elliptic geometry
Post on 18-Jul-2015
349 Views
Preview:
TRANSCRIPT
5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 1/6
A. TEOREMA-TEOREMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK
Teorema 1:
“Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik”
Bukti:
Misal a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada
suatu garis m.
U dan S merupakan kutub dari m.
Akan dibuktikan bahwa dua garis itu bertemu pada
suatu titik.
Pembuktian:
Berdasarkan sifat dari double Eliptik yaitu
setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik, maka:
a berpotongan m di dua titik yaitu A dan A’
b berpotongan m di dua titik yaitu B dan B’
A, A’, B’ dan B titik yang terletak pada m dan garis a serta b tegak lurus m maka
berdasarkan sifat kutub, segmen yang melalui titik A, A’, B, dan B’ terhubung dengan
titik U dan S.
Jadi garis a dan b bertemu titik yang sama yaitu U dan S ( terbukti)
Teorema 2:
“Semua garis tegaklurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub
dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis
itu”.
Bukti:
Misal a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada
suatu garis m. U dan S merupakan kutub dari m.
• Adib 1: semua garis tegak lurus pada suatu
garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub
dari garis itu.
• Adib 2: setiap garis melalui kutub suatu
garis tegak lurus pada garis itu.
Pembuktian 1:
Berdasarkan teorema 1, maka dapat disimpulkan bahwa tiap diambil 2 titik pada m
dapat dibuat 2 garis yang tegak lurus m & bertemu di titik yang disebut kutub dari
garis m.
m
U
S
B A
B’
’A’
b
a
m
U
S
B A
B’
’A’
b
a
5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 2/6
Karena ada banyak titik di m maka pada setiap titik tersebut padat dibuat garis yang
tegak lurus di m dan bertemu di kutub m.
Jadi setiap garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang
disebut kutub dari garis itu. ( terbukti).Pembuktian 2:
Misal U dan S kutub dari m
Berdasarkan sifat kutub, maka setiap ruas garis yang menghubungkan U dengan titik
pada m & setiap ruas garis yang menghubungkan S dengan titik pada m, akan selalu
tegaklurus m.
Ambil sebarang titik di m, misal A, A’, B & B’ maka:
BU tegaklurus m, B’U tegaklurus m,
BS tegaklurus m, B’S tegaklurus m,
A’U tegaklurus m, AU tegaklurus m,
AS tegaklurus m, A’S tegaklurus m.
BU, B’U, BS, B’S adalah segmen-segmen yang termuat pada garis b, dan A’U, AU,
AS, A’S adalah segmen-segmen yang termuat pada garis a. Maka garis-garis tersebut
(a & b) melalui kutub garis m yaitu U dan S , tegaklurus pada garis m. (terbukti)
Karena pembuktian 1 dan 2 telah terbukti maka teorema 2 terbukti.
Teorema 3:
“Dalam sebarang segitiga ABC dengan090=∠C , sudut A kurang dari, sama dengan
atau lebih dari 900 , tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih
dari jarak polar q.
Bukti :
Diketahui: segitiga ABC dengan0
90=∠C
Akan dibuktikan : 1. q polar jarak BC segmenbila A ⟨⟨∠ ,900
2. q polar jarak BC segmenbila A ==∠ ,900
3.
q polar jarak BC segmenbila A ⟩⟩∠ ,900
Pembuktian I:
K adalah titik kutub dari garis m, sehingga
090=∠ KAC dan 090=∠ KCA .
Segmen BC < jarak polar.
C
m
A
B
Pembuktian 1
K
5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 3/6
BAC KAC ∠>∠ (keseluruhan lebih besar dari sebagian)
Karena090=∠ KAC maka BAC ∠>°90 .
Jadi090<∠ A (terbukti)
Pembuktian 2:
Segmen BC = jarak polar,
B adalah titik kutub dari garis m, sehingga
090=∠ BCA dan 090=∠ BAC . Atau dapat dikatakan
090=∠ A (terbukti)
Pembuktian 3:
K adalah titik kutub dari garis m, sehingga090=∠ KAC dan
090=∠ KCA .
Segmen BC > jarak polar.
KAC BAC ∠>∠ (keseluruhan lebih besar dari
sebagian).
Karena090=∠ KAC maka °>∠ 90 BAC .
Jadi090>∠ A (terbukti)
Teorema 4:
“Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar
1800”
Bukti:
Misal diberikan garis l dan garis m dan n yang
tegak lurus l di titik A dan B.
Berdasarkan postulat kesejajaran eliptik, garis m
dan n akan berpotongan di P yang merupakan kutub
dari l .
Perhatikan bahwa PAB adalah segitiga sama kaki (
090=∠=∠ B A ), sehingga PA = PB. positif P ∠ .
