elliptic geometry

5/16/2018 Elliptic Geometry - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/elliptic-geometry 1/6

A. TEOREMA-TEOREMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK

Teorema 1:

“Dua garis yang tegaklurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik”

Bukti:

Misal a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada

suatu garis m.

U dan S merupakan kutub dari m.

Akan dibuktikan bahwa dua garis itu bertemu pada

suatu titik.

Pembuktian:

Berdasarkan sifat dari double Eliptik yaitu

setiap 2 garis berpotongan pada 2 titik, maka:

a berpotongan m di dua titik yaitu A dan A’

b berpotongan m di dua titik yaitu B dan B’

A, A’, B’ dan B titik yang terletak pada m dan garis a serta b tegak lurus m maka

berdasarkan sifat kutub, segmen yang melalui titik A, A’, B, dan B’ terhubung dengan

titik U dan S.

Jadi garis a dan b bertemu titik yang sama yaitu U dan S ( terbukti)

Teorema 2:

“Semua garis tegaklurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub

dari garis itu dan sebaliknya setiap garis melalui kutub suatu garis tegaklurus pada garis

itu”.

Bukti:

Misal a dan b adalah dua garis yang tegak lurus pada

suatu garis m. U dan S merupakan kutub dari m.

• Adib 1: semua garis tegak lurus pada suatu

garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub

dari garis itu.

• Adib 2: setiap garis melalui kutub suatu

garis tegak lurus pada garis itu.

Pembuktian 1:

Berdasarkan teorema 1, maka dapat disimpulkan bahwa tiap diambil 2 titik pada m

dapat dibuat 2 garis yang tegak lurus m & bertemu di titik yang disebut kutub dari

garis m.

m

U

S

B A

B’

’A’

b

a

m

U

S

B A

B’

’A’

b

a



Karena ada banyak titik di m maka pada setiap titik tersebut padat dibuat garis yang

tegak lurus di m dan bertemu di kutub m.

Jadi setiap garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang

disebut kutub dari garis itu. ( terbukti).Pembuktian 2:

Misal U dan S kutub dari m

Berdasarkan sifat kutub, maka setiap ruas garis yang menghubungkan U dengan titik

pada m & setiap ruas garis yang menghubungkan S dengan titik pada m, akan selalu

tegaklurus m.

Ambil sebarang titik di m, misal A, A’, B & B’ maka:

BU tegaklurus m, B’U tegaklurus m,

BS tegaklurus m, B’S tegaklurus m,

A’U tegaklurus m, AU tegaklurus m,

AS tegaklurus m, A’S tegaklurus m.

BU, B’U, BS, B’S adalah segmen-segmen yang termuat pada garis b, dan A’U, AU,

AS, A’S adalah segmen-segmen yang termuat pada garis a. Maka garis-garis tersebut

(a & b) melalui kutub garis m yaitu U dan S , tegaklurus pada garis m. (terbukti)

Karena pembuktian 1 dan 2 telah terbukti maka teorema 2 terbukti.

Teorema 3:

“Dalam sebarang segitiga ABC dengan090=∠C , sudut A kurang dari, sama dengan

atau lebih dari 900 , tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih

dari jarak polar q.

Bukti :

Diketahui: segitiga ABC dengan0

90=∠C

Akan dibuktikan : 1. q polar jarak BC segmenbila A ⟨⟨∠ ,900

2. q polar jarak BC segmenbila A ==∠ ,900

3.

q polar jarak BC segmenbila A ⟩⟩∠ ,900

Pembuktian I:

K adalah titik kutub dari garis m, sehingga

090=∠ KAC dan 090=∠ KCA .

Segmen BC < jarak polar.

C

m

A

B

Pembuktian 1

K



BAC KAC ∠>∠ (keseluruhan lebih besar dari sebagian)

Karena090=∠ KAC maka BAC ∠>°90 .

Jadi090<∠ A (terbukti)

Pembuktian 2:

Segmen BC = jarak polar,

B adalah titik kutub dari garis m, sehingga

090=∠ BCA dan 090=∠ BAC . Atau dapat dikatakan

090=∠ A (terbukti)

Pembuktian 3:

K adalah titik kutub dari garis m, sehingga090=∠ KAC dan

090=∠ KCA .

Segmen BC > jarak polar.

KAC BAC ∠>∠ (keseluruhan lebih besar dari

sebagian).

Karena090=∠ KAC maka °>∠ 90 BAC .

Jadi090>∠ A (terbukti)

Teorema 4:

“Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar

1800”

Bukti:

Misal diberikan garis l dan garis m dan n yang

tegak lurus l di titik A dan B.

Berdasarkan postulat kesejajaran eliptik, garis m

dan n akan berpotongan di P yang merupakan kutub

dari l .

Perhatikan bahwa PAB adalah segitiga sama kaki (

090=∠=∠ B A ), sehingga PA = PB. positif P ∠ .

