analisis variabel real - · pdf filedefinisi kekontinuan fungsi (kekontinuan di satu titik)....

2012

www.alfirosyadi.wordpress.com

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

1/1/2012

ANALISIS VARIABEL REAL 2

2

IDENTITAS MAHASISWA

NAMA :

NIM :

KELAS :

KELOMPOK :

3

PENDAHULUAN

Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa dalam mempelajari materi :

1. Turunan

a. Kekontinuan

b. Teorema nilai rata-rata

c. Teorema L’Hospital

2. Integral

a. Jumlah Riemann

b. Teorema dasar Kalkulus

c. Integral dengan Pendekatan Limit

Modul ini terdiri dari peta konsep, aplikasi materi pada bidang teknologi,

kegiatan belajar. Pada masing-masing kegiatan belajar, Anda diberi kesempatan

untuk melakukan diskusi dengan kelompok Anda untuk menyelesaikan

permasalahan yang sudah diberikan. Hasil diskusi Anda, tuliskan pada lembar

jawaban yang sudah disediakan.

Anda diharapkan mempelajari modul ini dengan baik, kemudian jika ada

kesulitan dalam mempelajarinya coba tanyakan pada dosen pengampu.

Selamat Belajar !

4

Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut!

Turunan

definisi

teorema

aturan pencarian turunan

aturan rantai

aplikasi

Teorema nilai rata-rata

Kekontinuan

5

DEFINISI TURUNAN

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada

sebarang bilangan c adalah

Asalkan limit ini ada

DEFINISI KEKONTINUAN FUNGSI

(Kekontinuan di satu titik). Kita katakana bahwa f kontinu di c jika

beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan

KEGIATAN BELAJAR 1

Diskusikan dengan anggota kelompok Anda tentang definisi turunan dan kekontinuan

suatu fungsi yang sudah pernah Anda peroleh di kalkulus I.

6

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!

Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!

1. Berikan penjelasan tentang definisi dari turunan dengan menggunakan

ilustrasi secara geometri! (kaitkan dengan konsep gradien)

2. Apakah ada suatu fungsi f sedemikian hingga f’=f ? Jika ada, berikan

contohnya!

3. Apakah keterkaitan antara limit dengan turunan?

4. Apakah keterkaitan antara kekontinuan dengan turunan?

5. Misalkan , tentukan nilai dari !

Lembar Jawaban

7

LATIHAN SOAL 1

1. Tentukan fungsi kontinu atau tidak di !

2. Misalkan . Definisikan f agar kontinu di

3. Tentukan di titik mana saja tak kontinu?

Lembar Jawaban

8

TEOREMA NILAI RATA-RATA

Jika f kontinu pada selang tertutup dan terdiferensialkan pada titik-

titik dalam dari , maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam

dimana

Atau dapat dituliskan

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!

Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!

1. Jelaskan maksud teorema rata-rata tersebut dengan menggunakan ilustrasi

grafik !

2. Buktikan teorema nilai rata-rata tersebut! (gunakan ilustrasi secara

geometri)

3. Kaitkan teorema nilai rata-rata tersebut dengan turunan dan kekontinuan

yang sudah Anda pelajari sebelumnya!

9

Lembar Jawaban

10

LATIHAN SOAL 2

Pada soal nomor 1-3, didefinisikan sebuah fungsi dan diketahui sebuah selang

tertutup. Tentukan, apakah teorema nilai rata-rata dapat digunakan pada fungsi

yang diketahui pada selang yang diberikan? Jika iya, carilah nilai c yang mungkin!

Cika perlu, sketsakan grafiknya pada selang yang diberikan!

1.

2.

3.

Lembar Jawaban

11

Lembar Jawaban

12

ATURAN L’HOPITAL untuk bentuk

Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini: ,

, , atau .

Andaikan dan .

Apabila lim ada , baik ia terhingga atau tak terhingga,

maka

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!

Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!

Gunakan aturan L’Hospital untuk menentukan nilai dari

1.

2.

3.

4.

5.

13

Lembar Jawaban

14

Andaikan lim diartikan untuk salah satu lambang ini: ,

, , atau .

Andaikan dan .

Apabila lim ada , baik ia terhingga atau tak terhingga,

maka

ATURAN L’HOPITAL untuk bentuk

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!

Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!

Gunakan aturan L’Hospital untuk menentukan nilai dari:

1.

2.

Lembar Jawaban

15

Materi turunan yang kita bahas dalam modul ini dapat disajikan dalam peta konsep berikut!

Integral

Integral Tentu

Aturan Trapesium

TeoremaDasar Kalkulus

Jumlah Riemann

16

JUMLAH RIEMANN

Misalkan sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup .

Pandang suatu partisi P dari selang menjadi n selang bagian (tidak perlu

panjangnya sama) memakai titik-titik .

Andaikan . Pada setiap selang, ambillah sebarang titik, kita

sebut sebagai titik sampel untuk suatu selang bagian ke-i.

Bentuklah penjumlahan

Yang selanjutnya kita sebut sebagai jumlah Riemann untuk f yang

berpadanan dengan partisi P

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan

berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah

disediakan!

1. Berikan contoh sebuah fungsi, definisikan batasnya, selanjutnya tentukan

luasnya dengan menggunakan jumlah Riemann!

2. Ilustrasikan soan nomor 1 secara geometri!

17

Lembar Jawaban

18

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan berikut!

Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah disediakan!

Hitunglah integral tentu memakai definisi

1. (gunakan )

2. (gunakan )

INTEGRAL TENTU

Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup . Jika

ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada .

Lebih lanjut, disebut integral tentu (Integral Reimann) f dari a

ke b, diberikan oleh

19

Lembar Jawaban

20

Setelah melakukan diskusi dengan kelompok Anda, selesaikan, permasalahan

berikut! Tuliskan hasil diskusi Anda pada lembar jawaban yang sudah

disediakan!

1. Buktikan teorema dasar kalkulus tersebut dengan menggunakan jumlah

rieman dan teorema nilai rata-rata!

2. Carilah semua sifat-sifat integral tentu, kemudian tuliskan pada lembar

jawaban!

TEOREMA DASAR KALKULUS

Andaikan f kontinu (karena terintegralkan) pada dan andaikan F

sebarang anti turunan dari f disana, maka

21

Lembar Jawaban

22

TUGAS PROYEK

Carilah aturan Integral yang Anda ketahui, misalnya aturan trapezium,

aturan parabol/simpson, dll. Kemudian buatlah rangkumannya, berikan satu

contoh soal, dan presentasikan hasil kerja Anda