dosen.ikipsiliwangi.ac.id · web viewpersamaan garis berat yang ditarik dari titik a ke bc -...

BAB I

PENDAHULUAN

A. Koordinat Cartesius

Sistem penyajian titik dalam bidang dengan menggunakan dua buah garis yang

berpotongan tegak lurus. Titik perpotongan kedua garis itu disebut titik pangkal

dan diberi nama O (0,0). Letak titik pada koordinat kartesius dinyatakan dengan

P(x,y).

B. Koordinat Kutub

Sistem penyajian titik dalam bidang dengan menggunakan sebuah garis

mendatar dan sebuah sudut. Letak titik pada koordinat kutub dinyatakan dengan

P(r,Ø)

Lukislah P (5,30o)

1

)()()(

SinusYX

ifSemuaPositYX

)()(

)tan()()(

YX

)()()(

CosYX

),( PP

C. Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Kutub

Perhatikan ∆ OPI P yang siku-siku di PI maka berlaku dalil Phytagoras, yaitu:

Jadi P(x,y) dapat dinyatakan sebagai P(r Cosθ, r Sinθ)

Soal:

1) Ubahlah kedalam koordinat kutub

a) P(1,1)

2

)30,5( o

30

5

),(1 oxP

Y

),( yxpr

)0,0(0

b) P(-1,1)

c) P(-1,-1)

d) P(1,-1)

Jawaban

3

a. Pola pikirnya mengubah bentuk P(x,y) menjadi bentuk P(r, θ)

Jadi titik P(1,1) dapat dinyatakan sebagai berikut:

b. P(-1,1) P(r, θ)

c. P(-1,-1) P(r, θ)

4

d. P(1,-1) P(r, θ)

2. Ubahlah ke bentuk koordionat cartesius

1. P(2,30o)

2. P(2,120o)

3. P(2,210o)

4. P(2,300o)

5

Jawaban

1. P(r, θ) P(x,y)

2. P(r, θ) P(x,y)

3. P(r, θ) P(x,y)

6

4. P(r, θ) P(x,y)

D. Rumus jarak antara dua titik.

Misalkan A dan B adalah titik-titik berkoordinat (x1,y1) dan (x2,y2). Jika r jarak A dan

B, θ sudut antara AB dan sumbu X, maka:

Bukti:

7

Perhatikan ∆ ABIB yang siku-siku di BI maka:

Jumlahkan (1) dan (2) didapat

Soal:

1) Tentukan jarak antara titik (-2,1) dan (4,9)

2) Perlihatkan bahwa titik-titik A(1,-1), B(-1,1), C merupakan titik-titik

sudut segitiga sama kaki.

A ),( 11 yx B ),( 22 yx12 xx

r

B

12 yy

8

Jawaban

1)

2)

Karena = = , maka segitiga ABC adalah segitiga sama sisi

E. Rumus Pembagian Dalam

Misalkan A dan B adalah titik-titik (X1,Y1) dan (X2,Y2).

θ adalah sudut intelinasi AB dengan sumbu X. Titik P(X,Y) membagi AB menjadi

AP:PB = k:l

bukti

Perhatikan ∆ AP1P yang situ-siku di P1.

),( 11 yxA 11B

B

1BP

1P ),( 11 yx ),( 22 yx

),( 22 yx

),( yx

k

l),( 22 yx

9

Perhatikan ∆ AB1B yang situ-siku di B1

Dari (1) dan (2) di dapat

Perhatikan ∆ AP1P yang siku-siku di P1

Perhatikan ∆ AB1B yang siku-siku di B1

10

Dari (1) dan (2) di dapat

Maka

Jika P titik tengah AB, maka

Soal

1) Carilah koordinat titik P yang mambagi dalam AB dengan perbandingan 3:2

dengan A (-7,1) dan B (3,6)

Maka:

11

F. Rumus Pembagi Luar

Misalkan A(X1,Y1) dan B(X2,Y2) P(X,Y) membagi AB menjadi AP:BP=k:l, maka

Bukti:

Perhatikan ∆ AP11P yang situ-siku di P11

Perhatikan ∆ BP1P situ-siku di P1

A(x1, y1)

P(x,y)

B (x2,y2)

P’(x, y2)

P’’(x,y1)

12

Dari (1) dan (2) di dapat

Perhatikan ∆ AP11P yang situ-siku di P11

Perhatikan ∆ BP1P yang siku-siku di P1

Dari (1) dan (2) di dapat

13

Jadi

Soal

2) Carilah koordinat titik P yang mambagi dalam AB dengan perbandingan 4:3

dengan A (-1,-4) dan B (-3,-7)

Maka:

G. Gradien

14

Definisi: Gradien suatu garis hádala nilai Tgn dari sudut yang dibentuk oleh garis

tersebut dengan sumbu x positif.

