ma5031 bab 3.1 teori limit

MA5031 Analisis Real LanjutSemester I, Tahun 2015/2016

Hendra Gunawan

3. Topologi Garis Bilangan Real

3.1 Teori Limit– Limit, supremum, dan infimum– Titik limit

3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup3.3 Himpunan Kompak

2(c) Hendra Gunawan (2015)

3.1 Teori Limit

Pada bab ini kita akan mendalami sifat-sifatbilangan real, barisan bilangan real, danhimpunan bilangan real tertentu.Sejak sekarang, kita dapat menganggap sistembilangan real sebagai suatu garis bilangan real.Yang menjadi fokus kita adalah sifat-sifat geo-metris kualititatif, alias sifat-sifat topologi padagaris bilangan real (yang kelak muncul lagi dalampembahasan ruang metrik).

(c) Hendra Gunawan (2015) 3

Limit

Barisan bilangan real (xk) dikatakan konvergenke x apabila untuk setiap bilangan asli n terdapatm sedemikian sehingga |xk – x| < 1/n untuksetiap k ≥ m.Bilangan x disebut sebagai limit barisan (xk) danditulis x = lim xk.Jika (xk) konvergen, maka limitnya tunggal!


Untuk setiap bilangan asli n, ketaksamaan|xk – x| < 1/n berarti bahwa xk berada dalaminterval buka (x – 1/n, x + 1/n), yg berpusatdi x dan “berjari-jari” 1/n.Perhatikan bahwa interval-interval buka inimengecil dan “bersarang”.

“Ekor” barisan (xk) yang konvergen x padaakhirnya akan “tertangkap” dalam setiapinterval buka tersebut.


Limit Tak Hingga (1)

Tidak semua barisan konvergen. Di antarabarisan yang divergen, barisan (xk) yang mem-besar tak terbatas menarik untuk dibahas.Kita tuliskan lim xk = +∞ apabila untuk setiapbilangan bulat n terdapat m sedemikiansehingga xk > n untuk setiap k ≥ m.Bila interval buka (x – 1/n, x + 1/n) disebutsebagai lingkungan dari x, interval (n, +∞) = {x : x > n} disebut lingkungan dari +∞.


Limit Tak Hingga (2)

Kita tuliskan lim xk = –∞ apabila untuk setiapbilangan bulat n terdapat m sedemikiansehingga xk < n untuk setiap k ≥ m.Interval (–∞, n) = {x : x < n} disebut lingkungandari –∞.Kadang ada untungnya menganggap +∞ dan–∞ sebagai bilangan, yang dengan seluruhbilangan real membentuk sistem bilangan real yang diperluas.


Keterbatasan

Ketika kita mengamati apakah sebuah barisankonvergen atau tidak, kadang kita selidikiterlebih dahulu bagaimana suku-suku barisantersebut tersebar; apakah barisan tersebutterbatas atau tidak. (Ingat bahwa keterbatasanmerupakan syarat perlu bagi kekonvergenan.)Konsep keterbatasan tidak hanya didefinisikanpada barisan, tetapi juga pada himpunanbilangan real sembarang.


Supremum dan Infimum (1)Jika E adalah himpunan sejumlah terhinggabilangan real, kita definisikan supremum daninfimum E, ditulis sup E dan inf E, sebagaibilangan terbesar dan bilangan terkecil di E, berturut-turut.Namun jika E adalah himpunan tak terhinggabilangan real, bilangan terbesar atau bilanganterkecil di E belum tentu ada. Sebagai contoh, himpunan bilangan real positif tidak mempunyaibilangan terbesar maupun bilangan terkecil.


Supremum dan Infimum (2)Walau demikian, bila kita bayangkan himpunanE pada garis bilangan real, mestilah terdapattitik paling kiri dan titik paling kanan (mungkin–∞ atau +∞) yang berkenaan dengan di manaanggota E berada. Kedua titik ini belum tentumerupakan anggota E; mereka itulah yang kitasebut sebagai inf E dan sup E.Bagaimana persisnya kita mendefinisikan sup E dan inf E, khususnya untuk himpunan E yang takkosong? (Selanjutnya E diasumsikan tak kosong.)


Himpunan Terbatas di Atas & Supremum

Def. Himpunan tak kosong E dikatakan terbatas diatas apabila terdapat bilangan real y sedemikiansehingga x ≤ y untuk setiap x ϵ E. Bilangan y dalamhal ini disebut sebagai batas atas dari E.

Catatan. Tidak semua himpunan terbatas di atas. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli tidakterbatas di atas.

Def. Jika E terbatas di atas, maka sup E didefinisikansebagai batas atas terkecil. Jika E tak terbatas diatas, kita definisikan sup E = +∞.


