fisika - 2.pembahasan_vektor_matematika dasar.ppt

Fisika Dasar

Feriska Handayani Irka, M.SiJurusan Fisika-FMIPA Universitas

AndalasFeriska.irka@gmail.com

Trigonometri dan Vektor

Pembahasan Hari Ini

• Pengulangan hal-hal dasar dalam Matematika

• Besaran & Satuan• Analisa Vektor

3

Pengulangan Trigonometri

• Teorema Pitagoras untuk sebuah sudut 900

a2+b2 = c2 a

b

c

4

Pengulangan Trigonometri

• Definisi untuk sinus dan cosinus dari sudut .

• sin = b/c atau– sin = sisi depan/sisi

miring

• cos = b/c– cos = sisi terdekat / sis

miring

• tan = b/a– tan = sisi depan / sisi

terdekat

a

b

c

5

Pengulangan Trigonometri

• Definisi yang umum digunakan:– x =arah horizontal – y = arah vertical

• sin = y/r atau– sin = sisi depan/ sisi miring

• cos = x/r– cos = sisi terdekat/ sisi

miring

• tan = y/x– tan = sisi depan / sisi

terdekat

x

y

r

6

Jika Diputar

• Jika saya putar, persamaan dasarnya tetap sama hanya variabelnya yang berubah– x =arah horizontal– y = arah vertikal

• sin = x/r atau– sin = sisi depan / sisi miring

• cos = y/r– cos = sisi terdekat /sisi miring

• tan = x/y– tan = sisi depan/ sisi terdekat

y

x

r

7

Satuan Lingkaran

• Misalkan r merupakan jari-jari, dan adalah sudut yang dibentuk oleh r dan sumbu-x

• Kita bisa mentransformasi dari koordinat “Cartesian” (x-y) ke koordinat bidang-polar (r-)

x

y

r

III

III IV

8

Slope/kemiringan sebuah garis lurus

• Sebuah garis tidak vertikal seperti pada gambar – y = mx +b– dimana– m = slope– b = y-intercept

• Slope/kemiringan dapat bernilai positif dan negatif– Ditentukan apakah y

= positif atau negatif ketika x >0

Positif slope

Negatif slope

9

Menghitung slope

x1 , y1

x2 , y2

12

12

xxyym

10

Slope Lingkaran

• Keempat titik pada lingkaran mempunyai slope yang berbeda.– Slope dihitung dengan

menggambar garis tegak lurus terhadap permukaan lingkaran

– Kemudian sebuah garis tegak lurus terhadap garis pertama dan paralel terhap permukaan lingkaran digambar.

• Jadi jumlah garis slope lingkaran hampir tidak hingga

11

Slope/Kemiringan suatu Kurva

• Konsep slope berlaku untuk semua kasus!

• Misal kita punya fungsi f(x), dan x sebuah variabel

• Sekarang kita menggambarkan slope f(x) pada titik x, yang kemudian dikenal dengan nama turunan dari f(x)– Turunan/diferensial =

f’(x)

f’(x)

f(x)

12

Mendiferensialkan sebuah garis lurus

• f(x)= mx +b – Maka– f’(x)=m– Turunan sebuah garis lurus konstant

• Jika f(x)=b (Apakah fungsi konstant ?)– Slope =0 maka f’(x)=0

13

Aturan Kepangkatan

• f(x)=axn

• Turunannya adalah :– f’(x) = a*n*xn-1

• Contoh:

2

312

1

2

1

2

1

2

1)('

)(

1)(

xxxf

xxf

orx

xf

14

Operator Differensial

• Untuk x, dalam memudahkan operasi turunan/diferensial maka operasi ini diberi operator

dx

d

32

1)('

1)(

1)(

xxf

xdx

dxf

dx

d

xxf

15

3 Aturan

• Aturan Pengali konstant

• Aturan penjumlahan

• Aturan kepangkatan

)()()(

)()(

constant a,)()(

1 xfdx

dxfnxf

dx

d

xgdx

dxf

dx

dg(x)f(x)

dx

d

kxfdx

dkxfk

dx

d

nn

16

Dapatkah Kita Membalikkan Proses

Turunan/Differensial ? • Dengan membalikkan, dapatkah kita

mengetahui dan menemukan fungsi asal ?

• Dalam kata lain f’(x) → f(x)?

• Proses ini mempunyai 2 nama:– “anti-differensial”– “integral” atau integration

17

Kenapa disebut “integration”?

• Karena kita menjumlahkan semua slope (mengintegrasikan mereka) ke dalam sebuah fungsi tunggal).

• Seperti halnya differensial, integral juga punya operator:

)()(' xfdxxf

Pada abad ke-18 simbol untuk “s”Sekarang disebut tanda integral !

Disebut “integral tak terdefinisi/ indefinite integral”

18

Konstanta dari hasil integral

• Dua fungsi yang berbeda bisa memiliki turunan yang sama. Misal– f(x)=x4 + 5– f(x)=x4 + 6– f’(x)=4x

• Maka untuk integralnya kita tulis

• Dimana C adalah sebuah konstanta.• Kita perlu informasi tambahan untuk

menghitung C.

