1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
Post on 03-Apr-2018
262 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
1/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 1
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2006/2007
MATAKULIAH : MA1124 KALKULUS 2
HARI / TGL : SENIN / 4 JUNI 2007WAKTU : 120 MENIT
SIFAT : TUTUP BUKU, TANPA KALKULATOR
1. Tentukan nilai ekstrim beserta jenisnya dari2. Hitung volume benda padat di oktan pertama di bawah paraboloida z =x2 +y2 dan di dalam
tabungx2
+y2
= 4.
3. Hitung , C ruas garis dari (1,2) ke (2,1).
4. Hitung , dimana G bagian parabola yang terletak di atas kerucut
No 1 2 3 4
Korektor FDA SSI JDN ERW
Nilai 10 10 10 10
yyxyxyxf 44),(32
++=
( ) ++C
dyxdxyx 2
G
dsz 2 2222
=++ zyx
22yxz +=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
2/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 2
UAS SEMESTER GENAP 2005/2006
MATA KULIAH / KODE : KALKULUS II / MA1124
TANGGAL : 5 JUNI 2006
WAKTU : 120 MENIT
SIFAT : TUTUP BUKU TANPA KALKULATOR
Kerjakan dengan teliti dan cermat.
1. Tentukan nilai maksimum dari dengan Kendal (batas)
2. Tentukan turunan berarah di P(-2,2,-1) dengan arah
3. Hitung
4. Diketahui benda pejal S di oktan pertama dibatasi oleh tabung dan bidangy = 1 x
a. Hitung volume Sb.
5. Hitung usaha yang dilakukan oleh untuk memindahkanpartikel sepanjang lintasan C yang berupa ruas garis dari (0,0) ke (1,0) dari (1,0) ke
(1,1) dan dari (1,1) ke .(2,0).
Nomor 1 2 3 4 5
Nilai 8 8 8 8 8
-o0o- Selamat mengerjakan o0o-
( ) 22, yxyxf += .14
22
=+y
x
( ) zyxezyxf 3,, ++=
kjia 5420 +=
dydxxex
y 1
0
1
2
2
12
422
=+ zx
S
dVz
( ) ( )jxyxixyyF 22 22 +++=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
3/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 3
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2002/2003
MATA KULIAH : KALKULUS II / MA1324
HARI / TGL : SENIN / 2 JUNI 2003
WAKTU : 120 MENIT
SIFAT : TUTUP BUKU, KALKULATOR TIDAK BOLEH
1. Hitung ,D seperti gambar di bawah
2. Hitung
3. Diketahui
a. Nyatakan S dalam koordinat bolab. Hitung
4. Diketahuia. Periksa apakah konservatifb. Hitung , C ruas garis dari (1,1) ke (2,1) ke (2,3)
5. Hitung dengan S bagian paraboloida yang terletak di bawahbidang z = 4
6. Diketahui , S adalah bagian kerucut yang terletakdiantara z = 1 dan z = 3. Hitung fluks yang menembus permukaan S ( vector normal
arah ke atas)
+D
dAyx
( ) +
0
1
1
0
2/122
2x
dydxyx
( ) 222222 44,44,20,, yxzyxyxyyzyxS =
++S
dVzyx 222
( ) jxeyei
xeyeyxF y
xyx lnln,
+
=
( )yxF ,
dyxey
edx
x
eye y
xyx
C
)ln()ln( +
++S
dsyx ,144 2222 yxz +=
( ) kzjyixzyxF ,, 222 ++=
22yxz +=
( )zyxF ,,
n
y= -2x +2
y = (x-1)2
2 D
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
4/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 4
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 2000/2001
MATA KULIAH / KODE : KALKULUS 11 / MA 1324 / DA 1324
WAKTU :120 MENIT
1. Hitung integral berikut :a.
b. , G adalah pada bidang XY yang dibatasi oleh y = x, sumbu X dan2. Diketahui S adalah benda pejal yang dibatasi dan bidang z = 1.
a. Hitung volume S
b.3. Diketahui
a. Periksa apakah konservatifb. Hitung , dengan C sembarang lintasan dari (0,0,0) ke (1,0,1)
4. Diketahui permukaan G adalah bagian bidang yang terletak di oktan pertamaa. Hitung
b. Hitung , dengan normal arah ke atas
1
0
13)sin(
y
dxdyx
G
ydA2 ( ) 11 22 =+ yx
225 yxz =
S dVxy
( ) ( ) kxyjexzieyzF yx +++=
F
C
rdF
.
42 =++ zyx
G
dsxz
dsnF
. n
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
5/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 5
UJIAN AKHIR SEMESTER 2000-2001
DA 1323 KALKULUS II
SABTU, 9 JUNI 2001
100 MENIT
TUTUP BUKU, TANPA KALKULATOR
1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi berikut :
2. a. Hitung , S adalah daerah yang dibatasi oleh , y = 1 dan x = 0 !
b. tentukan volume benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh fungsi permukaan
dan bidangz = 1
3. Diketahui merupakan medan vector konservatif . Tentukanusaha untuk memindahkan partikel dari posisi (0,0) ke
a. Dengan menggunakan fungsi potensialnya !b. Melalui lintasan C1 dan C2 dimana C1 lintasan dari (0,1) ke (1,0) sedangkan C2 lintasan dari
(1,0) ke
No 1 2.a 2.b 3.a 3.b
Bobot 7 6 6 6 5
kejujuran merupakan pangkal keberhasilan
-------o0o adw o0o-------
( ) 232
13, yxyxyxf +=
S
dAy )sin(3 xy =
2210 yxz =
( ) ( ) ( )jyeiyeyxF xx cossin, +=
2
,1
2,1
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
6/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 6
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 1999/2000
MATA KULIAH : DA-1323 KALKULUS 11
HARI / TGL : JUMAT / 2 JUNI 2000
WAKTU : 120 MENIT
SIFAT : TUTUP BUKU
1. Diketahui jika dan jikaa. Tentukan fx(1,2), fy(1,2)b. Tentukan turunan berarah dari f(x,y) di titik (1,2) dalam arah ke titik (2,3)
2. Diketahui permukaana. Tentukan persamaan bidang singgung di titik (2,1,1)b. Tentukan persamaan garis normal di titik (2,1,1)
3. Hitung
a.
b.
4. Diketahui S benda pejal di oktan 1 yang dibatasi oleh dan bidang z = 2xa. Hitung volume Sb. Hitung
5. a. Hitung , C adalah kurca y = x2 , 0 x 1
b. Hitung
2)2,1( =fDu jiu
5
4
5
3= 4)2,1( =fDv jiv
5
3
5
4+=
102222
=++ zyx
( ) +
1
1
1
0
2/122
2
4x
dydxyx
1
0
12
dydxex
y
22yxz +=
S
xydV
+C
dyxydx2
( ) ( ) ++ )1,1(
)0,0(
dyexdxey yx
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
7/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 7
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 1999/2000
MATA KULIAH / KODE : KALKULUS 11 / DA 1324
JURUSAN : TE - TMI
HARI / TANGGAL : JUMAT / 2 JUNI 2000
WAKTU : 120 MENIT
DILARANG MEMBAWA CATATAN DALAM BENTUK APAPUN
DAN TIDAK BOLEH MEMPERGUNAKAN KALKULATOR
1. Hitunga. dengan
b.
