6. spltv

KELOMPOK 6

1. Emira Nurfutri S

2. Fitri Aprillia K

3.Heni Susilawati

4.Ida Farida

5. Lina Hanipah

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

SEJARAH SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Sejarah Perkembangan

Aljabar Linear

• Istilah aljabar berasal dari kata bahasa Arab al-jabr yang artinya reduksi.

• Istilah ini pertama kali digunakan oleh Mohammed al-Khowarizmi, yang hidup

sekitar tahun 800 Masehi di Bagdad.

• Aljabar linier digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier.

• Cara penyelesaian sistem persamaan linier juga pernah dijelaskan dalam teks

matematika kuno bahasa Cina yang berjudul: Chiu-Chang Suan-Shu (Sembilan

Bab Seni Matematika) dalam bentuk berikut ini:

1 ikat gd jelek + 2 ikat gd sedang + 3 ikat gd baik = 39 tou

1 ikat gd jelek + 3 ikat gd sedang + 2 ikat gd baik = 34 tou

3 ikat gd jelek + 2 ikat gd sedang + 1 ikat gd baik = 26 tou

Berapa tou tiap ikat gd jelek, sedang dan buruk? Tou adalah ukuran mangkok

perunggu di zaman Dinasti Chou.

Sistem persamaan linear dengan tiga

variabel terdiri atas tiga persamaan linear

yang masing-masing memuat tiga variabel.

Sistem persamaan linear dengan tiga

variabel disingkat dengan SPLTV.

Pengertian Sistem Persamaan

Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Secara umum bentuk persamaan linear

tiga variabel adalah sebagai berikut:

a1x+b1y+c1z=d1

a2x+b2y+c2z=d2

a3x+b3y+c3z=d3

dengan ai, bi, ci, dan di untuk i= 1, 2, 3 merupakan konstanta.

Metode Penyelesaian Persamaan

Linear Tiga Variabel

1. Metode Substitusi

2. Metode Eliminasi

3. Metode Gabungan

4. Metode Determinan

1. Metode Substitusi

x – y + z = 6

x + 2y – z = -3

2x + y + z = 6

SPLTV diatas dapat diselesaikan dengan metode

substitusi melalui langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah 1:

Pilihlah salah satu persamaan yang

sederhana, kemudian nyatakan x sebagai

fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan

z, atau z sebagai fungsi x dan y

Dari persamaan

x - y + z = 6 ↔ z = 6- x + y

(z sebagai fungsi x dan y)

Langkah 2:

Substitusikan x atau y atau z yang

diperoleh pada langkah 1 kedalam dua

persamaan lainnya sehingga

membentuk SPLDV

Substitusi z = 6 – x + y ke persamaan

x + 2y – z = -3 dan 2x + y + z = 6, diperoleh :

x + 2y – (6 – x + y) = -3

2x + 2y = 3.................(1)

dan

2x + y + (6 –x + y) = 6

x + 2y = 0.....................(2)

Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV :

2x + y = 3

x + 2y = 0

Langkah 3:

Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2

Dari persamaan x + 2y = 0

↔ x = -2y.

Substitusi x= -2y ke persamaan 2x + y = 3, diperoleh :

2 (-2y) + y =3

↔ -3y = 3

↔ y = -1

Substitusi y = -1 ke persamaan x = -2y,

sehingga diperoleh:

↔ x = -2 (-1)

↔ x = 2

Nilai x = 2 dan y = -1 disubstitusikan ke persamaan z=

6-x+y, diperoleh :

↔ z = 6- (2) + (-1)

↔ z = 3

Jadi himpunan penyelesaian SPLTV itu adalah:

{(2,-1,3)}

2. Metode Eliminasi

x – y + z = 6 ...(1)

x + 2y – z = -3 ...(2)

2x + y + z = 6 ...(3)

SPLTV ini akan kita selesaikan dengan metode

eliminasi melalui langkah-langkah sebagai berikut :

Langkah 1:

Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z

sehingga diperoleh SPLDV

Mengeliminasi peubah z :

Dari persamaan pertama dan kedua :

x – y + z = 6 .............. (1)

x + 2y – z = -3 ............. (2) +

2x + y = 3 .............. (4)

Dari persamaan kedua dan ketiga :

x + 2y – z = -3.............(2)

2x + y + z = 6..............(3) +

3x + 3y = 3

x + y = 1..............(5)

Langkah 2 :

Selesaikan SPLDV yan didapat pada langkah 1.

