4. ukuran gejala pusat

1

UKURAN GEJALA PUSATUKURAN GEJALA PUSAT

2

Ukuran2 Statistik

Nilai Sentral

Rata2 yang sering digunakan

Rata- rata Hitung

Rata- rata Ukur

Median

Desil

Persentil

Kuartil

Rata2 Tertimbang

Rata2 Harmonis

Rata2 yang jarang digunakan

Modus

3

Dalam metode Statistik, ukuran gejala pusat (ukuran nilai sentral, ukuran lokasi) meru-pakan nilai yang digunakan sebagai nilai yang mewakili (representatip) dari data yang dipelajari.

Pengertian : rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya mempunyai kecenderungan terletak ditengah-tengah dan memusat dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data.

4

Rata – rata Hitung (/ )

Rata-rata hitung diformulasikan sebagai nilai dari hasil pembagian penjumlahan semua data dengan banyaknya data.

Sifat-sifat:• Mudah dihitung• Baik digunakan untuk data yang tidak mempunyai

nilai ekstrim• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata

distribusi frekuensi tertutup• Tidak dapat digunakan bagi data kualitatip

x

5

UD :

GD :

n

fxx i

in

ufxx ii .

.0

n

xx

6

Median (Me)

• Median dapat dikatakan sebagai rata-rata letak, karena memberikan keterangan melalui nilai yang terletak di tengah-tengah dari sederetan nilai yang telah disusun. Susunan ini dapat dimulai dari data terkecil ke data terbesar atau sebaliknya.

• Secara teoritis median membagi jumlah observasi ke dalam dua bagian yang sama secara sederhana.

7

Median (Me)

Sifat-sifat:

• Median cocok dipakai untuk data yang mengandung nilai ekstrim.

• Dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dari distribusi tertutup maupun terbuka.

• Dapat pula digunakan untuk menentukan rata-rata dari data kualitatif.

8

UD :

Me = ½ ( n + 1 )

Me = ½ ( n )

GD :

Me = ½ ( n )

if

FnLM

MeMee .2

1

9

Jika ingin diperluas, maka dapat pula dihitung nilai Kuartil, Desil dan Persentil.

Sebagaimana model yang dirumuskan dalam Me,

Kuartil, observasi dibagi kedalam 4 bagian sama,

Desil , observasi dibagi kedalam 10 bagian sama,

Persentil, observasi dibagi kedalam 100 bagian sama

10

1. Kuartil (Quartile / Qj, Kj)

UD:

Qj = j/4 (n + 1) j : 1, 2 dan 3

GD:

LetakQj = j/4 n

if

FnLQ

Qj

j

Qjj ..4

11

2. Desil (Desile / Dj)

UD:

Dj = j/10 (n + 1) j : 1, 2, … , 9

GD:

LetakDj = j/10 n

if

FnLDj

Dj

j

Dj ..10

12

3. Persentil (Percentile / Pj)

UD:

Pj = j/100 (n + 1) j : 1, 2, … , 99

GD:

LetakPj = j/100 n

if

FnLP

Pj

j

Pjj ..100

13

Modus (Mo)

• Nilai dari data/observasi yang memiliki frekuensi tertinggi disebut Modus. Bila sebuah distribusi memiliki sebuah modus disebut uni modal, bermodus dua disebut bimodal dan lebih dari itu dinyatakan sebagai multi modal.

14

Modus (Mo)

Sifat-sifat:

• Baik digunakan untuk menghitung rata-rata.

• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari distribusi frekuensi terbuka atau tertutup.

• Dapat digunakan untuk menghitung data kualitatip.

15

UD: Mo merupakan nilai yang paling sering

muncul

GD :

idd

dLM Moo .

21

1

16

Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :

a. Mudah dihitung.

b. Mudah dan sederhana guna diinterpretasikan hasilnya.

c. Mengikut sertakan semua nilai-nilai observasi dalam proses menghitungnya.

17

Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :

d. Tidak mudah dipengaruhi oleh nilai-nilai observasi ekstrim.

e. Fluktuasi dari sampel ke sampel relatif sedikit.

f. Dapat dimanipulir secara matematis

18

Sebenarnya , Me dan Mo memiliki keenam ciri di atas dalam intensitas yang berlainan,

• Me lebih memiliki ciri-ciri a dan b dari pada dan Mo

• lebih memiliki ciri-ciri e dan f dari pada Me dan Mo

f adalah kelebihan dari dibanding Me dan Mo pada pelbagai analisa Statistik terutama metode penaksiran dan pengujian hipotesa.

x

x

x

x

19

Tetapi bila:

a. Distribusi Frekuensi memiliki kelas

terbuka

b. Memiliki beberapa nilai observasi yang

ekstrim

c. Hasil observasi adalah data kualitatif

x

20

Maka Me dan Mo akan dapat digunakan.