2. Hitung jika S adalah benda pejal yang terletak di oktan pertama yang dibatasi olehDan bidang y = 4.
3. Hitung besarnya usaha/kerja yang dilakukan oleh gayaUntuk memindahkan partikel
sepanjang C dengan C ruas garis dari titik ( 0,0,0) ke (2,3,0).
4. Diketahui :
a. Periksa apakah konservatifJika konservatif, tentukan fungsi potensial dari
b. Hitung dengan C berupa kurva y = x2 + 1 dari titik (0,1) ke (1,2).
5. Permukaan G adalah bagian dari paraboloida yang terletak di atas bidangXOY.
a. Hitung luas permukaan Gb. Tentukan fluks medan vector yang menembus G dengan
vector normal ke atas
01/06/00 22:05 Selamat Bekerja dengan Jujur - semoga sukses dma-cbs-fza-jdn-rmi-sss-syt-wdt
D
y dAe2
( ){ }1,10, = yxxyxD
++
=
1
1
1
122
2
2 1
1x
x
dydxyx
l
S
dVxyz
24 xz =
( ) ( ) ( ) ( )kzyxjzyxizyxzyxF 232,, ++++++=
( ) ( ) jxyiyxxyxF 3
1,323
+=
( )yxF ,
( )yxF ,
C
drF
221 yxz =
( ) kzjyixzyxF 2,, ++=
n
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
8/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 8
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 1998/1999
MATA KULIAH/KODE: KALKULUS II /DA1324
HARI / TGL : KAMIS 28 APRIL 1999
WAKTU : 150 MENIT
SIFAT : TUTUP BUKU
DILARANG MEMBAWA CATATAN DALAM BENTUK APAPUNDAN TIDAK BOLEH MEMPERGUNAKAN KALKULATOR
1. Diberikan :
a. Gambarkan daerah integrasinya !b. Ubah urutan integrasi dan hitungI
2. Hitung luas permukaan paraboloida yang terletak di antara silinderdan
3. Diketahui benda pejal S yang dibatasi oleh permukaan bola dana. Hitung volume Sb. Hitung
4. Hitung : dengan c adalah ruas garis dari titik (1,1) ke (3,-1)
5. Diketahuia. Tentukan f sehinggab. Hitung : jika c sembarang lintasan dari (3,-1,2) ke (2,-1,-1)
6. Hitung : dengan
Selamat Bekerja , Semoga Sukses
( ) dxdyysinIx
=1
0
13
22yxz += 4
22=+ yx
922
=+ yx
8222 =++ zyx22
yxz +=
S
dV
( ) ( ) ,dyyxdxyxc
22 ++
( ) ( ) ( ) kyjzxixyz,y,xF
4432 2 ++=
Ff
=
( ) ( ) ++c
ydzdyzxdxxy 44322
( ) C
dyxydxyxx223
922
=+ yx:C
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
9/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 9
SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP 1998/1999
MATAKULIAH : DA1324 KALKULUS 2
HARI / TGL : SENIN / 31 MEI 1999
WAKTU : 150 MENITSIFAT : TUTUP BUKU, TANPA KALKULATOR
1. Hitung
2. Dengan menggunakan teorema green , hitung : dengan C kurva tertutup yangdibentuk oleh y = 0, x = 2 dan y = x
2/2.
3. Diketahuia. Tunjukkan bahwa F medan vektor konservatifb. Tentukan fungsi potensialf(x,y,z) dari F(x,y,z)c. Dengan menggunakan hasil no b , hitung kerja yang dilakukan F (x,y,z) untuk menggerakkan
partikel dari titik (0,0,0 ke titik (1,1,1)
4. Hitung dimana G adalah permukaan kerucut antara bidang z = 1 dan z = 2
( )
+=
1
1
1
0
22
2
sinx
dxdyyxI
dyxdxyIC
+=
( ) ( ) ( ) ( )keyejexeiezezyxF xzzyyx ,, ++++=
G
dSz2 22
yxz +=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
10/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 10
PEMBAHASAN UAS 2006 2007 KALKULUS II MA1124
1. Menentukan nilai ekstrim dari Menentukan titik kritis
Karena f terdefini maka titik kritis yang mungkin adalah pada titik stationer yaitu
jika
Menguji nilai pada titik kritis
Titik-kritis fxx fyy fxy D
(4/3,2/3) 2 4 -4 -8
(4,2) 2 12 -4 8
- Karena D = -8 < 0 maka titik (4/3,2/3) merupakan titik pelana- Karena D = 8 > 0 dan fxx = 2 > 0 maka titik (4,2) merupakan titik minimum lokal dengan
nilai f(4,2) = -32 (ans).
( ) yyxyxyxf 44, 32 ++=
yxfx 42 = 4432
+= xyfy
2=xxf
( ) 2, Ryx
0=f 0 =+ jfif yx
( ) ( ) 044342 2 =++ jxyiyx( ) ( )0443042 2 =+= xydanyx
( )1........2yx = ( ) ( )2.................0443 2 =+ xydan( ) ( ) :21 anmenghasilkkesubtitusi
04832
=+ yy
( )( ) 0223 = yy
23
2== yy
3
4
,3
2==
xyuntuk
4,2 == xyuntuk
( )2,43
2,
3
4dantitikpadaterjadinkemungkinaekstrimtitik
yfyy 6=
4=xyf
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
11/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 11
2. Menghitung volume benda padat di oktan pertama di bawah paraboloidaz =x2 +y2 dan di dalamtabungx
2+y
2= 4
Perhatikan gambar disamping
Perpotongan paraboloidaz =x2
+y2
dan tabung x2
+y2
= 4 adalah z = 4
Volume benda S adalah volume benda dibawah permukaanz = f(x,y) =x2
+y2
bentuk R menyarankan kita menggunakan koordinat polar.
3. Menghitung dengan C ruas garis dari (1,2) ke (2,1) Persamaan C, garis yang melalui (1,2) dan (2,1) adalah :
( ) =R
dAyxfV , ( ) ddrrrrfR
= sin,cos
ddrrr =2
0
2
0
2
ddrr =2
0
2
0
3
dr
=
2
0
2
0
4
4
1
d=2
0
4 [ ] )(24 20 ans
==
( )2
0,20, = rrR
( ) ++C
dyxdxyx 2
21
2
12
1
=
yx21 += yx
xy = 3
,3: xyCpersamaan = :sehinggadxdy =
( ) ++C
dyxdxyx2 ( ) +=
2
1
23 dxxdxxx
=
2
1
23 dxx
2
1
3
3
13
= xx
)(3
2
3
13
3
86 ans=
=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
12/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 12
4. Menghitung dimana G bagian parabola yang terletak di atas kerucut
Perhatikan gambar disamping !
