perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id simulasi numerik .../simulasi... · tugas akhir dengan...
Post on 16-Mar-2019
259 Views
Preview:
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN
DENGAN METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI
SKRIPSI
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Teknik
Oleh :
DANDUN MAHESA PRABOWOPUTRA NIM. I1409013
JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2012
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN
DENGAN METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI
Disusun oleh :
Dandun Mahesa Prabowoputra NIM. I1409013
Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing II Eko Prasetya Budiana, S.T,M.T. Purwadi Joko Widodo, S.T,M.Kom NIP. 197109261999031002 NIP. 197301261997021001 Telah dipertahankan di hadapan dosen tim penguji pada hari kamis tanggal 26 Juli 2012
1. D.Danardono, S.T,M.T,PhD. NIP. 196905141999031001 …………………………..
2. Tri Istanto, S.T,M.T. NIP. 197308202000121001 …………………………..
3. Wibawa Endra Juwana, S.T,M.T. NIP. 197009112000031001 …………………………..
Mengetahui,
Ketua Jurusan Teknik Mesin Koordinator Tugas Akhir
Didik Djoko Susilo, S.T,M.T. Wahyu Purwo Raharjo, S.T,M.T.
NIP. 197203131997021001 NIP. 197202292000121001
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto
Ilmu itu seperti udara, siapapun bisa mendapatkannya . Asalkan dia mau
untuk menghirupnya. (anonym)
Manusia tidak memilih dirinya untuk menjadi luar biasa, melainkan mereka memilih untuk melakukan hal-hal yang luar biasa. (Sir Edmund
Hillary)
Happiness is when what you think, what you say, and what you do are in harmony. ( Mahatma Gandhi)
Persembahan
Tugas Akhir ini saya persembahkan kepada :
Bapak (Alm. Handoyo Cipto) , Ibu (Hariani Pancawati)
Kakak ( Jati Kusuma, Indira Putri Andini, Lindawati)
dan Adikku (Gandita putri Cipta Cahayani)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
ABSTRAK
DANDUN MAHESA P, Simulasi Numerik Konveksi Alami Dalam Kotak 2-D Dengan Variasi Kemiringan Dengan Metode Skema Kompak Orde Tinggi
Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui fenomena yang terjadi, meliputi pola aliran dan distribusi temperatur pada permasalahan Konveksi alami, pada kotak 2D dengan variasi kemiringan. Variasi sudut dilakukan pada kemiringan 00, 300, 450, 900, 1200, 1350, 1500, dan 1800.
Tulisan ini menguraikan metode untuk penyelesaiaan konveksi alami kondisi steady dalam kotak 2D dengan variasi kemiringan. Metode ini didasarkan pada skema Runge–Kutta untuk diskritisasi waktu dan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang.Penyelesaian permasalahan tekanan dengan menggunakan metode kompresibilitas tiruan. Metode beda hingga dituliskan dengan bahasa Fortran sedangkan distribusi temperatur dan pola aliran divisualisasikan dengan perangkat lunak Matlab.
Visualisasi menunjukan bahwa pola aliran dan mekanisme perpindahan panas dipengaruhi oleh besarnya sudut kemiringan. Perbandingan nilai hasil pada metode ini dengan nilai hasil metode lain seperti MLB, DQ analysis, dan algoritma pseudo–spectral Chebsyev, yang dipublikasikan oleh peneliti lain pada penelitian sebelumnya, menunjukan kedekatan yang membuktikan metode ini dapat diterima. Penelitian ini Metode skema kompak orde-tinggi mampu memberikan hasil yang baik untuk kasus konveksi alami pada kotak 2D dengan bilangan Rayleigh mencapai 107. Program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10-3.2 sampai 10-3,59.
Kata kunci : konveksi alami, skema kompak, skema Runge – Kutta , sudut
kemiringan .
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
ABSTRACT
DANDUN MAHESA P, Numerical Simulation of natural convection in 2D cavity with inclination variation by Higher-Order Compact Schemes method
The research was conducted to determine the phenomena, including stramlines and temperature distribution in a natural convection problem, the 2D cavity with inclination variations. Variations of the inclination angle 00, 300, 450, 900, 1200, 1350, 1500, and 1800.
This paper outlines a method for solving steady state natural convection in a 2D cavity with a variation of the inclination. The method is based on the Runge-Kutta scheme for time discretization and compact finite difference scheme order-4 for the discretization of space. The pressure problems were solved by using the artificial compressibility method. The finite difference method was written in Fortran language whereas the temperature and flow patterns were visualized with Matlab software.
The visualization showed that the flow pattern and heat transfer mechanisms are influenced by the magnitude of the inclination. Comparison of the results of this method with the results of other method MLB, DQ analysis, and pseudo–spectral Chebsyev, in previous studies, showes the closeness which proves this method is acceptable. This research method of high-order compact schemes can give good results for the case of natural convection in a 2D cavity with the Rayleigh number reaches 107. The programs that have been made is able to reach the continuity equation close to 0, i.e at 10-3.2 to 10 -3.59. Key words : natural convection, compact schemes, Runge-Kutta schemes,
Inclination angles
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT,
yang senantiasa melimpahkan rahmat, hidayah serta kekuatan kepada Penulis,
sehingga Penulis dapat melaksanakan penelitian dan menyelesaikan laporan
Tugas Akhir dengan judul “ SIMULASI NUMERIK KONVEKSI ALAMI
DALAM KOTAK 2-D DENGAN VARIASI KEMIRINGAN DENGAN
METODE SKEMA KOMPAK ORDE TINGGI ”, sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Teknik di Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik
Universitas Sebelas Maret Surakarta.
Dalam penyusunan Tugas Akhir ini penulis banyak memperoleh bantuan
dari berbagai pihak yang sangat berarti demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Oleh
sebab tersebut pada kesempatan ini penulis mengucapkan rasa terima kasih
sedalam dalamnya kepada :
1. Didik Djoko Susilo, S.T.,M.T., selaku Ketua Jurusan Teknik Mesin UNS.
2. Bapak Eko Prasetya Budiana, ST.,MT., selaku Pembimbing I tugas akhir,
atas bimbingan, nasehat, kesabaran, motivasi dan ilmu pengetahuan yang
diajarkannya.
3. Bapak Purwadi Joko Widodo, S.T.,M.Kom, selaku Pembimbing II tugas
akhir, atas bimbingan, nasehat, kesabaran dan ilmu pengetahuan yang
diajarkannya.
4. Bapak Heru Sukanto, ST.,MT, selaku Pembimbing Akademik.
5. Bapak–bapak dosen dan staf karyawan di lingkungan Teknik Mesin UNS,
atas didikan, nasehat, ilmu yang diajarkan dan kerjasamanya.
6. Ayah, Ibu, kakak dan adik yang selalu memberikan dorongan semangat dan
doa kepada Penulis terima kasih untuk kasih sayangnya.
7. Teman–teman Teknik Mesin transfer angkatan 2009 dan teman–teman
Teknik Mesin UNS
8. Seluruh pihak yang telah membantu Penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini.
Dengan segenap bantuan dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis
semoga akan mendapat limpahan berkah dari Allah SWT.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih belum dapat dikatakan
sempurna, untuk itu dengan sangat dan rendah hati penulis menerima kritikan
maupun saran yang membangun demi kesempurnaan Tugas Akhir tersebut. Akhir
kata penulis berharap Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada
umumnya dan penulis pada khususnya.
