analisa polinom derajat tinggi.doc

Fungsi Variabel Banyak Bernilai RealTeorema Taylor

Wono Setya Budhi

KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku

00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f

(x − a)2 + . . . + f

(x − a)k

dengan suku sisa

Rk (x ) =

2!

Z x (x − t )k

k !

f (k +1) (t ) dt

Suku sisa ini memenuhia

lim

k !

Rk (x )= 0x →a (x − a)k

+1

Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi

Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku

00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f

(x − a)2 + . . . + f

(x − a)k

dengan suku sisa

Rk (x ) =

2!

Z x (x − t )k

k !

f (k +1) (t ) dt

Suku sisa ini memenuhia

lim

k !

Rk (x )= 0x →a (x − a)k

+1

Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi

Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku

00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f

(x − a)2 + . . . + f

(x − a)k

dengan suku sisa

Rk (x ) =

2!

Z x (x − t )k

k !

f (k +1) (t ) dt

Suku sisa ini memenuhia

lim

k !

Rk (x )= 0x →a (x − a)k

+1

Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi

Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku

00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f

(x − a)2 + . . . + f

(x − a)k

dengan suku sisa

Rk (x ) =

2!

Z x (x − t )k

k !

f (k +1) (t ) dt

Suku sisa ini memenuhia

lim

k !

Rk (x )= 0x →a (x − a)k

+1

Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi

Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Salah satu pemakaian penting dari turunan order tinggi adalah penghampiran fungsi dengan polinomial derajat lebih tinggi.Untuk satu variabel, misalkan f mempunyai turunan ke k + 1 kontinu di pada interval tutup I = [p, q]Untuk bilangan a ∈ I dan x ∈ I berlaku

00 (a) (k ) (a)f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + f

(x − a)2 + . . . + f

(x − a)k

dengan suku sisa

Rk (x ) =

2!

Z x (x − t )k

k !

f (k +1) (t ) dt

Suku sisa ini memenuhia

lim

k !

Rk (x )= 0x →a (x − a)k

+1

Bentuk ini mengatakan bahwa suku sisa lebih kecil dari (x − a)k jikaWono Setya |x −Budhi a|(KK cukupAnalisis dan keG cil.eomet, Fungsi

Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

TheoremMisalkan f mempunyai turunan ketiga yang kontinu pada daerah tutup D dengan titik dalam yang tak kosong, maka untuk titik dalam(a, b) ∈ D dan (x , y ) ∈ D berlaku

f (x , y ) = f (a, b) + (x − a) ∂f

(a, b) + (y − b) ∂f

(a, b)∂x

2f1+ (x − a)2 ∂

y∂2f∂

2! ∂x 2 (a, b) + (x − a) (y − b)

∂x ∂y (a, b)

f2+ (y − b)2 ∂

∂y 2 (a, b) + R2 (x , y

)

dengan lim(x ,y )→(a,b) R2 (x ,y )

khk2 = 0 dan h = (x − a, y − b).

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

TheoremMisalkan f mempunyai turunan ketiga yang kontinu pada daerah tutup D dengan titik dalam yang tak kosong, maka untuk titik dalam(a, b) ∈ D dan (x , y ) ∈ D berlaku

f (x , y ) = f (a, b) + (x − a) ∂f

(a, b) + (y − b) ∂f

(a, b)∂x

2f1+ (x − a)2 ∂

y∂2f∂

2! ∂x 2 (a, b) + (x − a) (y − b)

∂x ∂y (a, b)

f2+ (y − b)2 ∂

∂y 2 (a, b) + R2 (x , y

)

dengan lim(x ,y )→(a,b) R2 (x ,y )

khk2 = 0 dan h = (x − a, y − b).

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Proof.

Definisikan

g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]

= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))

Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.

Kita menghitungg (0) = f (a, b)

g 0 (0) = ∂ f

(a, b) d ( a + t ( x − a ))

+ ∂ f

(a, b) d ( b + t ( y − b ))

x∂ dt ∂y dt

= (x − a) ∂f

(a, b) + (y − b) ∂f

(a, b)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Proof.