Kita dapat menuliskan
Kita rubah persamaan ini dalam koordinat kutub menjadi :
G
dsz2
2222
=++ zyx
22yxz +=
( )yxfyxz ,2 22 ==
,2 22 yx
xfx
= ,
2 22 yx
yfy
=
2222
2
22
222
2
21
221
yxyx
y
yx
xff yx
=+
+
=++
:jadi G
dsz2
:sin idari
( ) dydxyx
yxR
22
22
2
22
= ( )( ) dydxffyxf
R
yx ++= 1,222
( ) ddrrr
r2
2
0
1
0
2
2
22
ddrrr22
0
1
0
22 =
:misalkan duudrrdrrduururu ==== 222,2 222
11
2,0
==
==
ur
ur
:jadi
ddrrr2
2
0
1
0
22 duu2
2
0
1
2
2 =
=
2
0
1
2
3
3
12 du
( )=
2
0
22132 d
( ) 22213
2=
( )ans3
228 =
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
13/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 13
PEMBAHASAN UAS 2005 2006 KALKULUS II MA1124
1. Menentukan nilai maksimum dari dengan kendala Menentukan titik kritis
Kita dapat menuliskan kendala sebagai
Untuk mendapatkan titik kritis, kita harus menyelesaikan persamaan
Persamaan-persamaan lagrange adalah :
- Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y keduanya tidak dapat bernilai 0 bersama-sama .
- Jika dari persamaan (1) memberikan , subtitusikan ke persamaan (2)menghasilkan y = 0. Kita simpulkan dari persamaan (3) bahwa . Jadi kita telah
memperoleh titik kritis
- Dengan cara yang sama, jika persamaan (2) menghasilkan , subtitusikan kepersamaan (1) menghasilkan x = 0. Kita simpulkan dari persamaan (3) bahwa . Jadi
kita memperoleh titik kritis .
Sekarang untuk- .- .- .- .
( ) 22, yxyxf += .14
22
=+y
x
gf =
( ) 044, 22 =+= yxyxg
gf =
( )jyixjyix 2822 +=+
jyixjyix 2822 +=+
( )1.............82 xx =
( )2............22 yy =
( )3......44 22 =+ yx
0x4
1=
1=x
)0,1(
0y 1=
2=y
( )2,0
( ) 22, yxyxf +=
( ) 10,1 =f( ) 10,1 =f
( ) 42,0 =f
( ) 42,0 =f
( ) 4, adalahdiberikanyangellipspadayxfmaksimumnilaijadi
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
14/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 14
2. Menentukan turunan berarah dari di titik P(-2 ,2, -1) dengan arah
vektor satuan pada arah adalah :
Turunan berarah dititik (-2, 2, -1) pada arah adalah :
3. Menghitung
Dengan bentuk integran yang seperti di atas kita sulit untuk melakukan pengintegralan, oleh
karena itu kita perlu merubah susunan batas integrasinya. Perhatikan gambar di samping !
( ) zyxezyxf 3,, ++=
kjia 5420 +=
kjia 5420 +=
u
kjikji
u
21
5
21
4
21
20
2516400
5420+=
++
+=
( ) kfjfifzyxf zyx ,, ++=
( ) ( ) ( )kejeie zyxzyxzyx 3 333 ++++++ ++=
( ) kejeief 31,2,2 333 ++=
( ) ( )1,2,21,2,2 = fufDu
kjia 5420 +=
( )kejeiekji 321
521
421
20 333 ++
+=
21
15
21
4
21
20333
+=eee
( )anse 321
31 =
dydxxex
y 1
0
1
2
2
12
( ){ }1,10, 2 = yxxyxD
( ) ;0,10, sehinggayxyyxD =
dydxxex
y 1
0
1
2
2
12 dydxxey
y
=1
0 0
2
12 [ ] dyex yy=1
0
02
2
6
dyeyy
=1
0
2
6 [ ] ( ) ( )anseey 1331
0
2
==
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
15/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 15
4. S benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh tabung dan bidang y = 1 xa. Menghitung volume S
Volume S adalah volume benda dibawah permukaan dan di atas
daerah R
422
=+ zx
( ) 24, xzyxf ==
( ){ }xyxyxR = 10,10,
( ) =R
s dAyxfV ,
=
1
0
1
0
24
x
dxdyx
[ ] dxyxx
=1
0
1
0
24
( ) dxxx =1
0
241
:misalkan ,sin2 =x ddx cos2=
00 == x
621sin1 1 =
== x
:sehingga ( ) dxxx 1
0
241 ( )
dcos2sin44sin212
6
0
=
( )
dcos2cos4sin21 26
0
=
( )
d26
0
cos4.sin21 =
dsincos8cos4
226
0
=
dsincos82
2cos14 2
6
0
+=
dsincos82cos222
6
0
+=
6
0
3cos
3
82sin2
++=
++=
3
83
2
1
3
83
2
1
3
3
32
3
3
8+
=
( )ansadalahSbendavolumejadi 32
3
3
8: +
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
16/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 16
b. Menghitung
5. Menghitung usaha yang dilakukan oleh untuk memindahkanpartikel sepanjang lintasan C yang berupa ruas garis dari (0,0) ke (1,0) dari (1,0) ke(1,1)
dan dari (1,1) ke .(2,0).
Misalkan :
Karena maka , Artinya F konservatif
Karena F konservatif maka harus ada fungsif sehingga
Dengan demikian
Sehingga usaha yang dilakukan gaya F untuk memindahkan partikel sepanjang kurva C adalah :
S
dVz
( )
=2
40,10,10,, xzxyxzyxS
S
dVz
=
1
0
1
0
4
0
2x x
dxdydzz
=
1
0
1
0
4
0
2
2
2
1x x
dxdyz
( )
=
1
0
1
0
24
2
1 xdxdyx
( )[ ] dxyxx
=1
0
1
0
24
2
1
( )( )dxxx =1
0
214
2
1
( )dxxxx +=1
0
32
442
1
1
0
432
4
1
3
14
2
1
+= xxxx
( )ans24
41
4
1
3
114
2
1=
+=
( ) ( )jxyxixyyF 22 22 +++=
, jNiMF +=
,22
xyyM += xyxN 22
+=
,22 xyy
M+=
yx
x
N22 +=
x
N
y
M
=
0=FCurl
Ff
=
jNiMjy
fi
x
f +=
+
Ff
=
)1........(M
x
f=
)2........(N
y
fdan =
( ) xyyx
f21
2+=
( ) ( ) ( )( )23......22 kesubtitusiyCyxxyf ++=
( ) ( ) xyxyCxxy 2'22 22 +=++ ( ) 0' = yC ( ) cyC =
( ) cyxxyyxf ++= 22,
( ) ( ) ( )ansffrdFC
00,00,2 ==
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
17/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 17
PEMBAHASAN UAS 2002 2003 KALKULUS II MA1324
1. Menghitung dengan D seperti gambar di samping
2. Menghitung
Bentuk D dan fungsi integran menyarankan kita untuk menggunakan koordinat polar.
