aljabar linier & matrikmoenawar.web.id/wp-content/uploads/2020/02/12-alin...2020/02/12  · 12....

Munawar, PhD

Aljabar Linier & Matrik12. Transformasi Geometri Pencerminan

Transformasi pencerminan /refleksi

menghasilkan bayangan yang tergantung pada

acuannya.

Pencerminan/ Refleksi

Refleksi titik A (a, c) terhadap

sumbu x menghasilkan bayangan

yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk

titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa : a’

= a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya

sehingga persamaan matrik

transformasinya adalah : 1 0

0 -1xT

Dengan notasi

matrik :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

1 0

0 -1x

x x xT

y y y

Refleksi thd Sumbu X

Sama seperti refleksi terhadap

sumbu x menghasilkan

persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’

= c dan seterusnya. sehingga

persamaan matrik

transformasinya adalah :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a, c) sumbu y

Dengan notasi

matrik :

-1 0

0 1y

x x xT

y y y

-1 0

0 1yT

Refleksi thd Sumbu Y

Menghasilkan persamaan

:

a’= - a, dan c’ = -c,

b’= - b, dan c’ = -c,

d’= - d, dan c’ = -c,

sehingga persamaan

matrik transformasinya

adalah : (0,0)

-1 0

0 -1T

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)

(0,0)

-1 0

0 -1

x x xT

y y y

Dengan notasi

matrik :

Refleksi thd Titik Asal (0,0)

Menghasilkan persamaan :

a’= c, dan c’ = a,

b’= c, dan c’’ = b,

d’= e, dan e’ = d dan

seterusnya

sehingga persamaan matrik

transformasinya adalah : 0 1

1 0y xT

Refleksi ditulis dengan

notasI :

A(a,c) A’(c,a)

y = x

0 1

1 0y x

x x xT

y y y

Dengan notasi

matrik :

Refleksi thd Garis y = x

Menghasilkan persamaan :

a’= -c, dan c’ = -a,

b’= -c, dan c’’ = -b,

d’= -e, dan e’ = -d dan

seterusnya, sehingga

persamaan matrik

transformasinya adalah : 0 -1

-1 0y xT

Refleksi ditulis dengan

notasI :

A(a,c) A’(-c,-a)

y =- x

0 -1

-1 0y x

x x xT

y y y

Dengan notasi

matrik :

Refleksi thd Garis y = -x

Sumbu x digeser sejauh h,

menghasilkan persamaan :

a’= a, dan c’ = 2h-c,

b’= b, dan c’ = 2h-c,

d’= d, dan e’ = 2h-e,

sehingga notasi persamaan

matrik transformasinya adalah :

1 0 0

0 -1 2

x x

y y h

Refleksi thd Garis y = h

Bukti :

Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h.

Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan

memakai translasi diperoleh:

0 x x x

y y h y h

1 0

0 -1

x x x

y y h y h

0

2

0 1 0 0

- 2 0 -1 2

x x x

y y h h y h

x x

y h y h

Sekarang yang digeser adalah

sumbu y sejauh k,

menghasilkan persamaan :

a’= 2k-a, dan c’ = c,

b’= 2k-b, dan c’ = c,

d’= 2k-d, dan e’ = e,

sehingga notasinya adalah :

A(a,c) A’(2k-

a,c)

x=k

-1 0 2

0 1 0

x x k

y y

Dengan notasi

matrik :

Refleksi thd Garis x = k

Contoh Soal :

Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik

sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan

terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi

terhadap sumbu-y.

Jawab :

Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap

yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi

terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi

direfleksikan terhadap sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’

dengan

titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).

Coba pikirkan :

Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi

pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari

satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan

mengunakan satu tahap saja ?

Munawar, PhD