Maka jumlah sudut segitiga PAB adalah:

P P B A ∠+°+=∠+∠+∠ 90900

P ∠+= 0180

0180>

BA

P

m n

l

B

m

AC

Pembuktian 2

Pembuktian 3

m

C

B

’’

A

K



Dari yang dijabarkan diatas maka terbukti bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga

lebih besar 1800. (terbukti)

Teorema 5:

“Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600

Diketahui : segiempat ABCD

Adib :0360>∠+∠+∠+∠ DC B A

Bukti:

Pandang segiempat ABCD

Terdapat ∆ABC dan ∆ACD

Pernyataan Alasan

0

11 180>∠+∠+∠ C B A Teorema 4

0

22180>∠+∠+∠ C D A Teorema 4 +

°+°>+∠∠+∠+∠+∠+∠ 1801802121 DC C B A A Aditif

°>∠+∠+∠+∠ 360 DC B A (terbukti)

Teorema 6:

“Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul”

Bukti: p dan q ⊥ m ( p dan q melalui kutub m, yaitu P1 dan P2).

P1E dan P1F ⊥ m.

P1E dan P1F masing-masing ⊥ K 1E dan K 1F.

Garis k , l , dan m melalui K 1 dan K 2.

Garis p dan q melalui P1 dan P2

m merupakan sumbu cermin dari k dan l .

Setiap garis yang menghubungkan P1 dengan m dan P2 dengan m selalu ⊥ m. Maka P1 dan P2

kutub dari m.

k , l , dan m memotong p di titik D,E, dan C sekaligus memotong q di A, F, dan B.

DE = EC ( k dan l simetris terhadap m)

AF = FB ( k dan l simetris terhadap m)

∆K 1DC dan ∆K 1AB sama kaki

Bisa dibuktikan dengan garis tinggi K 1E dan K 1F

K 1D = K 1C dan K 1A = K 1B

Jarak polar

K 1D < K 1A

K 1

P2

K 2

P1

B

CDE

F

k l

p

q

m

A

A

B

C

D

1

1 2

2



0

11 90⟨∠=∠ CD K DC K

Maka090>∠=∠ BCD ADC atau dapat dikatakan

090>∠=∠ BC

∆P1AD siku-siku di A, ∠ P1DA lancip maka PD>PA

PE = PF, PD > PA, maka DE< AF sedemikian hingga DC< AB.

Teorema 7:

“Dalam segiempat Lambert ABCD dengan090=∠=∠=∠ C B A , maka sudut keempat

D tumpul”

Bukti:

K 1 dan K 2 adalah kutub dari garis q. Jadi garis k dan m yang melalui K 1 dan K 2 tegak lurus

dengan garis q di titik A dan B.

P1 dan P2 adalah kutub dari garis m. Jadi garis p dan q yang melalui P1 dan P2 tegak lurus

dengan garis m di titik C dan B.

Perhatikan segiempat ABCD.090=∠=∠=∠ C B A .

Akan dibuktikan bahwa D∠ tumpul.

Pembuktian:

Ruas garis K 1C < K 1B (jarak polar q)

Berdasarkan Teorema 3 maka °<∠ 901 DC K

Maka090>∠ ADC atau dapat dikatakan

090>∠ D .

Jadi D∠ tumpul. (terbukti)

Teorema 8:

”Tidak ada bujursangkar dalam geometri Eliptik”

Bukti:

Andaikan ada bujursangkar dalam geometri eliptik. Berarti ada segiempat ABCD dengansemua sisinya sama panjang dan semua sudutnya siku-siku.

Jadi jumlah besar sudut segiempat ABCD = DC B A ∠+∠+∠+∠

= °+°+°+° 90909090

= 360o

Hal ini bertentangan dengan Teorema 5 yaitu jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih

besar dari 360o.

Jadi pengandaian salah. Seharusnya tidak ada bujursangkar dalam geometri Eliptik. (terbukti)

K 1

P2

K 2

P1

DC

B

k

p

q

m

A



Teorema 9:

”Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen”

Teorema 10:

”Luas suatu segitiga adalah kelipatan konstan dari aksesnya yaitu

)( π µ −++=∆ C B A ”

Bukti:

Ambil sebarang segitiga ABC pada salah satu belahan bola seperti pada gambar

berikut.

Garis b dan c bertemu pada titik A yang bertentangan dengan A’. Luas daerah

tersebut didefinisikan sebagai lune 2α.

Selanjutnya pada bola tersebut kita mendapatkan gambar seperti di samping.

Permukaan bola terbagi menjadi 8 daerah dengan '∆ adalah segitiga yang

daerahnya berada pada tempat yang berlawanan dengan tempat daerah segitiga∆

. 1∆∪∆ pada lune, dst.

Daerah ∆ = daerah '∆ , '11 ∆=∆ , dst.

Selanjutnya, 1∆+∆ = daerah dari lune = 2α

2∆+∆ = 2β

3∆+∆ =2γ

Dan juga π γ β α π 2222242222 321 −++=∆⇒=∆+∆+∆+∆

elliptic geometry

Documents