( ) ( ) 221,10, 2 += xyxxyxD
+D
dAyx
+D
dAyx ( )( )
dxdyyxx
x
+
+=
1
0
22
12
( )
+
+=
1
0
22
1
2
22
1dxyxy
x
x
( ) ( ) ( ) ( )
+
+++=
1
0
4221
2
1122
2
122 dxxxxxxx
( ) ( )
++
+++=
1
0
423221
2
1222
2
122 dxxxxxxxx
( ) ( ) +++=1
0
423
12
1222
1dxxxxx
( ) ( )1
0
53241
10
122
12
1
2
1
4
1
++= xxxx
( )ans60
49
10
1
12
8
2
1
4
1=
+
+=
( ) +
0
1
1
0
2/122
2x
dydxyx
( )
=2
10,01, xyxyxD
( )
=
2
,10, rrD
( ) +
0
1
1
0
2/122
2x
dydxyx =
2
1
0
. ddrrr =
2
1
0
2ddrr
=
2
1
0
3
3
1dr =
23
1d [ ] ( )ans
63
1
2
==
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
18/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 18
3. Diketahui
a. menyatakan S dalam koordinat bola
b. menghitung
4. Diketahui
a. memeriksa apakah konservatifmisalkan
akan kita periksa apakah atau dengan kata lain apakah
b. menghitung , C ruas garis dari (1,1) ke (2,1) ke (2,3)
( ) 222222 44,44,20,, yxzyxyxyyzyxS =
++S
dVzyx 222
( ){ } = 0,0,20,,S
++S
dVzyx222 =
0 0
2
0
2 sin. ddd
=
0 0
2
0
3sin ddd
=
0 0
2
0
4 sin4
1dd
=
0 0
sin4 dd [ ]
d=0 0
sin4
d=0
sin4 [ ] ( ) ( )ans
8114cos40
=+==
( )yxF ,
dyxey
edx
x
eye y
xyx
C
)ln()ln( +
( ) jxey
ei
x
eyeyxF y
xyx lnln,
+
=
jNiMF +=
danx
eyeMdengan
yx ,ln
=
= xe
y
eN
yx
ln
0=FCurl
xN
yM
=
,x
e
y
e
y
M yx=
x
e
y
e
x
N yx=
( )ansfkonservatiFnyakesimpulan
FCurlbahwaberartiinix
N
y
Mbahwaterlihat
.
.0.
=
=
( ) FfsehinggayxffungsiadaharusmakafkonservatiFkarena
=,,
jNiMjy
fi
x
f +=
+
Ff
=
)1........(Mx
f=
)2........(N
y
fdan =
( )x
eye
x
fy
x=
ln1 ( ) ( ) ( )2.3.........lnln kesubtitusiyCxeyef yx +=
( ) ( ) xey
eyCxe
y
e yx
yx
ln'ln2 =+ ( ) cyC =( ) 0' = yC
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
19/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 19
Dengan demikian (3) menjadi
Sehingga usaha yang dilakukan gaya F untuk memindahkan partikel sepanjang kurva C
adalah :
5. Hitung dengan S bagian paraboloida yang terletak di bawahbidang z = 4
kita dapat menuliskan dari sini:
( ) cxeyeyxf yx += lnln,
( ) ( ) ( )anseecceeffrdFC
2ln3ln)2ln3ln(1,13,23232
=+==
++S
dsyx ,14422 22 yxz +=
( )yxfyxz ,22 =+=
( ) ( ) :1441221 222222 sehinggayxyxff yx ++=++=++
++S
dsyx ,14422
dAyxyxR
1441442222
++++=
dAffyx yxR
11442222
++++=
( )dAyxR
++= 14422
polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaegranfungsidanRbentuk int
( ){ } :20,20, sehinggarrR =
( )dAyxR
++ 14422 ( )
ddrrr +=2
0
2
0
214
( )
ddrrr +=2
0
2
0
34
+=
2
0
2
0
24
2
1drr
[ ] ( )ansd
3618182
0
2
0
===
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
20/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 20
PEMBAHASAN UAS 2000 2001KALKULUS 11 DA1314
1. Menghitung integrala. .
Dengan urutan integrasi seperti ini, kita sulit untuk melakukan pengintegralan .
Oleh karena itu kita perlu merubah urutan integasinya.Langkah penting dalam
pengerjaan integral adalah menggambarkan daerah integrasinya
)sin(1
0
13
y
dxdyx
( ) 110 = xy,yx,yD
( ) 010 2xy,xx,yD =
)sin(1
0
13
y
dxdyx )sin(1
0 0
3
2
=x
dydxx ( ) dxsin1
0 0
3
2
=
=x
y
yx
( )( )dx0sin1
0
23
= xx ( )dxsin1
0
32
=
xx
1,1
0,0
33,:misalkan 223
==
==
===
ux
ux
dudxxdxxduxu
( )dxsin1
0
32
xx =1
0 3sin
duu =
1
0
sin3
1udu
( )1
0
cos3
1u= ( )11cos
3
1+= ( )1cos1
3
1=
)sin(1
0
13
y
dxdyx ( ) )(1cos13
1ans=
D
2xyyx ==
x
y
1
1
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
21/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 21
b. . G adalah pada bidang XY yang dibatasi oleh y = x, sumbu X danPerhatikan gambar disamping!
Persamaan lingkaran kita nyatakan dalam
koordinat polar dengan
G
ydA2 ( ) 1122
=+ yx
x
y xy =
( ) 11 22 =+ yx
r
polarbentukdalamdaerah
Ggambar
G
( )
=4
0,cos20,
rrG
G
ydA2
,maka
( ) =4
0
cos2
0
sin2
ddrrr
ddrr
=
4
0
cos2
0
2sin2
dr
=
4
0
cos2
0
3
3
1sin2
d
=
4
0
3cos8.3
1sin2
d=4
0
3cossin
3
16 4
0
4cos4
1
3
16
=
( )
= 0cos
4cos
3
4 44
= 12
2
1
3
44
)(14
3
3
4ans=
=
( ) 11 22 =+ yx
sincos rydanrx ==
( ) 11 22 =+ yx ( ) 1sin1cos 222
=+ rr
1sin1cos2cos 2222 =++ rrr
0cos2)sin(cos 222 =+ rr
0cos22 = rr
0)cos2( = rr
cos20 == rr
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
22/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 22
2. S adalah benda pejal yang dibatasi dan bidang z = 1.a. Menghitung volume S
Bentuk S menyarankan kita menggunakan koordinat tabung
Sehingga volume S adalah
b. MenghitungDalam koordinat tabung
Sehingga :
225 yxz =
S
dVxy
( ) 251,20,20,, rzrzrS =
==s s
s ddrrdzdVV
sin
cos
ry
danrx
=
=
S
dVxy
=
2
0
2
0
5
1
2r
ddrdzr [ ]
ddrzrr
25
1
2
0
2
0
=
( )
ddrrr =2
0
2
0
215 ( )
ddrrr =2
0
2
0
24
( )
ddrrr =2
0
2
0
34
drr
2
0
2
0
42
4
12
=
( )ansd
842
0
==
=
2
0
2
0
5
1
2
sincosr
ddrrdzrr
[ ]
=
2
0
2
0
5
1
3
2
cossin ddrzrr
( ) =
2
0
2
0
23cossin4 ddrrr
( ) =
2
0
2
0
53cossin4 ddrrr
=
2
0
2
0
64 cossin6
1drr
=
2
0cossin6
6416 d
( )ans0sin2
1
3
162
0
2=
=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
23/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 23
3. DiketahuiMisalkan :
a. memeriksa apakah konservatifuntuk mengetahuinya akan kita periksa apakah
atau dengan kita lain akan kita periksa apakah
terlihat bahwa
ini menunjukkan bahwa atau F konservatif (ans).
b. Menghitung , dengan C sembarang lintasan dari (0,0,0) ke (1,0,1)karena F konservatif, maka ada fungsif(x,y,z) sehingga
( ) ( ) kxyjexzieyzF yx +++=
C rdF
.