Surakarta, Juli 2012
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL........................................................................................ i
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………..... ii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN……………………………………….. ..... iii
ABSTRAK…………………………………………………………………. .. iv
ABSTRACT………………………………………………………………… ... v
KATA PENGANTAR…………………………………………………… ..... vi
DAFTAR ISI………………………………………………………………. ... viii
DAFTAR GAMBAR……………………………………………………… ... x
DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii
DAFTAR NOTASI.................................………………………………….. ... xiii
DAFTAR LAMPIRAN……. ........................................................................... xv
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1
1.1 Latar Belakang Masalah .............................................................. 1
1.2 Perumusan Masalah .................................................................... 2
1.3 Batasan Masalah ......................................................................... 3
1.4 Tujuan Penelitian ........................................................................ 3
1.5 Manfaat Penelitian ...................................................................... 3
1.6 Sistematika Penulisan ................................................................. 3
BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................... 5
2.1 Tinjauan Pustaka ......................................................................... 5
2.2 Dasar Teori…………………………………………………. ..... 6
2.2.1 Persamaan Atur Konveksi Alami…………………… ....... 7
2.2.2 Diskritisasi Waktu……………………………………… .. 8
2.2.3 Diskritisasi Ruang……………………………………… .. 8
2.2.4 Metode Kompresibilitas Tiruan ......................................... 11
BAB III PELAKSANAAN PENELITIAN..................................................... 12
3.1 Alat dan Bahan ............................................................................. 12
3.1.1. Alat…………………… .................................................... 12
3.1.2. Bahan……………………………………… ..................... 12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ix
3.2 Garis Besar Penelitian .................................................................. 12
3.3 Diskritisasi Persamaan Atur ......................................................... 14
3.3.1 Diskritisasi Persamaan Momentum ............................... 14
3.3.2 Diskritisasi Persamaan Energi ....................................... 15
3.3.3 Diskritisasi Metode Kompresibilitas Tiruan ................. 16
3.4 Diskritisasi Syarat Batas .............................................................. 16
3.4.1 Syarat Batas Kecepatan ................................................. 17
3.4.2 Syarat Batas Tekanan .................................................... 18
3.4.3 Syarat Batas Temperatur ............................................... 18
3.5 Algoritma Pemrograman .............................................................. 19
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ........................................................ 21
4.1 Validasi Program ......................................................................... 21
4.2 Simulasi Konveksi Alami Dalam Kotak 2D ................................ 25
BAB V PENUTUP.......................................................................................... 40
5.1 Kesimpulan .................................................................................. 40
5.2 Saran ............................................................................................ 41
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 42
LAMPIRAN ..................................................................................................... 44
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x
DAFTAR GAMBAR Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ............................................................ 13
Gambar 3.2 Kondisi batas dan syarat batas .................................................. 16
Gambar 3.3 Kotak 2D dengan kemiringan ............................................... 17
Gambar 3.4 Diagram Alir Program .............................................................. 20
Gambar 4.1 Kondisi batas dan syarat batas penelitian ................................. 21
Gambar 4.2 Perbandingan Isotermal penelitian Munir dengan
hasil penelitian pada(a) kemiringan ( ) =400,
(b) kemiringan ( ) = 1200, (c) kemiringan ( ) = 1600 .......... 24
Gambar 4.3 Isotermal pada Ra = 106, sudut = 00 .................................... 25
Gambar 4.4 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 300
(b) sudut = 450 ...................................................................... 26
Gambar 4.5 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 600
(b) sudut = 900 ...................................................................... 27
Gambar 4.6 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 1200
(b) sudut = 1350 .................................................................... 28
Gambar 4.7 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 1500
(b) sudut = 1800 .................................................................... 29
Gambar 4.8 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 00
(b) sudut = 300 ..................................................................... 30
Gambar 4.9 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 450
(b)) sudut = 600 ................................................................... 31
Gambar 4.10 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 900
(b) sudut = 1200 ..................................................................... 32
Gambar 4.11 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 1350
(b) sudut = 1450 .................................................................... 33
Gambar 4.12 Stream Function untuk rasio 2:1 .............................................. 34
Gambar 4.13 Isotermal untuk rasio 2:1 .......................................................... 34
Gambar 4.14 Komponen gaya apung dalam kotak miring ............................. 36
Gambar 4.15 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 00 .............. 37
Gambar 4.16 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 300 ............ 37
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xi
Gambar 4.17 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 450 ............ 37
Gambar 4.18 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 600 ............ 38
Gambar 4.19 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 900 ............ 38
Gambar 4.20 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1200 .......... 38
Gambar 4.21 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1350 .......... 39
Gambar 4.22 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1500 .......... 39
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Koefisien Runge-Kutta orde-4 dari Carpenter dan Kennedy ......... 8
Tabel 4.1 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=106 ....................... 22
Tabel 4.2 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=107 ....................... 22
Tabel 4.3 Hasil nilai Nu rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=105 ................ 23
Tabel 4.4 Hasil nilai Nu rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=106 ............... 23
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xiii
DAFTAR NOTASI
a : koefisien skema kompak
aM : koefisien skema Runge-Kutta
b : koefisien skema kompak
bM : koefisien skema Runge-Kutta
c : konstanta persamaan konveksi 1-D
g : percepatan gravitasi (m/s2)
H : tinggi kotak
HM : variabel untuk skema Runge-Kutta
i,j : indek nodal
k : numerical wave number
Lr : variabel referensi untuk panjang kotak
nx : jumlah index arah x
ny : jumlah indek arah y
Nu : bilangan Nusselt
p : tekanan
u : kecepatan arah x
v : kecepatan arah y
Vr : variabel referensi untuk kecepatan
x,y : koordinat
Pr : bilangan Prandtl
Ra : bilangan Rayleigh
t : variabel waktu
tr : variabel reverensi untuk waktu
Huruf Yunani
a : koefisien skema kompak
b : koefisien ekspansi volumetri
d : operator diferensial
¶ : operator diferensial parsial
e : konstanta metode kompresibilitas tiruan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xiv
F : variabel generik
F’ : variabel turunan pertama
F” : variabel turunan kedua
r : densitas
q : variabel temperatur
Ø : sudut kemiringan
j : stream function
S : jumlah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Non-Dimensional Persamaan Atur .............................................. 44
Lampiran 2. Skema kompak beda-hingga........................................................ 47
Lampiran 3. Program Penyelesaian Konveksi Alami ...................................... 49
Lampiran 4. Program Perhitungan Tambahan ................................................ 55
Lampiran 5. Program Untuk Visualisasi Hasil ............................................... 60
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Proses perpindahan panas dapat terjadi melalui tiga cara, yaitu secara
konduksi, konveksi, dan radiasi. Perpindahan panas konveksi adalah perpindahan
panas yang terjadi di antara permukaan benda dengan fluida yang bergerak ketika
temperatur keduanya berbeda. Perpindahan panas secara konveksi berdasarkan
jenis penyebab aliran fluida yang terjadi, dikategorikan menjadi dua kategori yaitu
konveksi paksa dan konveksi alami.
Konveksi paksa (forced convection) adalah konveksi yang mana aliran
fluida yang terjadi disebabkan adanya alat-alat eksternal, seperti fan, pompa,
aliran udara atmosfer (angin). Sedangkan konveksi alami (natural convection)
adalah perpindahan panas antara suatu permukaan dan fluida yang mengalir
diatasnya, dimana aliran fluida disebabkan oleh adanya perbedaan densitas fluida
yang ditimbulkan oleh pemanasan dan pendinginan. Densitas fluida akan
berkurang jika fluida mendapat pemanasan sehingga fluida akan mengapung dan
daerah yang ditinggalkan akan diisi oleh fluida yang relatif dingin. Fluida yang
relatif panas jika mendekati dinding yang relatif dingin densitasnya akan
meningkat sehingga akan mengalir turun akibat tarikan gaya grafitasi. Dengan
demikian densitas merupakan driving force sirkulasi fluida.
Konveksi alami memegang peranan penting dalam rekayasa industri seperti:
perancangan alat penukar kalor, perancangan ventilasi, pendinginan
transformator, pendinginan kabel bawah tanah dan pendinginan komponen
elektronika. Penelitian mengenai fenomena pada konveksi alami telah banyak
dilakukan baik secara eksperimental maupun secara numerik. Penelitian secara
eksperimen laboratorium untuk mengetahui fenomena yang terjadi pada proses
konveksi alami membutuhkan biaya yang cukup mahal dan proses yang cukup
rumit. Oleh karena itu, dikembangkan penelitian secara numerik yang
membutuhkan biaya yang jauh lebih murah. Berbagai metode pendekatan numerik
untuk mengetahui fenomena konveksi alami telah dilakukan, dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
menggunakan model matematika dari persamaan kontinyuitas, persamaan Navier-
Stokes dan persamaan energi. Penelitian konveksi alami secara numerik
berkembang pesat sejalan dengan perkembangan komputer digital berkecepatan
tinggi yang semakin pesat.