Definisikan

g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]

= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))

Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.

Kita menghitungg (0) = f (a, b)

g 0 (0) = ∂ f

(a, b) d ( a + t ( x − a ))

+ ∂ f

(a, b) d ( b + t ( y − b ))

x∂ dt ∂y dt

= (x − a) ∂f

(a, b) + (y − b) ∂f

(a, b)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Proof.

Definisikan

g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]

= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))

Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.

Kita menghitungg (0) = f (a, b)

g 0 (0) = ∂ f

(a, b) d ( a + t ( x − a ))

+ ∂ f

(a, b) d ( b + t ( y − b ))

x∂ dt ∂y dt

= (x − a) ∂f

(a, b) + (y − b) ∂f

(a, b)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Proof.

Definisikan

g (t ) = f [(a, b) + t {(x , y ) − (a, b)}]

= f (a + t (x − a) , b + t (y − b))

Kemudian, gunakan teorema Taylor satu variabel untuk fungsi g di titik t = 0.

Kita menghitungg (0) = f (a, b)

g 0 (0) = ∂ f

(a, b) d ( a + t ( x − a ))

+ ∂ f

(a, b) d ( b + t ( y − b ))

x∂ dt ∂y dt

= (x − a) ∂f

(a, b) + (y − b) ∂f

(a, b)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Pada penghampiran linear, yaitu f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h atauf (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) besarnya kesalahan adalah

R1 (h) = f (x ) − f (a) − f 0 (a) (x − a)

memenuhi

limf (a + h) − f (a) − f 0 (a) h

= lim R1 (h)

= 0

h→0 h h→0 h

Sedangkan untuk penghampiran derajat dua, kesalahan memenuhi

R2 (h)limh→0

h2= 0

Jika |h| < 1, maka h2 < |h|. Dengan demikian, untuk h kecil

penghampiran derajat dua lebih baik.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Pada penghampiran linear, yaitu f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h atauf (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) besarnya kesalahan adalah

R1 (h) = f (x ) − f (a) − f 0 (a) (x − a)

memenuhi

limf (a + h) − f (a) − f 0 (a) h

= lim R1 (h)

= 0

h→0 h h→0 h

Sedangkan untuk penghampiran derajat dua, kesalahan memenuhi

R2 (h)limh→0

h2= 0

Jika |h| < 1, maka h2 < |h|. Dengan demikian, untuk h kecil

penghampiran derajat dua lebih baik.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 13

Teorema Taylor

Teorema Taylor Fungsi Dua Variabel

Pada penghampiran linear, yaitu f (a + h) = f (a) + f 0 (a) h atauf (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) besarnya kesalahan adalah

R1 (h) = f (x ) − f (a) − f 0 (a) (x − a)

memenuhi

limf (a + h) − f (a) − f 0 (a) h

= lim R1 (h)

= 0

h→0 h h→0 h

Sedangkan untuk penghampiran derajat dua, kesalahan memenuhi

R2 (h)limh→0

h2= 0

Jika |h| < 1, maka h2 < |h|. Dengan demikian, untuk h kecil

penghampiran derajat dua lebih baik.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).

Solution

Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f

∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),

∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)

Hasilnya adalah

f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f

(0, 0) x + ∂f

(0, 0) y +

2f1+

∂

x∂ ∂y

2f22 f

+ xy ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y

∂x 2 (0, 0)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).

Solution

Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f

∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),

∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)

Hasilnya adalah

f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f

(0, 0) x + ∂f

(0, 0) y +

2f1+

∂

x∂ ∂y

2f22 f

+ xy ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y

∂x 2 (0, 0)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).

