bab ii vektoryusronsugiarto.lecture.ub.ac.id/files/2013/09/vektor...vektor vektor satuan besar...

VEKTOR

Jurusan Keteknikan Pertanian FTP – UB 2013

YUSRON SUGIARTO

2

3

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

4

B E S A R A N

Skalar Vektor besaran yang hanya memiliki besar memiliki besar dan arah (panjang/nilai)

SKALAR VEKTOR

Massa

Waktu

Kecepatan

Percepatan

Luas

Volume

Gaya

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

5

B E S A R A N

Skalar Vektor

massa, waktu, suhu, kecepatan, percepatan, panjang, luas, volum gaya, momentum, medan magnet, medan listrik

Arah

Besar

Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Penulisan vektor F = |F| atau F = F

F̂ F̂

Vektor vektor satuan besar vektor

Notasi Vektor

Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca “vektor u”

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

7

a b

Dua vektor sama, a = b

a b

Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda

a b

Dua vektor arah sama, besaran beda

a b

Dua Vektor besar dan arah berbeda

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

KOMPONEN SEBUAH VEKTOR

Ada 2 cara menyatakan vektor A 1. A= Ax + Ay 2.

Vektor A dengan komponen 2 vektor Ax dan Ay yang saling tegaklurus. Komponen skalarnya: Ax=A cos q Ay=A sin q

x

y

yx

A

A

AAA

1

22

tan

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Bila kita mempunyai vektor sembarang dimana P

kP , jP , i P zyx

zz

yy

xx

θ Cos P P

θ Cos P P

θ Cos P P

kP jP i P P zyx

adalah komponen2

vektor pada sumbu

x,y,z.

P

Catatan :

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Vektor posisi adalah vektor yang dibentuk p dari O

sampai pada titik sembarang (x, y, z) dalam koordinat

x, y, z dinotasikan dengan . r

z y x r222

kz

x

y

z

ix

jyr

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2. Empat gaya bekerja pada titik A.

Tentukan resultan gaya-gaya yang bekerja pada baut.

F3 = 110N

F2 = 80N F1 = 150N

F4 = 100N

Y

X

20

30

15

1

14

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Penjumlahan Vektor

s a b

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Mengikuti hukum : Komutatif :

a b b a

Penjumlahan Vektor

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Assosiatif :

( ) ( )a b c a b c

Penjumlahan Vektor

18

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

PENGURANGAN VEKTOR

1. Sebuah vektor jika dikalikan -1, besarnya tetap tetapi arahnya berbalik 180 derajat. 2. Pengurangan vektor berdasarkan operasi penjumlahan vektor.

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

-

A – B = A + (B)

B - B

A

A A B = - B

- B

A - B

+

PENGURANGAN VEKTOR

21

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Perkalian Vektor I: Perkalian Dot

Hasil perkalian dot dua vektor adalah skalar

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Perkalian Vektor II: Perkalian Cross

Hasil dari perkalian cross dua vektor adalah

vektor baru

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Jika P = Px i + Py j + Pz k dan Q = Qx i + Qy j + Qz k

Maka P x Q = (Py Qz – Pz Qy) i + (Pz Qx – Px Qz) j + (Px Qy – PyQx) k

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Nm 134.837 2.12 . 7.37 3.1 . 1.21 17.3 . 3.11

D C D C D C D . C

N k 2.12 j 3.10 i 17.3 D dan N k 7.37 j 21.1 i 3.11 C b.

Nm 15 2- 4. 3.3- 7 . 2

B A B A B A B . A

N k 2 j 3 - i 7 B dan N k 4 j 3 - i 2 Aa.

zzyyxx

zzyyxx

Nm 134.837 2.12 . 7.37 3.1 . 1.21 17.3 . 3.11

D C D C D C D . C

N k 2.12 j 3.10 i 17.3 D dan N k 7.37 j 21.1 i 3.11 C b.

Nm 15 2- 4. 3.3- 7 . 2

B A B A B A B . A

N k 2 j 3 - i 7 B dan N k 4 j 3 - i 2 Aa.

zzyyxx

zzyyxx

Hitunglah perkalian dot ( . ) dan cross ( x ) dari matriks berikut

2

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

29

Besarnya Vektor sepanjang garis L dapat ditulis P. el, dimana el vektor satuan pada garis L

P

A

C

B

D

P

el

L

CD adalah vektor komponen pada garis L P

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

30

Tentukan vektor satuan el pada garis L yang berasal dari koordinat (4,2,1) dan melalui koordinat (3,0,-2). Kemudian tentukan juga besarnya proyeksi dari vektor P = 3i + 5j – 2k sepanjang garis L

A

C

B

D

P

el

L

3

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

TUGAS 2

1. Dua buah gaya P dan Q beraksi pada suatu paku A. Tentukan resultannya!

Q = 60 N

P = 40 N 25

20

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

TUGAS 3

Seseorang mengendarai mobil menuju sebuah kota A yang berjarak 160 km dengan arah 30 0 timur laut. Nyatakan vektor perpindahan r dalam notasi vektor satuan dengan menggunakan sistem koordinat x ke timur, dan y ke utara.

JURUSAN KETEKNIKAN PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA

36

Terima Kasih