0=FCurl
( ) ,xeyzM = ( ),yexzN += xyP =
y
P
z
N
x
P
z
M
x
N
y
M
=
=
=
,,
zy
M=
zx
N=
yz
M=
yx
P=
x
z
N=
xy
P=
,zx
N
y
M=
=
,y
x
P
z
M=
=
x
y
P
z
N=
=
0=FCurl
Ff =
kdz
fj
dy
fi
dx
ff
+
+
=
= Ff
),1.......(Mdx
f=
),2.........(N
dy
f=
)3.........(P
dz
fdan =
( ) Mdx
f=
1 xeyz
dx
f =
( ) ( )4.........,zyCeyzxf x ++=
( ) N
dy
f=
2 ( ) y
y exzzyCzx +=+ ,
( ) yy ezyC = ,
( ) ( )zCezyC y += ,
( ) Pdz
f=
3
( ) ( ) )5..(..........4 zCeexyzfmenjadisehingga yx +++=
( ) xyzCxy z =+
( ) 0= zCz
( ) czC =
( ) ceexyzzyxfmenjadisehingga yx +++= ),,(5
:makafkonservatiFkarena
( ) ( )cce ++++= 1111( ) ( )0,0,01,0,1 ffdrFC
=
)(11
anse =
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
24/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 24
4. Diketahui permukaan G adalah bagian bidang yang terletak di oktan pertamaa. Menghitung
misalkanf(x,y) = z = 4-x-2y
Perhatikan gambar di samping,
Sehingga
42 =++ zyx
G
dsxz
( )
=
2
40,40,
xyxyxR
42 =++ zyx
G
dsxz ( ) ++=R
yx dAffyxx 12422
( ) ( ) ( )
++=
4
0
2
4
0
2212124
x
dxdyyxx
=
4
0
2
4
0
2)24(6
x
dxdyxyxx
( )[ ] dxxyyxxx
y
2
4
0
4
0
2246
=
=
( ) dxxxxxx
=
4
0
2
2
24
2446
dxx
xx
x
=
4
0
22
4
)4(
2
)4(6
( ) dxxx =4
0
24
4
16 ( )dxxxx 2
4
0
8164
6+=
( )dxxxx 324
0
8164
6+=
4
0
432
4
1
3
88
4
6
+= xxx
( )ans6316
3
64
.4
6==
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
25/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 25
PEMBAHASAN UAS 2000 2001 KALKULUS II DA1323
1. Menentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya dari Menentukan titik kritis
Karena f terdefini maka titik kritis yang mungkin adalah pada titik stationer yaitu
jika
Jadi kita mempunyai 2 titik krtis yaitu (0,0) dan (3,9) (ans)
Menentukan nilai ekstrim dan jenisnyaUntuk menentukan perlu dilakukan pengujian
Titik kritis fxx fyy fxy D
(0,0) 0 1 -3 -9
(3,9) 18 1 -3 9
- Titik (0,0) bukan merupakan titik ekstrim, tetapi titik pelana (D < 0)- Titik (3,9) berupakan titik berupakan titik maksimum lokal karena D > 0 dan fxx > 0 (ans)
2. a. Menghitung dengan S adalah daerah yang dibatasi oleh , y = 1 danx = 0 .
( ) 2, Ryx
0=f 0 =+ jfif yx
( ) 03)33( 2 =++ jyxiyx
( ) 232
13, yxyxyxf +=
( ) ( ) ( )2......031.....0)33( 2 =+= yxdanyx
( ) ( )1.32 kesubstitusixydidapatdari =
0)93(2
= xx 0)3(3 = xx
30 == xx
93
00
==
==
yx
yx
3,1,6 === xyyyxx ffxf
S
dAy )sin(3
xy =
( ) 10,0, 2 = yyxyxS
S
dAy )sin(3 ( ) =
1
0 0
3
2
siny
dydxy
( )[ ] dyxyy
2
0
1
0
3sin=
( )dyyy=1
0
32sin
( ) ( ) ( )ansy 1cos13
1cos
3
1 1
0
3==
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
26/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 26
b. menentukan volume benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaandan bidang z = 1.
Bentuk S menyarankan kita menggunakan koordinat tabung
Sehingga volume S adalah
3. Diketahui merupakan medan vector konservatif . Tentukanusaha untuk memindahkan partikel dari posisi (0,0) ke
a. Dengan menggunakan fungsi potensialnyaKita dapat menuliskan dengan dan
Fungsi potensial dari F adalahf(x,y) sehingga
Karena diketahui bahwa F konservatif, maka besarnya usaha yang dilakukan F untuk
memindahkan partikel dari posisi (0,0) ke adalah :
b. Melalui lintasan C1 dan C2 dimana C1 lintasan dari (0,1) ke (1,0) sedangkan C2 lintasan dari(1,0) ke
Karena menurut hipotesisnya F konservatif maka F bebas lintasan artinya usaha yang
dilakukan F untuk memindahkan partikel Melalui lintasan C1 dan C2 dimana C1 lintasan dari
(0,1) ke (1,0) dan C2 lintasan dari (1,0) ke adalah :
2210 yxz =
( ) ( ) ( )jyeiyeyxF xx cossin, +=
( )2
,1
( )2
,1
( ) jNiMyxF , +=
( )yeM x sin= ( )yeN x cos=Ff
=
Ff
=
( ) yex
f x sin1 =
jNiMjy
fi
x
f +=
+
)1........(Mx
f=
)2........(N
y
fdan =
( ) ( ) ( )23......sin kesubstitusiyCyef x +=
( )( )
yey
yCye
xx coscos2 =
+
( )0=
y
yC( ) cyC =
( ) ( ) cyeyxf x += sin,3
( )2
,1
( ) ( ) ( ) ( )ansecceffdrFWC
=+=
== 0,0
2,1
2,1
( ) ( ) ( ) ( )ansecceffdrFWCC
=+=
==
+
0,12
,1
21
( )
=2
101,2
0,30,, rzrzrS
==s s
s ddrrdzdVV
=
2
0
3
0
10
1
2
r
ddrdzr [ ]
ddrzrr
210
1
2
0
3
0
=
( )
ddrrr =2
0
3
0
2 110 ( )
ddrrr =2
0
3
0
29
( )
ddrrr =2
0
3
0
39
drr
3
0
2
0
42
4
1
2
9
=
d
=
2
0 481
281 ( )ansd
881
481 2
0
==
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
27/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 27
PEMBAHASAN UAS 1999 2000 KALKULUS II DA1323
1. Diketahui jika dan jikaa. Menentukan fx(1,2), fy(1,2)
Substitusi (1) ke (2) menghasilkan :
Substitusikan hasil ini ke (1) menghasilkan :
b. menentukan turunan berarah dari f(x,y) di titik (1,2) dalam arah ke titik (2,3)
2. Diketahui permukaana. menentukan persamaan bidang singgung di titik (2,1,1)
misalkan
maka persamaan bidang singgung di titik (2,1,1) adalah :
b. menentukan persamaan garis normal di titik (2,1,1)
2)2,1( =fDu jiu
5
4
5
3= 4)2,1( =fDv jiv
5
3
5
4+=
102222
=++ zyx
2)2,1( =fDu ( ) ( ) 22,1
5
4.2,1
5
3= yx ff
4)2,1( =fDv ( ) ( ) ( )2..........42,153
.2,15
4=+ yx ff
( ) ( ) ( )1.......2,15
42
3
52,1
+= yx ff
( ) ( ) 42,15
32,1
5
42
3
5.
