1 analisis vektor dan sistem koordinat standar...2020/01/01  · 1 analisis vektor dan sistem...

FEH2G3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem Koordinat

Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi

Fakultas Teknik Elektro

Universitas Telkom

2014

Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa memahami berbagai operasi vektor beserta arti

fisisnya

2. Mahasiswa memahami sifat-sifat dari Sistem Koordinat

Kartesius (SKK), Sisterm Koordinat Silinder (SKS) dan Sistem

Koordinat Bola (SKB)

3. Mahasiswa mampu melakukan transformasi representasi

vektor antar sistem koordinat

2FEG2C3 Elektromagnetika I

Organisasi Materi

o Analisis Vektor

o Sistem Koordinat

o Transformasi Koordinat

3FEG2C3 Elektromagnetika I

4FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatAnalisis Vektor

Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai.

Vektor : Besaran yang memiliki nilai dan arah.

Contoh : temperatur, laju, jarak, dll.

Contoh : medan listrik, medan magnet, dll.

5FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatAnalisis Vektor

Notasi vektor

AaAA ˆrr

=dimana:

Ar

menyatakan besar vektor A

Aa menyatakan vektor satuan searah vektor A

Vektor satuan menyatakan arah vektor, besarnya satu.

A

AaA r

r

=ˆ

6FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

o Lebih mudah menuangkan konsep vektor menggunakan sistem

koordinat.

o Tiga macam sistem koordinat yang akan dibahas:

1. Koordinat Cartesius

2. Koordinat Silinder

3. Koordinat Bola

7FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

1. Koordinat Cartesius

Dalam koordinat Cartesius, sembarang

vektor A ditulis:

Ax , Ay , dan Az adalah komponen vektor A

dalam arah , dan

zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r

yA y

x

z

Ar

xA

zA

dimana:

xa yaza

8FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

1. Koordinat Cartesius

Besar vektor A ditulis:

222

zyx AAAA ++=r

Vektor satuan searah A ditulis:

222

ˆˆˆˆ

zyx

zzyyxx

A

AAA

aAaAaA

A

Aa

++

++== r

r

9FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

1. Koordinat Cartesius

x

y

z

2

4

3

A

B

Gambarkan vektor berikut dalam koordinat Cartesius

A = 2ax+3ay+4az berpangkal di titik (0,0,0)

B = aρ - 2aφ + 4az berpangkal di titik (3,0,0)

10FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

1. Koordinat Cartesius

Elemen luas

yadxdzSd ˆ=r

xadydzSd ˆ=r

zadxdydS ˆ=

dxdydzdv =

Elemen volume

Elemen panjang

zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=r

11FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

2. Koordinat Silinder

ρ

z

φ

za

ρa

φa

Dalam koordinat Silinder sembarang

vektor A ditulis

zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= φφρρ

r

dimana:

Aρ , Aφ , Az adalah komponen vektor

A dalam arah , danρaφa

za

12FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

2. Koordinat Silinder

x

y

z

M N

3aρ

2aφ

az

3aρ

2aφaz

B

A

Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang

sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda

karena titik pangkal yang berbeda.

Gambarkan vektor berikut dalam koordinat Silinder

A = 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2,0,0)

B = 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2,π/2,0)

13FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

2. Koordinat Silinder

Elemen panjang

zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρr

ρφρ adzdSd ˆ=r

φρ adzdSd ˆ=r

zaddSd ˆφρρ=r

Elemen luas

Elemen volume

dzdddv φρρ=

14FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

3. Koordinat Bola

x

y

z

θ

ϕ

ϕar

rar

θar

rr

Dalam koordinat Bola, sembarang

Vektor A ditulis :

φφθθ aAaAaAA rrˆˆˆ ++=

r

Ar , Aφ , Aθ adalah komponen vektor

A dalam arah , danra

θa φa

dimana:

15FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

3. Koordinat Bola

Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama,

namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik

pangkal yang berbeda.

Gambarkan vektor berikut dalam koordinat bola

A = 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di M(2,π/2,0)

B = 3ar + aθ + 2aφ berpangkal di N(2,π/2,π/2)

y

z

MN

B

3ar

aθ

2aφ

2aφ

3ar

aθ

A

x

16FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatSistem Koordinat

3. Koordinat Bola

Elemen panjang

raddrSd ˆsin2 φθθ=

rElemen luas

Elemen volume

φθ θθ adrardadrld rˆsinˆˆ ++=

r

φθθ dddrrdv sin2=

θφθ adrdrSd ˆsin=r

φθ ardrdSd ˆ=r

17FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat

1. Koordinat Cartesius ⇒ Koordinat Silinder

zz

zzyyxx

aAaAaAA

aAaAaAA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

⇓

++=

φφρρ

r

r

zz

x

y

yx

=

=

+=

−1

22

tanφ

ρ

zz

yx

yx

AA

AAA

AAA

=

+−=

+=

φφ

φφ

φ

ρ

cossin

sincos

( ) ( )zzyx ,,,, φρ⇒

18FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat

2. Koordinat Silinder ⇒ Koordinat Cartesius

zzyyxx

zz

aAaAaAA

aAaAaAA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

⇓

++=

r

r

φφρρ

zz

y

x

=

=

=

φρ

φρ

sin

cos

zz

y

x

AA

AAA

AAA

=

+=

−−=

φφ

φφ

φρ

φρ

cossin

sincos

( ) ( )zyxz ,,,, ⇒φρ

19FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat

3. Koordinat Cartesius ⇒ Koordinat Bola

φφθθ aAaAaAA

aAaAaAA

rr

zzyyxx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

⇓

++=

r

r

=

+=

++=

−

−

x

y

z

yx

zyxr

1

22

1

222

tan

tan

φ

θ

( ) ( )φθ ,,,, rzyx ⇒

φφ

θθφθφ

θθφθφ

ϕ

θ

cossin

sincossincoscos

cossinsinsincos

yx

zyx

zyxr

AAA

AAAA

AAAA

+−=

−+=

++=

20FEG2C3 Elektromagnetika I

Analisis Vektor dan Sistem KoordinatTransformasi Koordinat

4. Koordinat Bola ⇒ Koordinat Cartesius

zzyyxx

rr

aAaAaAA

aAaAaAA

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

⇓

++=

r

r

φφθθ( ) ( )zyxr ,,,, ⇒φθ

θ

φθ

φθ

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

=

=

=

θθ

φφθφθ

φφθφθ

θ

φθ

φθ

sincos

cossincossinsin

sincoscoscossin

AAA

AAAA

AAAA

rz

ry

rx

−=

++=

−+=