bab 5 vektor bidang dan vektor ruang

BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG

Definisi

Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah

Contoh : kecepatan, gaya, pecepatanDigambarkan sebagai panah atau ruas garis lurus

v

0 x

y v

x

0

y

z

Notasi :

Vektor bidang : a = a1, a2

Vektor ruang : a = a1, a2, a3Bilangan-bilangan a1, a2, dan a3 disebut komponen-komponen a.

O x

Representasi dari vektor a = a1, a2 adalah ruas garis lurus

dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a1, y + a2). Representasi

khusus dari a adalah ruans garis lurus dari titik asal ke titik

P(a1, a2). Dalam hal ini a disebut vektor posisi dari titik P(a1, a2).

AB

OP

P(a1, a2)

B(x+a1, y+ a2)

A(x, y)

yContoh

Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0) dan titik akhir B(-3, 1, 1).

Panjang vektor a = a1, a2 adalah

Panjang vektor a = a1, a2, a3

2 21 2a a a

2 2 21 2 3a a a a

Penjumlahan Vektor

Jika a = a1, a2 dan b = b1, b2, maka a + b

didefinisikan oleh

1 1 2 2,a b a b a + b

Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa. O x

a

y

a + b b

Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika c skalar dan a = a1, a2, maka vektor ca didefinisikan oleh

1 2,c ca caa

Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa.

Contoh

Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b, dan .2 5a + b

Sifat-Sifat VektorJika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l adalah skalar, maka

1. a + b = b + a 5. k(a + b) = ka + kb

2. a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la

3. a + 0 = a 7. (kl)a = k(la)

4. a + (-a) = 0 8. 1a = a

Vektor Basis baku

i = 1, 0, 0 j = 0,1, 0 k= 0, 0, 1

xy

z

ijk

Jika a = a1, a2, a3, maka dapat kita tuliskan

a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3

= a1 1, 0, 0 + a2 0, 1, 0 + a3 0, 0, 1

a = a1i + a2 j + a3 k

Contoh

Jika a = i + 2j – 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j, dan k.

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Misalnya, i, j dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan yang searah a adalah

1 au = a =a a

Contoh

Beban 100 lb digantungkan pada dua kawat seperti diperlihatkan

pada gamber berikut. Carilah tegangan (gaya) T1 dan T2 di dalam

kedua kawat itu dan besar masing-masing tegangan.

60o 45o

100

60o

60o 45o

45o

T1 T2

w

Contoh

Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j – 2k.

Hasilkali Titik

Definisi

Jika dan , maka hasilkali titik dari a dan b adalah bilangan ab yang diberikan oleh

1 2 3, ,a a aa 1 2 3, ,b b bb

1 1 2 2 3 3a b a b a b a b

Sifat Hasilkali TitikJika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k skalar, maka

1. a a = 4. (ka) b) = k(a b) = a (kb)

2. a b = b a 5. 0 a = 0

3. a (b + c) = a b +a c

2a

Teorema 5.1

Jika adalah sudut antara vektor a dan b, maka

atau

cos a b a b cos

a ba b

Vektor a dan b ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika a b = 0.

Proyeksi

a

b

v

Vektor v disebut proyeksi vektor b pada a.

Panjang vektor v disebut proyeksi skalar b pada a.

a bva

proyeksi skalar :

2

a b a a b a ba aa a a aa

proyeksi vektor

F

Contoh

Carilah proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari b = 1, 1, 2 pada a = -2, 3, 1

KerjaGaya konstan F menggerakkan benda dari P ke Q, mempunyai vektor simpangan adalah . Kerja yang dilakukan oleh gaya ini didefinisikan sebagai komponen gaya tersebut di sepanjang d dengan jarak perpindahanP Q

R

S

PQ

d

cosW F d F d

Contoh

Suatu gaya F = 3i + 4j +5k menggerakkan sebuah partikel dari titik P(2,1,0) ke titik Q(4,6,2). Tentukan besar kerja yang dilakukan F.

Hasilkali Silang

Definisi

Jika dan , maka hasilkali silang dari a dan b adalah vektor

1 2 3, ,a a aa 1 2 3, ,b b bb

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, ,a b a b a b a b a b a b a b

Contoh

Jika a = 1,3,4 dan b = 2,4,-3, carilah vektor a b.

Teorema 5.2

Vektor a b adalah ortogonal baik terhadap a maupun b.

2 3 1 3 1 21 2 3

2 3 1 3 1 21 2 3

a a a a a aa a a

b b b b b bb b b

i j k

a b i j k

Notasi bantuan :

ba

b c

Teorema 5.3

Jika sudut antara vektor a dan b (0 ), maka

sin a b a b

a

b sinb

Contoh

Carilah luas segitiga dengan titik sudut A(1,2,4), B(-2,6,-1), dan C(1, 0, 5).