Mo lebih memiliki ciri b, tetapi tidak begitu berarti untuk analisa Statistik kecuali bila jumlah sampelnya besar sekali.

21

Rata – rata Ukur (Gm)

Rata-rata ukur baik digunakan untuk mengu-kur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

nM xxxxG ..................1 321

0

......2x

xG nM

22

n

xGM

log

log.......3

n

mn

GPP

1001.......4 0

23

Rata-rata Tertimbang (WM)

i

iiM W

XWW

.

24

Rata – rata Harmonis (HM)

Rata – rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data/observasi yang unit pembilangnya tetap, sedang unit penyebutnya berubah-rubah (bervariasi).

n

i i

M

X

nH

1

1

25

Soal

• Sebuah bank swasta akan mempelajari tentang banyaknya pengambilan uang lewat anjungan tunai mandiri (ATM) setiap harinya. Satu mesin ATM diambil yang berlokasi di supermarket “ABC” Bandung. Dan data dibawah ini adalah hasil pencatatan tentang banyaknya pengambilan uang lewat ATM tersebut per hari pada bulan November 2011:

26

83 64 84 72 84 54 75 59 70 61

63 80 84 73 68 52 65 90 52 77

95 36 78 61 59 84 95 47 87 60

27

28

Rata – rata Hitung (/ )

Rata-rata hitung diformulasikan sebagai nilai dari hasil pembagian penjumlahan semua data dengan banyaknya data.

Sifat-sifat:• Mudah dihitung• Baik digunakan untuk data yang tidak mempunyai

nilai ekstrim• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata

distribusi frekuensi tertutup• Tidak dapat digunakan bagi data kualitatip

x

29

UD :

GD :

n

fxx i

in

ufxx ii .

.0

n

xx

30

UD :

• Artinya : rata – rata pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, berkisar 70 kali

40,7030

112.2

n

xx

31

Cara panjang :

Cara pendek :

• Artinya : rata – rata pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, berkisar 70 kali

5,6930

085.2

n

fxx i

5,6910.30

305,79.0

i

n

fxx u

32

Median (Me)

• Median dapat dikatakan sebagai rata-rata letak, karena memberikan keterangan melalui nilai yang terletak di tengah-tengah dari sederetan nilai yang telah disusun. Susunan ini dapat dimulai dari data terkecil ke data terbesar atau sebaliknya.

• Secara teoritis median membagi jumlah observasi ke dalam dua bagian yang sama secara sederhana.

33

Median (Me)

Sifat-sifat:

• Median cocok dipakai untuk data yang mengandung nilai ekstrim.

• Dapat digunakan untuk menentukan nilai rata-rata dari distribusi tertutup maupun terbuka.

• Dapat pula digunakan untuk menentukan rata-rata dari data kualitatif.

34

UD :

Me = ½ ( n + 1 )

Me = ½ ( n )

GD :

Me = ½ ( n )

if

FnLM

MeMee .2

1

35

L Me : tepi kelas bawah kelas Me

n : jumlah nilai observasi

F : frekuensi kumulatif sebelum kelas Me

f Me : frekuensi sebenarnya kelas Me

i : besarnya interval kelas

36

UD

Me = ½ (n)

Me = ½ (30) = 15

nilainya terletak pada urutan ke 15

Me = 71

• Artinya : pada bulan November 2011 , ½ nya atau 50 % nya banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, kurang dari atau sama dengan 71 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 71 kali .

37

GD

Letak Me = ½ n

= ½ (30) = 15 di kelas ke 4

• Artinya : pada bulan November 2011 , ½ nya atau 50 % nya banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung, kurang dari atau sama dengan 71 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 71 kali .

5,7010.5

12155,64.2

1

if

FnLM Mee

38

Bisa diperluas, dengan menghitung nilai Kuartil, Desil dan Persentil.

Sebagaimana model yang dirumuskan dalam Me,

Kuartil, observasi dibagi kedalam 4 bagian sama,

Desil , observasi dibagi kedalam 10 bagian sama,

Persentil, observasi dibagi kedalam 100 bagian sama

39

1. Kuartil (Quartile / Qj, Kj)

UD:

Qj = j/4 (n + 1) j : 1, 2 dan 3

GD:

LetakQj = j/4 n

if

FnLQ

Qj

j

Qjj ..4

40

UD:Qj = j/4 (n)

Q1 = 1/4 (30) = 7,5

59,5 = 60

Q3 = 3/4 (30) = 22,5

83,5 = 84

41

GD:

Letak Qj = j/4 n

Q1 = ¼ ( 30 ) = 7,5 di kelas ke 3

Q3 = ¾ ( 30 ) = 22,5 di kelas ke 5

07,5810.7

530.5,54.