Cxdxx 44

19

Aturan Kepangkatan Untuk Integral

Cxn

adxax nn

1

1

20

Integral Tertutup/Terdefinisi

b

a

afbfdxxf )()()('

x=a x=b

f(x) Luas dibawah kurva yang dievaluasi dari x=a ke x=b

Besaran & Satuan

22

Besaran Pokok

Panjang (Length) [L]KakiMeter Furlong

Waktu (Time) [T]DetikMenitJamAbad

Massa (Mass) [M] KilogramSlug

23

Besaran Turunan

• Dari satu Besaran pokok– Luas (Area) = Length Length

[L]2

– Volume (Volume) = Length Length Length [L]3

• Kombinasi besaran-besaran pokok– Kecepatan (Velocity) = Length / Time

[L/T]– Percepatan (Acceleration) = Length / (Time Time)

[L/T2]– Gaya (Force) = Mass Length / (Time Time) [M

L/T2]

24

Satuan

• SISI (Système Internationale)(Système Internationale) Satuan: Satuan:– mks: L = meters (m), M = kilograms (kg), T =

seconds (s)– cgs: L = centimeters (cm), M = grams (g), T

= seconds (s)

• Satuan inggrisSatuan inggris::– Inches, feet, miles, pounds, slugs...

25

Konversi Satuan

• Konversi satuan ke satuan yang lain kadang diperlukan. Contoh konversi satuan:– 1 inch = 2.54 cm– 1 m = 3.28 ft– 1 mile = 5280 ft – 1 mile = 1.61 km

• contoh: konversi miles per hour ke meters per second:

s

m447.0

s

hr

3600

1

ft

m

28.3

1

mi

ft5280

hr

mi1

hr

mi 1

26

Tingkatan Besaran Dalam Fisika

• Besaran fisika membentang dalam jarak yang sangat besar, misalnya– Length size of nucleus ~ 10-15 m

size of universe ~ 1030 m– Time nuclear vibration ~ 10-20 s

age of universe ~ 1018 s– Mass electron ~ 10-30 kg

universe ~ 1028 kg

• Tingkatan besaran membentuk skala– Atomic Physics ~ 10-10 m– Basketball ~ 10 m– Planetary Motion ~ 1010 m

• Mengetahui skala membantu kita memperkirakan hasil (jika di luar skala ada kemungkinan perhitungan kita salah)

27

Analisa Dimensi

• Besaran pokok– Panjang (Length) - [L]

– Waktu (Time) - [T]

– Massa (Mass) - [M]

• Besaran turunan– Kecepatan (Velocity) - [L]/[T]

– Kerapatan (Density) - [M]/[L]3

– Energi (Energy) - [M][L]2/[T]2

28

Besaran Fisika

• Harus selalu punya dimensi• Hanya dapat membandingkan besaran

yang dimensinya sama– v = v(0) + a t– [L]/[T] = [L]/[T] + [L]/[T]2 [T]

• Membandingkan besaran dengan dimensi berbeda artinya tidak ada– v = a t2

– [L]/[T] = [L]/[T]2 [T]2 = [L]

Analisa Vektor

SKALAR DAN VEKTOR Skalar

• Hanya mempunyai besar• Contoh : massa, volume, temperatur, energi

Vektor

• Mempunyai besar dan arah• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan

Medan skalar

• Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : EP = m g h

Medan vektor

• Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

• Metoda jajaran genjang• Metoda poligon

A

BC = A + B

B

A

C = A + B

A

- B

D = A - B

D = A – B = A + (- B)

Perkalian titik Hasilnya skalar

AProyeksi B pada A

AB

B

Proyeksi A pada B

ABcosAB

cosBABA

AB

AB

Perkalian Silang Hasilnya vektor

ABasinBABA NAB

A

AB

A B

B

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

AB

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik

• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)

Vektor

• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az

• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az

• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang

• Vektor Posisi

zyxP

zyxP

aa2a2r

a3a2ar

• Vektor antara 2 titik

zyx

zyxQPPQ

a2a4a

a)31(a)22(a)12(rrR

• Titik asal O(0, 0, 0)• Bidang x = 0 (bidang ZOY) y = 0 (bidang ZOX) z = 0 (bidang XOY)

Elemen Luas (vektor) dy dz ax dx dz ay dx dy az

Elemen Volume (skalar)dx dy dz

Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian

zzyyxx

yzzyxzzxxyyx

zzyyxx

oo

B2z

2y

2x

2z

2y

2x

zzyyxxzzyyxx

BABABABA

0aaaa0aaaa0aaaa

1aa1aa1aa

090cos10cos

B

BaBBBBAAAA

B,AcosBABA

aBaBaBBaAaAaAA

• Proyeksi vektor A pada vektor B

B

A

AB

Proyeksi A pada B

BB a)aA(

Contoh Soal Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan :a). RAB RAC

b). Sudut antara RAB dan RAC

c). Proyeksi vektor RAB pada RAC

Jawab :

899,44416R660,825491R

20)2)(5()2)(7()4)(1(RR

a2a2a4Ra5a7aR

ACAB

ACAB

zyxACzyxAB

zyxzyx

AC

ACAC a408,0a408,0a816,0

899,4

a2a2a4

R

Ra

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20

RR

RRcos

Proyeksi RAB pada RAC :

)a665,1a665,1a330,3

)a408,0a408,0a816,0(08,4

a)]408,0)(5()408,0)(7()816,0)(1[(a)aR(

zyx

zyx

ACACACAB

Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian

A

AB

A B

B

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

aaa

BA

zzyyxxzzyyxx aBaBaBBaAaAaAA

190sin00sin

ABasinBABA

oo

NAB

yzxzy

xzyzxxyzyx

zzyyxx

aaaaa

aaaaaaaaaa

0aa0aa0aa

zxyyxyzxxzxyzzy a)BABA(a)BABA(a)BABA(BA

Contoh Soal:Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1). Tentukan :a). RBC RBA

b). Luas segitiga ABCc). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga Jawab :

899,44416R660,825491R ACAB

zyx

zyx

zyx

BABC

a26a6a24

a)]5)(1()7)(3[(a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(

375

313

aaa

RR

944,172

888,35

2

26624

2

RRABC

222BABC

zyxzyx

N a725,0a167,0a669,0888,35

a16a6a24a