Perkembangan penelitian secara numerik terus berkembang dari tahun ke
tahun. Le Quere (1990) meneliti konveksi alami dalam kotak 2-D dengan
diskritasi pseudo-spectral yang didasarkan pada polinomial Chebyshev, kemudian
Wilson dan Demuren (1998) menggunakan skema kompak untuk mendiskritisasi
turunan ruang dan skema Runge-Kutta untuk mendiskritisasi turunan waktu pada
simulasi aliran fluida tak mampat. Lo (2009) meneliti konveksi alami pada kotak
2D dan 3D dengan DQ analisis menggunakan formulasi velocity-vorticity. Azwadi
(2010) melakukan penelitian pada konveksi alami pada kotak 2D dengan sudut
kemiringan dimana metode yang digunakan adalah metode lattice Boltzmann,
begitu juga Munir dan Sidik (2011) meneliti konveksi alami pada kotak 2D
dengan kemiringan menggunakan metode lattice Boltzmann. Sen (2012) meneliti
persamaan konveksi untuk kondisi unsteady dengan metode skema kompak orde-
4 secara implisit.
1.2 Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :
1. Bagaimana membuat diskritisasi pada permasalahan konveksi alami dalam
kotak 2-D, dengan menggunakan skema kompak beda hingga orde-4 untuk
diskritisasi ruang dan skema Runge-Kutta orde-4 untuk diskritisasi waktu
dengan variasi kemiringan.
2. Bagaimanakah membangun sebuah sistem (program) yang
mengimplementasikan model yang telah dibuat agar dapat dikomputasikan
oleh komputer.
3. Bagaimanakah membuat visualisasi 2-D berdasarkan hasil komputasi
numerik yang telah dilaksanakan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
3
1.3 Batasan Masalah
Masalah pada penelitian ini dibatasi pada persoalan konveksi alami pada
kotak 2-D dengan variasi kemiringan. Penyelesaian masalah tersebut
menggunakan skema kompak beda hingga orde-4 untuk diskritisasi ruang, dan
skema Runge-Kutta orde-4 untuk diskritisasi waktu, untuk memperoleh vektor
kecepatan dan distribusi temperatur.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mengekplorasi skema kompak orde-tinggi
untuk menyelesaikan permasalahan dan mengetahui fenomena yang terjadi pada
konveksi alami pada kotak 2-D dengan variasi kemiringan. Hal tersebut meliputi
vektor kecepatan dan distribusi temperatur.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Untuk mengembangkan ilmu pengetahuan, terutama dalam bidang
komputasi numerik dinamika fluida dan perpindahan panas.
2. Untuk mengetahui penerapan skema kompak orde tinggi pada permasalahan
konveksi alami 2D.
1.6 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang digunakan :
1. BAB I : PENDAHULUAN
Berisi dasar-dasar dan latar belakang pengambilan tugas akhir dan
penyusunan skripsi.
2. BAB II : LANDASAN TEORI
Berisi tentang tinjauan pustaka, dasar teori konveksi alami, skema kompak
beda hingga orde-4 untuk pendekatan turunan ruang dan skema Runge-
Kutta orde-4 untuk pendekatan turunan waktu serta metode kopresibilitas
tiruan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4
3. BAB III : PELAKSANAAN PENELITIAN
Berisi tentang alat dan bahan yang digunakan dalam penelitian, cara
penelitian, diskritisasi persamaan atur.
4. BAB IV : HASIL DAN PEMBAHASAN
Berisi data hasil penelitian (simulasi) dan pembahasannya.
5. BAB V : PENUTUP
Berisi kesimpulan yang diperoleh dan saran-saran bagi penelitian
selanjutnya.
6. DAFTAR PUSTAKA
7. LAMPIRAN
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Prosedur numerik dengan orde akurasi tinggi telah dikembangkan untuk
menyelesaikan persamaan Navier-Stokes pada problem aliran fluida tak mampat
2-D dan 3-D. Metode tersebut didasarkan pada skema Runge-Kutta untuk
diskritisasi waktu dan skema kompak beda hingga untuk diskritisasi ruang.
Persamaan tekanan diselesaikan dengan metode kompresibilitas tiruan.
Le Querre (1990) menggunakan algoritma pseudo–spectral Chebsyev untuk
meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan dinding kiri di panasi, dinding
kanan didinginkan, serta dinding atas dan bawah adiabatik. Dengan metode ini
dapat menghilangkan osilasi numerik dan mencapai hasil yang akurat hingga nilai
Ra 108.
Wilson dan Demuren (1998), menggunakan skema kompak beda hingga
untuk diskritasi ruang dan skema Runge-Kutta untuk diskritasi waktu pada
simulasi aliran fluida tak mampat. Pada penelitian ini skema kompak beda hingga
digunakan untuk diskritisasi turunan ruang dan skema Runge-Kutta orde-empat
untuk diskritasi turunan waktu.
Sulistyono (2006) melakukan penelitian untuk mengetahui fenomena yang
terjadi pada konveksi alami kotak 2D dengan berbagai variasi kemiringan dengan
menggunakan metode beda hingga. Zhao dan Dai (2007) menggunakan metode
skema kompak orde-4 dalam permasalahan perpindahan panas konduksi dengan
kondisi batas Neumann. Laizet (2009) menggunakan skema kompak orde tinggi
untuk meneliti aliran fluida tak mampat . Lo (2009) meneliti konveksi alami
dengan sudut kemiringan pada kotak 2D dan 3D dengan DQ analisis
menggunakan formulasi velocity-vorticity.
Azwadi (2010) melakukan penelitian pada konveksi alami pada kotak 2D
dengan sudut kemiringan 200-1600, dimana metode yang digunakan adalah
metode lattice Boltzmann. Kondisi batas yang digunakan adalah pemanasan dari
samping kiri, dan pendinginan dari samping kanan serta perfectly conducting wall
pada bagian atas dan bawah.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
Munir dan Sidik (2011) meneliti konveksi alami pada kotak 2D dengan
kemiringan menggunakan metode lattice Boltzmann. Dimana kondisi batas yang
digunakan adalah pemanasan dari samping kiri, dan pendinginan dari samping
kanan serta perfectly conducting wall pada bagian atas dan bawah pada penelitian
pertama, dan isolasi pada bagian atas dan bawah pada penelitian berikutnya. Sen
(2012) meneliti persamaan konveksi untuk kondisi unsteady dengan metode
skema kompak orde-4 secara implisit.
2.2 Dasar Teori
Konveksi alami adalah perpindahan panas di antara sebuah permukaan dan
fluida yang bergerak di atasnya dengan gerakan fluida yang disebabkan gaya
apung (buoyancy force) yang timbul karena perbedaan density akibat perbedaan
tekanan di dalam aliran (Oosthuizen,1999).
Dewasa ini, berkembang metode Lattice Boltzmann (MLB), dimana MLB
merupakan teknik simulasi yang sangat berguna untuk pemodelan fluida dengan
banyak fase dan komponen. Dinamika fluida umumnya mencakup partikel-
partikel mikroskopik, sehingga kalkulasinya sangat rumit yang tidak bisa
diselesaikan sepenuhnya melalui metode tradisional.MLB berbasis pada model
partikel mikroskopik dan persamaan kinetik, memberikan alternatif numerik untuk
memecahkan masalah ini, namun MLB memiliki tingkat kerumitan boundaries
dan beban komputasi yang tinggi.Penghitunga fase yang lebih banyak
memerlukan ketelitian yang tinggi menyebabkan waktu hitung lebih panjang.
Sedangkan untuk skema kompak beda hingga dengan akurasi orde-4 dan orde-6,
ternyata skema tersebut memiliki resolusi yang lebih baik dibanding skema beda
hingga biasa. Skema kompak beda hingga orde-4 memiliki grid stensil yang sama
dengan skema beda hingga orde-dua, hal ini mempermudah penerapan metode ini
pada model matematika, akurasinya tinggi, fleksibel, dan pengoperasianya lebih
mudah.
Persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan kontinyuitas,
persamaan momentum dan persamaan energi. Model matematika dari persamaan
atur konveksi alami terdiri dari persamaan diferensial parsial orde-1 dan orde-2.
Agar persamaan atur konveksi alami dapat diaplikasikan dalam bahasa program
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
7
maka terlebih dahulu dibuat diskritisasi persamaan atur. Diskritisasi waktu
dilakukan dengan skema Runge-Kutta orde-4 dan diskritisasi ruang dengan skema
kompak beda hingga orde-4.
2.2.1 Persamaan atur konveksi alami
Pada konveksi alami dengan perbedaan temperatur yang kecil, maka berlaku
pendekatan Boussenesq, yaitu dalam analisis mengenai aliran pada konveksi
alami, properties fluida diasumsikan konstan kecuali perubahan density terhadap
temperatur yang menyebabkan munculnya gaya apung (buoyancy force)
(Oosthuizen, 1999). Sehingga untuk permasalahan 2-D persamaan atur konveksi
alami dalam bentuk variabel tak berdimensi adalah sebagai berikut (Quere,1990):
Pesamaan Kontinuitas : )铺焸 剖仆实0 (2.1)
Persamaan Navier Stokes : )迫焸锅)铺焸郭)仆实石颇铺焸 篇破片频钳.谴足潜)铺潜焸 潜)仆潜卒焸 興os cos∅ (2.2)
剖迫焸锅剖铺焸郭剖仆实石颇仆焸 篇破片频钳.谴足潜剖铺潜焸 潜剖仆潜卒焸 興os sin∅ (2.3)
Persamaan Energi : 起迫焸锅起铺焸郭起仆实 囊片频钳.谴足潜起铺潜焸 潜起仆潜卒 (2.4)
Persamaan di atas diperoleh dengan membagi variabel berdimensi dengan
variabel referensi. Variabel referensi untuk panjang adalah Lr=H, untuk kecepatan
Vr=(a/H)Ra-0.5, dimana Ra=(gbDTH3)/(na), untuk variabel waktu tr=(H2/a)Ra-0.5,
untuk temperatur (q) didefinisikan sebagai berikut : q=(T-Tr)/(Th-Tc), dan
Tr=(Th+Tc)/2 dimana T adalah variabel berdimensi untuk suhu, Tr adalah
variabel referensi untuk suhu, Th adalah variabel berdimensi untuk suhu yang
tinggi dan Tc adalah variabel berdimensi untuk suhu yang rendah sedangkan
Pr=(n/a).
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
2.2.2 Diskritisasi waktu
Diskritisasi waktu untuk persamaan momentum menggunakan skema Runge-
Kutta orde-4 dari Williamson (Wilson dan Demuren,1998) yang didefinisikan
sebagai berikut :
M
i
MMMtHbuu D+= ++ 11
(2.5)
dimana :
Dt = langkah waktu
bM = koefisien skema Runge-Kutta
aM = koefisien skema Runge-Kutta
uiM= komponen kecepatan arah xi pada sub tingkat ke-M
PiM= tekanan
M
iH 1
5.0
Pr -++¶--= M
i
MM
ixx
M
i
M
ixj HauRa
Puu dd (2.6)
Tabel 2.1. Koefisien Runge-Kutta orde-4 dari Carpenter dan Kennedy
M aM bM 1 0 0.14965902 2 -0.41789047 0.37921031 3 -1.19215169 0.82295502 4 -1.69778469 0.69945045 5 -1.51418344 0.15305724
2.2.3 Diskritisasi Ruang
Skema beda-hingga orde-2 untuk turunan pertama memiliki galat dispersi
yang besar, sedangkan skema kompak beda hingga memiliki kelebihan yaitu
akurasi tinggi, fleksibel dan pengoperasiannya lebih mudah.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
9
a. Turunan pertama.
Bentuk diskritisai turunan pertama dengan pendekatan skema kompak beda
hingga orde-4 dan orde-6 dirumuskan oleh Wilson dan Demuren (1998). Bentuk
persamaanya adalah :
)(4
)(2 2211
'
1
''
1 -+-++- F-FD
+F-FD
=F+F+F iiiiiii xb
xa
aa (2.7)
dengan :
Dx = Lx/Nx
xN = jumlah grid point
'iF = turunan pertama dari variabel iF terhadap x
a, a, b = koefisien skema kompak
Turunan terhadap y dan z dapat dilakukan dengan cara yang sama. Untuk
skema orde-empat maka ;a=1/4, a=3/2 dan b=0. Untuk skema orde-6 maka;
a=1/4, a=14/9, dan b=1/9. Untuk syarat batas diselesaikan dengan skema
kompak orde-3 dengan persamaan sebagai berikut :
å=
FD
=F+F3
1
'2
'1
1
iibsibs a
xa
(2.8)
2=bsa dan 2/51 -=bsa , 22 =bsa , 2/11 =bsa adalah koefisien orde-3 dari
syarat batas pada i=1. Persamaan yang sama juga digunakan untuk syarat batas
pada i=N.
Untuk skema orde-6, syarat batas diselesaikan dengan skema ekplisit beda-
hingga orde-5 untuk titik i=1 dan i=N. Persamaan syarat batas adalah sebagai
berikut :
å=
FD
=F8
1
'1
1
iibsia
x (2.9)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
dimana :
abs1=-296/105 abs5=-215/12
abs2=415/48 abs6=791/80
abs3=-125/8 abs7=-25/8
abs4=985/48 abs8=245/336
Untuk syarat batas pada i=2 dan i=N-1 juga digunakan skema ekplisit orde-lima
sebagai berikut :
å=
FD
=F8
1
'
2
1i
inbia
x (2.10)
dimana :
anb1=-3/16 anb5=115/144
anb2=-211/180 anb6=-1/3
anb3=109/48 anb7=23/40
anb4=-35/24 anb8=-1/72
b. Turunan kedua
Persamaan skema kompak beda hingga untuk turunan kedua adalah sebagai
berikut :
( )( )
( )( )222112
"1
""1 2
42 -+-++- F+F-F
D+F+F-F
D=F+F+F iiiiiiiii
x
b
x
aaa
(2.11)
dimana :
"iF = turunan kedua dari variabel iF terhadap x
ba,,a = koefisien skema kompak beda hingga turunan kedua
Untuk orde-empat, a=1/10, 5/6=a , b=0 dan untuk orde-enam, a=2/11,
11/12=a , b=3/11. Kondisi batas pada i=1 dan i=N diselesaikan dengan skema
kompak orde-3 sebagai berikut :
( ) å=F
D=F+F
4
12
"2
" 1
iibsibsi a
xa (2.12)
dimana, abs =11 dan abs1=13, abs2=-27, abs3=15 dan abs4 =-1 adalah koefisien
skema kompak orde-3.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
11
2.2.4 Metode Kompresibilitas Tiruan (Artificial Compressibility)
Konsep metode kompresibilitas tiruan adalah menambahkan turunan terhadap
waktu pada persamaan kontinyuitas. Bentuk modifikasi persamaan adalah :
0=Ñ+¶¶
Vtp e
(2.13)
Dimana e adalah konstanta positif. Persamaan ini tidak mempunyai arti fisik jika
kondisi tunak belum tercapai.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
BAB III
PELAKSANAAN PENELITIAN
3.1 Alat dan Bahan
3.1.1. Alat
a. Laptop dengan spesifikasi Intel(R) Pentium(R) Dual CPU T2390 @1.86GHz,
Memori 3062 MB
b. Perangkat lunak Mikrosoft Fortran Power Station 4.0 dan Matlab
c. Printer Canon iP 1980
3.1.2. Bahan
a. Perangkat lunak hasil implementasi penyelesaian numerik persamaan Navier-
Stoke, persamaan kontinuitas, dan persamaan energi dengan skema kompak
beda hingga digunakan untuk diskritisasi turunan ruang dan skema Runge-
Kutta orde-4 untuk diskritasi turunan waktu.
b. Data-data referensi untuk bahan penyusunan kode.
