensional bersisi a m
emiliki kekisi balik bebentuk bcc
dengan sel kubus konvensional bersisi 4!/a
!K
ekisi Bravais bcc dengan sel kubus konvensional
berisisi a mem
iliki kekisi balik berbentuk fcc dengan sel kubus konvensional bersisi 4
!/a
!Jika v adalah volum
e sel primitive pada kekisi
langsung, maka sel prim
itive dari kekisi balik m
emiliki volum
e (2!) 3/v
Zona Brillouin P
ertama
!Zona B
rillouin pertama m
erupakan sel primitif
Wigner-S
eitz dari kekisi balik!
Um
umnya, istilah zona B
rillouin pertama hanya
diterapkan pada sel ruang-k!
Karena kekisi balik dari kekisi bcc adalah kekisi
fcc, zona Brillouin pertam
a dari kekisi bcc adalah sel W
igner-Seitz fcc, dan begitu juga
sebaliknya.
Léon Brillouin (1889 – 1969)
Bidang K
ekisi
!B
idang kekisi (lattice plane) didefinisikan sebagai sem
barang bidang yang mengandung
setidaknya tiga titik kekisi Bravais non-kolinear
(tidak segaris)!
Karena sim
etri translasi dari kekisi Bravais,
bidang tersebut akan mengandung banyak titik
kekisi, yang mem
bentuk kekisi Bravais 2-D
pada bidang tersebut
!K
eluarga bidang kekisi didefinisikan sebagai kum
pulan bidang-bidang kekisi yang sejajar dan terpisah pada jarak yang sam
a, yang m
engandung seluruh titik kekisi Bravais 3-D
!U
ntuk sembarang keluarga bidang kekisi yang
jarak pisahnya adalah d, terdapat vektor kekisi balik yang tegak lurus terhadap bidang, paling pendek m
emiliki panjang 2!/d
!S
ebaliknya, untuk sembarang vektor kekisi balik
K, terdapat keluarga bidang kekisi yang tegak
lurus K dan m
emiliki jarak pisah d, dim
ana 2!/d m
erupakan panjang dari vektor kekisi balik terpendek yang sejajar K
Indeks Miller B
idang Kekisi
!Indeks M
iller dari suatu bidang kekisi m
erupakan koordinat vektor kekisi balik terpendek yang tegak lurus terhadap bidang tersebut, yang terkait dengan kum
pulan vektor kekisi balik prim
itif tertentu!
Jadi, bidang dengan indeks Miller h, k, l, berada
tegak lurus terhadap kekisi balik
h"b
1 #k"b
2 #l "b
3
William
Hallow
es Miller
(1801 – 1880)
!Indeks M
iller berupa bilangan bulat, karena sem
barang vektor kekisi balik merupakan
kombinasi linear dari tiga vektor prim
itif dengan koefisien bilangan bulat
!Indeks M
iller bergantung pada pemilihan vektor
primitif
!Indeks M
iller dari suatu bidang mem
iliki interpretasi geom
etris pada kekisi langsung, yang terkadang ditaw
arkan sebagai cara alternatif pendefinisian indeks
!K
arena bidang kekisi dengan indeks Miller h, k,
l, tegak lurus terhadap vektor balik , indeks ini akan terkandung pada bidang kontinyu untuk nilai tetapan A yang sesuai
!B
idang ini akan mem
otong sumbu yang
ditentukan oleh vektor primitif kekisi langsung a
i pada titik: dengan
"K$h"b
1 #k"b
2 #l "b
3"K%" r$
A
x1" a1, x
2" a2, dan x
3 " a3
"K%&xi " ai '$A
!K
arena
maka
!M
aka titik potong bidang kekisi dengan sumbu
kristal berbanding terbalik dengan indeks Miller
dari bidang tersebut
"K#" a1 $
2%h, "K#
" a2 $
2%k, dan "K#" a
3 $2%l
x1 $
A2%h, x
2 $A
2%k, x
3 $A
2%l
!K
ristalografer mendefinisikan indeks M
iller sebagai kum
pulan bilangan bulat tanpa faktor persekutuan, berbanding terbalik dengan titik potong bidang kristal pada sum
bu kristal
h:k:l$1x
1 :1x
2 :1x
3
Konvensi
!B
idang kekisi umum
nya ditunjukkan dengan menyatakan
indeks Miller dalam
tanda kurung (h,k,l)!
Kom
a dihilangkan dengan menggantikan – n
!U
ntuk menunjukkan arah, kurung persegi digunakan untuk
menghindari kerancuan dengan indeks M
iller ! [hkl]
!U
ntuk menunjukkan keluarga lain yang ekivalen dengan
keluarga bidang kekisi tertentu, digunakan {hkl}m
isal: bidang (100), (010) dan (001) ekivalen pada kristal kubus, sehingga dapat dinyatakan sebagai bidang {100}
& n
Fisika Zat Padat
Difraksi S
inar X oleh K
ekisi Kristal
William
L. Bragg
(1890 – 1971)Fisikaw
an Inggris
Max von Laue
(1879 – 1960)Fisikaw
an Jerman
Mengapa H
arus Sinar-X
?
!Jarak antar atom
pada bahan padat umum
nya berada pada orde angstrom
(10-10 m
)!
Maka, probe elektrom
agnetik untuk struktur m
ikroskopis bahan padat harus mem
iliki energi:
yang berada pada orde energi sinar-X
E"#$"hc%
"1.24&
10'
6 eV m
10'
10 m"
12.4 keV
Formulasi B
ragg!
Pada bahan kristal, untuk panjang gelombang dan arah
sinar datang yang ditentukan secara tepat, terdapat puncak-puncak intensitas ham
buran radiasi sinar-X
yang disebut puncak Bragg
!D
itinjau kristal yang tersusun atas bidang-bidang sejajar terisi ion, terpisah pada jarak d !
bidang kekisi!
Syarat diperoleh puncak inttensitas pada radiasi
hamburan:
!S
inar-X harus dipantulkan oleh ion pada satu bidang dengan
sudut pantul sama dengan sudut datang
!Sinar pantulan dari bidang berturutan harus berinterferensi secara konstruktif
!Jika ! m
erupakan sudut datang, agar sinar ham
buran berinterferensi secara konstruktif, beda lintasan harus berupa kelipatan bulat panjang gelom
bang:
yang merupakan hukum
Bragg
!B
ilangan bulat n dikenal sebagai orde pantulan!
Untuk berkas sinar-X
yang nilai panjang gelom
bangnya banyak ('radiasi putih'), akan teram
ati banyak pantulan
n%"
2dsin
(
Formulasi von Laue
!D
itinjau kristal yang tersusun atas objek m
ikroskopis identik (kumpulan ion atau atom
) yang berada di titik R
pada kekisi Bravais
!Tiap objek dapat m
eradiasikan ulang radiasi yang datang ke segala arah
!P
uncak radiasi hamburan hanya akan teram
ati pada arah dan panjang gelom
bang dimana
sinar hamburan dari seluruh titik kekisi
berinterferensi secara konstruktif
!D
itinjau dua penghambur, terpisah oleh vektor
perpindahan d!
Misal sinar-X
datang dari kejauhan, sepanjang arah n, dengan panjang gelom
bang " dan vektor gelom
bang x = 2#n/"!
Sinar ham
buran akan teramati pada arah n'
dengan panjang gelombang " dan vektor
gelombang k' = 2#n'/" selam
a beda lintasan dari kedua sinar yang terham
bur oleh kedua ion berupa kelipatan bulat dari panjang gelom
bang, m
isal m
!B
eda lintasannya adalah:
!S
yarat agar terjadi interferensi konstruktif:
!K
alikan kedua sisi persamaan di atas dengan
2!/" maka dihasilkan syarat untuk nilai vektor
gelombang sinar datang dan sinar ham
buran:
dcos"#
dcos"'$
%d&' (n)(n'*
%d&' (n)(n'*$
m+
%d&' %k)%k'*$
2,m
!S
elanjutnya, ditinjau rangkaian penghambur yang
berada pada kekisi Bravais
!K
arena titik-titik kekisi saling terpisah oleh vektor kekisi B
ravais R, syarat agar seluruh sinar
terhambur berinterferensi konstruktif adalah bahw
a syarat untuk dua pengham
bur juga berlaku untuk seluruh nilai d yang m
erupakan kekisi Bravais:
untuk bilangan bulat m dan vektor B
ravais R!
Dapat dituliskan pula dalam
bentuk ekivalen:
%R&' %k)%k'*$
2,m
ei' %k')
%k*& %R$
1
!D
ibandingkan dengan definisi kekisi balik, diperoleh syarat Laue:interferensi konstruktif akan terjadi selam
a perubahan vektor gelom
bang, K = k' – k m
erupakan vektor kekisi balik
!K
arena kekisi balik juga kekisi Bravais, jika k' – k
merupakan vektor kekisi balik, begitu juga k – k'
!Jika k – k' = K
, maka syarat bahw
a k dan k' mem
iliki besar (m
agnitude) yang sama adalah k = | k – K
|!
Kuadratkan kedua sisi diperoleh syarat:
! kom
ponen vektor gelombang datang k sepanjang
vektor kekisi balik K harus bernilai separo panjang K
%k&(K$
1-2K
!M
aka vektor gelombang datang k akan
mem
enuhi syarat Laue jika dan hanya jika ujung vektor terletak pada bidang yang tegak lurus dan m
embagi dua garis penghubung titik
asal ruang-k ke sebuah titik kekisi balik K!
Bidang ruang-k ini disebut bidang B
ragg
Ekivalensi Form
ulasi Bragg &
Laue
!M
isal vektor gelombang datang dan terham
bur, k dan k', m
emenuhi syarat Laue yaitu bahw
a K = k' – k
adalah vektor kekisi balik!
Karena gelom
bang datang dan terhambur m
emiliki
panjang gelombang yang sam
a (hamburan elastik), k'
dan k mem
iliki besar (magnitude) yang sam
a!
Sehingga, k' dan k m
embentuk sudut yang sam
a yaitu # dengan bidang tegak lurus K
!M
aka hamburan dapat dilihat sebagai pantulan B
ragg dengan sudut B
ragg #, dari keluarga bidang kekisi langsung yang tegak lurus vektor kekisi balik K
!Vektor K
merupakan kelipatan bulat dari vektor
kekisi balik terpendek K0 yang sejajar K
!M
enurut teori keluarga bidang kekisi (lihat bab 5), besarnya K
0 adalah 2!/d, dimana d adalah jarak
antar bidang yang berdekatan dalam keluarga
tersebut yang tegak lurus K0 atau K
!M
aka K = 2!n/d dim
ana n adalah bilangan bulat!
Dari gam
bar: K = 2k sin # , m
aka k sin # = !n/d!
Karena k = 2!/", diperoleh 2d sin # = n"
sehingga panjang gelombang m
emenuhi syarat
Bragg
!Jadi puncak diffraksi Laue yang m
erupakan perubahan vektor gelom
bang sebesar vektor kekisi balik K
, bersesuaian dengan pantulan B
ragg dari bidang kekisi langsung yang tegak lurus K
!O
rde n pada pantulan Bragg m
erupakan panjangnya K
dibagi dengan panjangnya vektor kekisi balik terpendek yang sejajar K
Konstruksi E
wald
!Vektor gelom
bang datang k akan mem
unculkan puncak difraksi jika dan hanya jika ujung vektor gelom
bang berada pada ruang-k bidang Bragg
!U
ntuk mencari puncak B
ragg secara eksperim
en besarnya k harus divariasi (!
divariasi panjang gelombang sinar
datangnya) atau divariasi arahnya (pada prakteknya yang divariasi orientasi kristalnya)
Paul P
eter Ew
ald(1888 – 1985)
Germ
an Physicist
Konstruksi E
wald
!G
ambarkan pada ruang-k sebuah bola yang
berpusat pada ujung vektor gelombang datang
k dengan jejari k (sehingga bola tersebut m
enyentuh titik asal)!
Akan terdapat beberapa vektor gelom
bang k' yang m
emenuhi syarat Laue jika dan hanya jika
beberapa titik kekisi balik (termasuk titik asal)
terletak pada permukaan bola
!A
kan terdapat pantulan Bragg dari keluarga
bidang kekisi langsung yang tegak lurus vektor kekisi balik
Um
umnya, bola pada ruang-k dengan titik asal berada di
permukaan tidak akan m
emiliki titik kekisi balik di
permukaannya. M
aka, untuk sembarang vektor
gelombang datang, tidak akan m
uncul puncak Bragg
Agar dapat dihasilkan puncak B
ragg:!
Metode Laue:
tidak menggunakan sinar-X
monokrom
atik, namun
sinar-X yang m
emiliki panjang gelom
bang dari !1
hingga !0
!M
etode Rotating-C
rystal: m
enggunakan sinar-X m
onokromatik nam
un arah sinar dapat divariasi (pada prakteknya, yang divariasi justru arah kristalnya)
!M
etode bubuk atau Debye-S
cherrer:sam
a dengan eksperimen kristal berputar dim
ana sum
bu rotasi divariasikan pada seluruh arah yang m
ungkin
X-R
ay Diffractom
eter (XR
D)
Pola D
ifraksi untuk BC
C
Pola D
ifraksi untuk FCC
Pola D
ifraksi Sinar-X
Fisika Zat Padat
Teori Logam : M
odel Drude
Paul K
arl Ludwig D
rude(1863 – 1906, Fisikaw
an Jerman)
!Logam
merupakan penghantar listrik dan panas
yang sempurna, m
udah dibentuk dan ditempa
!Lebih dari dua pertiga unsur di alam
berupa logam!