Tiga buah titik dikatakan satu garis jika gradiennya sama (kollnear/segaris)

Contoh soal

Buktikan titik A(5,7), B(-3,1), dan C(-7,-2) adalah titik-titik yang kolinear

Karena mAB=mBC maka A,B,C kolinear

A ),( 11 yx B ),( 22 yx

B )( 12 yx

15

H. Sudut Antara Dua Garis

Misalkan AB, AC mempunyai gradien m1, m2 dan mempunyai sudut inklinasi

dengan sumbu x positif θ1 dan θ2, maka

Bukti:

Perhatikan segitiga DAE, maka didapat

16

Tg sudut CAB ada dua yaitu:

Contoh soal

Carilah sudut antara garis l1=X+2Y+10=5 dan l2=X-3Y+6=0

l1=X+2Y+10=5

2Y=-X+5-10

Y=-1/2X-5

Y=1/2=m1

l2=X-3Y+6=0

-3Y=-X+6

Y=1/3Y+6/3

Y=1/3Y-2

m2=1/3

ml1=-1/2

ml2=1/3

I. Luas Daerah

17

1. Luas daerah ∆ OAB, dengan O titik pusat, A(x1,y1) dab B(x2,y2)

Misalkan A dan B mempunyai koordinat polar masing-masing (r,θ1) dan (r,θ2)

carilah luas daerah ∆ yang titik-titik puncaknya (0,0) (3,4) (2,6)

2. Luas daerah segitiga ABC, A(x1,y1), B(x2,y2) dan (x3,y3)

18

y

X

Luas Daerah ◊ ABCD

Luas daerah ◊ ABCD=

LATIHAN SOAL

19

1. Carilah koordinat titik yang membagi segmen dari (3,4) ke (-2,7) dalam

perbandingan 3 : 5.

2. Tentukanlah koordinat titik P sehingga = , dengan koordinat (-

2,7) dan (5,6).

3. Carilah semua koordinat titik yang terletak pada garis yang melalui (-2,4)

dan (6,-3) sehingga = 4

4. Diketahui dua titik (-3,2) dan (5,-4). Carilah koordinat-koordinat titik P

dan P’ yang terletak pada segmen jika diketahui bahwa :

a) = b) =

5. Carilah luas daerah segitiga-segitiga berikut dengan koordinat titik puncak :a) P₁ (0, 0) , P₂ (6, 1) , dan P₃ (4, 2)b) P₁ (8, 0) , P₂ (-5, 1) , dan P₃ (-1, -1)c) P₁ (7, 1) , P₂ (3, 6) , dan P₃ (-2, 1)

6. Carilah luas daerah empat persegipanjang dengan koordinat – koordinat titik puncak :a) P₁ (-3, 2) , P₂ (8, 1) , P₃ (4, -1) , dan P₄ (-2, 0)b) P₁ (-4, -2) , P₂ (-2, 3) , P₃ (3, 1) , dan P₄ (6, 0)

20

BAB II

PERSAMAAN GARIS LURUS

Tempat kedudukan sebuah titik

Persamaan yang dipenuhi oleh koordinat setiap titik yang terdapat pada tempat

yang terletak pada koordinat tersebut.

A. Persamaan Garis Lurus yang sejajar sumbu koordinat

1. Persamaan garis lurus yang sejajar sumbu X

Y

Y =a

X

2. Persamaan garis lurus yang sejajar sumbu Y

Y

Gradien garis lurus yang sejajar sumbu y adalah tak hingga

Gradien garis lurus yang sejajar sumbu x adalah m=0

21

X

X = b

B. Persamaan garis lurus dalam bentuk tangen/gradien

Diketahui persamaan daris bergradien m dan memotong sumbu Y di C(0,0)

misalkan P(x,y) pada maka

Menurut Hipotesis

mAB=m ….(2)

Dari (1) dan (2) didapat

Soal:

1) Carilah persamaan garis yang melalui (0,4) dan bergradien -3

A

B

y

),( yxP

),0( cC

Gradiennya m

22

Jadi persamaan garis singgung adalah y = mx + c y = -3x+4

2) Carilah persamaan garis yang melalui (0,2) dan membentuk sudut 315o

dengan sumbu x positif

m = tgx

m = tg 315oα

m = tg (360o-45o) Kw IV

m = -tg 45o

m = -1

y = mx + c

2 = -1(0) + c

2 = 0 + c

2 = c

C = 2

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

y = mx + c

y = -x + 2

C. Persamaan garsi lurus dalam bentuk Intercept (Tangkapan)

23

Diketahui garis memotong sumbu x di Q(o,b) dan sumbu y di S(a,0). Misalkan

titik P(x,y) pada AB, maka:

.