Solution

Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f

∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),

∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)

Hasilnya adalah

f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f

(0, 0) x + ∂f

(0, 0) y +

2f1+

∂

x∂ ∂y

2f22 f

+ xy ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y

∂x 2 (0, 0)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah rumus Taylor derajat dua untuk fungsi f (x , y ) = e x cos ydi titik (0, 0).

Solution

Kita menghitung nilai f (0, 0), ∂f f ∂ ∂ 2 f

∂ 2 f ∂ 2 f ∂x (0, 0) , ∂y (0, 0), ∂x 2 (0, 0),

∂x ∂y (0, 0) , ∂x 2 (0, 0)

Hasilnya adalah

f (x , y ) ≈ f (0, 0) + ∂f

(0, 0) x + ∂f

(0, 0) y +

2f1+

∂

x∂ ∂y

2f22 f

+ xy ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (0, 0) x (0, 0) + y ∂x ∂y

∂x 2 (0, 0)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah penghampiran nilai√

9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.

Solution

Dengan menggunakan satu dimensi, f (x ) =

√ x , maka

f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + 1

f 00 (a) (x − a)2

2!√

9 + 1 1

= √0, 3 +

1

− 1

9− 3

2 (0, 3)2

92 2 4

= 3 + 1

× 3

+ 1

− 1 9 7319

6 10 2 4 × 27

= = 3, 049 6 100 2400

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah penghampiran nilai√

9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.

Solution

Dengan menggunakan satu dimensi, f (x ) =

√ x , maka

f (x ) = f (a) + f 0 (a) (x − a) + 1

f 00 (a) (x − a)2

2!√

9 + 1 1

= √0, 3 +

1

− 1

9− 3

2 (0, 3)2

92 2 4

= 3 + 1

× 3

+ 1

− 1 9 7319

6 10 2 4 × 27

= = 3, 049 6 100 2400

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah penghampiran nilai√

9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.

Solution

Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3

Definisikan f (x , y ) = p

x 2 − y 2 dan

f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f

(5, 4) 0, 15 + ∂f

(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y

2f 2f 2f1+

∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15

∂x ∂y ∂x

Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah penghampiran nilai√

9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.

Solution

Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3

Definisikan f (x , y ) = p

x 2 − y 2 dan

f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f

(5, 4) 0, 15 + ∂f

(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y

2f 2f 2f1+

∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15

∂x ∂y ∂x

Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah penghampiran nilai√

9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.

Solution

Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3

Definisikan f (x , y ) = p

x 2 − y 2 dan

f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f

(5, 4) 0, 15 + ∂f

(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y

2f 2f 2f1+

∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15

∂x ∂y ∂x

Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Example

Hitunglah penghampiran nilai√

9, 3 dengan menggunakanpenghampiran satu dimensi dan dua dimensi.

Solution

Dengan dua dimensi, kita menuliskan 5, 152 − 4, 152 = 9, 3

Definisikan f (x , y ) = p

x 2 − y 2 dan

f (x , y ) ≈ f (5, 4) + ∂f

(5, 4) 0, 15 + ∂f

(5, 4) 0, 15+x∂ ∂y

2f 2f 2f1+

∂ 2 + 0, 15 × 0, 15 ∂ 2 ∂

!2 ∂x 2 (5, 4) 0, 15 (5, 4) + 0, 15

∂x ∂y ∂x

Berdasarkan formula ini, kita dapat menduga bahwa dengan fungsi dua variabel, nilai hampiran lebih baik, karena untuk p < q, maka p2 << q2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah

Lemma

Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi

P (x , y ) − P ∗ (x , y )

lim(x ,y )→(0,0)

maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )

= 0k(x , y )kk

Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu

variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah

Lemma

Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi

P (x , y ) − P ∗ (x , y )

lim(x ,y )→(0,0)

maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )

= 0k(x , y )kk

Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu

variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah

Lemma

Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi

P (x , y ) − P ∗ (x , y )

lim(x ,y )→(0,0)

maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )

= 0k(x , y )kk

Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu

variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah

Lemma

Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi

P (x , y ) − P ∗ (x , y )

lim(x ,y )→(0,0)

maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )

= 0k(x , y )kk

Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu

variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13

Teorema Taylor

Contoh Penghampiran Taylor

Pertanyaan yang berikut, apakah kita dapat mencari penghampiran Taylor fungsi dua variabel dengan penghampiran fungsi satu variabel. Kunci dari ini adalah

Lemma

Misalkan P (x , y ) dan P ∗ (x , y ) dua polinom derajat k dan memenuhi

P (x , y ) − P ∗ (x , y )

lim(x ,y )→(0,0)

maka P (x , y ) = P ∗ (x , y )

= 0k(x , y )kk

Lemma ini mengatakan bahwa jika ada dua polinomial derajat k dan bedanya terhadap polinom derajat k dengan bentuk k(x , y )kk lebih kecil untuk (x , y ) yang cukup kecil, maka dua polinom tersebut sama. Berdasarkan ini kita dapat menggunakan polinom Taylor satu

variabel untuk mencari polinom Taylor dua variabel.Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x

Solution

Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗

2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan

limR2 (x )

x →0

R ∗2 ( x )

x 2= 0

Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )

Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )

x 2= 0.

Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x

Solution

Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗

2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan

limR2 (x )

x →0

R ∗2 ( x )

x 2= 0

Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )

Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )

x 2= 0.

Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x

Solution

Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗

2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan

limR2 (x )

x →0

R ∗2 ( x )

x 2= 0

Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )

Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )

x 2= 0.

Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Hitunglah polinom Taylor derajat dua untuk fungsi f (x ) = e x sin x

Solution

Karena e x = 1 + x + x 2 3 x ∗

2! + R2 (x ) dan sin x = x − 6! + R2 (x ) dengan

limR2 (x )

x →0

R ∗2 ( x )

x 2= 0

Selanjutnyae x sin x = x + x 2 + R (x )

Kita dapat membuktikan bahwa limx →0 R (x )

x 2= 0.

Jadi x + x 2 adalah polinom Taylor derajat dua dari e x sin x .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2

2! + R (t ) dengan

limt →0 R ( t )t 2

= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh

2 2

e x = 1 + x + x

+ R (x ) dan e y = 1 + y + y

+ R (y )2! 2!

Dengan demikian

e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1

(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!

2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2

x 2

! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )

∗

(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2

2! + R (t ) dengan

limt →0 R ( t )t 2

= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh

2 2

e x = 1 + x + x

+ R (x ) dan e y = 1 + y + y

+ R (y )2! 2!

Dengan demikian

e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1

(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!

2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2

x 2

! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )

∗

(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2

2! + R (t ) dengan

limt →0 R ( t )t 2

= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh

2 2

e x = 1 + x + x

+ R (x ) dan e y = 1 + y + y

+ R (y )2! 2!

Dengan demikian

e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1

(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!

2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2

x 2

! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )

∗

(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13

Teorema Taylor

Mencari Polinom Dua Variabel

Example

Berdasarkan fungsi satu variabel e t = 1 + t + t 2

2! + R (t ) dengan

limt →0 R ( t )t 2

= 0Untuk t = x dan t = y , diperoleh

2 2

e x = 1 + x + x

+ R (x ) dan e y = 1 + y + y

+ R (y )2! 2!

Dengan demikian

e x +y = e x e y = 1 + (x + y ) + 1

(x + y )2 + R ∗ (x , y )2!

2 xy x + y + 2 xy + 1 + x + 2dan R ∗ (x , y ) = 1 1 1 + y + y 2

x 2

! R (y ) +2! R (x ) + R (x ) R (y )

∗

(x ,y )→(0,0) x 2 +y 2 =

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 13

Teorema Taylor

Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua

Untuk n variabel, kita akan menuliskan x = (x1 , . . . , xn ) dana = (a1 , . . . , an )Berdasarkan aljabar linear, untuk fungsi n variabel f (x), kita dapat menuliskan

g (t ) = f (a + t (x − a))

polinom Taylornya di sekitar t = 0. Dengan aturan rantai, kita memperoleh

g 0 (0) = ∂f

(a) (x − a ) + . . . + ∂f

(a) (x a− )∂x1

1 1

2f∂xn

n n

2 fg 00 (0) = ∂

∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1

2 + . . . +∂

∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )

+ . . .