Pada tahun 1900, 3 tahun setelah penem
uan elektron oleh J.J. Thom
son, Drude m
embangun
teori konduksi listrik dan panas untuk logam!
Beliau m
enerapkan teori kinetik gas pada logam
yang dikenal sebagai gas elektron!
Teori kinetik mem
perlakukan molekul gas sebagai
bola pejal identik yang bergerak pada lintasan lurus hingga saling bertum
bukan
!D
iasumsikan antar partikel tidak ada gaya yang
bekerja, kecuali untuk gaya yang muncul
sesaat ketika terjadi tumbukan
!M
uatan positip disematkan pada partikel yang
lebih berat, dan dianggap tidak bergerak!
Maka, ketika atom
-atom unsur logam
m
embentuk bahan logam
, elektron valensi lepas dan m
engembara bebas di dalam
logam
mem
bentuk gas elektron!
Ion logam tetap berada ditem
patnya dan m
enjadi partikel positip yang tidak bergerak
!A
tom dengan bilangan atom
ik Za m
emiliki inti
bermuatan eZ
a (e = 1.6 x 10-19 C
)
!Z
a elektron mengelilingi inti dengan m
uatan total –eZ
a
!Z elektron m
erupakan elektron valensi yang terikat lem
ah ke inti!Z
a – Z merupakan elektron inti yang terikat kuat
ke inti!
Elektron inti tetap terikat kuat ke inti m
embentuk
ion logam, sedangkan elektron valensi
diperbolehkan mengem
bara menjauhi atom
induknya !
elektron konduksi
!M
isal rapat massa unsur logam
adalah !m
!Jum
lah atom per sentim
eter kubik adalah 6.022 x 10
23 (bilangan Avogadro) x !
m /A dengan
A adalah m
assa atom dari unsur tersebut
!K
arena tiap atom m
enyumbang Z elektron
konduksi, banyaknya elektron per sentimeter
kubik adalah:
!{Lihat Tabel}
n"NV"
6.022#10
23#Z$m
A
!rs didefinisikan sebagai jejari suatu bola yang volum
enya sama dengan volum
e tiap elektron konduksi:
!K
erapatan gas elektron umum
nya seribu kali lebih besar dibanding gas klasik pada suhu dan tekanan norm
al
VN"
1n"
43%rs 3 ; r
s "&3
4%n ' 1(3
Asum
si Dasar M
odel Drude
(1) Pada proses tum
bukan, interaksi dari suatu elektron dengan elektron yang lain m
aupun dengan ion cenderung diabaikan!
Pengabaian interaksi elektron-elektron pada
proses tumbukan dikenal sebagai independent
electron approximation
!P
engabaian interaksi elektron-ion pada proses tum
bukan dikenal sebagai free electron approxim
ation
Asum
si Dasar M
odel Drude
(2) Proses tum
bukan bersifat sesaat yang secara langsung m
engubah kecepatan elektron!
Proses tum
bukan berupa elektron yang mem
antul dari inti ion yang tak tertem
bus (bukan tumbukan
antar elektron)
Asum
si Dasar M
odel Drude
(3) Sebuah elektron m
engalami tum
bukan dengan peluang per satuan w
aktu sebesar 1/!!
Maka, peluang sebuah elektron m
engalami tum
bukan pada selang w
aktu dt adalah dt/!!
Besarnya ! dikenal sebagai w
aktu relaksasi, atau w
aktu tumbukan, atau w
aktu bebas rerata!
Sebuah elektron akan berjalan selam
a ! sebelum
mengalam
i tumbukan berikutnya, atau telah berjalan
selama ! sejak tum
bukan sebelumnya
!W
aktu tumbukan tidak bergantung pada posisi dan
kecepatan elektron
Asum
si Dasar M
odel Drude
(4) Elektron dianggap m
encapai kesetimbangan
termal dengan sekitarnya hanya m
elalui proses tum
bukan!
Sem
akin panas daerah di mana tum
bukan terjadi, elektron akan keluar dari tum
bukan dengan kecepatan yang sem
akin besar
Konduktivitas Listrik D
C pada Logam
!B
esarnya arus I yang mengalir pada kaw
at yang terbuat dari logam
akan sebanding dengan beda potensial V
sepanjang kawat: V
= IR (H
ukum O
hm)
dengan R (ham
batan kawat) bergantung pada
ukuran kawat, nam
un tidak bergantung pada besarnya I atau V
!R
esistivitas " didefinisikan sebagai tetapan kesebandingan antara m
edan listrik E di sebuah
titik pada logam dan rapat arus j yang diinduksikan
"E#$"j
!K
etergantungan R pada bentuk atau ukuran
kawat diganti dengan besaran yang m
encirikan logam
yang mem
bentuk kawat
!R
apat arus j merupakan vektor, sejajar aliran
muatan, yang besarnya adalah banyaknya
muatan per satuan w
aktu yang melew
ati satuan luasan yang tegak lurus aliran
!U
ntuk arus seragam I yang m
engalir melalui
kawat dengan panjang L dan luas tam
pang-lintang A
, rapat arusnya adalah j = I/A!
Karena V
= EL, m
aka V = I"L/A
dan R = "L/A
!Jika n elektron per satuan volum
e bergerak dengan kecepatan v, m
aka rapat arus yang m
uncul akan sejajar dengan v!
Dalam
waktu dt elektron akan berpindah
sejauh v dt pada arah v, sehingga elektron sebanyak n (v dt) A akan m
elintasi luasan A
yang tegak lurus v!
Karena setiap elektron m
embaw
a muatan – e,
maka besarya rapat arus adalah
j#IA#dqAdt #
%nev
Adt
Adt
#%nev
!K
etika tidak ada medan listrik, elektron akan
bergerak pada arah sembarang sehingga rerata
v adalah nol, dan tidak ada rapat arus listrik!
Ketika m
uncul medan listrik E
, akan terdapat kecepatan elektron rerata yang berlaw
anan arah dengan arah m
edan:M
isal t adalah waktu yang dicapai setelah terjadi
tumbukan, kecepatan elektron rerata adalah
–eEt/m
R
erata dari t adalah waktu relaksasi !, sehingga
" vavg #
%e"E&
m ; "j#' ne
2&m ( "E
!H
asilnya biasa dinyatakan dalam konduktivitas:
# = 1/"
!U
ntuk mem
peroleh waktu relaksasi, dapat
digunakan nilai resistivitas dari eksperimen untuk
mem
perkirakan besarnya:
!Pada suhu kam
ar, ! biasanya bernilai 10-14 hingga
10-15 detik
"j#)"E
; )#ne
2&m
&#m
$ne
2
!Lintasan bebas rerata l didefinisikan sebagai jarak rerata yang ditem
puh elektron antar 2 tumbukan
!l = v0 t, dengan v0 adalah kelajuan elektron rerata
!D
alam m
odel Drude, v0 diperkirakan dari energi
ekuipartisi klasik:
!D
ari massa elektron, diperoleh nilai v0 pada orde 10
7 cm
/detik pada suhu kamar, sehingga nilai lintasan
bebas rerata berada pada orde 1 hingga 10 Å!
jarak ini sebanding dengan jarak pisah antar atom
, sehingga proses tumbukan m
erupakan proses tum
bukan elektron dengan ion
12mv
0 2"32kB T
! nilai !
dihitung dengan m
odel Drude
Konduktivitas Listrik dalam
Medan
!S
aat t kecepatan elektron rerata v adalah p(t)/m
dengan p merupakan m
omentum
total per elektron!
Maka rapat arusnya adalah
!S
ebuah elektron yang dipilih saat t akan m
engalami tum
bukan sebelum t + dt dengan
peluang dt/!# dan bertahan hingga t + dt tanpa tum
bukan dengan peluang (1 - dt/!)
$j"%ne
$ p&t'm
!Jika tidak m
engalami tum
bukan, elektron akan dipengaruhi gaya f(t) yang m
uncul akibat m
edan listrik atau magnet dan m
emperoleh
mom
entum tam
bahan f(t)dt – O(dt) 2
! O
(dt) 2 bermakna suku dengan orde (dt) 2
!M
aka, kontribusi dari seluruh elektron yang tidak bertum
bukan antara t dan t + dt terhadap m
omentum
, dan mengabaikan kontribusi dari
elektron yang mengalam
i tumbukan, adalah:
$ p&t(dt'
"&1%
dt)'*$ p&t'(
$f&t'dt(
O&dt' 2+
"
$ p&t'%& dt)
'$ p&t'($f&t'dt(
O&dt' 2
! M
aka
dibagi dt dan diambil lim
it pada dt ! 0, diperoleh
yang menyatakan bahw
a efek tumbukan sebuah
elektron adalah menam
bahkan suku redaman
pada persamaan gerak yang m
enggambarkan
besarnya mom
entum per elektron
$ p&t(dt'%
$ p&t'"%& dt)
'$ p&t'($f&t'dt(
O&dt' 2
ddt$p&t'"
%$ p&t')
($f&t'
Efek H
all
!M
edan listrik Ex dikenakan pada kaw
at yang m
embentang pada arah-x dim
ana rapat arus jx m
engalir pada kawat
!M
edan magnet H
dikenakan pada arah-z positip!
Gaya Lorentz
mem
belokkan elektron pada arah-y negatip(kecepatan alir elektron berlaw
anan dengan arah aliran arus)
!M
aka, elektron akan terkumpul pada sisi kaw
at, dan m
edan listrik muncul pada arah-y yang
melaw
an gerakan dan akumulasi elektron lebih
lanjut
%ec$ v,
$H
!P
ada kesetimbangan, m
edan transversal (atau m
edan Hall) E
y akan mengim
bangi gaya Lorentz, sehingga arus hanya m
engalir pada arah-x!
magnetoresistansi, rasio m
edan pada sepanjang kaw
at Ex terhadap rapat arus jx adalah
!M
edan transversal Ey akan sebanding dengan H
dan jx , sehingga dapat didefinisikan koefisien H
all sebagai:
-&H
'"Ex
jx
RH "
Ey
jx H
!K
arena medan H
all berada pada arah-y negatip, R
H harus bernilai negatip!
Jika pembaw
a muatannya positip, m
aka arah kecepatan-x harus dibalik, dan arah m
edan Hall
akan berlawanan dengan arah yang dim
iliki ketika pem
bawa m
uatannya negatip!
Koefisien H
all dan magnetoresistansi dapat
ditentukan dari Drude:
ketika terdapat medan E
dan H, gaya yang
bekerja pada setiap elektron adalah: f = - e(E
+ v x H/c)
!m
omentum
per elektron menjadi:
!P
ada keadaaan tunak, arus tidak bergantung pada w
aktu, sehingga px dan p
y mem
enuhi:
dengan adalah frekuensi cyclotron
ddt" p#
$e% "E
&" pmc '
"H($
" p)
0#$eE
x $*c p
y $px
)
0#$eE
y $*c p
x $py
)
*c #eHmc
!dikalikan -ne!/m
dan karena j = -nev, diperoleh
dengan "0 adalah konduktivitas D
C pada m
odel D
rude ketika medan m
agnet tidak ada = ne2!/m
!M
edan Hall E
y ditentukan dengan mem
ilih nilai jy nol:
!M
aka koefisien Hall adalah:
yang hanya bergantung pada kerapatan pembaw
a
+0 E
x #*c )jy &jx
+0 E
y #$*c )jx &
jy
Ey #
$% *c )+
0 ( jx #
$%Hnec ( j
x
RH #
$1nec
Konduktivitas Listrik A
C P
ada Logam
!D
itinjau medan listrik gayut w
aktu dengan bentuk E
(t) = Re(E
(#)e
-i#t)!
Persam
aan gerak untuk mom
entum per elektron
menjadi
!D
icari solusi keadaan tunak dengan bentukp(t) = R
e (p(#)e
-i#t)!
Substitusikan p dan E
ke persamaan gerak
diperoleh:
ddt" p#
$" p)$e"E
!Karena j = - nep/m
, besarnya rapat arus adalahj(t) = R
e (j(#)e
-i#t)
maka
!D
apat dituliskan sebagai j(#) = "(#
)E(#)
dengan
yang tereduksi ke hasil Drude D
C saat #
= 0
$i*
"p%*(#
$" p%*
()
$e"E%*
(
"j%*(#
$ne
" p%*(
m#%ne
2,m( "E
%*(
%1,)($i*
+%*
(#+
0
1$i*
) , +
0 #ne
2)m
Konduktivitas Term
al Logam!
Hukum
Wiedem
ann-Franz menyatakan bahw
a rasio konduktivitas term
al terhadap konduktivitas listrik ($/") untuk sejum
lah besar logam akan
berbanding lurus dengan suhu, dengan nilai tetapan kesebandingan yang ham
pir sama untuk sem
ua logam
!M
odel Drude m
engasumsikan bahw
a arus termal
pada logam dibaw
a oleh elektron konduksi!