3.2 Garis Besar penelitian
Penelitian dilakukan dengan cara membuat implementasi program untuk
menyelesaikan persamaan momentum, persamaan energi dan persamaan
kontinyuitas dengan pendekatan skema kompak orde-4 dan skema Runge-Kutta
orde-4. Langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah seperti berikut :
1. Mengumpulkan literatur
2. Mempelajari literatur
a. Mempelajari penelitan-penelitian yang pernah dilakukan
b. Mempelajari persamaan atur yang berhubungan dengan permasalahan
3. Merencanakan algoritma program
a. Membuat diskritisasi persamaan atur
b. Menyusun bagan alir program
4. Menulis bagan alir dalam bahasa program (Fortran)
5. Menjalankan program
6. Validasi Program
7. Memperbaiki kesalahan pemrograman
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
13
ya
tidak
a. Kesalahan penulisan
b. Kesalahan algoritma
8. Membuat visualisasi hasil program dengan perangkat lunak Matlab
9. Menyusun laporan penelitian
Garis besar penelitian tersebut dapat dibuat diagram alir sebagai berikut :
Gambar 3.1. Diagram Alir Penelitian
Mengumpulkan dan Mempelajari literatur - literatur
Membuat diskritisasi persamaan atur
Mulai
Membuat algoritma program
Menulis bagan alir dalam bahasa fortran
Menjalankan program
Program benar
Membuat visualisasi dengan Matlab
Analisa hasil
Selesai
Kesimpulan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
3.3 Diskritisasi Persamaan Atur
Persamaan atur konveksi alami terdiri dari persamaan kontinuitas,
persamaan momentum dan persamaan energi. Model matematika dari persamaan
atur konveksi alami terdiri dari persamaan diferensial parsial orde-1 dan orde-2.
Agar persamaan atur konveksi alami dapat diaplikasikan dalam bahasa program
maka terlebih dahulu dibuat diskritisasi persamaan atur. Diskritisasi waktu
dilakukan dengan skema Runge-Kutta orde-4 dan diskritisasi ruang dengan skema
kompak beda hingga orde-4. Matrik yang terbentuk dari diskritisasi turunan ruang
adalah matrik tridiagonal yang bisa diselesaikan dengan algoritma Thomas.
3.3.1 Diskritisasi persamaan momentum
a. Persamaan momentum arah x:
�.�迫㻘锅�.�铺㻘 鶈 �.�仆实石�颇�铺㻘 篇破片频钳ノ谴足�潜.�铺潜㻘 �潜.�仆潜卒㻘 䫠辊 cos∅ (3.1)
Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) :
罐平,凭僻嫩� 实罐平,凭僻 㻘瑰僻嫩�ノ∆棍ノ寡平,凭僻 (3.2) 寡平,凭僻 实石锅平,凭僻锅A平,凭僻石鶈平,凭僻锅9平,凭僻 石贵A平,凭僻 㻘 䫠辊观逛5ノ闹试锅AA平,凭僻㻘锅99平,凭僻守 㻘䫠辊 cos∅ 㻘逛僻寡平,凭僻 (3.3)
Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) :
· Turunan pertama �恼锅A平能�,凭僻 㻘锅A平,凭僻 㻘 �恼锅A平嫩�,凭僻 实 脑恼∆铺试锅平嫩�,凭僻 石锅平能�,凭僻 守 (3.4) �恼锅9平,凭能�僻 㻘锅9平,凭僻 㻘 �恼锅9平,凭嫩�僻 实 脑恼∆铺试锅平,凭嫩�僻 石锅平,凭能�僻 守 (3.5) �恼贵A平能�,凭僻 㻘贵A平,凭僻 㻘 �恼贵A平嫩�,凭僻 实 脑恼∆铺试锅平嫩�,凭僻 石锅平能�,凭僻 守 (3.6)
· Turunan kedua
��5锅AA平能�,凭僻 㻘锅AA平,凭僻 㻘 ��5锅AA平嫩�,凭僻 实 淖闹纵∆铺邹潜试锅平嫩�,凭僻 石2锅平,凭僻 㻘锅平能�,凭僻 守 (3.7)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
15
��5锅99平,凭能�僻 㻘锅99平,凭僻 㻘 ��5锅99平,凭嫩�僻 实 淖闹纵∆铺邹潜试锅平,凭嫩�僻 石2锅平,凭僻 㻘锅平,凭能�僻 守 (3.8)
b. Persamaan momentum arah y :
�剖�迫㻘锅�剖�铺㻘 鶈 �剖�仆实石�颇�仆㻘 篇破片频钳ノ谴足�潜剖�铺潜㻘 �潜剖�仆潜卒㻘 䫠辊 sin∅ (3.9)
Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) :
惯平,凭僻嫩� 实惯平,凭僻㻘瑰僻嫩�ノ∆棍ノ寡平,凭僻 (3.10)
寡平,凭僻 实石锅平,凭僻鶈A平,凭僻石鶈平,凭僻鶈9平,凭僻 石贵9平,凭僻 㻘 䫠辊观逛5ノ闹试鶈AA平,凭僻㻘鶈99平,凭僻守 㻘䫠辊 sin∅ 㻘逛僻寡平,凭僻 (3.11)
Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) :
· Turunan pertama �恼鶈A平能�,凭僻 㻘 鶈A平,凭僻 㻘 �恼鶈A平嫩�,凭僻 实 脑恼∆铺试鶈平嫩�,凭僻 石鶈平能�,凭僻 守(3.12) �恼鶈9平,凭能�僻 㻘 鶈9平,凭僻 㻘 �恼鶈9平,凭嫩�僻 实 脑恼∆铺试鶈平,凭嫩�僻 石鶈平,凭能�僻 守 (3.13) �恼贵9平,凭能�僻 㻘贵9平,凭僻 㻘 �恼贵9平,凭嫩�僻 实 脑恼∆铺试鶈平,凭嫩�僻 石鶈平,凭能�僻 守 (3.14)
· Turunan kedua
��5 鶈AA平能�,凭僻 㻘 鶈AA平,凭僻 㻘 ��5 鶈AA平嫩�,凭僻 实 淖闹纵∆铺邹潜试鶈平嫩�,凭僻 石2鶈平,凭僻 㻘 鶈平能�,凭僻 守 (3.15) ��5 鶈99平,凭能�僻 㻘 鶈99平,凭僻 㻘 ��5 鶈99平,凭嫩�僻 实 淖闹纵∆铺邹潜试鶈平,凭嫩�僻 石2鶈平,凭僻 㻘 鶈平,凭能�僻 守 (3.16)
3.3.2. Diskritisasi persamaan energi
�起�迫㻘锅�起�铺㻘 鶈 �起�仆实 �片频钳ノ谴足�潜起�铺潜㻘 �潜起�仆潜卒 (3.17)
Diskritisasi waktu (Runge-Kutta) :
平,凭僻嫩� 实 平,凭僻 㻘瑰僻嫩�ノ∆棍ノ寡平,凭僻 (3.18)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
寡平,凭僻 实石锅平,凭僻 A平,凭僻石鶈平,凭僻 9平,凭僻 㻘 �片频钳ノ谴试 AA平,凭僻㻘 99平,凭僻守㻘逛僻寡平,凭僻 (3.19)
Diskritisasi Ruang ( Skema Kompak orde- 4) :
· Turunan pertama �恼 A轨石1,鬼怪 㻘 A轨,鬼怪㻘 14 A轨㻘1,鬼怪 实 34∆A试 轨㻘1,鬼怪 石 轨石1,鬼怪 守 (3.20) �恼 9轨,鬼石1怪 㻘 9轨,鬼怪㻘 14 9轨,鬼㻘1怪 实 34∆A试 轨,鬼㻘1怪 石 轨,鬼石1怪 守 (3.21)
· Turunan kedua
��5 AA平能�,凭僻 㻘 AA平,凭僻 㻘 ��5 AA平嫩�,凭僻 实 淖闹纵∆铺邹潜试 平嫩�,凭僻 石2 平,凭僻 㻘 平能�,凭僻 守 (3.22)
��5 99平,凭能�僻 㻘 99平,凭僻 㻘 ��5 99平,凭嫩�僻 实 淖闹纵∆铺邹潜试 平,凭嫩�僻 石2 平,凭僻 㻘 平,凭能�僻 守 (3.23)
3.3.3. Diskritisasi metode kompresibilitas tiruan.
贵平,凭僻嫩� 实贵平,凭僻 㻘瑰僻嫩�ノ∆棍ノ寡平,凭僻 (3.24)
寡平,凭僻 实石锅A平,凭僻石锅9平,凭僻 㻘逛僻寡平,凭僻 (3.25)
3.4 Diskritisasi Syarat Batas
Dalam penelitian ini kasus yang dibahas adalah konveksi alami dalam
kotak 2-D dengan dinding bawah di panasi, dinding atas didinginkan, serta
dinding kiri dan kanan adiabatik dengan variasi kemiringan. Untuk kondisi batas
domain adalah pada seluruh dinding kecepatan bernilai nol sedangkan syarat
batas tekanan dan temperatur adalah seperti berikut :
Gambar 3.2. Kondisi batas dan syarat batas
q = 0.5
q = -0.5
0=¶¶
xq
0=¶¶xp
0=¶¶yp
0=¶¶yp
0=¶¶
xq 0=
¶¶xp
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
17
Gambar 3.3. Kotak 2D dengan kemiringan ∅
3.4.1. Syarat batas kecepatan
· Turunan pertama.
