07_persamaan differensial biasa
Post on 22-Feb-2018
239 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
1/23
FI5080
Fisika Matematik
Persamaan Differensial Biasa
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
2/23
Persamaan Differensial
Fenomena fisis umumnya dinyatakan dalam bentuk
perubahan suatu besaran terhadap besaran lain (mis:
posisi terhadap waktu; posisi terhadap ruang; dlsb)
Persamaan yang menyatakan hubungan antaraperubahan suatu besaran dengan besaran lain
dinamakan persamaan differensial
Persamaan differensial biasasingle variable
Persamaan differensial parsialmulti variable
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
3/23
Solusi Persamaan Differensial
Yang dimaksud adalah bentuk persamaan
matematik yang memenuhi persamaan
differensial yang dimaksud
Contoh utk PDB
Solusinya
bentuk umumnya
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
4/23
Orde Persamaan Differensial
Mengindikasikan turunan tertinggi yang
muncul dalam persamaan differensial
Orde satu
Orde dua
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
5/23
Persamaan Differensial Linier
PD linier mempunyai bentuk:
Contoh yang tidak linier:
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
6/23
Penyelesaian PDB linier Orde 1
Cara yang umum digunakan:
Pemisahan persamaan
Persamaan Bernoulli
Persamaan Eksak
Persamaan Homogen
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
7/23
Pemisahan Persamaan
Kemudian kedua ruas diintegralkan
Diperoleh solusi umum PDB
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
8/23
Solusi PDB Orde 1
Bentuk umum PDB linier orde 1 adalah sbb.
Solusinya adalah
Secara umum P dan Q adalah
fungsi dari x
C adalah konstanta integrasi
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
9/23
Persamaan Bernoulli
PDB yang berbentuk disebut
persamaan Bernoulli. Meskipun bukan PDB
linier tapi dapat dibuat menjadi linier dengan
subsitusi variabel
Gunakan variabel baru
PDB tersebut menjadi berbentuk Persamaandifferensial linier
dalam z, dapat
diselesaikan dengan.
Diperoleh solusi dalam
bentuk z. Solusi y
diperoleh dengansubstitusi balik
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
10/23
Persamaan Eksak
Persamaan differensial yang berbentuk
disebut sebagai persamaan eksak jika
Dapat dinyatakan
Solusinya
Seringkali
persamaan non-
eksak dapat
diubah menjadipersamaan eksak
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
11/23
Persamaan Homogen
Fungsi homogen berderajat n adalah fungsi yang
dapat dituliskan dalam bentuk
Persamaan homogen adalah yang berbentuk
Dapat dituliskan menjadi
P dan Q fungsi
homogen yang
berderajat sama
n menyatakan derajat
fungsi homogen
Solusinya dapat diperoleh dengan mengubah variabel
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
12/23
PDB Linier Orde 2
Ruas kanan sama dengan nol
Ruas kanan tidak sama dengan nol
Fungsi polinom
Fungsi eksponensial
Fungsi harmonik
Fungsi gabungan
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
13/23
PDB Linier Orde 2 Ruas Kanan Nol
Bentuk:
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
14/23
PDB Linier Orde 2 Ruas Kanan Nol
Cari akar-akar karakteristik
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
15/23
PDB Linier Orde 2 Ruas Kanan Nol
Prinsip superposisi:
Superposisi dari dua buah solusi juga merupakan
solusi suatu persamaan differensial
PDB orde 2 jika akar-akar karakteristiknya
tunggal (b = a)
di mana
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
16/23
PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol
Dapat diselesaikan dengan succesive integration
namun seringkali tidak mudah dan prosesnya lama
(panjang)
Cara lain dengan mencari fungsi komplementer (yc)dan solusi partikular (yp)
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
17/23
PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol
Solusi umumnya dapat diperoleh dengan
Fungsi komplementer (yc) diperoleh dari solusiPDB tersebut jika ruas kanannya sama dengan
nol
Bentuk solusi partikular tergantung pada
bentuk fungsi yang di ruas kanan F(x)
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
18/23
PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol:
Eksponensial
Untuk bentuk fungsi eksponensial yang berbentuk
dengan K adalah konstanta
Solusi partikular yang dapat dicoba adalah berbentuk
Solusi partikular disubstitusi ke persamaandifferensial untuk memperoleh konstanta Cp, ingat
bahwa ini bukanlah konstanta umum PDB tersebut
axKexF )(
ax
pp eCy
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
19/23
PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol:
Fungsi Harmonik
Jika ruas kanan berbentuk fungsi harmonik
misalnya atau
Solusi partikular yang dapat dicoba adalah
eksponensial berbentuk
kemudian dipilih bagian real atau imajinernya
(disesuaikan dengan sinus atau cosinus)
xk sin xk cos
xike
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
20/23
PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol:
Perkalian Polinom dan Eksponensial
Misalnya
Solusi partikular yang dapat dicoba
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
21/23
PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol:
Gabungan
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
22/23
Transformasi Laplace
Salah satu bentuk transformasi integral
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk
mencari solusi persamaan differensial (dengan
syarat tertentu)
-
7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa
23/23
Transformasi Laplace
top related