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV x dan

y :

2x + y = 3 ................ (4)

x + y = 1 .................(5)

Nilai x dicari dengan mengeliminasi peubah

y:

2x + y = 3 ................ (4)

x + y = 1 .................(5)

x = 2

Nilai y dicari dengan mengeliminasi peubah x :

2x + y = 3 x 1 2x + y = 3

x + y = 1 x 2 2x + 2y = 2

-y = 1

y = -1

Nilai z di cari dengan,

mengeliminasi peubah x yaitu

dari persamaan pertama dan kedua:x – y + z = 6

x + 2y – z = -3

-3y + 2z = 9……..(6)

dari persamaan kedua dan ketiga:x + 2y – z = -3 x2 2x + 4y - 2z = -6

2x + y + z = 6 x1 2x + y + z = 6

3y – 3z = -12

y – z = -4 ……. (7)

Nilai z dicari dengan mengeliminasi persamaan

keenam dan ketujuh:

-3y + 2z = 9 x 1 -3y + 2z = 9

y – z = -4 x 3 3y – 3z = -12 +

-z = -3

z = 3

jadi himpunan penyelesaian SPLTV di atas

adalah {(2,-1,3)}

3. Metode Gabungan

x – y + z = 6 .......(1)

x + 2y – z = -3 ....(2)

2x + y + z = 6 .....(3)

SPLTV ini akan kita selesaikan dengan metode

gabungan melalui langkah-langkah sebagai

berikut :

Langkah 1:

Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z

sehingga diperoleh SPLDV.

Mengeliminasi peubah z dari persamaan

pertama dan kedua :

x – y + z = 6 .............. (1)

x + 2y – z = -3 ............. (2) +

2x + y = 3 ...............(4)

Dari persamaan kedua dan ketiga :

x + 2y – z = -3.............(2)

2x + y +z = 6................(3) +

3x + 3y = 3

x + y = 1................(5)

24

Langkah 2 :

Selesaikan SPLDV yan didapat pada langkah 1.

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV x dan y

:

2x + y = 3 ................ (4)

x + y = 1 .................(5)

Nilai x dicari dengan mengeliminasi peubah y:

2x + y = 3 ................ (4)

x + y = 1 .................(5)

x = 2

Nilai y dicari dengan mensubstitusi

nilai x= 2 ke persamaan kelima:

↔ x + y = 1

↔ 2 + y = 1

↔ y = 1 – 2

↔ y = -1

Langkah 3:

Nilai x = 2 dan y = -1 disubstitusikan ke

persamaan z = 6 – x + y, diperoleh :

z = 6- (2) + (-1)

z = 3

Jadi himpunan penyelesaian SPLTV itu

adalah {(2,-1,3)}

4. Metode Determinan

a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1

D = a2 b2 c2 = a2 b2 c2 a2 b2 = (a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3) -

a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)

- - - + + +

d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1

Dx= d2 b2 c2 ; Dy= a2 d2 c2 ; Dz= a2 b2 d2

d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3

x= Dx y= Dy z= Dz

D D D

Aplikasi Sistem Persamaan

Linear Tiga Variabel

Bidang Ekonomi

Perbankan Perdagangan

Bidang Kependudukan

Bidang Kesehatan

Bidang Industri

Bidang geometri

1. Bidang Industri

Sebuah pabrik memiliki tiga buah mesin A, B,

C yang digunakan untuk membuat koper. Jika

ketiganya bekerja, dihasilkan 222 koper per

hari. Jika A dan B bekerja, tetapi C tidak,

dihasilkan 159 koper per hari. Jika B dan C

bekerja, tetapi A tidak, dihasilkan 147 koper

per hari. Berapa produksi harian tiap mesin ?

Jawab :

Misalkan produksi mesin A = x koper, mesin B = y koper, dan mesin C = z koper. Model matematika dari masalah tersebut terdiri atas tiga persamaan linear, yaitu :

• Jika ketiganya bekerja, dihasilkan 222 koper per hari

x + y + z = 222 ...........(1)

• Jika A dan B bekerja tetapi C tidak, dihasilkan 159 koper per hari

x + y = 159 .................(2)

• Jika B dan C bekerja tetapi A tidak, dihasilkan 147 koper per hari

y + z = 147.......................(3)

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh :

x + y = 159 ↔ x = -y + 159........... (4)

y + z = 147 ↔ z = -y + 147 ...........(5)

Kemudian substitusi x= -y + 159 dan z = -y + 147 kedalam persamaan (1) sehingga diperoleh suatu persamaan tunggal dalam y.

x + y + z = 222

(-y + 159) + y + (-y + 147) = 222

-y + 306 = 222

-y = 222 – 306

-y = -84

y = 84

Substitusi kembali y = 84 ke dalam persamaan (4) dan

(5) sehingga diperoleh nilai x dan z.

x = -y + 159.........(4)

= -84 + 159

= 75

z = -y + 147...........(5)

= -84 + 147

= 63

Dengan demikian , produksi harian mesin A, B, dan C

masing-masing adalah 75, 84, dan 63 koper.