Dari (1) dan (2) di dapat

24

D. Persamaan garis lurus melalui sebuah titik dan gradiennya diketahui.

Diketahui garis AB bergradien m dan melalui titik C(x1,y1). Misalkan titik P(x,y) pada

AB, maka

Menurut hipótesis mAB = m ….(2)

subsitusi (2) dan (1) didapat

E. Persamaan garis melalui dua buah titik

A

B

),( yxP

),0( cC

A

B

),( yxP

),( 11 yxC

),( 22 yxD

25

Diketahui garis AB melalui titik C(x1,y1) dan D(x2,y2). Misalkan titik P(x,y) pada AB

maka:

Dari (1) dan (2) didapat

Soal

1) Carilah persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan (0,5)

2) Carilah persamaan garis melalui titik (3,5) dan bergradien 7

3) Carilah persamaan garis melalui (1,2) dan (7,3)

Jawaban:

1)

26

Atau dengan cara

2) titik (3,5) dan m = 7

3) titik (1,2) dan (7,3)

27

F. Persamaan garis melalui (x1,y1) dan membentuk sudut θ dengan sumbu x positif

Diketahui sebuah garis melalui titik A(x1,y1) dan B. Misalkan titik P(x,y) pada AB

sedemikian hingga , maka

Dari (1) dan (2) di dapat

),( 11 yxA ),( 1yxP

),( yxP

B

28

G. Persamaan Umum Garis Lurus

29

Persamaan umum garis lurus dinyatakan dalam bentuk Ax + By + C = 0

Kasus:

1. Jika A = 0, maka persamaan garis menjadi y = -C/B, maka garis ini sejajar

sumbu x dengan gradien = 0.

2. Jika B = 0, maka persamaan garis menjadi x = -C/A, maka garis ini sejajar

sumbu y dengan gradien tak hingga.

3. Jika C = 0, maka garis tersebut melalui titik O(0,0).

H. Sudut Antara Dua Garis

Dari

Kasus

1) Dua garis sejajar, maka α = 0o di dapat

30

2) Dua garis sejajar, maka α = 90o di dapat

Tg90o tidak didefinisikan artinya penyebut = 0, sehingga didapat 1 + m1m2 =

0 maka m1m2 =-1

Soal:

1) Carilah persamaan garis melalui titik (2,3) dan memenuhi:

a. Sejajar garis 2x-3y=1

b. Tegak lurus 2x+5y=3

c. Sejajar sumbu x

d. Sejajar sumbu y

Jawaban:

Melalui titik (2,3) sejajar garis 2x-3y=1]

31

Melalui titik (2,3) tegak lurus 2x+5y=3

Melalui titik (2,3) sejajar sumbu x

32

Melalui titik (2,3) sejajar sumbu y

Jika m = ~ maka penyebut = 0 didapat x-x1 = 0, x – 2 = 0, x = 2

2) Diketahui 3 buah titik puncak segitiga ABC yaitu A(1,3), B(3,4), C(2,6).

Tentukan!

a) Garis tinggi yang melalui titik A terhadap

- mBC

- mBC.mAD=-1

A

B D C

33

- y - ya = mAD(x-xa)

b. Persamaan garis berat yang ditarik dari titik A ke BC

- Tentukan persamaan AD

A

B D C

34

a) Luas ∆ ABC

I. Perpotongan Dua Buah Garis l1 = A1x + B1y + C1 = 0 dan l2 = A2x + B2y + C2 = 0

Kasus:

1) Jika , maka kedua garis berimpit, maka mempunyai banyak

perpotoangan banyak himpunan jawab.

2) Jika ≠ , maka kedua garis sejajar, jadi tidak ada titik potong.

3) Jika ≠ , maka terdapat tepat satu titik potong.