Asum
si ini didasarkan pada pengamatan em
piris bahw
a logam m
enghantarkan panas lebih baik dibanding insulator
!D
itinjau batang logam yang m
emiliki variasi suhu
!Jika tidak ada sum
ber atau pembuangan panas
pada ujung-ujung batang untuk mem
pertahankan gradien suhu, energi term
al akan mengalir
berlawanan terhadap gradien suhu
!D
idefinisikan rapat arus termal j q sebagai vektor
yang sejajar arah aliran panas. Untuk gradien
suhu yang kecil dipenuhi j q = – $ ∇
T (Hukum
Fourier)$ dikenal sebagai konduktivitas term
al dan bernilai positip
!U
ntuk kasus 1-D, dim
ana aliran hanya pada arah-x:j q = – $ dT/dx
!D
i titik x, separo elektron muncul dari salah satu
sisi x yang bersuhu tinggi, dan separonya dari sisi bersuhu rendah
!Jika %(T) adalah energi term
al per elektron dalam
logam pada suhu T, m
aka elektron yang tum
bukan terakhirnya di x' akan mem
iliki energi term
al %(T[x'])
!E
lektron yang tiba di x dari sisi bersuhu tinggi akan m
engalami tum
bukan terakhir di x – v!, sehingga m
embaw
a energi termal per elektron
"(T[x – v!])!
Maka rapat arus term
alnya (n/2)v"(T[x – v!])!
Elektron yang tiba di x dari sisi bersuhu
rendah akan mem
bawa energi term
al sebesar (n/2)(-v)"(T[x + v!])
sehingga j q = (1/2)nv["(T[x – v!] – T[x + v!])
!Jika variasi suhu sepanjang lintasan bebas rerata (l = v!) sangat kecil (perubahan pada l adalah l/L dikalikan perubahan pada L), dapat diperluas untuk sekitar titik x hingga diperoleh:
!U
ntuk 3-D, v diganti v
x dari kecepatan elektron v dan direrata pada seluruh arah
!K
arena <vx 2> = <v
y 2> = <vz 2> = 1/3 v
2 dankarena n d"/dT = (N
/V) d"/dT = (d"/dT )/V
= cv
(kalor jenis elektron), diperoleh
j q"nv
2#d$dT % &
dTdx '
j q = 13( v
2 ! cv ( – ∇
T ) maka # = 1
3( v2 ! c
v = 1/3 lvcv
dengan v2 kelajuan elektron kuadrat rerata
!M
aka,
!D
ari gas ideal klasik, cv = 3/2 nk
B dan ! m
v2 = 3/2k
B T dengan k
B adalah tetapan Boltzm
ann
sehingga
)*"
1+3cv mv
2
ne2
)*"
32 % kBe ' 2T
!D
iperoleh
yang bernilai separo dari nilai yang dinyatakan pada Tabel 1.6
)*T"
32 % kBe ' 2"
1.11,10
&8 w
att-ohm/K
2
Fisika Zat Padat
Teori Logam :
Model D
rude-Som
merfeld
Arnold S
omm
erfeld(1868 – 1951)
Germ
an Physicist
!P
ada model D
rude, diasumsikan bahw
a distribusi kecepatan elektron m
engikuti distribusi Maxw
ell-B
oltzmann
!M
aka jumlah elektron per satuan volum
e n = N
/V dengan kecepatan pada interval dv di
sekitar nilai v adalah f(v)dv dimana
!Tetapan pada persam
aan di atas dipilih sedem
ikian sehingga syarat normalisasi dipenuhi:
fB "v#$
n"m
2%kB T # 3&2e
'mv
2&2kB T
n$(f"v#dv
!25 tahun setelah D
rude mengajukan m
odelnya, diketahui bahw
a distribusi Maxw
ell-Boltzm
ann untuk elektron harus diganti dengan distribusi Ferm
i-Dirac:
!S
omm
erfeld menerapkan distribusi Ferm
i-Dirac
pada gas elektron bebas dalam logam
(sehingga m
emodifikasi m
odel Drude untuk
teori logam), m
odel ini kemudian dikenal
sebagai model D
rude-Som
merfeld
f"v#$"m
&)# 3
4%3
1exp*"1&2
mv
2'kB T
0 #&kB T
+,1
James C
. M
axwell
(1831 – 1879)
Ludwig E
. B
oltzmann
(1844 – 1906)
Enrico Ferm
i(1901 – 1954)
Paul A
.M. D
irac(1902 – 1984)
vs.+
+
whatever..
Sorry, D
rude...
Drude M
odel(1900)
Drude-S
omm
erfeld Model
(1927)
Sifat G
round State G
as Elektron
!D
itinjau N elektron yang terjebak dalam
volume V
!D
alam m
odel Drude, elektron tidak saling
berinteraksi, sehingga ground state dari sistem
dapat ditentukan dengan mencari level energi
untuk elektron tunggal dalam volum
e V, dan m
engisi level-level ini dengan prinsip larangan P
auli (satu level hanya ditempati satu elektron)
!E
lektron tunggal dapat digambarkan dengan
fungsi gelombang !
(r) yang berkaitan dengan level energi "
!Jika elektron tidak berinteraksi, m
aka fungsi gelom
bang dan energinya akan mem
atuhi persam
aan Schrödinger:
maka
dalam koordinat K
artesan:
')
2
2m "
-2
-x
2 ,-
2
-y
2 ,-
2
-z
2# ."r#$
/."r#
')
2
2m0
2."r#$
/."r#
12m
1p2.
"r#$/.
"r# dengan 1p$)i0
Wolfgang E
. Pauli
(1900 – 1958)A
ustrian Physicist
Erw
in Schrödinger
(1887 – 1961)A
ustrian Physicist
!D
itinjau sebuah elektron yang terjebak dalam
suatu kubus dengan panjang rusuk L = V1/3
(logam cukup besar sehingga sifat-sifat elektron
tidak dipengaruhi oleh geometri ruangnya)
!S
elanjutnya, diperlukan syarat batas untuk persam
aan Schrödinger yang m
enggambarkan
terjebaknya elektron di dalam kubus
!P
ada ruang 1-D, tidak dipilih elektron yang
terjebak pada garis dari 0 hingga L, melainkan
ditinjau elektron yang terjebak dalam suatu
lingkaran dengan keliling L sehingga syarat batasnya adalah !
(x + L) = !(x)
!G
eneralisasi untuk kubus 3-D adalah
!(x+L, y, z) = !
(x, y, z) !
(x, y+L, z) = !(x, y, z)
!(x, y, z+L) = !
(x, y, z)persam
aan ini dikenal sebagai syarat batas B
orn-von Karm
an (periodik)!
Untuk m
enyelesaikan persamaan S
chrödinger dan untuk sem
entara mengabaikan syarat
batasnya, dipilih solusi dalam bentuk
dengan energi "k #$ r%&
1' Vei $k($ r
)# $k%&*
2k2
2m
Max B
orn(1882 – 1970)
Germ
an Physicist
Theodore von Karm
an(1881 – 1963)
Hungarian-A
merican
Aerospace E
ngineer
!Tetapan norm
alisasi dipilih sedemikian sehingga
peluang menem
ukan elektron di dalam volum
e V
adalah satu
!Level !
k (r) merupakan eigenstate dari operator
mom
entum p dengan eigenvalue p = ℏk karena
maka, elektron yang berada pada level !
k (r) m
emiliki m
omentum
p = ℏk dan kecepatan v = p/m
yaitu v = ℏk/m dan energi
1&+,"
#r%, 2dr
*i--re$k($ r&
*ke$k($ r
)# $k%&*
2k2
2m
&p
2
2m&
12mv
2
!k dapat ditinjau sebagai vektor gelom
bang!
Gelom
bang bidang bernilai konstan pada sembarang
bidang yang tegak lurus terhadap k (karena k ! r = konstan) dan periodik sepanjang garis yang sejajar terhadap k dengan panjang gelom
bang ! = 2"/k (panjang gelombang de
Broglie)
!D
ari syarat batas Born-von K
arman:
!K
arena eiz = 1 hanya jika z = n2", dengan n adalah bilangan
bulat, komponen vektor gelom
bang k harus berbentuk:
nx , n
y , nz adalah bilangan bulat
ei $k($ r
eik
x L&eik
y L&eik
z L&1
kx &
2.nx
L , k
y &2.ny
L , k
z &2.nz
L
!M
aka, dalam ruang 3-D
dengan sumbu
Kartesan k
x , ky dan k
z (ruang-k) vektor gelom
bang yang diijinkan adalah vektor gelom
bang yang koordinat sepanjang tiga sum
bu tersebut dinyatakan oleh perkalian bulat dari 2"/L
!Jum
lah titik k yang diijinkan adalah: volume
ruang-k yang terkandung dalam ruang 3-D
dibagi dengan volum
e ruang-k setiap titik (untuk titik-titik dengan nilai k yang diijinkan) yang berukuran (2
"/L) 3
!M
aka, suatu daerah ruang-k dengan volume #
akan berisi
nilai k yang diijinkan!
Sehingga, jum
lah nilai-k yang diijinkan per satuan volum
e ruang-k (rapat level ruang-k) adalah
/#2.
0L% 3 &/V
8.3
V8.3
!K
arena elektron tidak berinteraksi, ground state dari N
-elektron dapat dibentuk dengan menyusun
elektron-elektron ke dalam level-level m
ilik elektron tunggal yang diijinkan
!D
ari prinsip larangan Pauli, setiap vektor gelom
bang k yang diijinkan m
emiliki dua level elektron, satu
untuk setiap arah spin elektron (up dan down)
!G
round state N-elektron dibentuk dengan
menem
patkan dua elektron pada level elektron tunggal dengan nilai k = 0 yang m
emiliki energi
terendah " = 0, kemudian secara berturutan m
engisi level elektron tunggal untuk energi terendah berikutnya yang belum
terisi
!K
arena ! ~ k2, ketika N
cukup besar, daerah yang ditem
pati akan berbentuk bola!
Jejari bolanya disebut kF (F untuk Ferm
i, sehingga vektor gelom
bang Fermi) dan
volumenya !
adalah 4"kF 3/3
!Jum
lah nilai k yang diijinkan dalam bola ini
adalah:"V
8#3 $% 4#
kF 3
3 &%V8#
3& $kF 3
6#2 V
!K
arena setiap nilai-k yang diijinkan berisi dua level elektron-tunggal (satu untuk setiap nilai spin), untuk m
enempatkan N
elektron harus dim
iliki
!Jadi jika dim
iliki N elektron dalam
volume V
(rapat elektron n = N
/V), ground state dari sistem
N
-elektron dibentuk dengan menem
pati seluruh level elektron tunggal dengan nilai k < k
F dan m
enyisakan k > kF kosong, dengan k
F dinyatakan oleh
N$
2kF 3
6#2 V
$kF 3
3#2 V
n$kF 3
3#2
!B
ola berjejari kF berisi level-level elektron tunggal
yang telah ditempati disebut bola Ferm
i!
Perm
ukaan bola yang mem
isahkan level yang telah ditem
pati dan yang belum ditem
pati disebut perm
ukaan Fermi
!M
omentum
dari level elektron tunggal yang telah ditem
pati pF = ℏk
F yang mem
ilki energi tertinggi disebut m
omentum
Fermi, dan energinya !F =
ℏ2k
F 2 /2m m
erupakan energi Fermi dan
kecepatannya vF = p
F /m adalah kecepatan Ferm
i
!K
ecepatan Fermi dalam
logam sebanding dengan
kecepatan termal v = (3k
B T/m) 1/2 pada gas klasik
!K
arena
maka
!D
engan menggunakan Tabel 1.1, diperoleh !F ,
TF , k
F dan vF seperti ditunjukkan pada Tabel 2.1
VN$
1n$
43#rs 3 ; r
s $%3
4#n & 1'3
rs $% 9
#4 & 1'31kF sehingga k
F $%9#
'4& 1'3
rs
!U
ntuk menghitung energi ground-state dari N
elektron dalam
suatu volume V, energi dari seluruh level elektron tunggal
dalam bola Ferm
i dijumlahkan:
perhatikan bahwa jum
lahan dilakukan dalam ruang 3D
! (pada koordinat K
artesan, k mem
iliki komponen k
x , ky dan k
z )
!U
ntuk menjum
lah sembarang fungsi F(k) pada seluruh nilai k
yang diijinkan, dapat dilakukan langkah berikut:
karena volume ruang-k per nilai k yang diijinkan adalah
#k = 8"3/V, m
aka
E$
2(k)kF
*2
2mk
2
(+k F
% +k&$V8#
3 (+k F
% +k&,
+k
Untuk batas #k !
0 (yaitu V !
") bentuk jum
lahan $F(k)#k akan m
endekati bentuk integral # dk F(k), sehingga
!M
aka rapat energi gas elektron adalah:
limV-.