2. Bidang Geometri

Dalam suatu segitiga, sudut terbesarnya adalah 80°lebih besar daripada sudut kecilnya dan 30° lebih besar daripada dua kali sudutnya. Tentukan ukuran-ukuran sudut dalam segitiga tersebut.

Jawab :

Misalkan ukuran sudut terkecil = x, ukuran sudut menengah = y, dan ukuran sudut terbesar = z.

• Sudut terbesarnya adalah 80° lebih besar dari sudut terkecilnya

z = x + 80............(1)

• Sudut terbesarnya adalah 30° lebih besar dari 2 kali sudut sisanya

x = 30 + 2y............(2)

• Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°

x + y + z = 180.......(3)

Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh :

z = x + 80 ↔ x = z – 80.........(4)

z = 30 + 2y ↔ 2y = z – 30

↔ y = ½ (z - 30)...(5)

Kemudian substitusi x = z – 80 dan y = ½ (z - 30)

kedalam persamaan (3) sehingga diperoleh :

x + y + z = 180

2 (z - 80) + (z - 30) + 2z =360

2z – 160 + z – 30 + 2z = 360

5z = 550

z = 110

Substitusi kembali z = 110 kedalam persamaan (4) dan

(5) sehingga diperoleh nilai x dan y.

x = z – 80...........(4)

= 110 – 80

= 30

y = ½ (z - 30).......(5)

= ½ (110 - 30)

= ½ (80)

= 40

Jadi, ukuran etiap sudut pada segitiga tersebut

adalah 30°, 40°, dan 110°.

3. Bidang kependudukan

Hasil sensus menunjukan bahwa penduduk suatu

kota berjumlah 2juta orang. Penduduk tersebut

terdiri atas wanita dewasa 10 ribu orang lebih

banyak daripada jumlah pria dewasa. Sedangkan

pria dewasa 40 ribu lebih sedikit dari jumlah anak

anak yang belum dewasa. Berapa jumlah anak-anak

yang belum dewasa?

Jawab :

Misalkan wanita dewasa = x, pria dewasa = y, dan anak-anak = z.

• Wanita dewasa 10 ribu orang lebih banyak daripada jumlah pria dewasa

x = y + 10.000..........(1)

• Pria dewasa 40 ribu lebih sedikit dari jumlah anak-anak

y = z – 40.000..........(2)

• Jumlah penduduk kota 2.000.000 orang

x + y + z = 2.000.000...(3)

Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh :

x = y + 10.000........(3)

y = z – 40.000 z ↔ z = y + 40.000......(4)

Kemudian substitusi x = y + 10.000 dan z = y + 40.000 kedalam

persamaan (3) sehimgga diperoleh suatu persamaan tunggal

dalam y.

x + y + z = 2.000.000

(y + 10.000) + y + (y + 40.000) = 2.000.000

3y + 50.000 = 2.000.000

3y = 2.000.000 – 50.000

3y = 1.950.000

y = 650.000

Substitusi kembali y = 650.000 kedalam persamaan (3) dan (4) sehingga diperoleh nilai x dan z.

x = y + 10.000.......(3)

= 650.000 + 10.000

= 660.000

z = y + 40.000.......(4)

= 650.000 + 40.000

= 690.000

Jadi, jumlah anak-anak yang belum dewasa adalah 690.000 orang

4. Bidang Kesehatan

Pak Ahmad menderita suatu penyakit. Oleh karena itu Pak

Ahmad harus memperhitungkan jumlah makanan yang

dikonsumsi dari 3 menu yang tersedia. Satu porsi menu A

berisi 1 gram lemak, 2 gram kabohidrat, dan 3 gram

protein. Satu porsi menu B berisi 2 gram lemak, 1 gram

kabohidrat, dan 3 gram protein. Sedangkan satu porsi menu

C berisi 2 gram lemak, 4 gram kabohidrat, dan 3 garm

protein. Jumlah zat gizi yang dianjurkan nadalah 15 gram

lemak, 24 gram kabohidrat, dan 30 gram protein. Tentukan

komposisi menu A, B dan C agar terpenuhi kebutuhan zat

gizi Pak Ahmad?