35

J. Jarak Satu Titik Ke Garis

Jika A(x,y) dan l1 = Ax + By + C = 0 maka jarak A ke l1 adalah

Bukti :

Y

U=[a,b]

P1 (x1,y1)

X

P2 (x2,y2)

Gambar 1

P1(

U =[a,b]

P2 (x1,y1)

Gambar 2

36

Perhatikan gambar 1, misalkan titik P1 (x1,y1) berada pada pihak yang sama dengan

arah vektor koefisien atau vektor normal garis ax + by + c = 0 yaitu U=[a,b]. Titik P2

(x2,y2) adalah proyeksi dari P1(x1,y1) maka menurut perkalian skalar vektor didapat :

U. = . cosα

U . = U . cos 00 (Karena vektor U dan sejajar dengan

arah yang sama maka besar sudut antara U dan adalah 00. Selanjutnya kita

dapatkan :

U. = . .1

12PP =

12PP =

12PP =

12PP =

Karena titik P2 terletak pada garis ax + by + c = 0, maka –ax2 – by2 = c , maka

didapat

d = = ...............................................(1)

Perhatikan gambar 2, maka kita dapatkan

U. = . cosα

U . = . cos 1800 (Karena vektor U dan sejajar

dengan arah yang berlawanan maka besar sudut antara U dan adalah 00.

Selanjutnya kita dapatkan :

37

U. = . .(-1)

- 12PP = UP12P U.

- =22

2121 ],][,[

ba

yyxxba

- 12PP = 22

2121

a

)y - (y b + ) x- a(x

b

- 12PP = 22

2211

ba

byaxbyax

Karena titik P2 terletak pada garis ax + by + c = 0, maka –ax2 – by2 = c , maka

didapat

- 12PP =

- d = - = ......................................................(2)

Dari (1) dan (2) didapat

d =

Contoh:

1) Tentukan jarak titik (5,1) ke garis 3x-4y-1=0

38

K. Garis Bagi Sudut

Soal:

Dik: l1 = x + y +1 = 0; l2 = x – y +3 = 0; l3 = 7x –y + 3 = 0

Persamaan garis bagi yang ditarik dari l1 dan l3

A B

C

AC BC

39

L. Berkas Garis

Definisi : Berkas garis adalah persamaan garis yang melalui perpotongan dua garis

dan memenuhi syarat tertentu.

Soal:

1) Carilah persamaan garis yang melalui perpotongan 3x-2y=8 dan 2x-5y=3

serta memnuhi kondisi:

a. mempunyai m = ½

Persamaan Berkas Garis

Subsitusi

l1=Ax+By+C=0 dan l2=A1x+B1y+C1=0 maka persamaan berkas garisnya adalah l1 + kl2 = 0

40

Subsitusi (4) ke (1) didapat

b. melalui titik (1,3)

Subsitusi

c. sejajar sumbu x

d. sejajar sumbu y

41

Jika m = ~, maka penyebut = 0 didapat

e. membentuk sudut ±135o dengan sumbu x positif.

42

1. Carilah persamaan garis yang melalui titik (5, 2) dan memotong kedua sumbu koordinat titik potong sumbu yang sama.

2. Suatu garis mempunyai titik potong sumbu yang sama dan melalui titik (-1, -4). Carilah persamaannya.

3. Suatu garis melalui titik (-12, 3) membentuk suatu segitiga dengan kedua sumbu koordinat dan luasnya 9 Satuan Luas, tentukanlah persamaan garisnya.

4. Carilah jarak dari garis terhadap titik yang diketahui sebagai berikut :

a) dan (1, -2)

b) dan (2, -3)

c) dan (-4, -5)

d) dan (-2, 1)

e) dan (0, 1)

f) dan (-3, 4)

5. Carilah diantara dua garis sejajar yang berpasangan berikut :

a)

b)

c)

d)7. Diketahui dua titik yang terletak pada sumbu Y dengan jarak 4 satuan

terhadap garis . Carilah koordinat kedua titik tersebut.

8. Carilah persamaan-persamaan garis yang sejajar terhadap

dan berjarak 1 satuan dari titik pangkal.9. Carilah persamaan-persamaan garis yang berjarak 2 satuan dari titik pangkal

dan sejajar terhadap garis

43

10. Carilah dua garis yang sejajar dengan garis dan berjarak 3

satuan dengan garis ini.11. Carilah tempat kedudukan (himpunan titik-titik) dari pusat-pusat lingkaran

yang berjari-jari 6 satuan menyinggung garis

12. Carilah persamaan-persamaan garis yang sejajar dengan garis

dan berjarak 10 satuan dari titik (-1, 2).

13. Carilah persamaan garis yang melalui titik (9, -6) dan berjarak 1 satuan dari titik (4, -1).

14. Carilah persamaan garis yang tegak lurus terhadap dan

berjarak 2 satuan dari titik (4, -1).15. Alas suatu segitiga merupakan garis hubung titik-titik (-2, 4) dan (-1, 3).

Carilah tempat kedudukan titik-titik puncak ketiga dari segitiga tersebut, jika

luas daerahnya .

16. Carilah k, jika ketiga garis berikut konkuren :

, , dan

17. Carilah k, jika ketiga garis berikut konkuren :

, , dan

18. Carilah jarak dari titik potong garis dengan persamaan-persamaan

dan terhadap garis dengan persamaan

.