1V(
+k F% +k
&$/d+k
8#3 F
% +k&
EV$
218#
3 /V%k)
kF & d
+k*
2k2
2m$
14#3 /
k$0
kF
%k2dk
4#& *
2k2
2m
EV$
1#2
*2k
F 5
10m
!U
ntuk menentukan besar energi per elektron E
/N
pada ground state, hasil tersebut dibagi dengan N
/V = k
F 3/3"2 yang m
emberikan
dengan TF (suhu Ferm
i) ditunjukkan pada Tabel 2.1
!N
ilai energi per elektron pada gas klasik adalah 3/2 k
B T yang akan lenyap pada T = 0
EN$
310*
2kF 2
m$
350F $
35kB T
F
Sifat Term
al Gas E
lektron Bebas
!S
elanjutnya akan diterapkan statistik Fermi-D
irac dalam
perhitungan kontribusi elektron pada kalor jenis logam
untuk volume tetap
!P
ada metode independent electron approxim
ation, energi internal U
adalah jumlahan seluruh level
elektron tunggal %(k) dikalikan jumlah rerata
elektron di level tersebut
cv $% 1
u1T &V ; u$
UV
U$
2(+k 0% +k
&f%0% +k&&
dimana dikenalkan fungsi Ferm
i f(!) yang m
enggambarkan peluang terdapatnya elektron
pada level tertentu dari elektron tunggal, atau um
umnya dikenal sebagai fungsi distribusi:
dan banyaknya elektron total N adalah jum
lahan untuk seluruh level:
f!"#$1
e!"%
&#'k
B T(1
N$)
i f!"i #$)
i
1e!"i %
&#'k
B T(1
*Jika kedua sisi pada persam
aan untuk U dibagi
dengan volume V
dan dengan menerapkan m
etode yang telah digunakan untuk m
enghitung energi ground-state, m
aka rapat energi u = U/V
adalah
*Jika kedua sisi pada persam
aan untuk N dibagi
dengan V, diperoleh rapat elektron n = N/V
untuk m
enghilangkan potensial kimia !
u$+d,k
4-3 "! ,k
#f!"! ,k##
n$+d,k
4-
3f!"! ,k
##
*P
ada persamaan untuk u dan n, integrand hanya
bergantung pada k melalui energi elektron ! =
ℏ2k
2/2m*
Dengan m
eng-evaluasi integral pada koordinat bola dan m
engubah variable dari k ke !:
dimana
dikenal sebagai rapat level per satuan volume
atau rapat level (pada prakteknya, lebih umum
dikenal sebagai density of states, D
OS
)
+d,k
4-
3f!"! ,k
##$+0 .k
2dk-
2f!"! ,k##$+
0 .g!"#f!"#d
"
g!"#$
m/2-
202m
"/
2
*K
arena
maka g(!) dapat ditulis sebagai
*M
aka rapat level pada energi Fermi adalah
n$kF 3
3-2 sehingga "
F $/
2kF 2
2m$
/2
2m!3n
-2# 2'3
g!"#$
m/2-
202m
"/
2$!3n-
2# 2'3
2-2"
F ! !3n-
2# 2'3""F # 1'2
g!"#$
32n"F !
""F # 1'2
g!"F #$
32n"F
*D
engan menggunakan rapat level, persam
aan untuk u dan n dapat dituliskan sebagai
*S
ecara umum
, kedua persamaan m
emiliki
bentuk yang kompleks. N
amun, terdapat
metode ekspansi sederhana yang
mem
anfaatkan fakta bahwa T jauh lebih kecil
dari TF untuk seluruh suhu logam
yang diukur
u$+0 ."g!"#f!"#d
" dan n$+0 .g!"#f!"#d
"
*D
ari Gbr. 2.3, dapat dilihat bahw
a f(!) berbeda dengan bentuk pada suhu nol hanya di daerah sem
pit di sekitar µ dengan lebar beberapa kB T
*P
erbedaan integral berbentuk
dengan bentuk nilai nolnya:
ditentukan oleh bentuk H(!) di dekat ! = µ
*Jika H
(!) tidak bervariasi tajam di sekitar µ, H
(!) dapat diganti dengan beberapa suku dari deret Taylor fungsi tersebut di sekitar ! = µ
+%.
.H!"#f!"#d
"
+%.
"F
H!"#f!"#d
"
*M
aka, integral dengan bentuk
dapat diekspansikan dengan deret Som
merfeld
menjadi (lihat A
ppendix C dalam
buku Ashcroft)
*S
elanjutnya dievaluasi persamaan untuk u dan n
yang dapat dituliskan dalam bentuk
+%.
.H!"#f!"#d
"
+%.
.H!"#f
!"#d"$+
%.
&H!"#d
"(-
2
6!k
B T# 2H
'!&#(O!T
4#
u$+0 &"g
!"#d"(
-2
6!k
B T# 21&
g'!&
#(g!&
#2(O!T
4#
n$+0 &g
!"#d"(
-2
6!k
B T# 2g'!&
#(O!T
4#
*P
ersamaan untuk n m
enunjukkan bahwa µ
berbeda dari nilainya pada T = 0, yaitu !F , oleh suku pada orde T
2. Maka dapat dituliskan
*Jadi, persam
aan untuk u dan n dapat dituliskan ulang lagi ke dalam
bentuk
+0 &H
!"#d"$+
0 "FH
!"#d"(
!&%"F #H
!"F #
u$+0 "F"g
!"#d"(
"F 3!&
%"F #g
!"F #(
-2
6!k
B T# 2g'!"
F #4
(-
2
6!k
B T# 2g
!"F #(
O!T
4#
n$+0 "Fg
!"#d"(
3!&%"F #g
!"F #(
-2
6!k
B T# 2g'!"
F #4
!S
uku pertama pada sisi kanan kedua
persamaan tidak lain m
erupakan nilai untuk u dan n pada ground state
!K
arena n tidak bergantung pada suhu, dari persam
aan untuk n diperoleh
yang menentukan deviasi µ dari !F :
0"#$%
&F 'g
#&F '(
)2
6#k
B T' 2g'#&
F '
$"&F %
)2
6#k
B T' 2 g
'#&F '
g#&F '
!K
arena
maka
!D
ari ketakbergantungan n pada suhu, suku di dalam
kurung kurawal pada persam
aan untuk u bernilai nol, sehingga:
dimana u
0 adalah rapat energi pada ground state
g#&'"
32n&F #
&&F ' 1*2
$"&F+ 1%
13 # )kB T
2&F ' 2,
u"u
0 ()
2
6#k
B T' 2g
#&F '
!M
aka, diperoleh kalor jenis gas elektron sebesar
!B
andingkan nilai ini dengan nilai untuk gas ideal klasik c
v = 3/2 n kB , m
aka efek dari statistik Fermi-
Dirac adalah m
engurangi nilai kalor jenis sebesar ("
2/3)(kB T/!F ) yang sebanding dengan suhu
cv "# -
u-T 'n "
)2
3kB 2Tg#&F '"
)2
2 # kB T&F ' nk
B
Konduktivitas Term
al
!S
elanjutnya, dengan menggunakan kalor jenis gas
elektron, konduktivitas termal dapat ditentukan:
!K
arena dan
maka
sesuai dengan data di Tabel 1.6
."/mne
2
0/T")
2
3 # kBe ' 2"
2.44110
%8 w
att-ohm/K
2
vF 2"
2&F
m
0"13v
2.cv
!P
enggunaan statistik Fermi-D
irac hanya m
empengaruhi prediksi dari m
odel Drude yang
mem
butuhkan nilai distribusi kecepatan elektron
!Jika laju 1/# saat elektron m
engalami tum
bukan tidak bergantung pada energi elektron, m
aka hanya prediksi lintasan bebas rerata elektron dan konduktivitas term
al yang terpengaruh oleh perubahan fungsi distribusi
Fisika Zat Padat
Potential P
eriodik (Teorema B
loch)
Felix Bloch
(1905 – 1983)S
wiss P
hysicist
!K
arena ion-ion pada kristal ideal tersusun secara periodik, m
aka selanjutnya ditinjau kasus elektron yang berada dalam
potensial U(r) yang m
emiliki
periodisitas kekisi Bravais
U(r + R
) = U(r)
untuk seluruh vektor kekisi Bravais R
!K
arena skala keperiodikan potensial U (~10
-8 cm)
berada pada orde panjang gelombang de B
roglie m
ilik elektron dalam m
odel elektron bebas, perlu digunakan m
ekanika kuantum untuk m
eninjau efek keperiodikan ini pada gerak elektron
!B
entuk umum
persamaan S
chrodinger untuk elektron tunggal adalah:
dengan potensial U m
emiliki periodisitas U
(r+R) =
U(r)
!P
ersamaan S
chrodinger untuk elektron bebas dalam
model S
omm
erfeld merupakan kasus khusus
dari persamaan di atas
!E
lektron-elektron yang mem
atuhi persamaan
Schrodinger untuk elektron tunggal dengan
potensial periodik dikenal sebagai elektron Bloch
(untuk mem
bedakan dengan “elektron bebas”)
"H#$% &
'2
2m(
2)U%r** #
%r*$+#
%r*
Teorema B
loch
!E
igenstate ! dari H
amiltonan elektron tunggal
dengan potensial periodik dapat dipilih berbentuk gelom
bang bidang dikalikan suatu fungsi yang m
engandung periodisitas kekisi Bravais:
dengan unk (r + R
) = unk (r) untuk seluruh R
pada kekisi B
ravais!
Kedua persam
aan mem
bentuk
#nk %, r*$
ei ,k-, ru
nk %, r*
#nk %, r)
,R*$ei ,k- ,R#
nk %, r*
!Indeks n dikenal sebagai indeks pita dan m
uncul karena untuk satu nilai k akan terdapat banyak eigenstate
!D
engan kata lain, eigenstate dari H dapat
dipilih sedemikian sehingga untuk setiap !
terdapat vektor gelom
bang k yang mem
enuhi
untuk setiap R pada kekisi B
ravais
#%, r)
,R*$ei ,k- ,R#
%, r*
Bukti P
ersamaan B
loch
!U
ntuk setiap vektor kekisi Bravais R
didefinisikan operator translasi T
R yang ketika dioperasikan pada sem
barang fungsi f(r) akan menggeser
masukannya sebesar R
:T
R f(r) = f(r + R)
!K
arena Ham
iltonan bersifat periodik, diperoleh:T
R H!
= H(r + R
)!(r + R
) = H(r)!
(r + R) = H
TR !
maka T
R H = H
TR
!H
asil dari menerapkan dua translasi secara
berturutan tidak bergantung pada urutan penerapan, karena untuk sem
ua !(r)
TR T
R' !(r) = T
R' TR !
(r) = !(r + R
+ R')
sehingga TR T
R' = TR' T
R = TR+R'
!E
igenstate dari H dapat dipilih sebagai
eigenstate simultan untuk sem
ua TR
H!
= !!
TR !
= c(R)!
!K
arena
TR' T
R ! = c(R
)TR' !
= c(R)c(R
')!
dan
TR' T
R ! = c(R
)TR+R' !
= c(R+R
')!
maka c(R
+ R') = c(R
)c(R')
!M
isal ai adalah tiga vektor prim
itif untuk kekisi B
ravais, c(ai ) dapat dituliskan dalam
bentuk
dengan pemilihan x
i yang sesuai
!Jika R
adalah vektor kekisi Bravais um
um yang
dinyatakan sebagai
maka
c"ai #$e
2%ix
i
&R$n
1 & a1 'n
2 & a2 'n
3 & a3
c"R#$c"a
1 # n1c"a
2 # n2c"a
3 # n3
!P
ersamaan tersebut ekivalen dengan
dimana
dan bi adalah vektor kekisi balik yang
mem
enuhi!
Maka:
yang merupakan teorem
a Bloch
c" &R#$ei &k( &R
&k$k
1 &b1 'k
2 &b2 'k
3 &b3
&bi (& aj $
2%)ij
TR *
$*"& r'
&R#$c" &R
#*$ei &k( &R*
"& r#
Syarat B
atas Born-von K
arman
!D
alam m
odel Som
merfeld, nilai k yang diijinkan
dihitung dengan menggunakan syarat batas B
orn-von K
arman yang diterapkan pada sistem
di mana
sebuah elektron terjebak di dalam sebuah kubus
berukuran L!
Nam
un, jika kekisi Bravais bukan kubus dan L bukan
perkalian bulat konstanta kekisi a, tidak akan sesuai jika perhitungan dilakukan pada sistem
volume
kubus bersisi L!
Lebih sesuai jika perhitungan dilakukan untuk volum
e yang bersesuaian dengan sel primitif dari
kekisi Bravais yang sedang ditinjau
!S
yarat batas periodik digeneralisasikan ke
!(r + N
i ai ) = !