. 41

411

i

f

FnLQ

j

Q

61,8010.9

1730.5,74.

. 43

433

i

f

FnLQ

j

Q

42

• artinya, pada bulan November 2011 , 25% / 75% banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung kurang dari atau sama dengan 60 kali / 84 kali (58 kali / 81 kali). Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 60 kali / 84 kali (58 kali / 81 kali).

43

2.2.2. Desil (Desile / Dj)

UD:

Dj = j/10 (n + 1) j : 1, 2, … , 9

GD:

LetakDj = j/10 n

if

FnLDj

Dj

j

Dj ..10

44

UD:Dj = j/10 (n)

D1 = 1/10 (30) = 3

52

D9 = 9/10 (30) = 27

87,3 = 87

45

GD:

Letak Dj = j/10 n

D1 = 1/10 ( 30 ) = 3 kelas ke 2

D9 = 9/10 ( 30 ) = 27 kelas ke 6

83,4710.3

230.5,44.

. 101

1011

i

f

FnLD

j

D

5,8910.2

2630.5,84.

. 109

1099

i

f

FnLD

j

D

46

• Artinya : pada bulan November 2011, 10% banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung kurang dari atau sama dengan 52 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 52 kali

47

2.2.3. Persentil (Percentile / Pj)

UD:

Pj = j/100 (n) j : 1, 2, … , 99

GD:

LetakPj = j/100 n

if

FnLP

Pj

j

Pjj ..100

48

UD:

Pj = j/100 (n)

P45 = 45/100 (30) = 13,5

68,1

49

GD:

Letak Pj = j/100 n

P45 = 45/100 (30) = 13,5 kelas ke 4

5,6810.5

1230.5,65.

. 10045

1004545

i

f

FnLP

j

P

50

• artinya, pada bulan Januari 2010 , 45% banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung kurang dari atau sama dengan 67 kali. Sedangkan sisanya adalah lebih dari atau sama dengan 67 kali.

51

Modus (Mo)

• Nilai dari data/observasi yang memiliki frekuensi tertinggi disebut Modus. Bila sebuah distribusi memiliki sebuah modus disebut uni modal, bermodus dua disebut bimodal dan lebih dari itu dinyatakan sebagai multi modal.

52

Modus (Mo)

Sifat-sifat:

• Baik digunakan untuk menghitung rata-rata.

• Dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari distribusi frekuensi terbuka atau tertutup.

• Dapat digunakan untuk menghitung data kualitatip.

53

UD: Mo merupakan nilai yang paling sering

muncul

GD :

idd

dLM Moo .

21

1

54

L Mo : tepi kelas bawah kelas M0

d1 : selisih frekuensi kelas modus dengan

frekuensi sebelum kelas modus

d2 : selisih frekuensi kelas modus dengan

frekuensi sesudah kelas modus

i : besarnya interval kelas

55

UD

• Mo merupakan nilai yang paling sering muncul, dari data diperoleh sebesar

• 84

56

GD:

• Artinya : banyaknya pengambilan uang lewat ATM setiap harinya di supermarket “ABC” Bandung pada bulan November 2011 paling banyak berkisar 78 kali / 84 kali.

13,7810.2959

595,74.

21

1

i

dd

dLM Moo

57

Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :

a. Mudah dihitung.

b. Mudah dan sederhana guna diinterpretasikan hasilnya.

c. Mengikut sertakan semua nilai-nilai observasi dalam proses menghitungnya.

58

Ciri Rata – rata Yang Baik Guna Pengukuran Gejala Pusat :

d. Tidak mudah dipengaruhi oleh nilai-nilai observasi ekstrim.

e. Fluktuasi dari sampel ke sampel relatif sedikit.

f. Dapat dimanipulir secara matematis

59

Sebenarnya , Me dan Mo memiliki keenam ciri di atas dalam intensitas yang berlainan,

• Me lebih memiliki ciri-ciri a dan b dari pada dan Mo

• lebih memiliki ciri-ciri c, e dan f dari pada Me dan Mo

f adalah kelebihan dari dibanding Me dan Mo pada pelbagai analisa Statistik terutama metode penaksiran dan pengujian hipotesa.

x

x

x

x

60

Tetapi bila:

a. Distribusi Frekuensi memiliki kelas

terbuka

b. Memiliki beberapa nilai observasi yang

ekstrim

c. Hasil observasi adalah data kualitatif

61

Maka Me dan Mo akan dapat digunakan.

Mo lebih memiliki ciri b, tetapi tidak begitu berarti untuk analisa Statistik kecuali bila jumlah sampelnya besar sekali.