19. Carilah koordinat titik potong dari garis-garis tinggi suatu segitiga dengan koordinat titik puncak P₁(8, 0), P₂ (-1, 4), dan P₃ (0, 3).

20. Carilah persamaan-persamaan garis yang sejajar dan yang tegak lurus

terhadap garis yang melalui titik potong diantara garis

dan .

21. Diketahui suatu segitiga dengan titik – titik puncak A(1, 0), B(3, 4), dan C(5, -2).a) Buktikan bahwa ketiga garis tingginya berpotongan di satu titik.b) Koordinat titik potong ketiga garis berat segitiga tersebut.

44

22. Carilah persamaan-persamaan garis bagi sudut yang terbentuk oleh dua garis

yang berpotongan, dengan persamaan sebagai berikut : dan

.

23. Carilah persamaan garis bagi sudut tumpul yang terbentuk oleh garis-garis

dengan persamaan dan .

24. Carilah persamaan-persamaan garis bagi sudut yang dibentuk oleh garis-garis

dan .

25. Carilah persamaan garis bagi sudut yang dibentuk oleh garis-garis

dan .

26. Carilah persamaan berkas garis yang melalui perpotongan garis-garis

dan .

Carilah anggota berkas yang melalui :a) (1,-1)b) (2,3)c) (4,0)d) (-2,6)

27. Carilah tiap persamaan garis berikut :

a) Melalui P(1,-2) dan perpotongan dan

b) Melalui P(5,2) dan perpotongan dan

c) Melalui P(0,2) dan perpotongan dan

d) Melalui P(-4,-2) dan perpotongan dan

28. Carilah persamaan garis yang melalui perpotongan garis

dan dan juga :

a) Sejajar terhadap

b) Tegak lurus terhadap

c) Sejajar sumbu Yd) Sejajar sumbu X

45

29. Carilah persamaan garis yang melalui titik perpotongan dan

dan juga :

a) Sejajar terhadap

b) Tegak lurus terhadap

c) Sejajar sumbu Xd) Sejajar sumbu Y

30. Diketahui suatu segitiga dengan titik-titik puncak A (6,4) B (-1, 3) dan C (8,0). Carilah :a) Persamaan ABb) Persamaan garis yang tegak lurus dan membagi dua sama panjang sisi ABc) Persamaan garis tinggi yang melalui C pada ABd) Persamaan garis yang melalui C dan sejajar AB

e) Sebuah titik P pada perpanjangan BA, sehingga perbandingan

terhadap adalah -1 : 3

f) Persamaan garis bagi sudut BACg) Panjang garis tinggi pada ABh) Luas daerah segitiga i) Persamaan garis yang membagi dua sama panjang sisi lain jika ditarik

dari titik puncak A.31. Diketahui segitiga dengan titik-titik puncak A (-1,-2) B (1,3) dan C (6,-2).

Carilah keterangan seperti pertanyaan dalam latihan 35

46

47

BAB III

LINGKARAN

A. Definisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang

berjarak sama terhadap titik tertentu. Catatan:

a. Jarak yang sama terhadap titik tertentu dinamakan jari-jari (Radius ®)

b. Titik tertentu dinamakan titik pusat.

B. Unsur-unsur Lingkaran

a. Tali busur: garis lurus yang menghubungkan dua buah titik pada titik

pusat.

b. Busur: garis lengkung yang menghubungkan dua buah titik pada

lingkaran.

c. Garis tengah: tali busur yang melalui titik pusat.

d. Sudut pusat: sudut yang dibentuk oleh jari-jari

A B

O

48

e. Sudut keliliing: sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur.

Sudut keliling = ½ sudut pusat

f. Juring adalah daerah yang dibatasi dua buah jari-jari dan busur.

g. Tambereng adalah luas daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur

C. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari r

A B

O

A B

O

49

iketahui lingkaran dengan pusat O(0,0) berjari-jari r. Misalkan P(x,y) pada lingkaran

maka didapat

Contoh soal:

1) Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan berjari-jari 7

2) Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan melalui titik (3,4)

Jawaban!

1) Persamaan umum lingkaran pusat O(0,0) beradius r

x2+y2=r2

x2+y2=72

x2+y2=49

2) x2+y2=r2 melalui titik (3,4) didapat

(3)2+(4)2=r2

9 + 16 = r2

25 = r2

Maka persamaan lingkaran yang dicari

x2+y2=r2

x2+y2=25

2. Persamaan lingkaran dengan pusat M(h,k) dan berjari-jari r.

50

Diketahui lingkaran dengan pusat M(h,k) dan berjari-jari di r, misalkan P(x,y) pada

lingkaran, maka

Contoh Soal:

1) Carilah persamaan lingkaran dengan pusat (12,5) dengan jari-jari 7.