(r), i = 1, 2, 3
dengan ai adalah tiga vektor prim
itif dan Ni
adalah bilangan bulat berorde N1/3 di m
ana N =
N1 N
2 N3 m
erupakan cacah total sel primitif
dalam kristal
!S
aat mengadopsi syarat batas ini, digunakan
asumsi bahw
a sifat bahan tidak bergantung pada pem
ilihan syarat batas
!D
engan menerapkan teorem
a Bloch pada syarat
batas diperoleh
yang mensyaratkan
!Jika m
aka
sehingga harus dimiliki x
i = mi /N
i , mi bilangan bulat
!M
aka bentuk umum
vektor gelombang B
loch yang diijinkan
mi bilangan bulat
*nk "r'
Ni ai #$eiN
i &k(& ai*
nk "r#, i$1,2,3
eiN
i &k(& ai$
1, i$1,2,3
&k$k
1 &b1 'k
2 &b2 'k
3 &b3e
2%iN
i xi$
1
&k$+i$
1
3mi
Ni &b
i
Contoh:
!U
ntuk kekisi Bravais sim
ple cubic (sc), vektor prim
itifnya adalah
maka kekisi baliknya adalah
!K
arena N1 = N
2 = N3 = L / a, m
aka
& a1 $a,x, & a
2 $a,y, & a
3 $a,z
&b1 $
2%a,x, &b
2 $2%a
,y, &b
3 $2%a
,z
&k$+i$
1
3mi
Ni &b
i $m
1 2%L
,x'm
2 2%L
,y'm
3 2%L
, z
!D
ari persamaan um
um untuk nilai k, B
loch yang diijinkan, volum
e !k dari ruang-k per nilai k yang diijinkan adalah volum
e bangun miring dengan
rusuk bi /N
i :
!K
arena adalah volume sel prim
itif kekisi balik, persam
aan di atas menyatakan
bahwa banyaknya k yang diijinkan dalam
sel prim
itif kekisi balik sama dengan banyaknya titik
kekisi dalam kristal
!Volum
e sel primitif kekisi balik adalah (2
") 3/v dengan v = V
/N adalah volum
e sel primitif kekisi
langsung, maka !k = (2") 3/V
-k$
b1
N1 ("b2
N2 .b3
N3 # $
1Nb1 ("b
2 .b3 #
b1 ("b
2 .b3 #
General R
emarks
!M
eskipun vektor gelombang untuk elektron bebas
adalah p/ℏ dengan p adalah mom
entum elektron,
maka dalam
kasus Bloch k tidak sebanding
dengan mom
entum elektron
ℏk akan dikenal sebagai mom
entum kristal dari
elektron (namun sebenarnya bukan m
enyatakan m
omentum
)!
Vektor gelombang k selalu dibatasi pada zona
Brillouin pertam
a, karena jika k' tidak berada pada zona B
rillouin pertama, selalu dapat dituliskan
dalam bentuk
k' = k + K
!U
ntuk satu nilai k, terdapat banyak solusi persam
aan Schrodinger, sehingga indeks n
muncul dalam
teorema B
loch!
Untuk satu nilai n, eigenstate dan eigenvalue
merupakan fungsi periodik dari k dalam
kekisi balik
untuk setiap n, kumpulan level-level elektron
yang ditentukan oleh !n (k) disebut pita energi
!S
uatu eletron dalam suatu level yang ditentukan
oleh indeks pita n dan vektor gelombang k
mem
iliki kecepatan rerata yang tidak nol, yang dinyatakan oleh
yang berarti elektron bergerak selamanya tanpa
pengurangan kecepatan rerata, meskipun
berinteraksi dengan ion positip
Perm
ukaan Fermi
!D
alam m
odel Som
merfeld, ground state N
elektron bebas dibentuk dengan cara m
engisi seluruh level k dari elektron tunggal yang m
emiliki
energi !(k) kurang dari !F!
Ground state N
elektron Bloch diperoleh dengan
cara yang sama, kecuali bahw
a level elektron tunggal diberi label bilangan kuantum
n dan k!
!n (k) tidak mem
iliki bentuk sederhana seperti pada elektron bebas dan k harus dibatasi pada sel prim
itif tunggal dari kekisi balik
Ketika bagian terendah dari level-level ini diisi oleh
sejumlah elektron:
!S
ejumlah pita akan terisi penuh, sem
entara lainnya akan kosong. S
elisih energi antara bagian teratas level terisi dan bagian terbaw
ah level kosong disebut sebagai band gap (celah energi)!
Jika lebar band gap lebih dari kB T (T berada pada
suhu kamar), diperoleh insulator
!Jika lebar band gap sebanding dengan k
B T, diperoleh sem
iconductor intrinsik
!S
ejumlah pita dapat terisi sebagian, m
aka energi dari level terisi paling tinggi, energi Ferm
i !F , terletak pada interval satu pita atau lebih
!U
ntuk setiap pita yang terisi sebagian, terdapat perm
ukaan Fermi yang m
emisahkan level terisi
dengan level kosong yang disebut cabang perm
ukaan Fermi (branch of Ferm
i surface)!
Cabang perm
ukaan Fermi pada pita ke-n adalah
permukaan pada ruang-k yang ditentukan oleh
!n (k) = !F
Fisika Zat Padat
Pita E
nergi
!D
itinjau atom Lithium
sebagai contoh!
Untuk atom
Li bebas, persamaan S
chrodinger untuk sistem
elektron yang berada pada sumur
potensial menghasilkan level-level energi diskret
1s, 2s, 2p, 3s, ... dst!
Atom
Li mengandung 3 elektron, sehingga 2
elektron menem
pati level 1s (terisi penuh) dan sisanya di level 2s
!M
isal 2 atom Li m
embentuk m
olekul Li2 , potensial yang 'dilihat' elektron berbentuk sum
ur ganda
!S
pektrum energi pada m
olekul Li2 akan terdiri atas kum
pulan doublet diskret: level tiap atom Li akan
pecah (split) menjadi 2 level berdekatan
!Tiap doublet juga dilabeli 1s, 2s, 2p, ..dst yang tersusun atas 2 sub-level
!Tiap level dapat m
enampung 2 elektron dengan
spin berlawanan, sehingga doublet 1s terisi 4
elektron dan doublet 2s terisi 2 elektron!
Pem
ecahan level bergantung pada orbital atomnya,
level 2p pecah lebih lebar dibanding 2s yang lebih lebar juga dari 1s
!M
aka semakin besar energi, lebar pem
ecahan sem
akin besar
!U
ntuk molekul poliatom
, jika terdapat 3 atom,
maka level energi pecah m
enjadi triplet, jika 4 atom
pecah menjadi quadruplet, ...dst,
sehingga untuk N atom
, level energi pecah ke dalam
N sub-level
!U
ntuk logam Li, karena N
~ 1023 atom
, maka
antar sub-level sangat berdekatan sehingga tidak bisa dibedakan dan dapat dianggap distribusinya kontinyu m
embentuk pita energi
!M
aka level 1s, 2s, 2p, ...dst mem
bentuk pita 1s, 2s, 2p, ...dst
!Fungsi gelom
bang elektron pada atom tunggal
akan terlokalisasi pada atom itu sendiri dan
berkurang secara eksponensial ketika m
enjauhi atom!
Sem
entara fungsi gelombang elektron pada
kristal akan mem
bentang di seluruh bahan sehingga disebut orbital terdelokalisasi
!D
ari fungsi Bloch: dan
maka dari persam
aan Schrodinger diperoleh:
untuk setiap nilai k, persamaan tersebut m
emiliki
solusi lebih dari satu, yang merupakan kum
pulan energi diskrit: E
1,k , E2,k , E
3,k , ! yang m
enyatakan pita energi, sehingga dapat ditulis sebagai E
n (k) dengan n adalah indeks pita
!B
anyaknya pita dapat mencapai tak hingga, nam
un hanya pita terendah yang ditem
pati elektron!
Antar pita terdapat celah energi yang tidak dapat
ditempati oleh elektron yang biasa disebut energy gap
"k #$ r%&
ei $k'$ ru
k #$ r%(p&
)i*
+ ,)
2
2m#*
-i $k% 2-
U#$ r%. u
k #$ r%&Ek u
k #$ r%
Sim
etri Pita D
alam R
uang-k
Setiap pita energi E
n (k) mem
enuhi sifat simetri:
!E
n (k + K) = E
n (k)
yang menyatakan bahw
a En (k) bersifat periodik
dengan periode sesuai vektor translasi kekisi balik
!E
n (-k) = En (k)
yang menyatakan bahw
a energi pita mem
iliki sim
etri cermin
Banyaknya Level P
ada Suatu P
ita
!Jum
lah level pada suatu pita akan sama
dengan banyaknya sel satuan pada kristal!
Dapat ditunjukkan pada kasus 1-D
di mana
fungsi Bloch berbentuk:
!Jika digunakan syarat batas periodik pada fungsi tersebut, dan sifat periodisitas potensial u
k (x + L) = uk (x), m
aka nilai k yang diijinkan adalah:
"k #x$%
eikxu
k #x$
k%nx 2&L
dengan n%0,'
1,'2,'
3,... dst
!M
aka banyaknya level dalam zona B
rillouin pertam
a yang lebarnya 2!/a adalah:
dengan N m
enyatakan banyaknya atom dalam
kekisi
!K
arena setiap level dapat menam
pung 2 elektron dengan spin berlaw
anan, maka m
aksimum
banyaknya elektron yang dapat ditam
pung suatu pita tunggal adalah 2N
# 2&(a$ (# 2&
(L$ %La%N
Model E
lektron Ham
pir Bebas
!U
ntuk mendapatkan gam
baran rinci dari sistem
elektron yang bergerak dalam kristal, persam
aan S
chrodinger harus diselesaikan dalam potensial
periodik U(r) yang ditentukan
!N
amun proses perhitungan akan sangat rum
it, sehingga lebih disukai kajian di m
ana bentuk potensialnya disederhanakan
!A
kan ditinjau ketika potensialnya sangat lemah
sehingga seolah-olah elektron berperilaku seperti partikel bebas, pendekatan ini disebut sebagai m
odel elektron ham
pir bebas (nearly free electron/NFE
)
!Tahap aw
al dalam kajian m
odel NFE
adalah solusi persam
aan Schrodinger untuk kasus di m
ana potensialnya tepat nol sehingga elektron bergerak bebas
!N
amun juga disyaratkan bahw
a solusinya mem
iliki sifat sim
etris!
Model ini juga disebut sebagai m
odel kekisi kosong!
Untuk kekisi 1-D
, fungsi gelombang dan energi untuk
model ini adalah:
di mana plot energi terhadap k m
enghasilkan kurva parabola
"k #0$%
1L1(2 e
ikx dan Ek #0$%
)2k
2
2m
!G
ambar (a) m
enyatakan relasi antara E dengan k
untuk model kekisi kosong yang m
embentuk kurva
parabola, biasa disebut dengan skema zona
diperluas (extended zone scheme)
!G
ambar (b) m
enyatakan sifat simetri: E
n (k + K) =
En (k) di m
ana segmen parabola ditranslasikan
sebesar K = 2!/a, disebut sebagai skem
a zona periodik (periodic zone schem
e)!
Gam
bar (c) menyatakan spektrum
energi yang dibatasi hanya pada zona Brillouin pertam
a saja, disebut dengan skem
a zona tereduksi (reduced zone schem
e)
Bagaimana jika potensialnya ada, nam
un cukup lemah?
!Pita pertam
a dan kedua yang tadinya bersentuhan akan terpisah sehingga m
emunculkan gap energi pada batas
zona Brillouin!
Pita kedua dengan ketiga yang pada model kekisi kosong
saling mem
otong akan terpisah, begitu juga untuk pita ketiga dan keem
pat!
Secara umum
, gap energi muncul di ruang-k jika pada
model kekisi kosong pita energi saling berpotongan, baik
di pusat maupun di batas zona Brillouin pertam
a!
Pada daerah lainnya, bentuk spektrum tetap berupa
kurva parabola dan elektron tetap berperilaku seperti partikel bebas
Logam, Insulator, S
emikonduktor
!Logam
(konduktor) adalah bahan padat di m
ana ketika dikenai medan listrik akan
mem
unculkan arus listrik, sementara pada
insulator tidak akan muncul arus
!S
uatu pita yang terisi penuh tidak akan m
embaw
a arus listrik meskipun dikenai m
edan listrik
!M
aka suatu bahan bersifat logam jika terdapat
pita energi yang terisi sebagian
Contoh: atom
Na dengan 11e (1s
2 2s2 2p
6 3s1)
!P
ita 1s, 2s dan 2p terisi penuh sehingga tidak berkontribusi pada arus
!P
ita 3s merupakan pita paling atas yang
ditempati (pita valensi) dan dapat m
enampung
2N elektron (N
= banyaknya sel satuan)!
Karena setiap sel satuan m
enyumbang 1
elektron valensi, maka pita 3s terisi separo dan
Na bersifat logam
Contoh: Intan (K
arbon) dengan 6e (1s2 2s
2 2p2)
!P
ita teratas berasal dari penggabungan level 2s dan 2p (sehingga m
emiliki 2 pita, 1s dan 2s+p,
terpisah oleh 1 gap energi)!
Karena pita valensi berasal dari level s+p dan
tiap sel satuan mengandung 2 atom
, maka pita
valensi intan mam
pu menam
pung 8N elektron
!P
ada intan, setiap atom m
enyumbang 4
elektron sehingga diperoleh 8 elektron per sel satuan
!M
aka pita valensi terisi penuh dan intan bersifat insulator
!Terdapat bahan yang m
emiliki sifat di antara logam
(konduktor) dan insulator yang disebut sem
ikonduktor!
Sem
ikonduktor mem
iliki gap energi yang sempit
antara pita valensi terisi penuh dengan pita kosong di atasnya
!E
lektron dapat tereksitasi secara termal ke pita di
atasnya sehingga kedua pita menjadi terisi sebagian
dan berkontribusi pada arus listrik!
Konduktivitas sem
ikonduktor sangat kecil jika dibandingkan dengan logam
, namun lebih besar dari
insulator!
Contoh: S
i (14e) dan Ge (32e) dengan gap energi
hanya 1 eV dan 0,7 eV
Kecepatan E
lektron Bloch
!E
lektron pada level !k bergerak dalam
kristal dengan kecepatan yang tergantung pada energi level tersebut
!U
ntuk partikel bebas, di mana kecepatan
dinyatakan sebagai v = p/m dan karena p = ℏk,
maka v = ℏk/m
(kecepatan sebanding dengan vektor gelom
bang)!