5
4=+
+ yy ff
( ) ( ) 42,15
32,1
15
16
3
8=++ yy ff
( ) 3842,11525 =yf
( )3
42,1
3
5=yf
( ) ( )ansfy5
42,1 =
( ) ( )ansfx5
222,1 =
( ) ( )
( ) ( )ji
jiu
2
1
2
1
2312
2312
22
+=
+
+=
( ) ( ) ( ) ( )ansfffD yxu 25
132
10
42
10
222,1
2
12,1
2
12,1 =+=+=
( ) 102,, 222 =++= zyxzyxF
( ) xzyxFx 4,, =
( ) yzyxFy 2,, =
( ) zzyxFz 2,,=
( ) 81,1,2 =xF
( ) 21,1,2 =yF
( ) 21,1,2=
zF
( )( ) ( )( ) ( )( ) 011,1,211,1,221,1,2 =++ zFyFxF zyx
( ) ( ) ( ) ( )anszyx 0121228 =++
( )anszyx
2
1
2
1
8
2 =
=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
28/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 28
3. menghitung
a.
bentuk R menyarankan kita menggunakan koordinat polar
Kasus tidak layak
b. .Dengan urutan integrasi seperti ini, kita sulit melakukan pengintegralan. Oleh karena itu kita
perlu merubah susunan integrasi menjadi
4. Diketahui S benda pejal di oktan 1 yang dibatasi oleh dan bidang z = 2xa. menghitung volume S
dalam koordinat tabung,
( ) +
1
1
1
0
2/122
2
4x
dydxyx
1
0
12
dydxex
y
22yxz +=
( )
=210,11, xyxyxR
( ){ } = 0,10, rrR
( ) +
1
1
1
0
2/122
2
4x
dydxyx ( ) drdrr
=
1
0 0
2
12
4
( ) [ ] drrr
0
1
0
2
12
4
= ( ) drrr
=
1
0
2
12
4
( ) ( )1
0
2
12
42
12 = r
( )1
0
2
12
4= r
( ) }10,0, = yyxyxR
1
0
12
dydxex
ydydxe
yy
=1
0 0
2
[ ] dyxey
y
0
1
0
2
=
dyyey
=1
0
2
( ) ( )anseey 12
1
2
11
0
2
=
=
( ) cos2,0,cos20,, 2 rxrrzrS =
=S
dVSvolume
ddrdzrr
r
=2
0
cos2
0
cos2
2
[ ]
ddrzrr
r
cos22
0
cos2
02
= ( )
ddrrrr =2
0
cos2
0
2cos2
( )
ddrrr =2
0
cos2
0
32 cos2
drr
cos2
0
2
0
43
41cos
32 =
d44
2
0
cos4cos3
16= =
2
0
4cos
3
4
d
+=
2
0
2
2
2cos1
3
4
d
( ) ++=2
0
22cos2cos21
3
1
d
+++=
2
0 2
4cos12cos21
3
1
d
( )ans4
4sin8
1
2
12sin
3
12
0
=
+++=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
29/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 29
b. menghitung
5. a. Hitung , C adalah kurca y = x2 , 0 x 1
b. Hitung
kita dapat menuliskan
Karena bentuk lintasan dari (0,0) ke (1,1) maka kita harus periksa dulu periksa duluapakah F konserrvatif atau tidak. Artinya harus kita periksa apakah Curl F = 0 atau
dengan kita lain akan kita periksa apakah
Terlihat bahwa ini berarti bahwa Curl F = 0 artinya F konservatif.
+C
dyxydx 2
( ) ( ) ++ )1,1(
)0,0(
dyexdxey yx
S
xydV
S
xydV
ddrdzrrrr
r
=2
0
cos2
0
cos2
2
.sin.cos
[ ]
ddrzrr
r
cos22
0
cos2
0
3
2
cossin =
( )
ddrrrr =2
0
cos2
0
23cos2cossin
( )
ddrrr =2
0
cos2
0
524cossinsincos2
drr
r
cos2
0
2
0
625 cossin6
1sincos
5
2
=
=
d
=
2
0
77cossin
6
64sincos
5
64
d=2
0
7sincos
15
32( )ans
15
4cos
8
1.
15
32 2
0
8=
=
xdxdy
yxy
2
102
=
=
+C
dyxydx2
+=1
0
222. xdxxdxx
( )ansxxdxxx
6
5
2
1
3
1
2
1
3
1)2(
1
0
431
0
32=+=
+=+=
( ) ( ) ++ )1,1(
)0,0(
dyexdxey yx
yxexNeyM +==
,
jNiMFdengan +=
x
N
y
M
=
1=
y
M1=
x
N
x
N
y
M
=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
30/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 30
Setelah kita mengetahui bahwa F konservatif , maka kita sekarang dapat memilihsembarang lintasan yang melalui (0,0) dan (1,1) misalnya y = x sehingga
NB : kita dapat menghitung dengan mencari fungsi
potensilnya terlebih dahulu.
dxdyxy ==
( ) ( ) ++ )1,1(
)0,0(
dyexdxey yx dxexdxex xx )()(1
0
++=
dxeexxx )2(
1
0
+=
[ ] ( ) ( )
( )ansee
eeeex xx
1
111
1
11
0
2
+=
+++=++=
( ) ( ) ++ )1,1(
)0,0(
dyexdxey yx
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
31/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 31
PEMBAHASAN UAS 1999 2000 KALKULUS II DA1324
1. Menghitung :a. . dengan
Dengan susunan integrasi seperti di atas, kita silit melakukan pengintegralan, sehingga kita
harus merubah susunan integrasinya
Perhatikan gambar D disamping !
D dapat kita tulis menjadi :
b.
2. Menghitung dengan S adalah benda pejal yang terletak di oktan pertama yangdibatasi oleh Dan bidang y = 4.
D
ydAe
2
( ){ }1,10, = yxxyxD
++=
1
1
1
122
2
2 1
1x
x dydxyxl
( ){ } :10,0, sehinggayyxyxD =
D
y dAe2
=1
0 0
2y
ydydxe [ ] dyxe yy=
1
0
0
2
dyyey
=1
0
2
( ) ( )anseey 12
1
2
11
0
2
=
=
( ) :11,11, 22 menjadipolarkoordinatdalamxyxxyxD
=
( ){ } :20,10, sehinggarrD =
++
1
1
1
1
22
2
2 1
1x
x
dydxyx
+
=
2
0
1
02
1
1ddrr
r
misalkan
+
=
1
0
2
02
1
1
drdrr
[ ] drr
r
2
0
1
021
+
= drr
r
+=
1
02
1
2
,1 2ru += drrdu 2=
21
10
==
==
ur
ur
drr
r
+
1
021
2 [ ] 2lnln 21
2
1
=== uu
du
( )ansl 2ln=
S
dVxyz
24 xz =
( ) 240,40,20, xzyxyxS =
S
dVxyz
=2
0
4
0
4
0
2
x
dxdydzxyz dxdyzxyx
2
4
0
2
0
4
0
2
2
1
=
( ) dxdyxxy 222
0
4
0
42
1= ( )
=
2
0
4
0
222
2
14
2
1dxyxx
( ) =2
0
2244 dxxx ( )
2
0
3246
14
= x ( ) ( )ansx
3
1284
6
14
2
0
32=
=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
32/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 32
3. menghitung besarnya usaha/kerja yang dilakukan oleh gayaUntuk memindahkan partikel
sepanjang C dengan C ruas garis dari titik ( 0,0,0) ke (2,3,0).