Eksistensi Supremum (1)Berikut adalah alasan mengapa batas atasterkecil itu ada. Mulai dengan suatu batas atas, sebutlah y1, kita pilih batas atas yang lebih kecildaripadanya, sebutlah y2, sebagai berikut. Pilih x1 ϵ E dan tinjau titik tengah antara x1 dany1, yaitu (x1 + y1)/2. Jika ia merupakan batas atasE, kita tetapkan x2 = x1 dan y2 = (x1 + y1)/2; jikabukan, berarti terdapat x2 ϵ E sedemikiansehingga (x1 + y1)/2 < x2 dan dalam hal ini kitatetapkan y2 = y1. [Ilustrasi di papan tulis!]


Eksistensi Supremum (2)

Dengan langkah ini kita telah menggantipasangan awal x1 dan y1 dengan pasangan barux2 dan y2. Di sini x2 ϵ E dan y2 batas atas dari E. Perhatikan juga bahwa x1 ≤ x2 dan y1 ≥ y2, serta|x2 – y2| ≤ |x1 – y1|/2.Ulangi langkah ini sehingga kita peroleh barisannaik (xk) di E dan barisan turun (yk) yang suku-sukunya merupakan batas atas E, dengan|xk – yk| ≤ |x1 – y1|/2k utk setiap k = 1, 2, 3, … .



Kedua barisan (xk) dan (yk) merupakan barisanCauchy yang ekuivalen, dan karenanya merekakonvergen ke limit yang sama!

Misalkan lim yk = y. Maka dapat diperiksa bahwa:1. y merupakan batas atas dari E.2. Jika y’ adalah batas atas dari E, maka y ≤ y’.

(Jadi, y merupakan batas atas terkecil dari E.)


Teorema. Untuk setiap himpunan tak kosong E yang terbatas di atas terdapat tepat satubilangan real sup E dengan sifat: 1. sup E merupakan batas atas dari E. 2. Jika y adalah batas atas dari E, maka y ≥ sup E.

Ide Pembuktian. Bilangan y = sup E diperolehdengan cara yang dijelaskan sebelumnya. Andatinggal memeriksa dua sifat tersebut di atas (silalakukan sebagai latihan).



Titik Limit (dari Barisan)

Infimum dan supremum memberi tahu kitainterval terkecil yang memuat suku-suku suatubarisan. Selanjutnya kita ingin tahu di manasuku-suku barisan tersebut “berkumpul”.Sebagai contoh, suku-suku barisan 3/2, -3/2, 4/3, -4/3, 5/4, -5/4, … , (n+1)/n, -(n+1)/n, … berkumpul di sekitar 1 dan -1. Barisan ini tidakkonvergen, tetapi kita melihat ada dua titik yang menarik pada barisan ini, yaitu 1 dan -1.


Def. Misalkan (xk) adalah barisan bilangan real. Bilangan real x disebut titik limit atau titikakumulasi dari (xk) apabila untuk setiap bilanganasli n terdapat tak terhingga banyak xk yang memenuhi |xk – x| < 1/n.Jika terdapat tak terhingga xk dengan xk > n, maka+∞ dinobatkan sebagai titik limit dari (xk).

Catatan. 1. Dapat diperiksa bahwa x merupakantitik limit dari (xk) apabila untuk setiap bilangan aslin dan m, terdapat k ≥ m sehingga |xk – x| < 1/n.2. Dapat diperiksa bahwa +∞ merupakan titik limit dari (xk) apabila (xk) tak terbatas di atas.


Latihan1. Buktikan bahwa barisan 1, -1, 1, -1, 1, -1, …

hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1.2. Buktikan bahwa barisan 3/2, -3/2, 4/3, -4/3, 5/4,

-5/4, … , (n+1)/n, -(n+1)/n, … hanya mempunyaidua titik limit, yaitu 1 dan -1.

3. Buktikan bahwa x merupakan titik limit dari (xk) apabila untuk setiap bilangan asli n dan m, terdapat k ≥ m sehingga |xk – x| < 1/n.

4. Buktikan jika (xk) konvergen ke x, maka x me-rupakan satu-satunya titik akumulasi dari (xk).


Sub-barisan

Diberikan sebuah barisan (xk), kita dapat mem-peroleh suatu sub-barisan dari (xk) denganmencoret sejumlah (mungkin tak terhingga) suku-sukunya. Sebagai contoh, dengan mencoret suku-sukuberindeks ganjil, kita peroleh sub-barisan (x2j).

Iseng: Ada berapa banyak cara memperoleh sub-barisan dari suatu barisan?


Teorema. Misalkan (xk) adalah barisan bilangan real sembarang. Suatu bilangan real (atau bilangan real yang diperluas) x merupakan titik limit dari (xk) jikadan hanya jika terdapat sub-barisan (xk’) sedemikiansehingga lim xk’ = x.