Jawab:

Langkah 1

Menu Lemak Kabohidrat Protein

A 1 2 3

B 2 1 3

C 2 4 3

Jumlah zat giziyang dianjurkan

15 24 30

Misal

Menu A=X , Menu B=Y , dan Menu C=Z

Kalimat Matematika x + 2y + 2z =15 ….......... (1)

2x + y + 4z =24 ……….. (1)

3x + 3y + 3z =30 ………...(3)

Langkah 2:

Eliminasi persamaan 1 dan 2

x + 2y + 2z=15 x2 2x + 4y + 4z = 30

2x + y + 4z=24 x1 2x + y + 4z = 24

3y = 6

y = 2

Eliminasi persamaan 1 dan 3

x + 2y + 2z = 15 x3 3x + 6y + 6z = 45

3x+ 3y +3z = 30 x1 3x + 3y + 3z = 30

3y + 3z = 15

y + z = 5

z = 3

Substitusikan y = 2 dan z = 3 kepersamaan 1

x + 2(2) + 2(3) = 15

x = 5

Jadi, komposisi menu makanan agar terpenuhi kebutuhan zat gizi Pak

Ahmad adalah menu A = 5, menu B = 2, dan menu C = 3

5. Bidang Ekonomi

▪ Perbankan

Lena meminjam Rp80.000.000,00 dalam tiga kategori

pinjaman berbeda untuk memulai menjalankan

bisnisnya. Ia meminjam dari dua bank sejumlah

Rp70.000.000 masing-masing dengan bunga 11% dan

10%. Sisa lainnya dipinjam dari lembaga keuangan

dengan bunga 13%.berapa besar pinjaman Lena pada

tiap kategori jika bunga tahunan yang harus dibayarnya

adalah Rp8.500.000,00 ?

Jawab:

Diketahui :

Misalkan kategori I=x , kategori II = y , dan kategori III = z

kalimat matematika :

x + y = Rp70.000.000,00 …………..(1)

11%x + 10%y + 13%z = Rp8.500.000,00 …………..(2)

z = Rp10.000.000,00 …………..(3)

Substitusikan persamaan 3 kepersamaan 2

11%x + 10%y + 13%(10.000.000) = Rp8.500.000

11%x + 10%y + 1.300.000) = Rp8.500.000

11% + 10% = Rp7.200.000

0,11x + 0,1y = Rp7.200.000

0,1x + 0,1y = Rp7.000.000

0,01x = 200.000

x = 20.000.000

Substitusikan x = 20.000.000 kepersamaan 1

20.000.000 + y = 70.000.000

y = 50.000.0000

Jadi, besar pinjaman Lena pada tiap kategori adalah:

kategori I = Rp20.000.000,00

kategori II = Rp50.000.000,00

kategori III = Rp10.000.000,00

▪ Perdagangan

Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C

dijual seharga Rp 56.500,00. campuran 2 kg beras A, 1 kg

beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp 40.000,00. sedangkan

campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C

dijual seharga Rp 48.500,00. hitunglah harga tiap kg beras

A, B, dan C ?

Jawab:

Misalkan beras A=a , beras B=b, dan beras C=c

Kalimat Matematika:

3a + 2b + 2c = 56.500 ………..(1)

2a + b + 2c = 40.000 ………..(2)

2a + 3b + c = 48.500 ………..(3)

Eliminasi peubah c dari persamaan (1) dan (2)

3a + 2b + 2c = 56.500

2a + b + 2c = 40.000

a + b = 16.500 ………..(4)

Eliminasi peubah c dari persamaan (2) dan (3)

2a + b + 2c = 40.000 x1 2a + b + 2c = 40.000

2a + 3b + c = 48.500 x2 4a + 6b + 2c = 97.000

-2a – 5b = -57.00.......(5)

Eliminasi peubah a dari persamaan (4) dan (5)

a + b = 16.500 x2 2a + 2b = 33.000

-2a – 5b = -57.000 x1 -2a – 5b = -57.000 +

-3b = -24.000

b = 8.000

Substitusikan b = 8.000 kepersamaan (4)

a + 8.000 = 16.500

a = 8.500

Substitusikan a=8.500 dan b= 8.000 kepersamaan (2)

2(8.500) + 8.000 + 2c = 40.000

2c = 15.000

c = 7.500

Jadi,harga tiap kg beras A = 8.500 , beras B = 8.000 dan beras C

= 7.500

Wassalamu’alaikum