23. modul matematika - fungsi invers hiperbolik

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

FUNGSI INVERS HIPERBOLIK

Tidak semua fungsi hiperbolik pada domainnya merupakan fungsi satu-satu

sehingga tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fungsi invers

hiperbolik maka kita batasi domain fungsinya. Sedangkan untuk mencari turunan dari

fungsi invers hiperbolik dilakukan terlebih dahulu cara sebagai berikut.

Misal y = sinh-1u. Maka u = sinh y [ ∀ u, y ].

Jadi : ue e

e u e e uey y

y y y y=−

⇔ − − = ⇔ − − =−

−2

2 0 2 1 02

( )⇔ = ± + = + + > ∀e u u u u sebab e yy y2 21 1 0: ,

⇔ = + +

y u uln 2 1

Turunan Fungsi invers Hiperbolik.

Misal y u u u= = + +

−sinh ln1 2 1 . Maka :

yu u

u

uu

u

u' '

'=

+ ++

+

=

+

1

11

1 12 2 2

Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan :

du

uu C

21

1+= +−∫ sinh

Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperbolik, sebagai

berikut :

1. { }y u u u u= = + −

≥−cosh ln ,1 2 1 1

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

yu

u

du

uu C'

'cosh=

−⇔

−= +−∫2 2

1

1 1

2. { }y uuu

u= =+−

<−tanh ln , | |1 1

211

1

yu

u

du

uu C bila u'

'tanh , | |=

−⇔

−= + <−∫1 1

12 21

3. { }y u

uu

u

yu

u

du

uu C bila u

= =+−

>

=−

⇔−

= + >

−

−∫

coth ln , | |

''

coth , | |

1

2 21

12

11

1

1 11

4.

{ }y h uu

uu

yu

u u

du

u uh u C

= =+ −

< ≤

=−

−⇔

−= − +

−

−∫

sec ln ,

''

sec | |

12

2 21

1 10 1

1 1

5.

{ }y h uu

uu

u

yu

u u

du

u uh u C

= = ++

≠

=−

+⇔

+= − +

−

−∫

csc ln| |

,

''

| |csc | |

12

2 21

1 10

1 1

Soal Latihan

( Nomor 1 sd 12 ) Tentukan dy/dx dari :

1. y x= +−cosh ( )1 2 1

2. ( )y x= −coth 1

3. ( )y h e x= −csc 1 2

4. yx

= −1

1tanh

5. yx

=

−sinh 1 1

6. ( )y x= −cosh cosh1

7. ( )y x= −ln cosh 1

8. y x= −coth 1

Matematika Dasar

Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung

9. ( )y x= −sinh tanh1

10. y e h xx= −sec 1

11. yxx

=−+

−tanh 1 11

12. ( )y x h x= + −1 1 10csc

( Nomor 13 sd 20 ) Hitung integral berikut :

13. dx

x1 9 2+∫

14. dx

x2 2−∫

15. dx

x9 252 −∫

16. dx

e x1 2−∫

17. sin

cos

x dx

x1 2+∫

18. dx

x x1 6+∫

19. dt

t20

3

1+∫

20. dt

t t11 4

1 2

−∫/

/