Untuk elektron B
loch, kecepatan juga sebanding dengan k nam
un menggunakan kecepatan grup
paket gelombang: v = ∇
k !(k)
! adalah frekuensi paket gelom
bang yang ditentukan oleh !
= E/ℏ dan k adalah vektor
gelombang paket gelom
bang, sehingga kecepatan elektron B
loch dituliskan sebagai:
yang menyatakan kecepatan elektron pada
level k sebanding dengan gradien energi dalam
ruang-k dan tidak harus sejajar vektor gelom
bang k!
Untuk 1-D
dapat dituliskan
v"1#$k E
%k&v"1#'E'k
!K
arena di sekitar pusat zona elektron berperilaku seperti partikel bebas sehingga E
= ℏ2k
2 / 2m*
dengan m* adalah m
assa efektif, maka v = ℏk/m
*!
Gam
baran yang diperoleh: elektron Bloch
berperilaku mirip dengan elektron bebas, yang
mem
bedakan hanya massanya
!K
etika elektron berada pada level !k , m
aka elektron tersebut akan tetap berada pada level itu selam
a kekisi tetap periodik!
Maka elektron tidak m
engalami perubahan
kecepatan meskipun m
enabrak titik kekisi (kecepatan elektron tetap konstan)
Dinam
ika Massa E
fektif
!K
etika medan listrik dikanakan pada kristal,
elektron Bloch m
engalami percepatan. M
isal pada kasus 1-D
:
!K
arena kecepatan adalah fungsi dari vektor gelom
bang, maka: a"
dvdt
a"dvdkdkdt
!dk/dt m
emberikan F
ext /ℏ dan sehingga
!B
entuk ini sama dengan hukum
kedua New
ton, dengan definisi m
assa efektif m* yang
berbentuk:
a"1#
2d
2Edk
2Fext
v"1#'E'k
m*"
#2
% d2Edk
2&
Massa E
fektif?
!N
ilai mom
entum elektron B
loch ditentukan dari
p = <!k |-iℏ∇
|!k >
dengan!
Karena u
k tidak konstan, maka ℏk bukan
menunjukkan m
omentum
nya, namun disebut
sebagai mom
entum kristal p
c
!K
etika medan listrik dikenakan pada kristal, m
aka vektor gelom
bang akan bervariasi menurut:
(k %) r&"
ei )k*) ru
k %) r&
ddt %#k&"Fext
!Jika p
c adalah mom
entum elektron, m
aka gaya di ruas kanan persam
aan tidak hanya untuk gaya eksternal saja, nam
un gaya total term
asuk gaya dari kekisi (yang ternyata tidak berpengaruh pada p
c )
!Jika m
omentum
elektron Bloch adalah p = m
v, m
aka:
!R
uas kanan dapat diubah ke bentuk massa
efektif:
mdvdt "
Ftot "
Fext #
Fkekisi
mdvdt "
mFext
m*
!M
aka:
sehingga ketika gaya kekisi lenyap (saat potensial periodik tidak m
uncul), elektron Bloch
akan berlaku sebagai elektron bebas
m*"m
Fext
Fext #
Fkekisi
Fisika Zat Padat
Getaran K
ekisi
!A
tom tidak diam
, namun berosilasi di sekitar
titik setimbangnya akibat adanya energi term
al!
Getaran kekisi m
emberikan pengaruh pada
sifat termal, optik dan akustik dari kristal
!P
ada batas panjang gelombang yang panjang
dari gelombang elastik, kristal dapat dilihat
sebagai medium
kontinyu!
Nam
un nantinya juga akan ditinjau sifat diskrit dari kekisi
Gelom
bang Elastik
!K
etika panjang gelombangnya sangat panjang,
struktur atom pada bahan dapat diabaikan dan
bahan dapat ditinjau sebagai medium
kontinyu!
Maka getaran kekisi dapat dilihat sebagai
gelombang elastis
!D
itinjau perambatan gelom
bang elastik pada suatu batang logam
yang panjang!
Misal gelom
bangnya longitudinal dan pergeseran elastik di titik x adalah u(x)
!S
train e (didefinisikan sebagai perubahan panjang per satuan panjang) dinyatakan sebagai e = du/dx
!S
tress S (didefinisikan sebagai gaya per satuan
luas), menurut hukum
Hooke, sebanding
dengan strain: S
= Yedengan Y
adalah tetapan elastik atau modulus
Young
Robert H
ookeB
ritish Physicist
(1635 - 1705)
Thomas Young
British P
hysicist(1773 – 1829)
Isaac New
tonB
ritish Physicist
(1643 – 1727)
Selanjutnya, ditinjau dinam
ika pada batang:!
Dipilih sem
barang segmen dengan panjang dx
!D
ari hukum N
ewton kedua, pergerakan
segmen dinyatakan sebagai:
! adalah rapat massa, A
' adalah luas tampang-
lintang dari batang
"#A'dx$ %
2u%t 2 &
'S"x(
dx$)S"x$*A
'
!U
ntuk segmen yang sem
pit, dapat dituliskan S
(x+dx) – S(x) = !S
/!x dx!
Dari definisi stress dan strain, diperoleh persam
aan dinam
ik:
yang merupakan persam
aan gelombang 1-D
!D
icoba solusi dalam bentuk gelom
bang bidang yang m
erambat:
dengan A adalah am
plitudo, k adalah vektor gelom
bang dan " adalah frekuensi
%2u
%x
2 &#Y%
2u%t 2
u&Aei"kx)
+t$
!M
aka diperoleh " = v
s k dengan adalah kecepatan ram
bat gelombang pada
batang, dan merupakan gelom
bang suara!
Hubungan antara "
dan k dikenal sebagai dispersion relation (hubungan dispersi)
!Jenis hubungan dispersi di m
ana " berbanding
linear dengan k dipenuhi juga oleh gelombang
lainnya (gelombang optik, gelom
bang suara pada gas dan cairan)
!P
enyimpangan dari hubungan linear ini disebut
sebagai dispersi
vs &
, Y-#
!E
fek kediskritan kekisi adalah mem
unculkan dispersi pada kurva dispersi (!
ketika panjang gelom
bangnya lebih pendek dari jarak pisah antar atom
)!
Analisis yang sam
a juga dapat diterapkan pada gelom
bang tranversal (shear) yang m
emunculkan tetapan elastis shear yang
analog dengan modulus Young
!K
edua tetapan elastik (Young's dan shear) dapat digunakan untuk m
enggambarkan
perambatan gelom
bang elastik pada bahan
!K
ajian tersebut berlandaskan pada asumsi
bahwa bahan bersifat isotropik, sem
entara kristal sebenarnya bersifat anisotropik
!E
fek anisotropi pada sifat elastik bahan adalah m
emunculkan tetapan elastik yang lebih dari
dua (seperti yang dimiliki bahan isotropik)
Rapat K
eadaan (Density of S
tates) M
edium K
ontinyu!
Ditinjau gelom
bang elastik pada batang panjang dim
ana gelombang m
erambat dalam
1-D!
Solusinya adalah (bagian w
aktu diabaikan) : u(x) = A
eikx
!Jika jum
lah ion sangat banyak, dapat diterapkan syarat batas periodik pada solusi gelom
bang elastik
(! ujung kanan batang selalu m
emiliki state osilasi
yang sama dengan ujung kiri)
!S
eolah-olah batang diubah ke bentuk lingkaran sehingga ujung kiri dan kanan bergabung
!Jika panjang batang adalah L = N
a (N adalah
banyaknya ion, a adalah jarak antar atom), m
aka u(x = 0) = u(x = L)
!S
ehingga eikL = 1 yang dipenuhi ketika k = n 2!/L
dengan n = 0, ±1, ±2, ±3, "
!Jarak antar dua nilai k yang bersebelahan adalah 2!/L
!K
etika L besar, jarak pisah menjadi kecil dan
titik-titik mem
bentuk garis kuasi-kontinyu!
Tiap nilai-k (tiap titik) mew
akili sebuah mode
getaran!
Misal dk adalah interval pada ruang-k,
banyaknya mode yang nilai k-nya terletak pada
interval ini adalah:
!N
amun k dan "
terkait melalui hubungan
dispersi, sehingga banyaknya mode juga dapat
ditentukan pada interval frekuensi d" yang
terletak antara " dan "
+d"
dq2"
#L$L2"dq
!R
apat keadaan (density of states) g(")
didefinisikan sedemikian sehingga g("
)d"
mem
berikan banyaknya mode
!M
aka g(")d"
= (L/2!) dk atau g("
) = (L/2!) / (d"/dk)
!K
arena daerah k negatif juga harus disertakan (m
ewakili gelom
bang yang berjalan ke kiri), g("
) dikalikan dua, sehingga:
g%&
'$L"
1d&#dk
!K
arena d"/dk = v
s , maka
yang merupakan tetapan tak gayut "
g%&
'$L"
1vs
!P
ada kasus 3-D, solusi gelom
bangnya adalah:
!S
yarat batas periodik mem
berikan batasan (untuk sam
pel kubus yang rusuknya L):
!M
aka
nx , n
y , nz bilangan bulat
u$Aei%k
x x(ky y(
kz z'$
Aei )k*) r
ei%k
x L(ky L(
kz L
'$1
kx $
2"nx
L , k
y $2"ny
L , k
z $2"nz
L
!Jika nilai-nilai ini diplot pada ruang-k, diperoleh jejaring kubus 3-D
di mana volum
e yang ditem
pati setiap titik adalah (2!/L) 3
!S
etiap titik mew
akili satu mode
!M
aka banyaknya mode di dalam
bola yang jejarinya k (sehingga volum
enya 4!k
3 /3):
dengan V = L
3 adalah volume sam
pel
4"3k
3#L2" $ 3%
4"3k
3V
#2"$ 3
!B
anyaknya mode (titik) pada rongga sferis
antara jejari k dan k + dk ditentukan dengan m
endifferensialkan persamaan sebelum
nya terhadap k yang m
emberikan:
!D
ari definisi g(") dan hubungan dispersi
diperoleh
V#2"
$ 3 4"k
2dk
g#&
$d&%
V#2"
$ 3 4"# &vs $ 2d
&vs
!M
aka rapat keadaan untuk kasus 3-D adalah
!P
ada kajian di atas, diasumsikan setiap nilai k
mem
iliki mode tunggal
!N
amun untuk kasus 3-D
, setiap nilai k mem
iliki 3 m
ode yang berbeda, satu longitudinal dan dua transversal
!H
ubungan dispersi untuk gelombang longitudinal
dan transversal berbeda, karena mem
iliki kelajuan yang berbeda
g#&
$%V2"
2 &2
vs 3
!D
engan mengabaikan perbedaan m
ode dan m
enganggap kelajuannya sama, m
aka rapat keadaan (density of state) totalnya adalah
!K
etika panjang gelombang untuk m
ode nilainya cukup kecil dibandingkan dim
ensi sampel,
fungsi rapat keadaan tidak bergantung pada pem
ilihan syarat batas
g#&
$%3V2"
2 &2
vs 3
Kalor Jenis
!Kalor jenis per m
ol didefinisikan sebagaidengan #Q
adalah panas yang dibutuhkan untuk m
enaikkan suhu 1 mol sebesar #T
!Jika proses dilakukan pada volum
e konstan, maka
#Q = #E
dengan #E adalah kenaikan energi internal
sistem:
!M
enurut Hukum
Dulong-P
etit, pada suhu tinggi (term
asuk suhu kamar), c
v = 3R dengan R
adalah tetapan gas = 8314 J/(km
ol K)
c%'Q
'T
cv %# (
E(T $
Pierre Louis Dulong
(1785 – 1838)French P
hysicist & C
hemist
Alexis Therese Petit(1791 – 1820)
French Physicist
!P
ada suhu rendah, ketika T turun, cv juga
berkurang dan lenyap pada suhu mutlak
!D
ari eksperimen, di dekat suhu m
utlak, cv
sebanding dengan T3
Model K
lasik!
Menurut teori klasik, atom
terikat pada titik kekisi oleh adanya gaya harm
onik!
Ketika bahan dipanaskan, atom
bergetar di sekitar titik kekisi seperti osilator harm
onik!
Energi internal rerata untuk osilator 1-D
adalah $ = kB T
!U
ntuk kasus 3-D, m
aka $ = 3kB T
!M
aka untuk 1 mol atom
, $ = 3NA
kB T = 3R
Tdengan N
A adalah bilangan Avogadro
!D
ari definisi untuk cv , diperoleh c
v = 3R!