Maka jumlah sudut segitiga PAB adalah:
P P B A ∠+°+=∠+∠+∠ 90900
P ∠+= 0180
0180>
BA
P
m n
l
B
m
AC
Pembuktian 2
Pembuktian 3
m
C
B
’’
A
K
5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 4/6
Dari yang dijabarkan diatas maka terbukti bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga
lebih besar 1800. (terbukti)
Teorema 5:
“Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600
Diketahui : segiempat ABCD
Adib :0360>∠+∠+∠+∠ DC B A
Bukti:
Pandang segiempat ABCD
Terdapat ∆ABC dan ∆ACD
Pernyataan Alasan
0
11 180>∠+∠+∠ C B A Teorema 4
0
22180>∠+∠+∠ C D A Teorema 4 +
°+°>+∠∠+∠+∠+∠+∠ 1801802121 DC C B A A Aditif
°>∠+∠+∠+∠ 360 DC B A (terbukti)
Teorema 6:
“Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul”
Bukti: p dan q ⊥ m ( p dan q melalui kutub m, yaitu P1 dan P2).
P1E dan P1F ⊥ m.
P1E dan P1F masing-masing ⊥ K 1E dan K 1F.
Garis k , l , dan m melalui K 1 dan K 2.
Garis p dan q melalui P1 dan P2
m merupakan sumbu cermin dari k dan l .
Setiap garis yang menghubungkan P1 dengan m dan P2 dengan m selalu ⊥ m. Maka P1 dan P2
kutub dari m.
k , l , dan m memotong p di titik D,E, dan C sekaligus memotong q di A, F, dan B.
DE = EC ( k dan l simetris terhadap m)
AF = FB ( k dan l simetris terhadap m)
∆K 1DC dan ∆K 1AB sama kaki
Bisa dibuktikan dengan garis tinggi K 1E dan K 1F
K 1D = K 1C dan K 1A = K 1B
Jarak polar
K 1D < K 1A
K 1
P2
K 2
P1
B
CDE
F
k l
p
q
m
A
A
B
C
D
1
1 2
2
5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 5/6
0
11 90⟨∠=∠ CD K DC K
Maka090>∠=∠ BCD ADC atau dapat dikatakan
090>∠=∠ BC
∆P1AD siku-siku di A, ∠ P1DA lancip maka PD>PA
PE = PF, PD > PA, maka DE< AF sedemikian hingga DC< AB.
Teorema 7:
“Dalam segiempat Lambert ABCD dengan090=∠=∠=∠ C B A , maka sudut keempat
D tumpul”
Bukti:
K 1 dan K 2 adalah kutub dari garis q. Jadi garis k dan m yang melalui K 1 dan K 2 tegak lurus
dengan garis q di titik A dan B.
P1 dan P2 adalah kutub dari garis m. Jadi garis p dan q yang melalui P1 dan P2 tegak lurus
dengan garis m di titik C dan B.
Perhatikan segiempat ABCD.090=∠=∠=∠ C B A .
Akan dibuktikan bahwa D∠ tumpul.
Pembuktian:
Ruas garis K 1C < K 1B (jarak polar q)
Berdasarkan Teorema 3 maka °<∠ 901 DC K
Maka090>∠ ADC atau dapat dikatakan
090>∠ D .
Jadi D∠ tumpul. (terbukti)
Teorema 8:
”Tidak ada bujursangkar dalam geometri Eliptik”
Bukti:
Andaikan ada bujursangkar dalam geometri eliptik. Berarti ada segiempat ABCD dengansemua sisinya sama panjang dan semua sudutnya siku-siku.
Jadi jumlah besar sudut segiempat ABCD = DC B A ∠+∠+∠+∠
= °+°+°+° 90909090
= 360o
Hal ini bertentangan dengan Teorema 5 yaitu jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih
besar dari 360o.
Jadi pengandaian salah. Seharusnya tidak ada bujursangkar dalam geometri Eliptik. (terbukti)
K 1
P2
K 2
P1
DC
B
k
p
q
m
A
5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 6/6
Teorema 9:
”Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen”
Teorema 10:
”Luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari aksesnya yaitu
)( π µ −++=∆ C B A ”
Bukti:
Ambil sebarang segitiga ABC pada salah satu belahan bola seperti pada gambar
berikut.
Garis b dan c bertemu pada titik A yang bertentangan dengan A’. Luas daerah
tersebut didefinisikan sebagai lune 2α.
Selanjutnya pada bola tersebut kita mendapatkan gambar seperti di samping.
Permukaan bola terbagi menjadi 8 daerah dengan '∆ adalah segitiga yang
daerahnya berada pada tempat yang berlawanan dengan tempat daerah segitiga∆
. 1∆∪∆ pada lune, dst.
Daerah ∆ = daerah '∆ , '11 ∆=∆ , dst.
Selanjutnya, 1∆+∆ = daerah dari lune = 2α
2∆+∆ = 2β
3∆+∆ =2γ
Dan juga π γ β α π 2222242222 321 −++=∆⇒=∆+∆+∆+∆
top related