2 f 2 f+∂

(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂

(a) (xn − an )2

∂xn ∂x1 ∂x 2n

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 13

Teorema Taylor

Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua

Untuk n variabel, kita akan menuliskan x = (x1 , . . . , xn ) dana = (a1 , . . . , an )Berdasarkan aljabar linear, untuk fungsi n variabel f (x), kita dapat menuliskan

g (t ) = f (a + t (x − a))

polinom Taylornya di sekitar t = 0. Dengan aturan rantai, kita memperoleh

g 0 (0) = ∂f

(a) (x − a ) + . . . + ∂f

(a) (x a− )∂x1

1 1

2f∂xn

n n

2 fg 00 (0) = ∂

∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1

2 + . . . +∂

∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )

+ . . .

2 f 2 f+∂

(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂

(a) (xn − an )2

∂xn ∂x1 ∂x 2n

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 13

Teorema Taylor

Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua

Untuk n variabel, kita akan menuliskan x = (x1 , . . . , xn ) dana = (a1 , . . . , an )Berdasarkan aljabar linear, untuk fungsi n variabel f (x), kita dapat menuliskan

g (t ) = f (a + t (x − a))

polinom Taylornya di sekitar t = 0. Dengan aturan rantai, kita memperoleh

g 0 (0) = ∂f

(a) (x − a ) + . . . + ∂f

(a) (x a− )∂x1

1 1

2f∂xn

n n

2 fg 00 (0) = ∂

∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1

2 + . . . +∂

∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )

+ . . .

2 f 2 f+∂

(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂

(a) (xn − an )2

∂xn ∂x1 ∂x 2n

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 13

Teorema Taylor

Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua

Khusus untuk turunan kedua,

2f 2 fg 00 (0) = ∂

∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1

2 + . . . +∂

∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )

+ . . .

2 f 2 f+∂

(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂

(a) (xn − an )2

∂xn ∂x1

dapat dituliskan dalam bentuk matriks

∂x 2n

∂ 2 f∂x 2

∂ 2 f ∂x1 ∂x2

. . . ∂ 2 f ∂x1 ∂xn x1 − a1

2

1 2 f 2 f

x1 − a1 . . . xn − an∂ f

∂x2 ∂x1

..

∂ 2 f

∂2∂x2

.

.∂ 2 f

. . . ∂∂x2 ∂xn

. . . ..∂ 2 f

x2 − a2

.

.

xn − an

∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2. . . ∂x 2n

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 13

Teorema Taylor

Fungsi dengan Variabel Bebas Lebih Dari Dua

Khusus untuk turunan kedua,

2f 2 fg 00 (0) = ∂

∂x 2 (a) (x1 − a1 ) 1

2 + . . . +∂

∂x1 ∂xn(a) (x1 − a1 ) (xn − an )

+ . . .

2 f 2 f+∂

(a) (xn − an ) (x1 − a1 ) + . . . + ∂

(a) (xn − an )2

∂xn ∂x1

dapat dituliskan dalam bentuk matriks

∂x 2n

∂ 2 f∂x 2

∂ 2 f ∂x1 ∂x2

. . . ∂ 2 f ∂x1 ∂xn x1 − a1

2

1 2 f 2 f

x1 − a1 . . . xn − an∂ f

∂x2 ∂x1

..

∂ 2 f

∂2∂x2

.

.∂ 2 f

. . . ∂∂x2 ∂xn

. . . ..∂ 2 f

x2 − a2

.

.

xn − an

∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2. . . ∂x 2n

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geomet, Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 13