Model klasik sesuai dengan H
ukum D
ulong-Petit, nam
un tidak cocok dengan hasil eksperim
en pada suhu rendah
Albert E
instein(1879 – 1955)
Germ
an-born Physicist
Peter D
ebye(1884 – 1966)
Dutch P
hysicist
Model E
instein
!D
alam m
odel ini, atom dianggap sebagai
osilator bebas, dan energinya ditentukan lewat
mekanika kuantum
!E
nergi sebuah osilator terisolasi secara kuantum
bernilai ! = nℏ"
dengan n = 0, 1, 2, 3, !
dan " adalah frekuensi osilator
!P
ada bahan, osilator tidak terisolasi, namun
bertukar energi dengan reservoir panas dari bahan, sehingga selalu berubah
!E
nergi rerata dari osilator pada bahan adalah:
!P
ersamaan tersebut m
enghasilkan:
yang menunjukkan pada suhu tinggi ! "
kB T
sesuai kajian klasik, namun saat T berkurang,
nilai ! berkurang hingga lenyap saat T = 0 K
" #$ %n$
0
&#n e
'#n (k
B T
%n$
0
&e'#n (k
B T
" #$)*
e)*(k
B T'1
!D
alam bahan, setiap atom
mew
akili 3 osilator, sehingga total terdapat 3N
A osilator, jadi energi totalnya:
dengan "E adalah frekuensi E
instein
!M
aka kalor jenisnya adalah:
" #$3NA
)*E
e)*E (k
B T'1
cv $+ ,
E,T - $
3R+ )
*E
kB T - 2
e)*E (k
B T
+e)*E (k
B T'1- 2
!P
ersamaan tersebut dapat disederhanakan
melalui substitusi suhu E
instein !E dengan k
B !E
= ℏ"
E :
!suhu E
instein !E m
erupakan parameter yang
dipilih untuk menghasilkan kurva yang
mendekati hasil pengukuran pada interval suhu
yang luas
cv $
3R+ .E
T - 2e.E (T
+e.E (T'
1- 2
Model D
ebye
!A
tom pada m
odel Einstein diasum
sikan berosilasi bebas, sedangkan pada kenyataannya, atom
-atom
saling berinteraksi sehingga osilasi satu atom
akan mem
pengaruhi atom lainnya
!G
erak yang ditinjau adalah gerak kekisi secara keseluruhan, bukan gerak atom
secara individu, sehingga ditinjau m
ode kekisi kolektif!
Contoh um
um dari m
ode kolektif ini adalah gelom
bang suara pada bahan
!D
ebye mengasum
sikan bahwa m
ode kekisi m
enyerupai sifat gelombang suara yang
mem
iliki relasi dispersi: " = v
s k
!N
ilai " pada m
odel Einstein adalah tunggal,
yaitu "E , sedangkan pada m
odel Debye nilai "
bervariasi dari 0 hingga nilai "
maksim
um!
Total energi getaran seluruh kekisi adalah:
dengan g(") adalah rapat keadaan (density of
states)
E$/
" #+*-g
+*-d
*
!E
nergi rerata dinyatakan oleh:
!N
amun bentuk integral tersebut harus m
emiliki
batas integrasi, yaitu ujung bawah dan atas
spektrum frekuensi
!B
atas bawah spektrum
frekuensi adalah " = 0
sedangkan batas atas ditentukan sedemikian
sehingga banyaknya mode harus sam
a dengan banyaknya derajat kebebasan atom
diseluruh bahan, yaitu 3N
A
" #$)*E
e)*E (k
B T'1
!U
ntuk menentukan banyaknya m
ode, digunakan DO
S
medium
kontinyu, karena Debye m
engasumsikan bentuk
relasi dispersi yang sama dengan gelom
bang suara pada bahan
!M
aka frekuensi Debye yang m
erupakan frekuensi batas (cutoff frequency) pada getaran kekisi ini ditentukan m
elalui
sehingga diperoleh: dengan n = NA /V
"0 #Dg
$#%d
#&
3NA
g$#
%&3V2'
2 #2
vs 3
#D &vs $6'
2n% 1(3
!E
nergi total getaran kekisinya adalah:
sehingga kalor jenisnya:
untuk menyederhanakan, substitusikan x =
ℏ!
/kB T dan suhu D
ebye !D = ℏ
!D /k
B sehingga
E&
3V2'
2vs 3 "
0 #D
)#3
e)#(k
B T*1d#
cv &
+E
+T&
3V2'
2vs 3
)2
kB T
2 "0 #D
#4e
)#(k
B T
$e)#(k
B T*1% 2 d
#
cv &
9R$T,D % 3"
0 ,D (T
x4e
x
$ex*
1% 2 dx
!N
ilai !D dipilih sedem
ikian sehingga m
emberikan kurva c
v yang mendekati hasil
pengukuran!
Untuk suhu tinggi, T >> !
D sehingga xD << 1
maka dengan pendekatan e
x = 1 + x diperoleh c
v = 3R yang sam
a dengan hukum D
ulong-Petit
!U
ntuk suhu rendah, T << !D sehingga x
D ! "
m
aka diperoleh cv = 12/5 "
4 R(T/!
D ) 3 yang sesuai eksperim
en bahwa c
v ~ T3
Fisika Zat Padat
Fonon
!D
alam m
odel Debye, energi setiap m
odel terkuantisasi dengan satuan energi kuantum
nya ℏ!
!K
arena modenya adalah gelom
bang elastik, maka
yang terkuantisasi adalah energi gelombang suara,
dan quasi-partikel yang mem
bawa kuantisasi energi
ini disebut sebagai fonon yang berarti mem
bawa
energi sebesar ℏ!
!Fonon juga m
erepresentasikan gelombang berjalan
dengan mom
entum p = ℏk
!M
aka gelombang suara elastik dapat dilihat sebagai
aliran fonon yang bergerak dengan kecepatan suara dalam
bahan
!B
anyaknya fonon pada suatu mode pada suhu
tertentu dinyatakan sebagai:
yang bergantung pada suhu, dengan n = 0 saat T = 0 dan m
embesar ketika suhunya juga naik
!M
aka fonon 'diciptakan' dengan menaikkan
suhu bahan kristal dan cacahnya tidak tetap (berbeda dengan partikel biasa yang cacahnya selalu tetap)
" n#1
e$%&k
B T'1
Gelom
bang Kekisi
!P
ada bahasan sebelumnya, diasum
sikan bahan sebagai m
edium kontinyu dan m
engabaikan kediskritan kekisi sehingga diperoleh relasi dispersi yang bersifat linear !
= vs k !
cocok selama jarak
antar atom lebih kecil dari panjang gelom
bang!
Pada bahasan berikutnya akan ditinjau sifat
kediskritan kekisi (bahwa kekisi bahan terdiri atas
atom-atom
) dimana ketika panjang gelom
bangnya cukup pendek, atom
mulai m
enghamburkan
gelombang dan m
engurangi kelajuan gelombang
Kekisi M
onatomik 1-D
!D
itinjau kekisi monatom
ik 1-D dengan tetapan
kekisi a
ketika kekisi bergetar, setiap atom akan
bergeser, dan karena berinteraksi dengan atom
lainnya, harus ditinjau gerak dari seluruh kekisi
!D
itinjau atom ke-n : gaya yang bekerja pada
atom ini diakibatkan oleh interaksi dengan atom
ke-(n+1) yaitu – "
(un+1 – u
n ) dengan un+1 dan u
n adalah pergeseran atom
ke-n dan ke-(n+1)
" adalah tetapan gaya antar atom
;
selisih (un+1 – u
n ) merupakan perpindahan relatif
! asum
si bahwa gaya yang bekerja sebanding
dengan perpindahan relatif disebut sebagai pendekatan harm
onik!
Gaya akibat atom
ke-(n–1) juga sebesar – "
(un-1 – u
n )
!D
engan hukum N
ewton kedua diperoleh:
dengan M adalah m
assa atom!
Dalam
pendekatan harmonik ini, hanya ditinjau
interaksi atom ke-n dengan atom
tetangga terdekatnya saja dan m
engabaikan interaksi dengan atom
lainnya!
Gerak atom
ke-n akan terkopel dengan atom ke (n +
1) dan ke (n – 1) begitu juga dengan atom lainnya
sehingga diperoleh N persam
aan differensial terkopel yang harus dicari solusinya
Md
2un
dt=
'()un*
1 'un +'
()u
n'1 'un +
=
'()2u
n 'un*
1 'un'
1 +
!D
icoba solusi dalam bentuk u
n = Ae
i(k Xn – !t)
dengan Xn adalah posisi setim
bang atom ke-n,
yaitu Xn = na
!S
olusi tersebut merepresentasikan gelom
bang berjalan di m
ana atom-atom
berosilasi dengan frekuensi yang sam
a yaitu ! dan am
plitudo yang sam
a yaitu A!
Dengan m
ensubstitusikan solusi ke persamaan
gerak, diperoleh:
M)'
%2+e
ikna#'(,2e
ikna'eik)n*
1+a'eik)n'
1+a-
Dihasilkan:
%#%m .sin
)ka&2+. dengan %
m #/ 4(
&M
Kurva dispersi yang diperoleh juga berlaku untuk
kekisi 2D dan 3D
dan mem
iliki sifat:!
Frekuensi yang diperoleh berada pada jangkauan 0 < !
< !m dan hanya frekuensi
dengan nilai ini yang dilewatkan oleh kekisi,
frekuensi lainnya dilemahkan !
low-pass filter
!U
ntuk panjang gelombang yang besar, k !
0 sehingga
yang bersifat linear seperti pada medium
kontinyu
"#$ "
m a2 % k
!K
urva dispersi mem
iliki sifat simetri: periodik
pada ruang-k yaitu pada interval – "/a < k < "/a dan m
emiliki sim
etri cermin pada k = 0
!Interval – "/a < k < "/a tidak lain m
erupakan zona B
rillouin pertama sehingga kajian pada
ruang-k dapat dibatasi hanya pada zona pertam
a saja!
Sim
etri cermin pada k = 0 m
enunjukkan bahwa
!(-k) = !
(k) sehingga gelombang yang
bergerak ke kanan maupun ke kiri akan
mem
iliki sifat yang sama
Banyaknya m
ode pada zona pertama
!D
ari syarat batas periodik, akan diperoleh bahw
a nilai k yang diijinkan adalah k = n 2"/L dengan n = 0, ±1, ±2, dst. dan jarak antar titik adalah 2"/L
!B
anyaknya titik pada zona pertama adalah
(2"/a)/(2"/L) = L/a = N dengan N
adalah cacah total atom
atau sel satuan pada kekisi
Kekisi D
iatomik 1-D
!D
itinjau kekisi diatomik 1-D
dimana setiap sel
satuan terdiri atas 2 atom dengan m
assa M1 dan
M2 serta jarak pisah antar atom
nya adalah a
!K
arena terdapat 2 atom, diperoleh 2 persam
aan gerak yang terkopel
disini atom dengan m
assa M1 diberi indeks ganjil
dan atom berm
assa M2 diberi indeks genap
!D
ari setiap sel, maka diperoleh 2N
persamaan
differensial terkopel yang harus dicari solusinya
M1 d
2u2n&
1
dt#'($2u
2n&1 'u
2n 'u
2n&2 %
M2 d
2u2n&
2
dt#'($2u
2n&2 'u
2n&1 'u
2n&3 %
!D
icoba solusi dalam bentuk:
dengan A1 adalah am
plitudo atom berm
assa M1
dan A2 adalah am
plitudo atom berm
assa M2
!S
ubstitusikan solusi ke persamaan gerak akan
diperoleh: ) u2n&
1
u2n * #) A
1 eikX
2n&1
A2 eikX
2n&2* e
'i"t
)2(
'M
1 "2
'2(
cos$ka%'
2(
cos$ka%2(
'M
2 "2* ) A
1
A2 * #
0
!K
arena persamaan hom
ogen, maka solusi
diperoleh jika determinannya nol:
yang merupakan persam
aan kuadratik dalam
!2 dengan solusi
+2('M
1 "2
'2(
cos$ka%
'2(
cos$ka%2(
'M
2 "2+ #
0
"2#
($1M
1 &1M
2 % ,(- $
1M1 &
1M2 % 2'
4sin
2$ka%M
1 M2
!K
arena terdapat 2 tanda ( + dan - ) maka
terdapat 2 relasi dispersi atau cabang pada kekisi diatom
ik!
Kurva yang di baw
ah, untuk tanda ( - ) m
erupakan cabang akustik sedangkan kurva yang di atas untuk tanda (+) m
enunjukkan cabang optik
!C
abang akustik dimulai dari titik k = 0 yang
mem
berikan nilai ! = 0 sedangkan cabang
optik dimulai dari titik k = 0 yang m
emberikan
nilai ! berhingga:
"#) 2
($1M
1 &1M
2 %* 1.2
!Interval frekuensi antara bagian atas cabang akustik dengan bagian baw
ah cabang optik tidak diijinkan m
emiliki nilai sehingga kekisi
tidak dapat melew
atkan gelombang pada
interval frekuensi ini karena mengalam
i atenuasi
!M
aka kekisi diatomik berlaku sebagai band-
pass filter
Kekisi 3-D
!D
itinjau kekisi Bravais m
onatomik, solusi um
um dari
persamaan getaran berbentuk:
!Vektor A
menentukan am
plitudo dan arah getaran, sehingga m
enentukan polarisasi dari gelombang,
yaitu apakah longitudinal ( A sejajar k) atau
transversal (A tegak lurus k)
!S
ubstitusi un ke persam
aan gerak akan diperoleh tiga persam
aan untuk Ax , A
y dan Az yang juga saling
terkopel dan mem
berikan 3 relasi dispersi yang berbeda
" un #
"Aei$ "k%" r&
't(
Rapat K
eadaan (DO
S) Fonon
!R
apat keadaan didefinisikan sedemikian
sehingga g(!)d!
mem
berikan banyaknya mode
pada jangkauan frekuensi (!, !
+d!)