62

Rata – rata Ukur (Gm)

Rata-rata ukur baik digunakan untuk mengu-kur tingkat perubahan (rate of change) atau pengrata-rataan rasio.

nnM xxxxG ..................1 321

nn

M x

xG

0

......2

63

n

xGM

log

log.......3

n

mn

GPP

1001.......4 0

64

• Sebuah Universitas sangat memperhatikan biaya riset yang dikeluarkan dalam anggaran tahunannya. Dibawah ini disajikan data biaya riset tahunan universitas “X” dalam puluhan juta rupiah pada periode 2004 – 2011.

Tahun Biaya Riset (Rp. 10.000.000,-)

2004 2005

2006 2007

200820092010

2011

140 170

180190 250

260300370

65

Berapa rata – rata kenaikan per tahun dari data tentang pengeluaran biaya riset.

Rata – rata kenaikan pengeluaran per tahun untuk biaya riset tsb sebesar 14,29%

66

nn

M x

xG

0

142857,0140

3707 MG

67

Tahun Pengeluaran d % Log x

2004

2005

2006

2007 2008

2009

2010

2011

140

170 180

190 250 260

300

370

30

10

10,

60

10

40

70

121,43

105,88

105,56

131,58

104,00

115,39

123,33

2,084326

2,024819

2,023499

2,11919

2,017033

2,062131

2,091069

14,42207

68

a.

Artinya, rata – rata kenaikan pengeluaran per tahun untuk biaya riset tsb sebesar 14,81%

%81,141008066,114

7 33,123..........88,105.43,121mG

69

Rata – rata kenaikan pengeluaran per tahun untuk biaya riset tsb sebesar 14,89%

060296,27

42207,14log

n

xGm

%89,141008937,114 mG

70

Diketahui selama 3 hari sejenis bakteri berkembang biak dari 1000 menjadi

4000. Berapa rata-rata % kenaikan

jumlah bakteri tersebut setiap hari.

71

3

030 10011001

m

t

mt

GPPGPP

1001log34log mG

1001log6021,03

1 mG

3

1001000.1000.4 mG

10015874,1 mG

72

Gm/100 = 0,5874 58,74%

rata-rata tingkat perkembangan % kenaikan bakteri selama 3 hari adalah 58,74 %

73

Rata-rata Tertimbang (WM)

i

iiM W

XWW

.

• Tabel dibawah ini memuat 5 data nilai ujian Pengantar Matematik Ekonomi dan Bisnis di semester II FE – UNPAD dan jumlah mahasiswa yang mendapat nilai tersebut

74

Nilai Jumlah Mahasiswa

61 64 67 70

73

518 42

278

75

• Hitunglah rata-rata nilai ujian Pengantar Matematik Ekonomi dan Bisnis di semester II FE – UNPAD dari data tsb

76

77

rata-rata rata-rata nilai ujian Pengantar Matematik Ekonomi dan Bisnis di semester II FE – UNPAD adalah 67,45

i

iix W

XWM

.

45,67

8......185

738........6418615

xM

Seorang mahasiswa dari PTS “TB” menempuh UAS untuk 5 mata kuliah, yaitu Metode Riset (kredit 3), Akuntansi (kredit 3), Teori Ekonomi (kredit 3), Statistik (kredit 3) dan Bahasa Inggris (kredit 2) dimana masing-masing mendapat nilai Metode Riset = B, Akuntansi = C, Teori Ekonomi = B, Statistik = A dan Bahasa Inggris = A . Coba Sdr. hitung berapa Indeks Prestasinya.

78

79

Indeks Prestasinya mahasiswa tsb adalah 3,14

i

iix W

XWM

.

23333

2)3()3(33

AABCB

M x

14,3

14

44

23333

24)3(4)3(33233

xM

80

Rata – rata Harmonis (HM)

Rata – rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data/observasi yang unit pembilangnya tetap, sedang unit penyebutnya berubah-rubah (bervariasi).

n

i i

M

X

nH

1

1

Seorang penjual membeli 5 macam larutan untuk dicampur agar diperoleh larutan baru. Untuk tiap macam telah dibeli dengan jumlah uang yang sama.

Macam I dengan harga Rp. 400,-/liter.

Macam II dengan harga Rp. 300,-/liter.

Macam III dengan harga Rp. 750,-/liter.

Macam IV dengan harga Rp. 1.000,-/liter. Dan macam V dengan harga Rp. 1.250,-/liter.

• Berapa harga rata-rata untuk tiap liter larutan.

81

82

Jadi harga rata-rata untuk tiap liter larutan adalah Rp. 557,62

n

i i

M

X

nH

1

1

6208,5575

15

250.11

000.11

7501

3001

40015

1

i

M

X

H