bab6_fungsi_transenden
Post on 20-Oct-2015
28 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
BAB VI. FUNGSI TRANSENDENBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN6.1. FUNGSI LOGARITMA NATURAL (ASLI)
6.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA
6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURAL
6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUM
6.5. PENGGUNAAN FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN
6.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
6.7. FUNGSI HIPERBOLIK
6.8. FUNGSI INVERS HIPERBOLIK
6.1. FUNGSI LOGARITMA ASLI
Definisi: Fungsi logaritma asli, dinotasikan dengan f(x) = ln x, didefinisikan sebagai
0 ,ln
1
>= ∫ xt
dtx
x
( ) 0 ,1ln1
>== ∫ xxt
dtdxdx
dxd x
2
Untuk x < 0 maka sehingga0>−= xx
( ) ( )
( ) ( )xxudx
duududx
dxd
dxduxu
xdxdx
dxd
1 1 1 )ln()ln(
1 maka Misalkan
)ln(ln
=−
−=−==−
−=−=
−=
xx
dxd 1ln =∴
cxx
dx+=∫ ln Akibatnya
Sifat-sifat fungsi logaritma asli:
ara
baba
baab
rba
r ln)ln( iv)
lnlnln iii)
lnln)ln( ii)01ln i)
maka ,rasionalbilangan dan ,0,0 Jika
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+==
>>
Dengan memeriksa titik potong dengan sumbu koordinat, kemonotonan, kecekungan dan informasi lainnya, sketsalah grafik fungsi lograitma asli
3
6.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA
.))(())((bersifat yang )( fungsiadalah dari invers Fungsi ).( fungsi diberikan Misalkan
111 xxffxffxff(x)xf== −−− oo
Contoh: Jika f(x) = 2x, maka sebabxxf 211 )( =−
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .22)())((dan
2)())((
21111
21
2111
xxxfxffxff
xxxfxffxff
====
====−−−
−−
o
o
Agar f(x) mempunyai invers, disyaratkan agar f(x) bersifat satu-satu. Untuk memeriksa apakah f(x) bersifat satu-satu dapat dilakukandengan memeriksa apakah f(x) monoton murni. Jadi jika f(x) monoton murni maka f(x) memiliki invers.
Grafik fungsi invers dari f(x) dapat diperoleh dari grafik f(x) denganmencerminkannya terhadap garis y = x.
( ))(
1)( maka
murni,monoton )(dan ,0)( ada, )( Jika
1
xfyf
xfxfxf
′=
′≠′′
−
6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURALxxf ln)( =Karena fungsi logaritma asli monoton naik murni, dan
maka f(x) mempunyai balikan.0)( ≠′ xf
4
Definisi:
.eksponen dibaca ),exp()( maka ln)( Jika 1 xxxfxxf == −
Ingat kembali bahwa 0 ,ln
1
>= ∫ xtdtx
x
Berapakah nilai x agar ln x = 1?
Menurut Euler, x = 2,718281828459045 = e.
Jadi ln e = 1
Sifat-sifat:
bab
a
baba
eee
eee
−
+
=
=
ii)
i)
Turunan fungsi eksponen natural:
xx eedxd
=
r
r
e)exp()exp()lnexp()exp(lne maka Jika
).exp(ln).1exp( Berarti . maka 1 Jika
.ln)exp(
=∴
====
=⇔=
====⇔=
rrereex
yx xyeexy
xyyx
r
rr
.)exp(ln Jadi yeyxxy ==⇔=
5
6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUMDefinisi: Fungsi eksponen umum didefinisikan melalui fungsi
eksponen dan logaritma asli sebagai
0 ,ln >= aea axx
Akibatnya diperoleh: ( ) axea axx lnlnln ln ==
Sifat-sifat fungsi eksponen umum:
( )
x
xx
xxx
xyyx
x-yy
x
yxyx
ba
ba
baabaa
aaa
aaayxba
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
=
=
=
ℜ∈>>+
v)
)( iv) iii)
ii)
i)maka ,,dan 0,0 Jika
Turunan dan integral fungsi eksponen umum:
ln ln lnln aaeayeay xaxaxx ==′⇒==
Jadi Caa
dxa xx +=∫ ln1
6
ln ln ln
ln
aaeay
eayxax
axx
==′
==
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>>
<<<>
1 jika ,0
10 jika ,0lndan ,0
a
aaax
Jadi y monoton turun bila 0 < a < 1 dan monoton naik bila a > 1.Akibatnya fungsi eksponen umum mempunyai fungsi invers, yang disebut fungsi logaritma terhadap basis a.