!P
ada kasus 1-D sebelum
nya, telah diperoleh:
!B
erdasarkan bentuk relasi dispersi pada kekisi diskrit, m
aka diperoleh bentuk rapat keadaan:
g$'
(#L)
1d'*dk
g$'
(#2L
)a'm
1cos$ka
*2(
DO
S K
ekisi 1-D
!A
rea di bawah kurva D
OS
menunjukkan
banyaknya mode yaitu N
!U
ntuk menentukan g(!
) kekisi 3-D digunakan
cara yang sama seperti sebelum
nya: untuk cabang ke-j, plot kontur frekuensi !
j (k) = ! dan
!j (k) = !
+ d! dan hitung banyaknya m
ode yang dibatasi perm
ukaan kontur, nilai ini m
erupakan nilai gj (!
)d! yang m
enentukan gj (!
)!
DO
S total ditentukan dari jum
lahan DO
S untuk
setiap cabangg$'
(#+j g
j $'(
DO
S U
ntuk Suatu C
abang Mode
DO
S Total U
ntuk Cu
Kalor Jenis
!S
etelah mendapatkan nilai g(!
), dapat ditentukan nilai kalor jenis dari suatu kekisi 3D
!B
entuk umum
dari energi kekisi termal:
dan bentuk kalor jenis diperoleh dengan m
endifferensialkan bentuk energi terhadap suhu sehingga diperoleh:
E"#
$ %&'(g
&'(d
'
Cv "kB #&
)'
kB T ( 2
e)'*k
B T
&e)'*k
B T+1( 2 g
&'(d
'
Grafik K
alor Jenis
Fisika Zat Padat
Sem
ikonduktor
!S
emikonduktor m
enjadi bahan yang banyak digunakan dalam
teknologi setelah penemuan
transistor oleh Shockley, B
ardeen dan Brattain
!S
emikonduktor terbagi dalam
beberapa kelas:!
Grup IV
: C, S
i, Ge dan !
-Sn yang sem
uanya m
emiliki kekisi intan dan ikatan kovalen
!G
rup III-V: terdiri atas 2 unsur, dari unsur gol. III dan
gol.V, contoh: GaA
s dan InSb; m
emiliki struktur
zincblende dan ikatan kovalen namun tidak sim
etris sehingga bersifat polar
!G
rup II-IV: C
dS dan ZnS
yang juga mem
iliki struktur zincblende, dan sifat polar yang lebih kuat
Struktur P
ita pada Sem
ikonduktor
!S
emikonduktor m
emiliki pita valensi terisi
penuh pada T = 0 K (bersifat insulator)
!G
ap (celah) energi di atas pita valensi cukup sem
pit!
Pada suhu kam
ar, elektron dapat tereksitasi ke pita di atas pita valensi yang disebut sebagai pita konduksi !
pada logam konduktor, pita
valensi = pita konduksi, namun pada
semikonduktor pita valensi " pita konduksi
!Jika gap energi bernilai kurang dari 2 eV, pada suhu kam
ar elektron yang tereksitasi cukup banyak !
semikonduktor
!Jika gap energi lebih dari 2 eV, pada suhu kam
ar elektron yang tereksitasi sangat sedikit dan dapat diabaikan !
insulator!
Ketika elektron tereksitasi ke pita konduksi,
bagian bawah pita konduksi (P
K) terisi oleh
elektron, bagian atas pita valensi (PV
) terisi hole
!M
aka PV
dan PK
terisi sebagian dan mem
bawa
arus ketika dikenai medan listrik
!K
onduktivitas semikonduktor m
asih lebih kecil jika dibandingkan dengan logam
yang mem
iliki jum
lah elektron sedikit!
Pita lebih rendah dari P
V terisi penuh, begitu
juga pita di atas PK
tidak terisi, sehingga hanya P
V dan P
K yang perlu ditinjau dalam
kajian konduktivitas sem
ikonduktor
!Jika level energi nol dipilih pada bagian atas P
V, maka energi dari P
K dinyatakan sebagai:
!P
ada PV, energinya dinyatakan sebagai:
me * = m
assa efektif elektron; Eg = gap energi;
mh * = m
assa efektif hole
Ev " #k$%
&'
2k2
2mh *
Ec " #k
$%Eg (
'2k
2
2me *
Konsentrasi P
embaw
a (Carrier)
!D
alam kajian sem
ikonduktor, elektron dan hole disebut sebagai carrier, karena partikel inilah yang m
embaw
a arus listrik!
Banyaknya carrier m
enentukan besarnya konduktivitas listrik bahan sem
ikonduktor!
Pada suhu T, peluang level energi E
ditempati
sebuah elektron mem
enuhi distribusi Fermi-
Dirac:
f"E$%
1e"E
&EF $)k
B T(1
!Tingkat keterisian (occupation) untuk level energi tinggi sem
akin meningkat dengan
semakin naiknya suhu
!f(E
) = ! saat E
= EF
!P
ada suhu di atas nol, (E – E
F ) >> kB T
sehingga angka 1 pada penyebut dapat diabaikan sehingga:
yang tidak lain merupakan distribusi klasik
Maxw
ell-Boltzm
ann!
Banyaknya elektron pada interval energi dE
dinyatakan sebagai g
e (E)dE
dengan ge (E
) adalah D
OS
elektron
f"E#$eEF %k
B Te&E%k
B T
!K
arena tiap state mem
iliki peluang ditempati
elektron sebesar f(E), m
aka banyaknya elektron pada interval energi dE
adalah f(E)g
e (E)dE
!Jadi konsentrasi elektron pada P
K adalah
dengan Ec1 dan E
c2 berturut-turut menyatakan
level bawah dan level atas pita
n$'Ec1
Ec2f"E
#ge "E
#dE
!K
arena DO
S untuk elektron konduksi adalah
" lihat m
odel Som
merfeld
!M
aka DO
S untuk P
K dinyatakan sebagai
dimana g
e (E) lenyap pada E
< Eg
ge "E
#$12(
2" 2me
)2# 3%2E
1%2
ge "E
#$12(
2" 2me
)2# 3%2"E
&Eg # 1%2
!M
aka:
!D
engan substitusi x = (E – E
g )/kB T dan nilai
diperoleh:
dengan nilai EF yang belum
diketahui
n$12(
2" 2me
)2# 3%2e
EF %k
B Te&Eg %k
B T'Eg
*"E
&Eg # 1%2e
&"E
&Eg #%k
B TdE
'0 *x
1%2e&xdx$
+ (2
n$2" m
e kB T
2()
2# 3%2eEF %k
B Te&Eg %k
B T
!K
onsentrasi hole juga dapat dihitung dengan cara serupa
!P
eluang suatu hole menem
pati level E di P
V
adalah 1 – f(E) karena f(E
) adalah peluang keterisian elektron sehinggafh = 1 – f(E
)!
Maka
karena (EF – E
) >> kB T
fh $
1&1
e"E
&EF #%k
B T,1 $
1e"E
F &E#%k
B T,1 -e&EF %k
B TeE%k
B T
!D
OS
untuk hole adalah:
!M
aka konsentrasi hole dinyatakan oleh:
yang mem
berikan
gh "E
#$12(
2" 2mh
)2# 3%2"&
E# 1%2
p$'&*
0fh "E
#gh "E
#dE
p$2" m
h kB T
2()
2# 3%2e&EF %k
B T
!K
arena elektron pada PK
berasal dari PV
akibat eksitasi m
elewati celah energi, m
aka banyaknya elektron konduksi sam
a dengan banyaknya hole ( n = p )
!M
aka diperoleh
!S
ubstitusi nilai ini ke persamaan konsentrasi
elektron menghasilkan:
EF $
12Eg ,
34kB T
ln" mh
me #
n$2"kB T
2()
2# 3%2"me m
h # 3%4e&Eg %2kB T
!P
ersamaan tersebut m
enunjukkan bahwa n
meningkat pesat dengan naiknya suhu
(bertambah secara eksponensial) sehingga
dengan meningkatnya suhu, sem
akin banyak elektron yang tereksitasi m
elintasi gap energi!
Untuk nilai E
g = 1 eV, me = m
h = m0 dan T = 300
K diperoleh n = 10
15 elektron/cm3
!Jika dim
iliki konsentrasi elektron sama dengan
konsentrasi hole, maka disebut sem
ikonduktor intrinsik
!Jika bahan m
engandung impuritas yang
menyum
bang cacah carrier, maka disebut
semikonduktor ekstrinsik
Impuritas
!S
emikonduktor m
urni mengandung dua tipe
carrier, elektron dan hole yang banyaknya sam
a!
Dalam
prakteknya, dibutuhkan semikonduktor
yang hanya mengandung 1 jenis carrier saja
(elektron saja atau hole saja) dan diperoleh dengan cara doping im
puritas pada bahan sem
ikonduktor
!C
ontoh: Si yang didoping A
s!
Si dapat m
embuat 4 ikatan kovalen, sedangkan
As dapat m
embuat 5 ikatan kovalen, m
aka tersisa 1 elektron ketika S
i dan As m
embentuk 4
ikatan kovalen!
1 elektron yang tersisa dari As akan m
asuk ke P
K tanpa m
emunculkan hole pada P
V sehingga
pengotor As disebut sebagai donor karena
menyum
bang elektron pada PK
!Level donor berada di dalam
gap energi, tepat di baw
ah PK
, sehingga pada suhu kamar ham
pir seluruh elektron donor akan tereksitasi ke P
K
!C
ontoh: Si yang didoping G
a!
Si dapat m
embuat 4 ikatan kovalen sedangkan
Ga hanya dapat m
embuat 3 ikatan kovalen
menyisakan 1 elektron dari S
i yang tidak berpasangan
!1 elektron S
i yang tidak berpasangan dapat m
embentuk ikatan jika terdapat 1 elektron yang
dipindah dari ikatan yang lain, yang tentunya akan m
emunculkan hole pada ikatan tersebut
maka G
a disebut sebagai aseptor karena m
enerima tam
bahan elektron untuk dapat m
embentuk ikatan
!Level energi hole berada tepat di atas ujung atas P
V yang m
enggambarkan hole yang
ditangkap oleh aseptor!
Ketika aseptor terionisasi (elektron tereksitasi
dari bagian atas PV
mengisi hole di level
aseptor), hole tersebut jatuh ke bagian atas PV
dan m
enjadi carrier bebas
Statistik S
emikonduktor
!S
emikonduktor um
umnya m
engandung donor dan aseptor
!E
lektron pada PK
dapat diciptakan melalui
eksitasi termal antar pita atau ionisasi term
al oleh donor
!H
ole pada PV
dapat diciptakan melalui eksitasi
antar pita atau eksitasi termal elektron dari P
V
ke level aseptor!
Elektron dapat jatuh dari level donor ke level
aseptor
Daerah Intrinsik
!K
onsentrasi carrier pada daerah intrinsik ditentukan oleh transisi term
al antar pita, maka
n = p!
Sehingga konsentrasi carrier dinyatakan oleh:
yang dikenal sebagai konsentrasi intrinsik ni
!D
aerah intrinsik diperoleh ketika doping im
puritas cukup kecil
n"p"ni "
2#kB T
2$%
2& 3'2#me m
h & 3'4e(Eg '2k
B T
Daerah E
kstrinsik
!P
ada daerah ekstrinsik, kontribusi impuritas
melebihi carrier yang disum
bang oleh eksitasi antar pita
!Terdapat 2 kasus: ketika konsentrasi donor m
elebihi konsentrasi aseptor (Nd >> N
a )
!K
arena energi ionisasi donor cukup kecil, seluruh donor terionisasi dan m
asuk ke PK
!M
aka n = Nd
!D
alam kasus ini konsentrasi hole cukup kecil
!P
erkalian antara n dengan p tidak tergantung pada E
F
!S
isi kanan persamaan di atas juga m
enyatakan n
i 2, sehingga np = ni 2
!M
aka jika tidak ada perubahan suhu, perkalian np tidak bergantung pada doping, dan ketika konsentrasi elektron m
eningkat konsentrasi hole berkurang
np"
4#kB T
2$%
2& 3#me m
h & 3'2e(Eg 'k
B T
!K
etika doping mayoritas bertipe donor n ~ N
d , m
aka konsentrasi hole adalah
!K
arena berada pada daerah ekstrinsik, ni << N
d , sehingga p << N
d = n yang menyatakan
konsentrasi elektron jauh lebih besar dari hole!
Maka sem
ikonduktor dengan n >> p disebut sem
ikonduktor tipe-n
p"ni 2
Nd
!Tipe lain daerah ekstrinsik terjadi ketika N
a >> N
d yaitu ketika doping mayoritas adalah
aseptor!
Dengan analisis yang sam
a, maka p ~ N
a
yaitu seluruh aseptor terionisasi!
Konsentrasi elektron yang sangat kecil
diberikan oleh
!B
ahan ini disebut sebagai semikonduktor
tipe-p
n"ni 2
Na
!K
ajian semikonduktor tipe n dan p tersebut
menggunakan asum
si bahwa suhu cukup tinggi
sehingga seluruh donor dan aseptor terionisasi (cocok pada suhu kam
ar)!
Nam
un jika suhunya diturunkan sehingga energi term
alnya terlalu kecil untuk m
engeksitasi elektron, maka elektron akan
jatuh dari PK
ke level donor dan konduktivitas bahan m
enurun cepat ! disebut sebagai
pembekuan (elektron “m
embeku” di tem
pat im
puritas)
Variasi Konsentrasi E
lektron Terhadap Suhu
Pada S
emikonduktor Tipe n
top related