5. aplikasi turunan - rinim.files. · pdf file5.1 menggambar grafik fungsi informasi yang...

1

5. Aplikasi Turunan

MA1114 KALKULUS I 2

5.1 Menggambar grafik fungsiInformasi yang dibutuhkan:A. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu yB. Asimtot fungsi

Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati olehgrafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni(i) Asimtot Tegak

Garis x = c disebut asimtot tegak dari y = f(x) jika(ii) Asimtot Datar

Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f(x) jika(iii) Asimtot Miring

Garis y = ax + b disebut asimtot miring jika

dan

)(lim xfcx

bxfx

)(lim

ax

xfx

)(lim baxxf

x

)(lim

3

x=a asimtot tegak

a

)(lim xfax

)(lim xfax

Dalam kasus

dan

x=a asimtot tegak

Dalam kasus

)(lim xfax

)(lim xfax

dan

a

Asimtot tegak

4

y= b

Garis y = b asimtot datar karena

Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk x hinggaTapi, jika untuk x menuju tak hingga asimtot datar dihampiri olehgrafik fungsi(tidak dipotong lagi)

bxfx

)(lim

5

baxy

y=f(x)

Garis y = ax + b asimtot miring

Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai x hingga.Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datardan asimtot miring

6

Contoh Tentukan semua asimtot dariJawab :(i) Asimtot tegak : x = 2, karena

dan

(ii) Asimtot datar :

2

42lim

2

2 x

xxx

Maka asimtot datar tidak ada

2

42)(

2

x

xxxf

2

42lim

2

2 x

xxx

)(

)1(lim

2

42lim)(lim

2

2

212

4222

xx

xx

xxx x

x

x

xxxf

)(

)1(lim

2

2

21

42

xx

xx

x

7

xx

xx

x

xfa

xx

1.

2

42lim

)(lim

2

xx

xxx 2

42lim

2

2

1)1(

)1(lim

)1(

)1(lim

2

42

22

42222

x

xx

xx

xx

x x

x

(iii) Asimtot miring ; y = ax+b

02

4lim

xx

2

)2(42lim

2

x

xxxxx

xx

xxx

2

42lim

2

axxfbx

)(lim

Asimtot miring y = x

2

242lim

22

x

xxxxx

8

1

1)(

xxf

3

2)(

x

xxf

Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :

Soal Latihan

1.

2.

3. 12)( 3 xxxf

9

C. Kemonotonan Fungsi

Definisi 5.2 Fungsi f(x) dikatakanmonoton naik pada interval I jika untuk

Ixxxfxfxx 212121 ,,

x1

f(x1)

x2

f(x2)

I

Fungsi f(x) monoton naik pada selang I

10

Fungsi f monoton turun pada selang I

f(x1)

f(x2)

x1 x2

monoton turun pada interval I jika untuk

Ixxxfxfxx 212121 ,,

I

11

Teorema 5.1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f(x) monoton naik pada I jika Fungsi f(x) monoton turun pada I jika

Contoh: Tentukan selang kemonotonan dariJawab :

f(x) monoton naikf(x) monoton turun pada (0,2) dan (2,4).

Ixxf 0)('Ixxf 0)('

2

42)(

2

x

xxxf

),4(dan)0,(pada

2

2

)2(

)42(1)2)(22()('

x

xxxxxf 2

22

)2(

42462

x

xxxx

22

2

)2(

)4(

)2(

4

x

xx

x

xx

0 2 4

++++++---------------------+++++++

12

D. Ekstrim Fungsi

Definisi 5.3 Misalkan f(x) kontinu pada selang I yang memuat c,

f(c) disebut nilai global dari f pada I jika

f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang

buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada

selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebutjuga nilai ekstrim

imummin

maksimumIx

xfcf

xfcf

)()(

)()(

imum

maksimum

min

)()(

)()(

xfcf

xfcf

Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrimfungsi disebut titik kritis.