Akibat

Dua vektor taknol a dan b sejajar jika dan hanya jika jika a b = 0.

Panjang dari hasilkali silang a b sama dengan luas dari jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor a dan b.

Teorema 5.4

Jika a, b dan c vektor dan k skalar, maka

1. a b = -b a

2. (ka) b = k(a b) = a (kb)

3. a (b + c) = a b + a c

4. (a + b) c = a c + b c

5. a (b c) = (a b)c

6. a ( b c) = (ac)b – (ab)c

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )a a ab b bc c c

a b cHasilkali rangkap-tiga skalar :

Volume paralelepipedum yang ditentukan oleh vektor a, b dan c adalah besar dari hasilkali rangkap-tiga skalar

( )V a b c

b

ca

b c

Contoh

1. Carilah volume paralelepipedum dengan rusuk berdampingan PQ, PR, dan PS dengan P(0,1,2), Q(2,4,5), R(-1,0,1), S(6,-1,4).

2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor a = 1,4,-7, b = 2,-1,4 dan c = 0,-9,18 sebidang.

Penerapan dalam Fisika

Torsi (relatif terhadap titik asal) adalah hasilkali vektor posisi dan vektor gaya

Gaya F yang bekerja pada sebuah benda pejal di titik yang diberikan oleh vektor posisi r. Misalkan, ketika kita mengencangkan baut dengan menerapkan gaya pada kunci Inggris, yang menghasilkan efek putar (torsi).

= r F

Vektor ini mengukur kecenderungan benda pejal tersebut untuk berputar mengelilingi titik asal.

Contoh

Sebuah baut dikencangkan dengan cara menerapkan gaya sebesar 40N terhadap sebuah kunci Inggris sepanjang 0,25 m. Jika sudut antara F dan kunci adalah 60o, carilah besar torsi disekitar pusat sekrup.

Persamaan Garis

Bagaimana menentukan persamaan garis l yang melalui titik P(x0,y0,z0)

yang sejajar suatu vektor v? Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang

titik pada l, misalkan r0 dan r adalah

vektor-vektor posisi dari P dan Q. Jika a adalah vektor representasi

,lihat gambar samping. Hukum penjumlahan vektor memberikan

PQ

xy

z

v

a

r0 r

P(x0,y0,z0)Q(x,y,z)

r = r0 + a

Karena a dan v sejajar, maka terdapat t sehingga a = tv, sehingga

r = r0 + tv

l

Persamaan vektor dari garis

Jika v = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di

atas memberikan

x= x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc

yang disebut persamaan parametrik dari garis melalui titik P(x0, y0, z0)

dengan bilangan arah v = a, b, c.

Dengan menyelesaikan t dari persamaan parametrik, memberikan

0 0 0x x y y z za b c

yang disebut persamaan simetri dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dgn

bilangan arah v = a, b, c.

Contoh

1. Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v = 3i – 5j + 2k. Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut.

2. Carilah persamaan garis melalui titik (2, 4, -3) dan (3, -1, 1). Dimanakah garis ini memotong bidang-xy?

3. Tunjukkan bahwa dua garis berikut bersilangan (tidak berpotongan):

x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t

x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s

Persamaan Bidang

Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebauh titik P(x0, y0, z0) dan

sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal).

Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang

titik pada bidang, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P

dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh

. Vektor normal n tegak lurus thd setiap vektor pada bidang,

khususnya r – r0 sehingga

PQ

xy

z n

n (r – r0) = 0

P(x0,y0,z0)

Q(x,y,z)

r0

r r – r0

Persamaan vektor dari bidang

Jika n = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di

atas menjadi

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

Persamaan ini disebut persamaan skalar dari bidang yang melalui

titik P(x0, y0, z0) dengan vektor normal n = a, b, c.

Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai persamaan linear

ax + by + cz + d = 0

Contoh

1. Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,4,-1) dengan vektor normal n = 2,3,4. Kemudian tentukan titik potongnya dengan sumbu koordinat.

2. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(1,3,2), Q(3,-1,6), dan R(5,2,0).

3. Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong bidang 4x + 5y – 2z = 18.

4. Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1. Kemudian carilah persamaan garis perpotongan antara kedua bidang ini.

5. Carilah rumus untuk jarak dari titik Q(x1,y1,z1) ke bidang ax + by +

cz + d = 0.

6. Carilah jarak antara dua bidang sejajar 10x + 2y – 2z = 5 dan 5x + y – z =1.

7. Carilah jarak antara dua garisx = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – tx = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s

P(x0,y0,z0)

Q(x1,y1,z1)

bn