2) Carilah persamaan lingkaran denga pusat (2,2) dan melalui titik (5,6)

Jawaban

1) (x-h)2 + (y-k)2 = r2

(x-12)2 +(y-5)2 = 72

(x-h)2 + (y-k)2=49

2) (x-h)2+(y-k)2=r2

(5-2)2+(6-2)2=r2

(3)2+(4)2=r2

9 + 16 = r2

25 = r2

(x-h)2+(y-k)2=r2

(x-2)2+(y-3)2=25

3. Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan umum Lingkaran adalah sebagai berikut :

Koefisien dari x2 dan y2 harus sama, karena kalau tidak sama biasanya disebut

dengan ellips yang akan dibahas nanti dalam bab selanjutnya.

51

Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, maka persamaan umum lingkaran harus

diuraikan menjadi persamaan standar lingkaran yaitu (x –h)2 + (y-k)2 =r2, sehingga

didapat pusat lingkaran (h,k) dan jari-jari r> Untuk selnjutnya perhatikan uraian

sebagai berikut.

Contoh soal:

1) Tentukan pusat dari jari-jari dari lingkaran dengan persamaan:

a. x2+y2+4x-6y-3=0

pusat:

b. 9x2+9y2-12x+6y-4=0

52

Pusat :

4. Persamaan Lingkaran melalui Tiga buah titik

Untuk mencari persamaan lingkaran melalui tiga buah titik, perhatikan contoh soal

berikut ini :

Carilah persamaan lingkaran melalui titik (2,1),(0,5) dan (-1,2) misalkan

lingkarannya adalah x2+y2+Ax+By+C=0

Melalui (2,1) didapat:

22+12+A(2)+B(1)+C=0

4+1+2A+B+C=0

2A+B+C=-5 ....(1)

Melalui (0,5) didapat:

O2+52+A(0)+B(5)+C=0

53

0+25+0+5B+C=0

5B+C=-25 ....(2)

Melalui (-1,2) didapat

(-1)2+22+A(-1)+B(2)+C=0

1+4-A+2B+C=0

5-A+2B+C=0

-A+2B+C=-5 ....(3)

Eliminasi (1) dan (3)

Eliminasi (2) dan (4)

Subsitusi (5) dan (4)

Subsitusi (5) & (6) ke (1)

2A+B+C=-5

2A+(-6)+5=-5

54

2A-1=-5

2A=-5+1

2A=-4

A=-2

Jadi persamaan lingkarannya:

x2+y2+Ax+By+C=0 x2+y2-2x-6y+5=0

5. Persamaan lingkaran yang mempunyai diameter malalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

A(x1,y1) B(x2,y2)

P(x,y)

Diketahui lingkaran mempunyai diameter melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2). Titik P(x,y)

pada lingkaran maka:

55

Soal:

Carilah persamaan lingkaran yang mempunyai diameter melalui titik (0,-1) dan (2,3)

Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik (-1,3), (3,5) dan mempunyai titik

pusat pada garis x + 2y - 6 = 0

Misalkan persamaan lingkaran adalah x2+y2+Ax+By+C=0.

Melalui titik (-1,3)

(-1)2+(3)2+A(-1)+B(3)+C=0

1+9-A+3B+C=0

10-A+3B+C=0

-A+3B+C=-10....(1)

Melalui titik (3,5)

(3)2+(5)2+A(3)+B(5)+C=0

9+25+3A+5B+C=0

56

34+3A+5B+C=0

3A+5B+C=-34...(2)

Eliminasi (1) dan (2)

Eliminasi (3) dan (4)

Subsitusi (5) ke (3)

Subsitusi (6) dan (5) ke (1)

57

Persamaan Lingkaran

D. Persamaan garis singgung pada lingkaran

Menyinggung lingkaran pada satu titik

Garis singgung tersebut selalu tegak lurus pada jari-jari

1) Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat O(0,0) beradius r di

titik (x1,y1).

Diketahui lingkaran dengan pusat O(0,0) beradius r. Misalkan P(x1,y1) pada

lingkaran tersebut, maka:

58

Persamaan garis melalui (x1,y1) dan bergradien adalah

x

(Karena terletak pada lingkaran x2 + y2 =r2)

Contoh

Carilah ersamaan garis singgung pada lingkaran dtiitik (3,4)!

