Aljabar Turunan dan Aturan Rantai

D

i

s

u

s

u

n

OLEH : [

NAMA : HOMSA AHYUMI

NORMAL

MISSYAN

SEMESTER : V (LIMA)

PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

DOSEN : RAHMATIKA ELINDRA, M.Pd

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

(STKIP) TAPANULI SELATANPADANGSIDIMPUAN

2012

2.4 Aljabar Turunan dan Aturan Rantai

Contoh 2.4.2

Diketahui : fungs f (x,y ) = x2 + y2 dan g (x,y) = 1 + xy

Ditanya : turunan masing-masing fungsi

Jawab : df (a,b) =

dy (a, b) =

turunan fungsinya :

h ( x, y) = f (x, y) g (x, y)

= (x2 + y2) ( 1 + xy)

= x2 + x3y+ xy3 + y2=

= x3 y + xy3 + x2 + y2

Maka dapat dicari langsung :

Dh ( a, b) =

= [ 3x2 y+ y3+ 2x x3 + 3xy2 + 2y ] (a,b)

= [3a2b + b3 + 20 a3 +3ab2+ ab]

Teorema fungsi dua variable f, g mempunyai turunn di titik (a, b) kemudian

fungsi :

i. h = f t+ g juga mempunyai turunan dan

dn (a, b) = df (a,b) + dg (a,b) operasi jumlah matriks

ii. h = fg mempunyai turunan

dh (a, b) = f (a, b) dg (a,b) + g (a,b) df (a, b) operasi pada matriks

iii. jika g (a, b) ≠ 0, fungsi h mempunyai turunan dan

dh (a,b) = Operasi pada matriks

Dengan menggunakan II maka :

dh (a, b) = f (a,b ) da (a, b) + g (a, b) df (a, b)

= (a 2 + b2) [ b a] + (1 + ab) [ 2a 2b]

= [(a 2 + b2) b (1 + ab) 2a (a2 + b2) a + (1 + ab ) ab]

= a2 b + b3 + 2a + 2a + 2a2 b a3ab2 + 2b + 2ab2)

= 3a2 b + b3 + 2a. a3 + 3ab2 + 2b

Aturan Rantai

R

z = f(x,y)

G(t)

t = t0

Keterangan gambar 2.22:

Peta fungsi g (f) lengkungan yang berada di daerah definisi fungsi f, kemudian

dipetakan oleh f sehingga diperoleh fungsi satu variable f og.

Aturan rantai disini merupakan bentuk khusus aturan ranti yang akan

dipelajari pada Bab 3. yang artinya syarat berlakunya teorema ini memerlukan syarat

yang lebih banyak, yaitu syarat ketentuan fungsi turunannya.

Seperti pada Bab I fungsi bernilai vector g : I c R R2 yang nilai nya di t dapat

ditulis g (t) = ( x (t) , y (t)). Jika fungsi ini dikomposisikan dengan fungsi dua variable

akan diperoleh fungsi satu variable bernilai real. Aturan mencari fungsi ini seperti

pada teorema berikut :

g(t)

fungsi f Daerah Defenisi

2.4.2 Aturan Rantai khusus

Bukti :

Misalkan g (to) = a, b untuk menghitung turunan fungsi h di titik to kita hitung nilai :

=

Apabila jumlah perubahan nilai y hanya satu variable yang berubah maka ditulis

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata satu variable, maka :

Dengan 0 < Q1, Q2 < 1

Karena g mempunyai turunan maka

Misalkan g : I C R R2 fungsi satu variable yang mempunyai turunan di to

g V CR2 R fungsi dua variable yang mempunyai turunan parsial kontinu di

g (to) = (a, b) kemudian fungsi :

h = f o g : [ C R R]

mempunyai turunan di to dan

h’ = f’ [ g (to) ] g’ (to)

= df (a, b) (g’ (to)

=

Dengan

G’ (to) =

2.23 adalah perkalian matriks

= = g’ (to)

Untuk t po maka x – po dan y – po dengan menggunakan kekontiniuan

turunan parsial fungsi f maka :

Contoh 2.4.4

Dik : Fungsai z = f (x,y) = x3 + xy 2

Ditanya : carilah di t = 0 jika (x, y) pada lingkaran berjari-jari satu atau

x = cos t dan y sin t

Jawab : untuk t = 0 maka (x, y) = (cos O, sin o) = (1,0), maka bersarkan

aturan rantai diperoleh :

=

= ( 3x 2 +y2) |(0, 1) (- sin t) | t =0 + (2xy) |(1, 0)

(cos t ) | t = 0 = 3. 0 + 0

Atau dengan cara lain yaitu :

h (t) = f [g (t)] = cos3 t + cos t sin2 t.

sehingga turunan h adalah

h’ (t) = 3 cos2 t (-sin t) – sin t sin 2t + 2 cos t sin t cos t

untuk t = 0, maka nilai turunannya h’ (0) = 0

Nama : HOMSA AHYUMI

NPM : 10090015

Mengembangkan Kemampuan Mahasiswa dalam Memvalidasi Bukti

pada Aljabar Abstrak melalui Pembelajaran

Berdasarkan Teori APOS

Abstrak

Disain eksperimen dalam penelitian ini meliputi tes awal dan tes akhir yang

menggunakan kelas kontrol. Kelompok eksperimen diberi perlakuan berupa

pembelajaran berdasarkan teori APOS. Kelompok kontrol tidak diberi perlakuan

khusus, pembelajarannya secara konvensional. Tujuan utama penelitian ini adalah

untuk melihat kontribusi pembelajaran berdasarkan teori APOS dalam

mengembangkan kemampuan mahasiswa dalam memvalidasi bukti pada Aljabar

Abstrak. Subjek sampel dalam eksperimen ini meliputi 180 mahasiswa yang berasal

dari jurusan Matematika UNAND dan jurusan Pendidikan Matematika UNP.

Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan Tes Validasi Bukti. Berdasarkan

hasil analisis data, hasil utama dari penelitian ini adalah: mahasiswa yang

memperoleh pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS mempunyai

kemampuan memvalidasi bukti lebih baik secara signifikan jika dibandingkan dengan

mahasiswa yang memperoleh pembelajaran secara konvensional.

Kata kunci: Teori APOS, Aljabar abstrak, Kemampuan memvalidasi bukti

Sumber :

http://jms.fmipa.itb.ac.id/index.php/jms/article/viewFile/238/248

Abstract

This is an experimental study using control group pretest posttest design. The

experiment group is treated using APOS theory instructional. The control group is

treated using conventional/traditional mathematics instruction (TRAD). The main

purpose of the study is to analyze the contribution of APOS in developing student

ability to validate proof in Abstract Algebra. This experiment involves 180 students as

research subjects from two different universities that is department of mathematics

UNAND and department of mathematics educations UNP. The data was gathered by

proof validated test. Based on the result of data analysis, the main result of this study

is: ability in proof validating of students in APOS group is significantly better than the

students in TRAD group.

Keywords: APOS theory, Abstract algebra, Proof validating ability

Sumber :

http://jms.fmipa.itb.ac.id/index.php/jms/article/viewFile/238/248