Untuk i=1 dan i=nx 锅A�,凭僻 实 ��挠∆铺试石3锅闹,凭僻 㻘 1k锅恼,凭僻 石3k锅脑,凭僻 㻘 48锅挠,凭僻 石2j锅�,凭僻守 (3.25)
锅A坡铺,凭僻 实 ��挠∆铺试3锅坡铺能恼,凭僻 石1k锅坡铺能脑,凭僻 㻘 3k锅坡铺能挠,凭僻 石48锅坡铺能�,凭僻 石2j锅坡铺,凭僻 守(3.26) 鶈A�,凭僻 实 ��挠∆铺试石3鶈闹,凭僻 㻘 1k鶈恼,凭僻 石3k鶈脑,凭僻 㻘 48鶈挠,凭僻 石2j鶈�,凭僻守 (3.27)
鶈A坡铺,凭僻 实 ��挠∆铺试3鶈坡铺能恼,凭僻 石1k鶈坡铺能脑,凭僻 㻘 3k鶈坡铺能挠,凭僻 石48鶈坡铺能�,凭僻 石2j鶈坡铺,凭僻 守(3.28)
Untuk j=1 dan j=ny 锅9平,�僻 实 ��挠∆仆试石3锅平,闹僻 㻘 1k锅平,恼僻 石3k锅平,脑僻 㻘 48锅平,挠僻 石2j锅平,�僻守 (3.29)
锅9平,坡仆僻 实 ��挠∆仆试3锅平,坡仆能恼僻 石1k锅平,坡仆能脑僻 㻘 3k锅平,坡仆能挠僻 石48锅平,坡仆能�僻 石2j锅平,坡仆僻 守(3.30)
鶈9平,�僻 实 ��挠∆仆试石3鶈平,闹僻 㻘 1k鶈平,恼僻 石3k鶈平,脑僻 㻘 48鶈平,挠僻 石2j鶈平,�僻守 (3.31)
鶈9平,坡仆僻 实 ��挠∆仆试3鶈平,坡仆能恼僻 石1k鶈平,坡仆能脑僻 㻘 3k鶈平,坡仆能挠僻 石48鶈平,坡仆能�僻 石2j鶈平,坡仆僻 守(3.32)
· Turunan kedua.
Untuk i=1 dan i=nx
锅AA�,凭僻 㻘 11锅AA挠,凭僻 实 �纵∆铺邹潜试13锅�,凭僻 石27锅挠,凭僻 㻘 1j锅脑,凭僻 石锅恼,凭僻守 (3.33)
锅AA坡铺,凭僻 㻘 11锅AA坡铺能�,凭僻 实 �纵∆铺邹潜试13锅坡铺,凭僻 石27锅坡铺能�,凭僻 㻘 1j锅坡铺能挠,凭僻 石锅坡铺能脑,凭僻 守 (3.34)
∅
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
鶈AA�,凭僻 㻘 11鶈AA挠,凭僻 实 �纵∆铺邹潜试13鶈�,凭僻 石27鶈挠,凭僻 㻘 1j鶈脑,凭僻 石鶈恼,凭僻守 (3.35)
鶈AA坡铺,凭僻 㻘 11鶈AA坡铺能�,凭僻 实 �纵∆铺邹潜试13鶈坡铺,凭僻 石27鶈坡铺能�,凭僻 㻘 1j鶈坡铺能挠,凭僻 石鶈坡铺能脑,凭僻 守 (3.36)
Untuk j=1 dan j=ny
锅99平,�僻 㻘 11锅99平,挠僻 实 �纵∆仆邹潜试13锅平,�僻 石27锅平,挠僻 㻘 1j锅平,脑僻 石锅平,恼僻守 (3.37)
锅99平,坡仆僻 㻘 11锅99平,坡仆能�僻 实 �纵∆仆邹潜试13锅平,坡仆僻 石27锅平,坡仆能�僻 㻘 1j锅平,坡仆能挠僻 石锅平,坡仆能脑僻 守 (3.38)
鶈99平,�僻 㻘 11鶈99平,挠僻 实 �纵∆仆邹潜试13鶈平,�僻 石27鶈平,挠僻 㻘 1j鶈平,脑僻 石鶈平,恼僻守 (3.39)
鶈99平,坡仆僻 㻘 11鶈99平,坡仆能�僻 实 �纵∆仆邹潜试13鶈平,坡仆僻 石27鶈平,坡仆能�僻 㻘 1j鶈平,坡仆能挠僻 石鶈平,坡仆能脑僻 守 (3.40)
3.4.2. Syarat batas tekanan
Untuk i=1 dan i=nx 贵A�,凭僻 实e (3.41) 贵A坡铺,凭僻 实e (3.42)
Untuk j=1 dan j=ny 贵9平,�僻 实e (3.43) 贵9平,坡仆僻 实e (3.44)
3.4.3. Syarat batas temperatur
· Turunan pertama
Untuk i=1 dan i=nx
qA�,凭僻 实 ��挠∆铺试石3q闹,凭僻 㻘 1kq恼,凭僻 石3kq脑,凭僻 㻘 48q挠,凭僻 石2jq�,凭僻守 (3.45)
qA坡铺,凭僻 实 ��挠∆铺试3q坡铺能恼,凭僻 石1kq坡铺能脑,凭僻 㻘 3kq坡铺能挠,凭僻 石48q坡铺能�,凭僻 石2jq坡铺,凭僻 守(3.46)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
19
Untuk j=1 dan j=ny
q9平,�僻 实e (3.47)
q9平,坡仆僻 实e (3.48)
· Turunan kedua
Untuk i=1 dan i=nx
qAA�,凭僻 㻘 11qAA挠,凭僻 实 �纵∆铺邹潜试13q�,凭僻 石27q挠,凭僻 㻘 1jq脑,凭僻 石q恼,凭僻守 (3.49)
qAA坡铺,凭僻 㻘 11qAA坡铺能�,凭僻 实 �纵∆铺邹潜足13q坡铺,凭僻 石27q坡铺能�,凭僻 㻘 1jq坡铺能挠,凭僻 石q坡铺能脑,凭僻 卒 (3.50)
Untuk j=1 dan j=ny
q99平,�僻 㻘 11q99平,挠僻 实 �纵∆仆邹潜试13q平,�僻 石27q平,挠僻 㻘 1jq平,脑僻 石q平,恼僻守 (3.51)
q99平,坡仆僻 㻘 11q99平,坡仆能�僻 实 �纵∆仆邹潜足13q平,坡仆僻 石27q平,坡仆能�僻 㻘 1jq平,坡仆能挠僻 石q平,坡仆能脑僻 卒 (3.52)
3.5. Algoritma Pemrograman
Algoritma pemrograman tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
1. Tentukan kondisi awal dan kondisi batas untuk semua variabel (u,v,q,p).
2. Hitung turunan pertama dari kecepatan, temperatur dan tekanan
(ux,uy,vx,vy,qx,qy,px,py) dan turunan kedua dari kecepatan dan
temperatur(uxx,uyy,vxx,vyy,qxx,qyy) dengan skema kompak orde-empat.
