adri priadana - ilkomadri.com · c. eliminasi gauss d. eliminasi gauss - jordan solusi sistem...

Adri Priadana

ilkomadri.com

Pengertian

Sistem Persamaan Linier

Persamaan linier adalah suatu

persamaan dengan bentuk umum

a1x1 + a2x2 +…+ an xn= b

yang tidak melibatkan hasil kali, akar,

pangkat selain satu dari variabelnya

serta bukan sebagai fungsi trigonometri

(sin, cos, tan), logaritma, atau

eksponensial

Pengertian

Sistem Persamaan Linier

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1

Contoh:

x + y + 2z = 9

Solusi: berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai

sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi

persamaan tersebut.

Himpunan solusi untuk persamaan di atas:

{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }

Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution

space)

Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih)

persamaan linier.

Contoh:

x + y = 3

3x – 5y = 1

Ruang Solusi:

berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang

harus memenuhi semua persamaan linier dalam

sistem tersebut, untuk sistem ini ruang solusinya

{ (2, 1) }

Pengertian

Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier mempunyai salah satu dari

3 kemungkinan :

a. Tidak ada solusi, atau tidak berpotongan

b. Satu solusi, atau berpotongan di 1 titik

c. Banyak solusi, atau berimpit

b.a. c.

Pengertian

Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier dikatakan Consistent

jika memiliki satu solusi atau banyak solusi, dan

dikatakan Inconsistent jika tidak ada solusi.

Persamaan Linier memiliki beberapa solusi,

yaitu :

a. Eliminasi / Substitusi

b. Aturan Cramer

c. Eliminasi Gauss

d. Eliminasi Gauss - Jordan

Solusi Sistem Persamaan Linier

a. Eliminasi / Substitusi

I. x + y = 3 3x + 3y = 9

3x – 5y = 1 3x – 5y = 1

Solusi Sistem Persamaan Linier

x dieliminasi

8y = 8 y = 1

3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2

II. y = 3 – x

3x – 5 (3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2

y = 3 – x y = 1

y disubstitusi

Sistem Persamaan Liner dapat diungkapkan dalam

bentuk Matriks Koefisien

Contoh :

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Jika setiap koefisien dari sistem persamaan linier di atas

disusun ke dalam matriks, maka

Solusi Sistem Persamaan Linier

1 1 2

2 4 -3

3 6 -5Disebut matriks koefisien

Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier dengan tambahan kolom yang berisi konstanta pada sisi kanan sistem persamaan linier

Contoh :

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Solusi Sistem Persamaan Linier

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

Matriks Augmented-nya :

b. Aturan Cramer

Apabila Ax = b maka nilai x dapat dicari dengan

xk =

Di mana:

|Ak| adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujur sangkar A

dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh b.

|A| adalah harga determinan matriks bujur sangkar A

Contoh : 2x + y – z = 3 3x + 2y – 4z = 1 x + 4y + z = 15

Solusi Sistem Persamaan Linier

|Ak|

|A|

b. Aturan Cramer (cont)

Hitunglah nilai x, y, dan z untuk sistem persamaan berikut:

2x + y – z = 3 3x + 2y – 4z = 1 x + 4y + z = 15

Matriks : A Ax =

Ay = Az =

Solusi Sistem Persamaan Linier

2 1 -1

3 2 -4

1 4 1

3 1 -1

1 2 -4

15 4 1

b

b

2 3 -1

3 1 -4

1 15 1

b

2 1 3

3 2 1

1 4 15

b. Aturan Cramer (cont)

det(A) = = 19, det(Ax) = = 19

det(Ay) = = 57, det(Az) = = 38

Maka x = = 1, y = = = 3, z = = = 2

Solusi Sistem Persamaan Linier

det(Ax) 19

det(A) 19

2 1 -1

3 2 -4

1 4 1

3 1 -1

1 2 -4

15 4 1

b

2 3 -1

3 1 -4

1 15 1

b

2 1 3

3 2 1

1 4 15

b

det(Ay) 57

det(A) 19

det(Az) 38

det(A) 19

Solusi Sistem Persamaan Linier

c. Eliminasi Gauss

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

Elementary Row Operation (ERO)

ditulis dalam

bentuk matriksaugmented

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

lalu diusahakan berbentuk →

1 1 2 9

0 ? ? ?

0 0 ? ?

Solusi Sistem Persamaan Linier

c. Eliminasi Gauss (cont)

(Elementary Row Operation - ERO)

Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan

persamaan linier

1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0

2. Menukar posisi dua baris

3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

baris-2 + (-2) x baris-1

baris-3 + (-3) x baris-1

1 1 2 9

0 2 -7 -17

0 3 -11 -27

baris-3 + (-3/2)x baris-2

1 1 2 9

0 2 -7 -17

0 0 -1/2 -3/2

Solusi Sistem Persamaan Linier

c. Eliminasi Gauss (cont)

x y z

1 1 2 9

0 2 -7 -17

0 0 -1/2 -3/2

Substitusi Balik

-1/2 z = -3/2 z = 3

1 1 2 9

0 2 -7 -17

0 0 -1/2 -3/2z

2y – 7z = - 17

2y = 21 – 17 y = 2

1 1 2 9

0 2 -7 -17

0 0 -1/2 -3/2

y

z

x + y + 2z = 9

x = – 2 – 6 + 9 x = 1

Solusi Sistem Persamaan Linier

d. Eliminasi Gauss - Jordan

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

Elementary Row Operation (ERO)

ditulis dalam

bentuk matriksaugmented

1 1 2 9

2 4 -3 1

3 6 -5 0

lalu diusahakan berbentuk →

1 0 0 ?

0 1 0 ?

0 0 1 ?

Solusi Sistem Persamaan Linier

d. Eliminasi Gauss – Jordan (cont)

contoh:

x - 2y + z = 0

2y – 8z = 8

-4x + 5y + 9z = -9

1 -2 1 0

0 2 -8 8

-4 5 9 -9

baris-3 + (4) x baris-1

1 -2 1 0

0 2 -8 8

0 -3 13 -9

1 -2 1 0

0 1 -4 4

0 -3 13 -9

(1/2)x baris-2

Solusi Sistem Persamaan Linier

d. Eliminasi Gauss – Jordan (cont)

1 -2 1 0

0 1 -4 4

0 -3 13 -9

1 -2 1 0

0 1 -4 4

0 0 1 3

Baris-3 + (3) x baris-2

1 -2 0 -3

0 1 0 16

0 0 1 3

Baris-2 + (4) x baris-3

Baris-1 + (-1) x baris-31 0 0 29

0 1 0 16

0 0 1 3Baris-1 + (2) x baris-2

x y z

Matur Nuwun