Bukti. Jika terdapat sub-barisan (xk’) dgn lim xk’ = x, maka utk setiap bilangan asli n terdapat m sedemi-kian sehingga |xk’ – x| < 1/n untuk setiap k ≥ m. Dengan demikian terdapat tak terhingga suku xkyang memenuhi |xk – x| < 1/n, karena suku barisan(xk’) berasal dari (xk). Jadi x merupakan titik limit dari (xk).


Bukti (lanjutan). Sebaliknya, misalkan x me-rupakan titik limit dari (xk). Pilih x1’ sedemikiansehingga |x1’ – x| < 1. Setelah itu, pilih x2’ dengan indeks lebih besar daripada indeks x1’ sedemikian sehingga |x2’ – x| < ½. Demikianseterusnya, setelah x1’, … , xk’, kita pilih xk+1’ dengan indeks lebih besar daripada indeks xk’ sedemikian sehingga |xk+1’ – x| < 1/(k+1). Dengan cara ini kita peroleh sub-barisan (xk’) yang konvergen ke x. [QED]


CatatanHimpunan titik limit dari suatu barisan bisa sangatrumit. Barisan sederhana seperti 1, -1, 1, -1, 1, -1, … hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1.Namun sekarang tengok barisan (xk) di mana setiapbilangan rasional muncul tak terhingga kali. [Ilustrasi di papan tulis.] Setiap bilangan real akanmenjadi titik limit dari barisan ini: Jika x adalahbilangan real, maka x merupakan limit dari suatubarisan bilangan rasional Cauchy yang merupakansub-barisan dari (xk).


Titik Limit Barisan Konvergen

Teorema. Jika (xk) konvergen ke x, maka (xk) hanya mempunyai sebuah titik limit, yaitu x.Sebaliknya, jika (xk) hanya mempunyai sebuahtitik limit (termasuk +∞ dan -∞), maka (xk) konvergen (atau menuju +∞ atau -∞).

Bagian pertama mudah dibuktikan. Untukkebalikannya, kita perlu mendefinisikan limsupdan liminf terlebih dahulu.


Limsup dan Liminf (1)

Diberikan barisan (xk), kita ingin mencari titiklimit terbesar dan titik limit terkecil. Untuk itu, mulai dengan sup {xk : k ≥ 1}. Selanjutnya(dengan alasan yang dijelaskan di kelas), kitatinjau sup {xk : k ≥ 2}, sup {xk : k ≥ 3}, danseterusnya. Dalam hal ini kita peroleh barisanbilangan yang monoton turun, dan karena itumempunyai limit (mungkin -∞).

Def. limsupk->∞ xk := limm->∞ sup {xk : k ≥ m}.


Limsup dan Liminf (2)

Fakta 1. limsup xk merupakan titik limit dari (xk).

Fakta 2. limsup xk merupakan supremum darihimpunan titik limit dari (xk).

Serupa dgn itu, jika kita definisikan liminfk->∞ xk:= limm->∞ inf {xk : k ≥ m}, maka kita dapat mem-buktikan bahwa liminf xk merupakan titik limit dari (xk) dan infimum dari himpunan titik limit dari (xk).


Teorema sebelumnya menyatakan: jika (xk) hanya mempunyai sebuah titik limit, sebutlah x, maka (xk) mestilah konvergen ke x.Bukti. Tinjau kasus x terhingga. Mengingatlimsup xk = liminf xk = x, kita mempunyai duabarisan yang konvergen ke x, yaitu (ym) dan (zm) dgn ym = sup {xk : k ≥ m} dan zm = inf {xk : k ≥ m}, dan zm ≤ xk ≤ ym untuk k ≥ m. Dengan memilih m cukup besar sedemikian sehingga |zm – x| < 1/n dan |ym – x| < 1/n, kita peroleh|xk – x| < 1/n untuk k ≥ m. Ini membuktikan bahwa (xk) konvergen ke x. [QED]


Latihan1. Tentukan sup, inf, limsup, liminf, dan semua titik

limit dari barisan berikut:a. ((-1)k) b. ((-1)k/k)

2. Diketahui barisan (xk) terbatas dan suku-sukunyadapat dituliskan sebagai xk = yk + zk dengan (yk) monoton naik dan (zk) monoton turun. Apakah(xk) konvergen? Bagaimana jika (yk) dan (zk) terbatas?

3. Konstruksi sebuah barisan yang titik-titik limit-nya persis sama dengan himpunan semuabilangan bulat.

4. Apakah ada barisan yang titik-titik limitnyapersis sama dengan 1, ½, 1/3, … ?


ma5031 bab 3.1 teori limit

Documents