3. Hitung kecepatan(u,v) dengan skema Runge-Kutta orde-empat.
4. Hitung tekanan dengan metode artificial compressibility.
5. Hitung temperatur(q)dengan skema Runge-Kutta orde-4.
6. Periksa apakah sudah mencapai batas perhitungan atau belum, jika belum
kembali ke langkah 2, jika sudah ke langkah 7.
7. Tulis hasil
8. Selesai
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
Bagan alir program yang akan dibuat adalah sebagai berikut:
Gambar 3.4. Diagram Alir Program
MULAI
DATA AWAL
SYARAT BATAS
TENTUKAN TURUNAN PERTAMA UNTUK
u,v,p,q DAN TURUNAN KEDUA UNTUK
u,v,q
SELESAIKAN PERSAMAAN MOMENTUM UNTUK MEMPEROLEH Um+1 DAN vm+1
HITUNG TEKANAN pm+1 DENGAN METODE ARTIFICIAL COMPRESSIBILITY
SELESAIKAN PERSAMAAN ENERGI UNTUK MEMPEROLEH
qm+1
PERIKSA KONVERGENSI ?
TULIS HASIL
SELESAI
Y
T
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
21
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Validasi Program
Validasi program dilakukan dengan cara membandingkan hasil dari proses
simulasi dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Le Quere. Domain
pada Penelitian Le Quere adalah penyelesaian permasalahan konveksi alami pada
kotak 2D, dengan aspek rasio 1:1, dengan kondisi dinding bawah dan atas
merupakan dinding adiabatis, dinding kiri mendapat pemanasan dan dinding
kanan mendapat pendinginan.
Gambar 4.1. Kondisi batas dan syarat batas Penelitian
Kondisi Batas Le Quere sama dengan kondisi batas pada penelitian pada
sudut kemiringan ( ) = 900 . Hasil Perhitungan akan dibandingkan dengan
penelitian Le Quere pada Ra=106, dan Ra=107. Hasil perhitungan dan
perbandingan dengan hasil penelitian Le Quere disajikan dalam tabel 4.1 dan 4.2.
0=¶¶yp
q = 0.5
q = -0.5
0=¶¶
xq
0=¶¶
xq
0=¶¶
xp
0=¶¶
yp
0=¶¶xp
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
Tabel.4.1 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=106
Skema Kompak Le Quere Beda (%)
jmiddle 0.0162925 0.0163864 0.57
jmax 0.01683449 0.016811 0.14
X 0.15 0.15 0.00
Y 0.55 0.547 0.55
umax(1/2,y) 0.064892 0.0648344 0.09
Y 0.85 0.85 0.00
vmax(x,1/2) 0.220252 0.220559 0.14
X 0.04 0.038 5.26
Nuwall 8.73409 8.8252 1.03
Numiddle 8.821 8.8252 0.05
Numax 17.157 17.536 2.16
Numin 0.9845 0.97946 0.51
Tabel 4.2 Hasil Perhitungan dan Perbandingan untuk Ra=107
Skema Kompak Le Quere Beda (%)
jmiddle 0.009213797 0.00928496 0.77
jmax 0.00960185 0.00953872 0.66
X 0.0867 0.086 0.81
Y 0.5533 0.556 0.49
umax(1/2,y) 0.047195 0.046986 0.44
Y 0.88 0.879 0.11
vmax(x,1/2) 0.221108 0.221118 0.00
X 0.02 0.021 4.76
Nuwall 16.21204 16.523 1.88
Numiddle 16.53448 16.523 0.07
Numax 40.3283 39.3948 2.37
Numin 1.375111 1.36636 0.64
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
23
Sudut kemiringan yang lain dilakukan validasi dengan membandingkan
dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Lo. Domain untuk penelitian.Lo
pada permasalahan konveksi alami, kotak 2D dengan aspek rasio 1 :1, dengan
kondisi dinding bawah dan atas merupakan dinding adiabatis, dinding kanan
mendapat pemanasan dan dinding kiri mendapat pendinginan.
Kondisi Batas ini sama dengan kondisi batas pada penelitian pada sudut
kemiringan ( ) = 2700. Pada penelitian Lo kotak dimiringkan berlawanan
dengan arah jarum jam. Hasil Perhitungan akan dibandingkan dengan penelitian
Lo pada Ra=105, dan Ra=106. Hasil perhitungan Nusselt rata-rata dan
perbandingan dengan hasil penelitian Lo disajikan dalam tabel 4.3 dan 4.4.
Tabel 4.3 Hasil nilai Nusselt rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=105
Sudut Kemiringan
Skema Kompak Lo Beda (%)
2700 4.518 4.521 0.066
2550 3.95 3.953 0.076
2400 3.025 3.028 0.099
2100 1.378 1.378 0.000
Tabel 4.4 Hasil nilai Nusselt rata-rata dan Perbandingan untuk Ra=106
Sudut Kemiringan
Skema Kompak Lo Beda (%)
2700 8.735 8.823 0.997
2550 7.439 7.522 1.103
2400 5.266 5.323 1.071
2100 1.566 1.568 0.128
Validasi secara visual dilakukan dengan membandingkan hasil visual
isotermal dengan hasil visual isotermal pada penelitian Munir. Hasil penelitian
Munir menggunakan metode lattice Boltzmann dan kondisi batas yang sama
dengan kondisi batas pada penelitian. Perbandingan ditunjukan dengan gambar
berikut :
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
(a)
(b)
(c)
Gambar 4.2. perbandingan Isotermal penelitian Munir dengan Hasil penelitian
pada (a) kemiringan ( ) =400, (b) kemiringan ( ) = 1200,
(c) kemiringan ( ) = 1600
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
25
Hasil perhitungan yang ditunjukan tabel 4.1 sampai 4.4 menunjukkan
kedekatan yang baik antara hasil penelitian dengan hasil penelitian Le Quere
maupun Lo. Secara visual, hasil penelitian menunjukan kemiripan dengan
penelitian yang dilakukan Munir. Sehingga dapat dikatakan hasil penelitian dari
skema kompak orde tinggi memiliki kesesuaian yang baik.
4.2. Simulasi Konveksi Alami dalam kotak 2D
Simulasi kasus konveksi alami dalam kotak 2-D ditampilkan dengan susunan
grid sebesar 101 x 101, bilangan Prandtl (Pr) = 0.71 , langkah waktu dt = 0.005
dan angka Rayleigh yang digunakan adalah Ra = 106 dengan rasio 1:1 . Hasil
simulasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut :
· Distribusi temperatur :
Gambar 4.3 Isotermal pada Ra = 106, sudut = 00
Panas
Dingin
Isol
asi
Isol
asi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
26
(a)
(b)
Gambar 4.4 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 300 (b) sudut = 450
Dingin
Panas
Isolasi
Isolasi
Dingin
Panas
Isolasi
Isolasi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
27
(a)
(b)
Gambar 4.5 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 600 (b) sudut = 900
Dingin
Panas
Isolasi
Isolasi
Isolasi
Isolasi di
ngin
Pana
s
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
(a)
(b)
Gambar 4.6 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 1200 (b) sudut = 1350
Isolasi
Isolasi
Panas
Dingin
Isolasi
Isolasi
Panas
Dingin
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
29
(a)
(b)
Gambar 4.7 Isotermal pada Ra = 106, (a) sudut = 1500 (b) sudut = 1800
Isolasi Isolasi
Isolasi
Isolasi
dingin
Panas
Panas
dingin
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
30
· streamlines :
(a)
(b)
Gambar 4.8 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 00 (b) sudut = 300
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
31
(a)
(b)
Gambar 4.9 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 450 (b) sudut =600
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
32
(a)
(b)
Gambar 4.10 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 900 (b) sudut = 1200
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
33
(a)
(b)
Gambar 4.11 streamlines pada Ra = 106, (a) sudut = 1350 (b) sudut = 1500
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
34
Simulasi kasus konveksi alami dalam kotak 2-D ditampilkan dengan
susunan grid sebesar 81 x 41, bilangan Prandtl (Pr) = 0.71 , langkah waktu dt =
0.0005, sudut = 00 dan angka Rayleigh yang digunakan adalah Ra = 106 dengan
rasio 2:1. Hasil simulasi selengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut :
Gambar 4.12 Streamlines untuk rasio 2:1
Gambar 4.13 Isotermal untuk rasio 2:1
Isolasi
Panas
Isolasi
Dingin
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
35
Hasil plot isotermal pada gambar 4.3 sampai dengan gambar 4.7
menunjukan distribusi temperatur secara visual. Gambar 4.3 pada sudut = 00,
terlihat bahwa pergerakan fluida panas bergerak keatas karena adanya gaya apung
(buoyancy force). Hal ini disebabkan karena density yang turun akibat dari
temperatur panas, sedangkan fluida dingin bergerak ke bawah karena density lebih
besar serta adanya gaya gravitasi. Temperatur fluida yang dekat dengan dinding
sangat terpengaruh oleh temperatur di dinding. Gambar 4.3 menunjukkan
pengaruh nilai Ra pada distribusi temperatur, dimana bagian yang relatif panas di
bagian kiri bawah semakin condong ke atas dan distribusi temperatur yang relatif
dingin di bagian kanan bawah semakin condong ke bawah, hal ini karena
pengaruh kecepatan gerakan fluida yang membawa panas pada nilai Ra tersebut.
