deret taylor 2
Post on 18-Jan-2016
64 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Deret Taylor dan Analisis Galat
• Ahmad Ashril Rizal
Metode-metode numerik yang diturunkan didasarkan pada penghampiran fungsi
ke dalam bentuk polinom
Fungsi yang bentuknya kompleks menjadi lebih sederhana bila dihampiri
dengan polinom, karena polinom merupakan bentuk fungsi yang paling
mudah dipahami kelakuannya
Kalau perhitungan dengan fungsi yang sesungguhnya menghasilkan solusi
sejati, maka perhitungan dengan fungsi hampiran menghasilkan solusi
hampiran
Pada pertemuan lalu sudah dikatakan bahwa solusi numerik merupakan
pendekatan (hampiran) terhadap solusi sejati, sehingga terdapat galat sebesar
selisih antara solusi sejati dengan solusi hampiran
Galat pada solusi numerik harus dihubungkan dengan seberapa teliti polinom
menghampiri fungsi sebenarnya. Kakas yang digunakan untuk membuat
polinom hampiran adalah deret Taylor.
INGAT!!!!!Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan daripenyelesaian analitis atau eksak
METODE NUMERIK
Terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak
Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak)
Dalam proses perhitungannya (algoritma)dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang
Click to edit the outline text format
Second Outline Level
Third Outline Level
Fourth Outline Level
Fifth Outline Level
Sixth Outline Level
Seventh Outline Level
Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
DERET TAYLOR
• Definisi :
Andaikan f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,…menerus di dalam selang [a,b].
Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :
...)(!
)(....)(
!2
)()(
!1
)()()( )(''
2
0
'
o
mm
oo
ooo xf
m
xxxf
xxxf
xxxfxf
DERET TAYLOR(Persamaan Deret Taylor)
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metodenumerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.
Bentuk umum deret Taylor:
Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahuipada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1
yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .
n
n
in
iiiii Rn
xxf
xxf
xxf
xxfxfxf
!)(.....
!3)('''
!2)(''
!1)(')()(
32
1
f(x)
Order 2
Order 1
xi xi+1
f(xi ) : fungsi di titik xi
f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1
f ’, f ’’,..., f n : turunan pertama, kedua,...., ke n dari fungsi
∆x : jarak antara xi dan xi+1
Rn : kesalahan pemotongan
! : operator faktorial
Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut danbiasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar
jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus
diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)
3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)
)()( 1 ii xfxf Perkiraan order nol
!1)(')()( 1
xxfxfxf iii
Perkiraan order satu
!2)(''
!1)(')()(
2
1
xxf
xxfxfxf iiii
Perkiraan order dua
DERET TAYLOR(Persamaan Deret Taylor)
Contoh
Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deretTaylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik x = 0,5berdasar nilai fungsi pada titik x0 = 0.
Solusi:
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxfi
5,1
105,8
)5,0)(20)0(24)0(6(5,8
!1
05,0)0(')0(
!1)(')()5,0()(
2
1
ff
xxfxffxf iii
DERET TAYLOR(Persamaan Deret Taylor)
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)
KESALAHAN (ERROR)
Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak(yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilaieksak.
Terdapat tiga macam kesalahan:1. Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data.
Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahankarena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.
2. Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angkaterakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untukmenggantikan bilangan eksak.contoh, nilai:8632574 dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14
GALAT PEMBULATAN
• Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.
• Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =
-0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).
ANGKA BENA
• Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.
• Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
Click to edit the outline text format
Second Outline Level
Third Outline Level
Fourth Outline Level
Fifth Outline Level
Sixth Outline Level
Seventh Outline Level
Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
GALAT TOTAL
• Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.
• Contoh :
9800667,024
)2,0(
2
)2,0(1)2,0(
42
Cos
Galat pemotongan Galat pembulatan
KESALAHAN (ERROR)
3. Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai denganprosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhinggadiganti dengan proses berhingga.Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentukderet tak terhingga yaitu:
..........!4!3!2
1432
xxx
xex
Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari deret tersebutdiperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk menghitung semua sukusampai tak terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertamasaja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanyamemperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan kesalahanpemotongan.
xe
Click to edit the outline text format
Second Outline Level
Third Outline Level
Fourth Outline Level
Fifth Outline Level
Sixth Outline Level
Seventh Outline Level
Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
Click to edit the outline text format
Second Outline Level
Third Outline Level
Fourth Outline Level
Fifth Outline Level
Sixth Outline Level
Seventh Outline Level
Eighth Outline Level
Ninth Outline LevelClick to edit Master text styles
Second level
Third level
Fourth level
Fifth level
• Maka :
• Galat pemotongan :
......!10!8!6!4!2
1)cos()(108642
xxxxx
xxf
Nilai hampiran Galat pemotongan
)()!1(
)()( )1(
)1(
cfn
xxxR n
n
on
)cos(!7
)()!16(
)0()(
7)16(
)16(
6 cx
cfx
xR
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat dirumuskan sebagaiberikut:
p = p* + Eedengan:p : nilai eksakp* : nilai perkiraanEe : kesalahan terhadap nilai eksak
Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan antara nilaieksak dan nilai perkiraan, yaitu:
Ee = p – p*
Kesalahan Absolut
Pada kesalahan absolut,tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan dengan caramembandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.
p
Eee
Kesalahan Relatif terhadap nilai eksak
Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.
%100p
Eee
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
%100
p
Eaa
Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraanterbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai bentuk sebagai berikut:
dengan:Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaikp* : nilai perkiraan terbaikIndeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan(approximate value).
KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF
Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana padapendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya.Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya danperkiraan sekarang.
%1001
*
*1
*
n
nn
ap
pp
dengan:: nilai perkiraan pada iterasi ke n: nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1
np*
1*np
top related