Jawaban

Persamaan garis singgung pada lingkaran dititik (3,4)adalah :

x(3) + y(4) =52

3x + 4y = 25 atau 3x + 4y-25 = 0

59

2) Persamaan garis singgung pada lingkaran dititik

y

m

x

Karena tegak lurus garis singgung g, maka :

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

(

60

(

(

(

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran dengan persamaan

di titik ( adalah

(

Contoh :

Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran dititik (5,7)!

Jawab

Persaman garis singgung pada lingkaran adalah

( melalui (5,7) dan berjari-jari didapat :

x -2) +(7-3)(y-3) = 25

3(x – 2) + 4(y – 3) = 25

3x -6 + 4y -12= 25

3x + 4y -18-15 = 0

3x + 4y -33 = 0

61

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran

Y

P(

X

Karena tegak lurus garis singgung g, maka :

Jadi persamaan garis singgungnya adalah

(

( )(

62

4. Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m

diketahui

Persamaan lingkaran dengan pusat r dan berjri-jari r adalah :

Persamaan garis singgung y = mx + c ............................(2)

Subtitusi (2) ke (1) didapat

+ ( =

(

Garis tersebut memotong lingkaran pada satu titik dengan syarat :

D = 0

( = 0

63

Jadi Persamaan garis singggung yang dicari adalah

5. Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan

gradien m adalah

Contoh soal:

a. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2+y2=4, dengan gradien 2.

b. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran yang

sejajar garis 2x-y+10=0

Jawab :

Sejajar m1=m2

64

6. Persamaan garis singgung yang ditarik dari suatu titik di luar lingkaran

Carilah persamaan garis singgung yang ditarik dari titik (-1,7) di luar lingkaran

x2+y2=25.

Persamaan lingkaran x2+y2=25. …..(1)

Pada lingkaran melalui titik (-1,7) dan bergradien m adalah

Subsitusi (2) ke (1) didapat

11, yxP

65

Persamaan garis

atau

E. Garis Kuarsa (Radical Axis)

Definisi:

Garis kuarsa adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai panjang garis

singgung yang sama pada dua buah lingkaran

X

Jika l1=x2+y2+Ax+By+C=0

66

l2=x2+y2+A1x+B1y+C=0

maka persamaan garis kuarsanya yaitu

Contoh:

Carilah persamaan garis kuarsa dari sepasang lingkaran berikut ini:

l1=x2+y2-x-y-2=0

l2=3x2+3y2-4x-12=0

Jawaban:

L1=x2+y2-x-y-2=0

A = -1

B = -1

C = -2

L2=3x2+3y2-4x-12=0

A1 = -4/3

B1 = -1

C1 = -4

Jadi persamaan garis kuarsanya hádala

F. Berkas Lingkaran (Cooxal Circles)

Definisi:

67

Berkas lingkaran adalah statu sistem dari dua buah lingkaran yang mempunyai

garis kuarsa yang sama.

Jika l1=x2+y2+Ax+By+C=0

l2=x2+y2+A1x+B1y+C=0

maka persamaan berkas lingkaran

L1+kL2=0

Contoh soal:

Carilah persamaan lingkaran yang melalui (-3,2) dan merupakan berkas lingkaran

dari 3x2+3y2+2x-7y-6=0 dan x2+y2-y+2=0.

Jawab:

Persamaan berkas lingkaran

L1+kL2=0

Melalui titik (-3,2) didapat:

Subsitusi (2) ke (1)

G. Lingkaran Ortogonal

68

Definisi:

Dua buah lingkaran dikatakan berpotongan ortogonal/tegak lurus jika hanya jika

garis singgung kedua lingkaran itu berpotongan pada satu titik dengan tegak lurus.

Segitiga APB yang siku-siku di P, maka berlaku

Syarat dua buah lingkaran berpotongan tegak lurus (ortogonal) jika hanya jika

Contoh

69

1. Buktikan bahwa lingkaran dan

berpotongan tegak lurus

2. Carilah persamaan lingkaran yang memotong lingkaran

dan dan pusatnya terletak

pada garis 3x – y – 2 = 0

70

Eliminasi (1) & (2)

Eliminasi (3) & (4)

Subsitusi (5) ke (4)

Subsitusi (5) dan (6) ke (1)

Persamaan lingkaran ortogonal

71

3. Carilah persamaan lingkaran yang memotong lingkaran

dan dan melalui titik(-3,0)

Eliminasi (1) & (2)

Eliminasi (3) & (4)

72

Subsitusi (5) ke (3)

Subsitusi (5) dan (6) ke (1)

Persamaan lingkaran ortogonal

BAB IV

IRISAN KERUCUT

A. Definisi

Irisan kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar dimana

perbandingan jarak dari suatu titik sambung ke titik tertentu dengan jarak titik

sembarang ke garis tertentu adalah tetap.