Definisi:
.lnlog maka jika Khususnya.log maka 1dan 0 Jika
xxeaaxxyaa
e
ya
==
=⇔=≠>
Hubungan antara fungsi eksponen dan logaritma umum dengan fungsi eksponen dan logaritma asli
.lnlnlnlog Jadi
.lnln atau
lnlnln Akibatnya
. maka log Jika
xcaxx
axy
ayax
axxy
a
y
ya
==
=
==
==
dan ( )( ) .
ln
ln
cx
ax
axx
e
e
ea
=
=
=
Karena dan selalu dapat dinyatakan dalam dan maka semua sifat yang dimiliki oleh dan juga berlaku pada dan
xa log
xa log
xa
xa
xlnxlnxe xe
7
Turunan fungsi logaritma umum:
( ) ( ) .ln11
ln1ln
ln1
lnlnlog
axxax
dxd
aax
dxdx
dxd a ===⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
Contoh-contoh: tentukanlah
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
−
−
−
+
∫
∫∫
)3log( 10) )log( 9)
)9log( 8) 2sin 7)
10 6) 0101 5)
01 4) 5 3)
52 2) 3 1)
2
2
1
2
103
310sin2
1021
0
33
152
254
xxx
x
xxx
x
xx
dxde
dxd
xdxdx
dxd
xdxddx
dxdxx
xdxd
dxd
x
6.5. PENGGUNAAN FUNGSI EKSPONEN
DAN LOGARITMA
Turunan fungsi berpangkat fungsi
Yang sudah dipelajari:
aayay
axyxyxx
xa
ln
1
=′⇒=
=′⇒= −
Pertanyaan: ???=′⇒= yxy x
8
Jawab:
Cara 1:
.ln)1(lny
)(ln)ln( 1lnln
ln
xxxxx
xxexxdxde
dxdy
exy
xxx
xxxxx
xxx
+=+=′
+==
==
Cara 2:
.ln)1(ln)1(ln
1lnyy
)ln(ln
lnlnln
xxxxxxyy
x
xxdxdy
dxd
xxxyxy
xxx
xx
+=+=+=′⇒
+=′
=
==⇒=
Contoh soal:
1) Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (1,1)
xxy sin=
( ) xxyy
ln2 1 bila Tentukan 2) +=′
9
Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
Contoh 1) Misalkan dari data sensus penduduk tahun 2000 diketahui bahwa jumlah penduduk di suatu daerah adalah 10 juta jiwa, perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2015
Penyelesaian:
Misalkan y = f(t) menyatakan jumlah penduduk pada tahun ke – t, maka kecepatan pertumbuhan penduduk bergantung pada jumlah penduduk saat itu dengan konstanta kecepatan pertumbuhan k. Situasi tersebut dapat dirumuskan sebagai
kydtdy
= dan diketahui 710)2000( ==ty
)2000(7200072000
7
2000
7
72000
101010
10
10)2000(
ln
−−
+
===∴
=⇒
==
===⇒
+=⇒
=⇒= ∫∫
tkkktktk
k
k
ktcktckt
eeee
y
eC
Cey
Ceeeey
ckty
kdty
dykdty
dy
10
Pada tahun 2015 jumlah penduduk adalah
kk eey 157)20002015(7 1010 == −
Biasanya k diberikan. Berdasarkan sejarah, k = 0,019, sehingga pada tahun 2015 jumlah penduduk adalah
.juta 3,1310.33,110 7019,0.157 =≈= ey
Pada tahun berapa jumlah penduduk akan menjadi 2 kali lipat jumlah penduduk tahun 2000?
20362ln2000
2ln)2000(210.210
?10.2)2000(7)2000(7
7
≈+=∴
=−⇒=⇒=
=⇒=−−
kt
tkee
tytktk
Jadi dalam waktu 36 tahun jumlah penduduk telah berlipat dua. Perhatikan bahwa
Tk - ===2ln2000203636
disebut waktu pengganda.
11
Contoh 2) Misalkan jumlah bakteri dalam suatu kultur yang tumbuh dengan cepat kira-kira 10.000 pada tengah hari. Jika dalam waktu 2 jam jumlah bakteri menjadi 40.000, perkirakan banyaknya bakteri dalam kultur tersebut pada pukul 17.00.
Contoh 3) Karbon 14 meluruh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya karbon 14 yang ada. Setengah umurnya adalah 5730. Apabila pada awalnya terdapat 10 gram karbon 14, berapakah zat yang tersisa setelah 2000 tahun?
Menghitung limit berbentuk ∞∞ ∞ 1dan , ,0 0
Contoh: Tentukan nilai limit-limit berikut
( )
xxx
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xex
x
x
)ln(lim 8. lim 7.
sinlim 6. lim 5.
5232lim 4. 531lim 3.
lim 2. lim 1.
0
tan0
sin0
12
2
0
)ln1(2ln
1
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+
+
+
++
+
→∞→
→→
+
∞→∞→
∞→→
12
6.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
xxf sin)( =
Agar fungsi sin x memiliki invers, daerah asalnya dibatasi, yaitu
22 ,sin)( ππ ≤≤−= xxxf
11 ,arcsin sin 1
≤≤−== −
xxxy
13
xxf cos)( =
Agar fungsi cos x memiliki invers, daerah asalnya dibatasi, yaitu
π≤≤= xxxf 0 ,cos)(
xy arccos=
top related