13

f(a) maxlokal

f(b) minlokal

f(c) maxglobal

f(d) minglobal

f(e) maxlokal

f(f) minlokal

a b c d e f

Nilai ekstrem fungsi pada selang I=[a,f ]

f(x)

MA1114 KALKULUS I 14

Ada tiga jenis titik kritis :

Titik ujung selang I

Titik stasioner ( yaitu x = c dimana ) ,secara geometris : garis singgung mendatardititik (c,f(c))

Titik singulir ( x = c dimana tidak ada ),secara geometris: terjadi patahan pada grafik fdi titik (c,f(c))

0)(' cf

)(' cf

15

Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal

Jika0)('

0)('

xf

xf),( cc

0)('

0)('

xf

xfpada dan pada

),( cc Maka f(c) merupakan nilaiminimum

maksimum lokal

c

Disebelah kiri c monoton naik(f ’>0) dan disebelah kanan cmonoton turun (f’<0)

f(c) nilai maks lokal

c

f(c) nilai min lokal

Disebelah kiri c monoton turun(f ’<0) dan disebelah kanan cmonoton naik (f’>0)

f(c)

f(c)

16

Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

Misalkan . Jika ,maka f(c) merupakan

nilai lokal f

Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari

Jawab:

0)(' cf0)(''

0)(''

cf

cf

minimum

maksimum

2

42)(

2

x

xxxf

2)0( f

6)4( f

2)2(

)4()('

x

xxxf

0 2 4

++++++---------------------+++++++

Dengan menggunakan uji turunan pertama :

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilaidi x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

17

Soal Latihan

630152)( 345 xxxxf

3

13)(

2

x

xxxf

2

12)(

2

x

xxxf

Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

1.

2.

3.

18

E. Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila naik padainterval I, dan f(x) dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turunpada interval I.

Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan1. Jika , maka f cekung ke atas pada I.2. Jika , maka f cekung ke bawah pada I.

)(' xf)(' xf

Ixxf ,0)("Ixxf ,0)("

Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah

x

y

x

y

19

2

42)(

2

x

xxxfTentukan selang kecekungan daricontoh

Jawab :

2

2

)2(

4)('

x

xxxf

4

22

)2(

)4)(2(2)2)(42()(''

x

xxxxxxf

4

2

)2(

))4(2)2)(42)((2(

x

xxxxx

3

22

)2(

82882

x

xxxx3)2(

8

x

Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah pada

selang )2,(

20

F. Titik belok

Definisi 5.4 Misal f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b))disebut titik belok dari kurva f(x) jika :

terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelahkiri x =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelahkanan x =b fungsi f cekung ke bawah atausebaliknya.

21

c

f(c)

(c,f(c)) titik belok

c

f(c)

(c,f(c)) titik belokKarena disebelah kiri c cekungkeatas dan disebelah kanan ccekung kebawah

Karena disebelah kiri c cekungkebawah dan disebelah kanan ccekung keatas

22

c

f(c)

(c,f(c)) bukan titik belokkarena disekitar c tidakterjadi perubahan kecekungan

c

Walaupun di sekitar cterjadi perubahankecekungan tapi tidak adatitik belok karena f tidakterdefinisi di c

23

12)(.1 3 xxf

4)(.2 xxf

Tentukan titik belok (jika ada) dari

26)(' xxf xxf 12)('',

●0

+++++++-------------

Di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1)merupakan titik belok

212)('' xxf

●0++++++++++++++

Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahankecekungan

24

2

42)(.3

2

x

xxxf

3)2(

8)(''

xxf

●2

+++++++--------------

Walaupun di x = 2, terjadi perubahan kecekungan, tidak adatitik belok karena fungsi f(x) tidak terdefinisi di x = 2

25

Soal Latihan

630152)( 345 xxxxf

3

13)(

2

x

xxxf

2

12)(

2

x

xxxf

Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :

1.