Hal ini pun terjadi pada kemiringan kotak untuk sudut = 300,450,600 , 900 ,
1200, 1350 dan 1500 yang di tunjukan pada gambar 4.4 sampai 4.7. Gambar
isotherm tersebut Di sini terlihat bahwa kecepatan fluida pada dinding kiri dan
kanan relatif cepat dari pada bagian tengah. Pada dinding yang dipanaskan, fluida
mendapat pemanasan sehingga densitas fluida mengecil . Penyusutan densitas
pada dinding yang dipanaskan menyebabkan terjadinya gaya apung sehingga
fluida bergerak ke atas. Aliran fluida setelah mencapai dinding atas bergerak
turun dan selanjutnya membelok ke arah dinding yang didinginkan dan
mengalami pendinginan. Gerakan fluida turun setelah mencapai dinding atas
disebabkan oleh pengaruh inersia. Hal ini terjadi karena nilai Bilangan Prandtl
untuk udara adalah Pr<1 sehingga keseimbangan persamaan aliran dipengaruhi
oleh inersia. Untuk nilai Pr>1 maka pengaruh inersia akan semakin berkurang
sehingga keseimbangan persamaan aliran dipengaruhi oleh friction dan buoyancy.
Setelah mencapai dinding dingin fluida membelok ke bawah, karena temperatur
dinding lebih rendah, sehingga fluida mengalami pendinginan sehingga
densitasnya meningkat, dengan demikian kecepatan aliran bertambah karena
pengaruh gaya gravitasi. Setelah mencapai dinding bawah aliran fluida bergerak
ke atas karena pengaruh inersia kemudian berbelok ke dinding yang dipanaskan
dan mengalami pemanasan pada dinding kiri. . Dimana fenomena ini menjelaskan
arah gaya apung, dimana dapat digambarkan seperti gambar 4.14 berikut :
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
36
Gambar 4.14 Komponen gaya apung dalam kotak miring
Gambar 4.7 (b), untuk kemiringan sudut = 1800 menunjukan tidak terjadi
perpindahan panas secara konveksi, melainkan perpindahan panas terjadi secara
konduksi. Hal ini dikarenakan pemanasan terjadi pada bagian atas, dan
pendinginan terjadi pada bagian bawah. Sehingga fluida tidak terjadi pergerakan,
dan efek gaya apung (buoyancy force) tidak terjadi pada sudut ini.
Gambar. 4.8 dan Gambar 4.11 menunjukkan plot dari streamlines untuk
sudut kemiringan sudut = 300,450,600 , 900 , 1200, 1350 dan 1500. Simulasi pada
Ra 106 dengan sudut kemiringan ≥ 300, fluida yang dekat dengan dinding panas
dipanaskan dan naik karena pengaruh gaya apung (buoyancy force). Kemudian
fluida yang didinginkan oleh dinding dingin, fluida terjadi peningkatan density
yang kemudian akan turun. Hal ini digambarkan secara sederhana melalui
gambar 4.14. Hasil simulasi untuk sudut kemiringan > 300, pada bagian tengah
muncul sel lebih dari satu karena tingginya gaya tarik gravitasi di sepanjang
dinding vertikal dari kotak. Sedangkan untuk hasil simulasi pada sudut
kemiringan yang lebih rendah ( < 300), hanya sel pusat tunggal muncul karena
kecepatan aliran yang lebih tinggi di sepanjang dinding panas dan dingin.
Hasil simulasi untuk sudut kemiringan =00 yang ditunjukan gambar 4.8
(a) terdapat satu gulungan sel, dimana bila rasio ditingkatkan maka akan terlihat
beberapa gulungan sel. gulungan sel itu biasa disebut benard sell. Hal ini nampak
lebih jelas pada simulasi kasus dengan rasio 2:1. Dimana hal ini ditunjukan pada
plot Streamlines gambar 4.12. Gambar tersebut menunjukan adanya 2 benard sell.
TH
TC
TH TC
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
37
Gambar 4.15 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 00
Gambar 4.16 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 300
Gambar 4.17 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 450
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
38
Gambar 4.18 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 600
Gambar 4.19 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 900
Gambar 4.20 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1200
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
39
Gambar 4.21 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1350
Gambar 4.22 konvergensi untuk Ra=106 dan Sudut Kemiringan 1500
Gambar kurva konvergensi pada gambar 4.15 sampai gambar 4.22
menunjukan nilai logaritma -3,2 sampai -3,59. Nilai logaritma tersebut
menunjukan bahwa program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan
kontinuitas mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10-3.2 sampai 10-3,59. Sehingga dari
gambar kurva konvergensi menunjukan bahwa skema kompak orde tinggi dapat
mencapai persamaan kontinuitas mendekati 0 untuk berbagai sudut kemiringan.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
40
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan, dapat ditarik
beberapa kesimpulan yaitu :
a. Hasil penelitian pada domain kotak 2D pada sudut kemiringan 900
menunjukkan kedekatan nilai yang baik dengan hasil penelitian Querre pada
Ra = 106 dan Ra = 107. Pada sudut kemiringan 2700, 2550, 2400, dan 2100
menunjukan kedekatan nilai yang baik dengan hasil penelitian Lo. Prosentase
perbedaan kurang dari 5% secara keseluruhan.
b. Metode skema kompak orde-tinggi mampu memberikan hasil yang baik untuk
kasus konveksi alami pada kotak 2D dengan bilangan Rayleigh mencapai 107.
c. Konveksi alami pada kotak 2D dengan kemiringan telah dapat disimulasikan
dengan penyelesaian persamaan Navier Stokes menggunakan metode skema
kompak orde-tinggi , dimana ditunjukan dengan gambar pola streamlines, dan
distribusi temperatur.
d. Pada kotak 2D dengan pemanasan dari bawah ( sudut kemiringan 00) terjadi
konveksi alami dengan pola aliran fluida membentuk benard sell.
e. Arah pergerakan fluida pada kotak 2D yang dimiringkan mengikuti arah
bouyancy forcé, dimana pada sisi panas bergerak keatas, dan pada sisi dingin
bergerak kebawah.
f. Pada kotak 2D dengan pemanasan dari atas ( sudut kemiringan 1800) tidak
terjadi perpindahan panas konveksi, melainkan perpindahan panas secara
konduksi.
g. program yang telah dibuat telah mampu mencapai persamaan kontinuitas
mendekati angka 0 yaitu pada nilai 10-3.2 sampai 10-3,59.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
41
5.2 Saran
Untuk lebih mengembangkan ilmu pengetahuan dibidang simulasi numerik,
penulis memberikan saran :
a. Dilakukan penelitian lebih lanjutmengenai konveksi alami pada bidang 3D
b. Melakukan pengembangan dengan metode yang dapat menghasilkan
keakuratan lebih tinggi, misalnya metode Lattice Boltzmann.
top related