Persamaan posisi pada kurva C dapat dinyatakan sebagai :
4. Diketahui :a. memeriksa apakah konservatif dan menentukan fungsi potensial dari jika F
konservatif
Kita dapat menuliskan
Akan kita periksa apakah atau dengan kata lain apakah
Menentukan fungsi potensial bagi FKarena F konservatif, maka harus ada fungsi f(x,y) sehingga
( ) ( ) ( ) ( )kzyxjzyxizyxzyxF 232,, ++++++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )10,32
000302000
+=
+++++=
tjtit
kjitkjitr
( ) jdtidttrd 32 +=
0,3,2 === ztytx
( ) ktjtittF 745 +=
:adalahFdilakukanyangusahabesarnya
=C
rdFW
( ) ( ) ++=1
0
32745 jdtidtktjtit
joulettdtdttdtt 12
122)1210(
1
0
21
0
1
0
=
===
( )yxF ,
( )yxF ,
( ) ( ) jxyiyxxyxF 3
1,323
+=
0=FCurl
x
N
y
M
=
,2xy
M=
2x
x
N=
( )ansfkonservatiFnyakesimpulan
FCurlbahwaberartiinixN
yMbahwaterlihat
.
.0.
=
=
( ) denganjNiMyxF , +=
( ) danyxxM 23 =
=
3
3
1xyN
Ff =
jdy
fi
dx
ff
+
=
),1.......(Mdx
f=
),2.........(N
dy
f=
( ) Mdx
f=
1
= Ff
yxxdx
f 23=
( ) ( ) ( )23........34
1 34kesubtitusiyCx
yxf +=
( ) Ndy
f=
2 ( ) 33
3
1'
3
1yyyCx =+
( ) yyC = '
( ) cyyC += 22
1
( ) ( ) ( )anscyyxxyxfadalahFuntukpotensialfungsinbersasarka ++= 2342
1
3
1
4
1,:3
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
33/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 33
b. Menghitung dengan C berupa kurva y = x2 + 1 dari titik (0,1) ke (1,2).
5. Menghitung luas permukaan G jika G adalah bagian dari paraboloida yangterletak di atas bidang XOY.
Kita dapat menuliskan
C
drF
:)int(.
min,
sehinggaasanlbebasFlitasannyapadabergantungtidak
partikeldahkanmeuntukFdilakukanyangusahamakafkonservatiFkarena
C
drF
( ) ( )1,02,1 ff =
( )ansjoulecc 1213
2
12
3
2
4
1=
+
++=
221 yxz =
( )GAGpermukaanluas =
( ) dAffGAR
yx ++= 122
( )
=2
0,10,
rrR
( )yxfyxz ,1 22 ==
( ) ( ) :1441221 222222 sehinggayxyxff yx ++=++=++
dAyx
R
++= 14422
polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaRbentuk
dAyxR
++ 14422 drdrr
+=1
0
2
0
214
[ ] drrr2
0
1
0
214
+=
drrr +=1
0
2 142
( )1
0
23
2 143
2
8
1.
2
+= r
( )ans
= 15.
242
3
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
34/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 34
PEMBAHASAN UAS 1998 1999 KALKULUS II DA1324
1. Diketahui
a. Gambar daerah integrasi
b. MenghitungIdengan urutan integrasi seperti di atas, kita sulit melakukan pengintegralan, maka kita harus
merubah urutan integrasi
2. Menghitung luas permukaan paraboloida yang terletak di antara silinderdan
kita dapat menuliskan dari sini :
( ) 1,10, = yxxyxD
( ) dxdyyIx
=1
0
13sin
( ) dxdyyIx
=1
0
13
sin ( ) =1
0 0
3
2
siny
dydxy
( ){ }10,0, 2 = yyxyxD
( )[ ] dyxy y=1
0 0
3
2
sin ( )dyyy=1
0
32 sin
( ) ( )ansy
3
2cos
3
1 1
0
3==
922 =+ yx
22yxz +=
422 =+ yx
( )yxfyxz ,22 =+=
( ) ( ) :1441221 222222 sehinggayxyxff yx ++=++=++:adalahdicariyangpermukaanluas
dAffdsAS R
yx ++== 122
dAxxR
++= 14422
polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaegranfungsidanRbentuk int
( ){ } :20,32, sehinggarrR =
dAxxR
++ 14422 +=
3
2
2
0
2 14
drdrr
[ ] drrr +=3
2
2
02
14
drrr +=3
2
2142
( )3
2
2
32 14
3
2
8
12
+= r ( )ans
= 2
3
2
3
17376
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
35/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 35
3. Diketahui benda pejal S yang dibatasi oleh permukaan bola dana. Hitung volume S
b. Menghitung
4. Menghitung dengan C adalah ruas garis dari titik (1,1) ke (3,-1)Ruas garis dari titik (1,1) ke (3,-1) dapat dinyatakan dengan :
S
dV
8222
=++ zyx22 yxz +=
( )
+=222222 8,44,2,, yxzyxxyxxzyxS
tabungkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaegranfungsidanSbentuk int
( ) :8,20,20,, 2 sehinggarzrrzrS =
( )
ddrdzrdVSVr
rS
==
2
0
2
0
8 2
[ ]
ddrzrr
r
282
0
2
0
=
ddrrrr
=
2
0
2
0
28
ddrrrr =2
0
2
0
228
( )
drr
2
0
2
0
32
3
2
318
32.
