bab 5 limit (1)

1

1)(

2

x

xxf

2

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk

0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,

seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

3

1

º2

x x

f(x)

f(x)

Dari tabel dan grafik disamping

terlihat bahwa f(x) mendekati 2

jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan

Sebagai berikut

21

1lim

2

1 x

x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati

1 adalah 2 1

12

x

x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa

berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

Lxfcx

)(lim

4

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.

1. limx c

A A, ,Ac R 2. limx c

x c

Jika lim ( )x c

f x dan lim ( )x c

g x keduanya ada dan k R maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut:

1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

2 lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x

3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x

4 lim ( )

( )lim

( ) lim ( )

x c

x cx c

f xf x

g x g x, asalkan lim ( ) 0

x cg x

5

Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa cara.

1. Substitusi langsung 2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar) 3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)

Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)

a. 2

lim (3 5)x

x

b. 2

2lim (2 7 6)x

x x

c. 1

lim 7 2 1x

x x

d. 1

2 3lim

5 2x

x

x

6

Jawab

a. 2

lim (3 5) 3(2) 5 6 5 1x

x

b. 2 2

2lim (2 7 6) 2(2) 7(2) 6 8 14 6 0x

x x

c. 1

lim 7 2 1 7(1) 2(1) 1 7 1 7x

x x

d. 1

2 3 2( 1) 3 2 3 1lim

5 2 5( 1) 2 5 2 3x

x

x

7

Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)

a. 2

2

4lim

2x

x

x

b. 2

22

3 2lim

4x

x x

x

Jawab

a. 2 2

2

4 2 4 4 4 0lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0x

x

x. Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut. 2

2 2

( 2)4lim lim

2x x

xx

x

( 2)

2

x

x 2lim( 2) 2 2 4x

x

8

b. 2 2

2 22

3 2 2 3(2) 2 4 6 2 0lim (tidak terdefinisi)

4 4 04 2 4x

x x

x. Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

2

22 2

( 2)3 2lim lim

4x x

xx x

x

( 1)

( 2)

x

x

2

( 2)

1 lim

2

2 1 1

2 2 4

x

x

x

x

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan

Akar

a. b.

Solusi:

a.

9

2

2 2lim

2x

x

x

2

21

2 3lim

1x

x

x

2

2 2 2 2 2 4 2 0lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0x

x

x

10

2 2

2 2 2 2 2 2lim lim

2 2 2 2x x

x x x

x x x

2 2

2

2 2lim

2 2 2x

x

x x2

( 2) 4lim

2 2 2x

x

x x

2

2limx

x

2x 2 2x 2

1lim

2 2x x

1 1 1 1

2 2 42 2 2 4 2

11

b. 22

2 21

2 ( 1) 32 3 2 4 0lim

1 1 01 1 ( 1)x

x

x

2 2 2

2 2 21 1

2 3 2 3 2 3lim lim

1 1 2 3x x

x x x

x x x2

2 2 2

2 2 2 21 1

2

1

2 3 4 3lim lim

1 2 3 1 2 3

1lim

x x

x

x x

x x x x

x

21 x22 1

2

1lim

2 32 3

1 1 1 1

2 2 42 42 ( 1) 3

x xx

)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

12

cx

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kiri

(dari arahbilangan yang lebih kecil dari c)

limit disebut limit kiri,

Jika x menuju c dari arah kanan

(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)

limit disebut limit kanan,

c x

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

Maka tidak ada)(lim xfcx

13

Diketahui fungsi berikut: 2

2 ; 1

( ) ; 1 2

3 ; 2

x x

f x x x

x x

. Tentukanlah:

a. 1

lim ( )x

f x b. 2

lim ( )x

f x

Jawab a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan

adalah 2x sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi

yang digunakan adalah 2x . Oleh karena itu, untuk mencari 1

lim ( )x

f x

digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

1 1lim ( ) lim ( 2) 1 2 1

x xf x x

2 2

1 1lim ( ) lim ( 1) 1

x xf x x

11 1lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1

xx xf x f x f x

14

b. Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang

digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan

aturan fungsi yang digunakan adalah 3x . Oleh karena itu,

untuk mencari 2

lim ( )x

f x digunakan limit sepihak

(limit kiri dan limit kanan) 2 2

2 2lim ( ) lim 2 4

x xf x x

2 2lim ( ) lim ( 3) 2 3 1

x xf x x

12 2lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak ada

xx xf x f x f x

2

2 ; 1

( ) ; 1 2

3 ; 2

x x

f x x x

x x

15

)(lim1

xfx

)(lim2

xfx

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0

xfx

a. Hitung

c. Hitung

b. Hitung) Jika ada

Diketahui:

0)(lim0

xfx

2

0 0lim ( ) lim 0x x

f x x

0 0lim ( ) lim 0x x

f x x

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri

dan limit kanan di x=1

2

2 2lim ( ) lim2 6x x

f x x

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x=1

1 1lim ( ) lim 1x x

f x x

2

1 1lim ( ) lim2 3x x

f x x

11lim)(limxx

xf

)(lim1

xfx

Karena maka

Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka

tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

17

2

5lim( 20)x

x

2

2lim ( 3 1)

xx x

0

2lim

3x

x

x2

2

5 6lim

2x

x x

x

2

22

2 8lim

4x

x x

x

2

4

7 12lim

2 8x

x x

x

1

1lim

1x

x

x

2

21

3 2lim

1x

x

x

2

22

4lim

3 5x

x

x

1. Diketahui: 2 ; 1

( )1 1

x xf x

x, tentukan apakah

1lim ( )x

f x

(jika ada)!

2. Diketahui:

2

2

; 0

( ) 0 1

1 1

x x

f x x x

x x

, tentukan apakah

0lim ( )x

f x dan 1

lim ( )x

f x (jika ada)!

3. Diketahui: 2

2

2; 1

( ) ; 1 1

1 ; 1

x x

f x x x

x x

, tentukan apakah

1lim ( )x

f x dan 1

lim ( )x

f x (jika ada)!

4. Diketahui: 2

3 2, 1

( ) 5, 1 3

3 1, 3

x x

f x x

x x

, tentukan apakah 1

lim ( )x

f x dan

3lim ( )x

f x (jika ada)!

5. Diketahui: 2

3 2, 1

( ) 5 ,1 3

1, 3

x x

f x x

x x

, tentukan apakah 1

lim ( )x

f x

dan 3

lim ( )x

f x (jika ada)!

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Limit - 1

1. Nilai dari 2

1

2 1lim

1x

x x

x= ….

a. -1

b. 0

c. 1

d. 2

e. 3

2. Nilai dari 2

1

4 5lim

1x

x x

x= ….

a. -1

b. 0

c. 1

d. 2

e. 6

3. Nilai dari 2

2

2 3 4lim

2x

x x

x= ….

a. -1

b. 0

c. 5

d. 2

e. 6

4. Nilai dari 2

21

3 4lim

1x

x x

x= ….

a. 1

2

b. 5

2

c. 1

2

d. 5

2

e. 0

5. Nilai dari 22

3 7lim

6x

x

x x= ….

a. 1

30

b. 1

11

c. 1

11

d. 1

30

e. 1

20

6. Nilai dari 2

4

9lim ....x

x

x

a. 3/4

b. 5/4

c. 3/2

d. 0

e. 1/2

7. Nilai 2

22

4lim ....

3 5x

x

x

a. 1

b. 4

c. 6

d. 8

e. 9

8. Nilai dari 2

21

2 3lim ....

2x

x

x

a. 1

4

b. 1

6

c. 1

4

d. 1

6

e. 0

9. Nilai )(lim1

xfx

dari fungsi

, 11

( ) ,-1 1

1 , 1

xx

xf x x x

x x

adalah ....

a. 1

b. 0

c. -1

d. 2

e. Tidak ada

10. Nilai )(lim1

xfx

dari fungsi

, 11

( ) ,-1 1

1 , 1

xx

xf x x x

x x

adalah....

a. 1

b. 0

c. -1

d. 2

e. Tidak ada