82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq

1

Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif

Pembuktian Limit Terpenting

Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 meter dan selalu memantul ½ dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.

2m 1m

½ m

¼ m … … …

2m 1m

½ m

¼ m … … …

Tinggi puncak bola dari awal dan setelah memantul adalah: 2, 1, ½, ¼, 1/8,…

Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, 1 + ½ + ¼ + … … … “BIRU”

“ORANGE”

2m 1m

½ m

¼ m … … …

Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, akhirnya berhenti:

1 + ½ + ¼ + … … … =

“BIRU”

2 (tinggi semula)

5

Contoh Lagi

Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 32 cm dan selalu memantul ¼ dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.

32 24

6 = 24/4

6/4 = 1,5 … … …

32 24

6 = 24/4

6/4 = 1,5 … … …

Tinggi puncak bola dari awal dan setelah memantul adalah: 32, 8, 2, 1/2, 1/8,…

Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, 24 + 6 + 6/4 + … … … “BIRU”

“ORANGE”

32 24

6 = 24/4

6/4 = 1,5 … … …

Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, akhirnya berhenti,

24 + 6 + 6/4 + … … …“BIRU”

= 32

9

Contoh Umum

Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian S dan selalu memantul r dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.

S

Sr

a = S - Sr

ar

arr … … …

a = S(1 – r)

a/(1 – r) = S

S = a 1 – r

6 + 2 + 2/3 + 2/9 + … … … = ?

r = 2/6 = 1/3

S=…

a = 6

1/3 ∞

1/3 ∞

1/3 ∞ = 3

= 3

= 3S=… 9

12 + 4 + 4/3 + 4/9 + … … … = ?

r = 4/12 = 1/3

S=…

a = 12

1/3 ∞

1/3 ∞

1/3 ∞ = 6

= 6

= 6S=… = 18

30 + 10 + 10/3 + 10/9 + … … … = ?

r = 4/12 = 1/3

S=…

a = 30

1/3 ∞

1/3 ∞

1/3 ∞ = 15

= 15

= 15S=… = 45

24 + 12 + 6 + 3 + 3/2 + … … … =

r = 12/24 = ½

S = …

24

½ ∞

½ ∞ = 24

= 24 S = … = 48

S = a/(1 - r)

= 24/(1 – ½)

= 48

8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + … … … =

r = 4/8 = ½

S = …

8

½ ∞

½ ∞ = 8

= 8 S = … = 16

S = a/(1 - r)

= 8/(1 – ½)

= 16

16

Contoh Umum

20 + 4 + 4/5 + 4/25 + … … … = ?

r = 4/20 = 1/5

S=…

a = 20

1/5 S

4/5 S = 20

= 5S=… = 25

S = a/(1 - r)

= 20/(1 – 1/5)

= 25

40 + 8 + 8/5 + 8/25 + … … … = ?

r = 8/40 = 1/5

S=…

a = 40

1/5 S

4/5 S = 40

= 10S=… = 50

S = a/(1 - r)

= 40/(1 – 1/5)

= 50

15 + 3 + 3/5 + 3/25 + … … … = ?

r = 3/15 = 1/5

S=…

a = 40

1/5 S

4/5 S = 15

= 15/4S=… = 75/4

S = a/(1 - r)

= 15/(1 – 1/5)

= 75/4

20

Keterangan

21

Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif

Terimakasih

quantumyes@yahoo.comapiqquantum.wordpress.com

(022)2008621