21
=
d
+=
2
0
2
3
32
3
8243
1
( ) ( ) ( )ansd 123
3216216
3
12
0
==
( ) ( )ansSbendavolumemerupakandVS
123
32=
( ) ( ) ,dyyxdxyxc
22 ++
13
1
11
1
=
xy11 += xy
2+= xy
dxy =
( ) ( )dyyxdxyxc
22 ++ ( )( ) ( )( )( ) ++++=3
1
2222 dxxxdxxx
( )+=
3
184 dxx [ ]
3
1
2
82 xx +=
( ) ( ) ( )ans0822418 =++=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
36/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 36
5. Diketahuia. menentukan f sehingga
Kita dapat menuliskan dengan
b. Menghitung jika c sembarang lintasan dari (3,-1,2) ke(2,1,-1)
Karena c sembarang lintasan dari (3,-1,2) ke (2,-1,-1) maka kita harus periksa duluperiksa dulu apakah F konserrvatif atau tidak. Artinya harus kita periksa apakah Curl F =
0 atau dengan kita lain akan kita periksa apakah
terlihat bahwa
ini menunjukkan bahwa atau F konservatif
Ff
=
( ) ( ) ++c
ydzdyzxdxxy 44322
( ) ( ) ( ) kyjzxixyz,y,xF
4432 2 ++=
( ) kPjNiMzyxF
++=,, ( ),32 += xyM ( ),42 zxN = yP 4=
kdz
fj
dy
fi
dx
ff
+
+
=
= Ff
),1.......(Mdxf = ),2.........(N
dy
f= )3.........(P
dz
fdan =
( ) Mdx
f=
1 32 +=
xy
dx
f
( ) ( ) ( ) ( )24.......,3, 2 kesubtitusizyCxyxyxf ++=
( ) Ndy
f=
2
( )zx
y
zyCx 4
, 22=
+
( )z
y
zyC4
,=
( ) ( )zCyzzyC += 4,
( ) ( ) ( )35.......432 kesubstitusizCyzxyxfsekarang ++=
( ) Pdz
f=
3
( )y
z
zCy 44 =
+
( )0=
z
zC
( ) czC =( )anscyzxyxf ++= 432
( ) ( ) ++c
ydzdyzxdxxy 4432 2 =c
drF
yPzxNxyM 4,4,32 2 ==+=
kPjNiMFdengan ++=
y
P
z
N
x
P
z
M
x
N
y
M
=
=
=
,,
xy
M2=
xx
N2=
0=
z
M
0=
x
P4=
z
N
4=
y
P
,2xx
N
y
M=
=
,0=
=
x
P
z
M4=
=
y
P
z
N
0=FCurl
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
37/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 37
Setelah kita mengetahui bahwa F konservatif, maka kita dapat menentukan sembaranglintasan r(t) yang melalui (3,-1,2) dan (2,1,-1) misalnya garis lurus yang melalui (3,-1,2)
dan (2,1,-1)
6.
menghitung : dengan
Terapkan teorema green!
.
( ) ( ) ( ) ( )( )kjitkjitr 21113223 +++++=
( ) 10
)32(12)3( ++= tktjtit),3( tx = ( ),12 = ty )32( tz =
dtdx = ,2dtdy = dtdz 3=
( ) ( ) ++c
ydzdyzxdxxy 44322
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) dttdtttdttt 31242324331232 21
0
+++=
( ) [ ] ( )anstttdttt 671127226 10231
0
2=+=+=
( )
C dyxydxyxx
223
922
=+ yx:C
( ) C
dyxydxyxx223
+=C
dyNdxM223
xyNdanyxxMdengan ==
+C
dyNdxM
=
R
dAy
M
x
N
( ) C
dyxydxyxx223 ( )( )
=
R
dAxy22 ( ) =
R
dAyx 22
polarkoordinatnmenggunakakitanmenyarankaRbentuk
( ){ } 20,30, = rrR
( ) R
dAyx 22 ( ) =
2
0
3
0
222 sincos ddrrr
=
2
0
3
0
32cos ddrr
=
2
0
3
0
4
4
12cos dr
=
2
0
2cos4
81d
( )ans02sin2
1
4
812
0
=
=
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
38/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
By Arip Paryadi 38
PEMBAHASAN UAS 1998 1999 KALKULUS II DA1324
1. Menghitung
Bentuk R menyarankan kita menggunakan koordinat polar
2. Menghitung dengan C kurva tertutup yang dibentuk oleh y = 0, x = 2 dany = x
2/2.
Kita dapat menuliskan
Menurut teorema green
R adalah daerah yang dibentuk di dalam kurva C
3. Diketahuia. Akan kita tunjukkan bahwa F adalah medan konservatif
Kita dapat menuliskan dengan
dan
akan kita tunjukkan bahwa
terlihat bahwa artinya Curl F = 0 ,kesimpulannya F
konservatif (ans)
( )
+=
1
1
1
0
22
2
sinx
dxdyyxI
( ) ( ) +=+
R
x
dAyxdxdyyx 221
1
1
0
22 sinsin
2
( ){ } = 0,10, rrR
( ) =
0
1
0
2sin ddrrr( ) +
R
dAyx22
sin
( )=
=
0
1
0
2cos
2
1dr
r
( ) ( ) ( )ansd 1cos12
11cos2
1
0
==
dyxdxyIC
+=
xNdanyMdenganNdyMdxdyxdxyCC
==+=+
dyxdxyC
+ +=C
NdyMdx dAy
M
x
N
R
=
( )
=2
0,20,2
xyxyxR
dAy
M
x
N
R
dxdy
yx
x
=
2
0
2
0
2
2
1
2
1
dxyx
y
x
y
=
=
2
0
2
0
2
2dx
x
x
x
24
22
0
2
=
xdxx2
1
4
12
0
2
3
= ( )ansxx 25
322
10
1
22
1
5
2
4
12
52
0
22
5
==
=
( ) ( ) ( ) ( )keyejexeiezezyxF xzzyyx ,, ++++=
( ) kPjNiMzyxF
++=,, ( ),yx ezeM += ( )zy exeN =
( )xz
eyeP +=
y
P
z
N
x
P
z
M
x
N
y
M
=
=
=
,,
ye
y
M=
,ye
x
N=
,xe
z
M=
,xe
x
P=
,ze
z
N=
ze
y
P=
y
P
z
N
x
P
z
M
x
N
y
M
=
=
=
,,
-
7/28/2019 1001-soal-solusi-uas-kalkulus-ii
39/39
HMTI STT Telkom 2007-2008 .
b. Menentukan fungsi potensial dari FKarena F konserrvatif maka ada fungsi potensial f (x,y,z) sehingga
c. Menentukan usaha yang dilakukan oleh F untuk menggerakkan partikel dari titik (0,0,0) ketitik (1,1,1)
Karena F konservatif, maka usaha yang dilakukan adalah :
4. Menghitung dengan G adalah permukaan kerucut antara bidang z = 1dan z = 2
Kita dapat menuliskan . dari sini :
Ff
=
kdz
fj
dy
fi
dx
ff
+
+
=
),1.......(M
dx
f=
),2.........(N
dy
f=
)3.........(P
dz
fdan =
= Ff
( ) Mdx
f=
1 yx eze
dx
f+=
( ) ( ) ( ) ( )24.......,,, kesubstitusizyCxezezyxf yx ++=
( ) Ndy
f=
2
( ) zyyexe
y
zyCxe =
+
,
( ) ze
y
zyC=
,
( ) ( )zCyezyC z += ,
( ) ( ) ( ) ( )35.......,, kesubstitusizCyexezezyxfsekarang zyx ++=
( ) Pdz
f=
3
( ) zxzxyee
z
zCyee +=
+
( )0=
z
zC
( ) czC =
( ) ( )anscyexezezyxfsekarang zyx ++=,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ansjouleecceeeffdrFWc
=++=== 0,0,01,1,1
G
dSz2 22
yxz +=
( )yxfyxz ,22 =+=
211
2
22
2
22
22=+
+
+
+
=++
yx
y
yx
xff yx
G
dSz 2 ( ) +++=R
yx dAffyx 12222 ( ) +=
R
dAyx 222
( ){ } sehinggarrR 20,21, =
( ) +R
dAyx222 =
2
0
2
1
2.2 ddrrr =
2
0
2
1
32 ddrr
=
2
0
2
1
4
4
12 dr
polartubnmenggunakakitanmenyarankaRbentuk
top related