2.

3.

26

2

42)(

2

x

xxxfContoh: Diketahui

a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsib. Tentukan selang kecekungan dan titik belokc. Tentukan semua asimtotd. Gambarkan grafik f(x)

a. Fungsi f(x) monoton naik pada selang ),4(,)0,( monoton turun pada selang (0,2) dan (2,4).

2)0( f

6)4( f

di x = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilaidi x = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai

b. Grafik f cekung keatas pada ),2( dan cekung kebawah padaselang )2,( , tidak ada titik belok

c. Asimtot tegak x = 2, asimtot miring y = x, tidak ada asimtotdatar

27

d. Grafik f(x)

2

y=x

0 2 4++++++----------++++++ 'f

2--------------------- +++++++++++ ''f

-24

6

28

21

2)(

x

xxf

32

3)( 23 xxxf

134

)( 234

xxx

xf

1)(

x

xxf

Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahuluselang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok,dan asimtot

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

29

5.2 Menghitung limit fungsi dengan AturanL’Hôpital

Bentuk tak tentu dalam limit :

1. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

Andaikan lim f(x) = lim g(x) = 0. Jika

Maka

,.0,,0

0

0

0

atau,,)('

)('lim L

xg

xf

lim( )

( )lim

' ( )

' ( )

f x

g x

f x

g x

30

20

2cos1lim

x

xx

limcos

limsin

limcos

x x x

x

x

x

x

x

0 2 0 0

1 2 2 2

2

4 2

22

Contoh: Hitung

Jawab:

bentuk (0/0)

Ctt : aturan L’hopital bisa digunakan beberapa kali asalkansyaratnya dipenuhi

2. Aturan L’Hôpital untuk bentuk

Andaikan lim f(x) = lim g(x) = . Jika atau,,)('

)('lim L

xg

xf

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfmaka

31

Contoh: Hitung53

1lim

2

2

xx

xxx

32

12lim

x

xx

12

2lim x

(bentuk

53

1lim

2

2

xx

xxx

32

1lim

2

xx

xx

)

Jawab:

Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu limit dapatdihitung dengan menggunakan dalil L’Hopital

Contoh: Hitung32

1lim

2

xx

xx

)22()32(

1lim

21

221

xxxx 1

32lim

2

x

xxx

1

)22()32(lim

21

221

xxxx 32

1lim

2

xx

xx

Jawab:)(

32

Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan denganmenggunakan aturan L’Hopital, karena setelahdilakukan aturan L’Hopital muncul lagi bentuk semula

Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb:

2322

1

1

)1(lim

xx

x

x x

x

232

1

1||

)1(lim

xx

x

x x

x

232

1

1

)1(lim

xx

x

x x

x

11

)1(lim

232

1

xx

x

x

32

1lim

2

xx

xx )1(

)1(lim

2322

1

xx

x

x x

x

33

3. Bentuk 0 .

Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk

atau

Contoh : Hitung

Jawab :

0

0

lim cscx

x x0

2

0cos

2lim

sinlimcsclim

0

2

0

2

0

x

x

x

xxx

xxx

34

4. Bentuk - Misalkan lim f(x)=lim g(x) = . Untuk menghitunglim [ f(x) - g(x) ] dilakukan dengan menyederhanakanbentuk [ f(x)- g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakancara yang telah dikenal sebelumnya

Contoh : Hitung

Jawab :

lim csc cotx

x x

0

lim csc cot limsin

cos

sinlim

cos

sinlim

sin

cosx x x xx x

x

x

x

x

x

x

x

0 0 0 0

1 10

35

Soal Latihan

limx

x

x

2 1

2 5

x

xx sin

2lim

2

0

limsin

cosx

x

x 01

2

3

0 2

23lim

x

xxx

Hitung limit berikut :

1.

2.

3.

4.

5.

252

33lim

3

2

0

xx

xx