centro de masa

APLICACION DE IN

TEGRAL

DEFINIDA A LA

FISICA

CENTRO DE M

ASA

INTERPRETAR CORRECTAMENTE LOS CONCEPTOS DE MASA Y CENTROS DE MASA.

APLICAR CORRECTAMENTE EL TEOREMA DE PAPPUS.

OBJETIVOS:

CENTRO DE MASA - DEFINICION

ES EL PUNTO DONDE PUEDE CONSIDERARSE QUE ESTÁ CONCENTRADA TODA LA MASA DE UN CUERPO PARA ESTUDIAR DETERMINADOS ASPECTOS DE SU MOVIMIENTO. 

1. SISTEMA DE PUNTOS MATERIALESA. Masa total del sistema.

B. Momento estático respecto al eje L.

C. Momento de inercia respecto del eje L.

D. Centro de masa respecto del eje L.

E. Radio de giro respecto al eje L

Sea distancia dM al eje L

El signo + se elige de acuerdo a donde se encuentre el dM a un lado del eje.

El signo - se elige cuando el dM se encuentra al otro lado del eje.

2. CURVAS PLANAS

Masa total.

Momento estático respecto al eje L

Momento de inercia respecto del eje L.

Radio de giro respecto al eje L

Cuando la cueva C se encuentra en el plano X Y el centro de masa se denota por y es definido por:

3. FIGURAS PLANAS

Donde:- h: altura- dx: base del rectángulo- : densidad de masa

X=

Definimos que para la lamina: Masa total Momento estático respecto al eje L Momento de inercia respecto del eje L. Radio de giro respecto al eje L Cuando la cueva C se encuentra en el plano X Y el centro de

masa se denota por y es definido por:

El momento de inercia relativa al origen ( o momento polar)

+

Suponiendo que D sea la superficie obtenida por rotación alrededor del eje X de curva para a entonces definimos.

a) Área de

b) Momento estático de D respecto al eje X

c) Momento de inercia de D respecto al eje X

4. SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

5. SOLIDOS Suponiendo que S

solido de densidad constante de masa por unidad de volumen limitada por los planos y si A(x) es el area de seccion S paralela al plano Y Z en el punto X , entonces la masa del cilindro elemantal de base A(x) y altura dx es A(x)dx

Definimos que :

Masa de S :

Momento estático r de S respecto al plano YZ

C donde:

T E O R E M A 1 : E L Á R E A D E L A S U P E R F I C I E E N G E N D RA D A P O R L A R O TA C I Ó N D E L A RC O D E U N A C U RVA P L A N A A L R E D E D O R D E U N E J E S I T U A D O E N E L M I S M O P L A N O Q U E L A C U RVA , P E R O Q U E N O S E C O RTA C O N E L L A , E S I G U A L A L P R O D U C T O D E L A LO N G I T U D D E D I C H O S A RC O S P O R L A LO N G I T U D D E L A C I RC U N F E R E N C I A Q U E D E S C R I B E E L C E N T R O D E G RAV E D A D D E L M I S M O.

TEOREMA DE PAPPUS

A =Donde: L = longitud de la curvay = distancia del centro de masa de la curva al eje

TEOREMA DE PAPPUS

T E O R E M A 2 : E L V O LU M E N D E L C U E R P O G E N E RA D O P O R L A R O TA C I Ó N D E L A RC O D E U N A F I G U RA P L A N A A L R E D E D O R D E U N E J E S I T U A D O E N E L M I S M O P L A N O Q U E L A F I G U RA , P E R O N O S E C O RTA C O N E L L A , E S I G U A L A L P R O D U C T O D E L Á R E A D E D I C H A F I G U RA P O R L A LO N G I T U D D E L A C I RC U N F E R E N C I A Q U E D E S C R I B E E L C E N T R O D E G RAV E D A D D E L M I S M O.

V =

Donde:

A = área de la región = distancia del centro de masa de la región al eje dadoV= volumen del solido generado por la región

EJERCICIOSS e a R l a r e g i ó n d e l p l a n o l i m i t a d o p o r l a p a r á b o l a y l a r e c t a . d e t e r m i n a r e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o p o r l a r o t a c i ó n d e l a r e g i ó n R a l r e d e d o r d e l a r e c t a

𝑽=𝑨 .𝟐𝝅 .𝒅

𝑥−1

𝑥2−1

𝐶=( 12 ;− 35 )0

𝐴=16

L o s v é r t i c e s d e u n t r i a n g u l o s o n , c a l c u l a r e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o p o r l a r o t a c i ó n e n t o r n o d e l a r e c t a , d e l a r e g i ó n l i m i t a d o p o r e l t r i a n g u l o A B C .

𝑪(𝟎 ,𝟎)

𝑩(𝟎 ,𝒂𝟐 )

𝑪(𝒂 ,𝟎)

𝑪(𝟎 ,𝟎)

𝑩(𝟎 ,𝒂𝟐 )

𝑪(𝒂 ,𝟎)

𝟐 𝒚=𝐚− 𝒙

𝒚=𝒙−𝒂

𝑪=( 𝒂𝟑 ; 𝒂𝟔 )

𝑪=( 𝒂𝟑 ; 𝒂𝟔 ) 𝑦=𝑥−𝑎𝟎=𝒙− 𝒚−𝒂

𝑽=𝑨 .𝟐𝝅 .𝒅