73

1. Titik tertentu disebut dengan fokus.

2. Garis tertentu disebut dengan direktris

3. Bilangan yang tetap disebut eksentristas (e)

Bentuk irisan kerucut ditentukan oleh nilai eksentrisitas (e)

1. Jika e=1, maka irisan kerucut disebut dengan parabola.

2. Jika e<1, maka irisan kerucut disebut ellips.

3. Jika e>1, maka irisan kerucut disebut hiperbola.

4. Jika e=0, maka irisan kerucut disebut lingkaran.

B. Bentuk umum Irisan Kerucut

Misalkan suatu irisan kerucut mempunyai fokus(x1,y1), persamaan direktriksnya

adalah ax+by+c=0 dan eksentritasnya sama dengan (e) maka persamaan irisan

kerucutnya

Bukti:

Dik: F=(x1,y1)

P=(x,y)

74

Soal:

Dik: Fokus (-1,1), direktriksnya x+y-1=0, e=1 adalah

Jawab:

C. Parabola

Definisi:

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertent

sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

1. Persamaan Parabaola dengan pincak (0,0), fokus (p,0) dengan Persamaan

direktrik x = -p

Gambar Parabola terbuka ke kiri

75

jadi persamaan parabola dengan puncak O(0,0), F(p,0) dan direktrik x = -p

2. Persamaan parabola dengan puncak O(0,0), F(-p,0) dan direkrikt x = p adalah

(Dibawah ini gambar para bola kekanan)

3. Persamaan parabola dengan puncak O(0,0), F(0,p) dan direkrikt y = -p adalah

Gambar Parabola terbuka keatas

4. Persamaan parabola dengan puncak O(0,0), F(-p,0) dan direkrikt y = p adalah

Gambar para bola terbuka ke bawah

5. Persamaan parabola dengan puncak (h,k) , F(p +h, k) dan direktrik x = -p +h

(gambar parabola terbuka kekanan)

76

Jadi persamaan parabola dengan puncak (h,k), fokus (h - p, k) dan direktrik x = h +

p adalah

(Gambar parabola terbuka kekiri)

Jadi persamaan parabola dengan puncak (h,k), fokus (h, k + p) dan direktriks y = -p

+ h adalah

Gambar parabolaTerbuka keatas

Jadi persamaan parabola dengan puncak (h,k), fokus (h, k - p) dan direktriks y = p +

h adalah

77

Gambar parabola terbuka kebawah

D. Ellips

Definisi :Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke

titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai yang tetap (e <

1)

1) Persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) fokus F1(-c,0) dan F2(c,0) serta

direktriks adalah , dengan , ,

panjang latus rectum =

Gambar ellips memanjang sepanjang sb x

=

=

= )

Berdasarkan rumus ellips didapat

78

)

, kita ketahui bahwa c =ae, maka e = ,

akibatnya

, kita ketahui bahwa

2) Persamaan ellips yang pusatnya di O(0,0) fokus F1(0,-c) dan F2(0,c) serta

direktriks adalah , dengan , ,

panjang latus rectum =

Gambar Ellips memanjang sepanjang sumbu y

79

3) Persamaan ellips yang berpusat di M(h,k),fokus F1(h - c,k) dan F2(h + c,k) serta

direktriks adalah , dengan

, , panjang latus rectum =

Berdasarkan ketentuan bahwa rumus untuk ellips adalah

=

80

4) Persamaan elleps yang pusatnya di O(0,0) fokus F1(h,k - c) dan F2(h,k + c) serta

direktriks adalah , dengan

, , panjang latus rectum =

Gambar ellips memanjang sepanjang sb y

E. Hiperbola

Definisi :Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya

ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai yang tetap

(e >1)

1) Persamaan ellips yang berpusat di O(0,0) fokus F1(-c,0) dan F2(c,0) serta

direktriks adalah , dengan , ,

panjang latus rectum = , asimtot

Gambar Hiperbola

81

)

)

, karena

82

2) Persamaan elleps yang pusatnya di O(0,0) fokus F1(0,-c) dan F2(0,c) serta

direktriks adalah , dengan , ,

panjang latus rectum = , asimtot

3) Persamaan ellips yang berpusat di M(h,k),fokus F1(h - c,k) dan F2(h + c,k) serta

direktriks adalah , dengan

, , panjang latus rectum = ,

4) Persamaan ellips yang pusatnya di O(0,0) fokus F1(0,k - c) dan F2(0,k + c) serta

direktriks adalah , dengan

, , panjang latus rectum = ,

83