aljabar linear elementer ma1223 3 sks silabus : bab i matriks dan operasinya
DESCRIPTION
Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 2
Beberapa Aplikasi Ruang Eigen Uji Kestabilan dalam sistem dinamik Optimasi dengan SVD pada pengolahan Citra Sistem Transmisi dan lain-lain.
Definisi :
Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi :
maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A
v
vvA
v
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 3
Contoh :
2
1
34
21
Vektor eigen
Nilai eigen
2
15
5
10
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 4
Perhatikan !!!
Ingat…. merupakan vektor tak nol
Ini Berarti
vvA 0 vvA
0 vIvA
0 vIA
v
0det IA
Persamaan Karakteristik
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh : Tentukan nilai eigen dari matriks
Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0
0 0 1-
2 1 0
2- 0 1
A
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1-
2 1 0
2- 0 1
0
- 0 1-
2 -1 0
2- 0 -1
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 6
• Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2 (1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0(1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0(1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0
Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :λ = −1, λ = 1, dan λ = 2.
Contoh :Tentukan basis ruang eigen dari :
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 7
Jawab :Nilai eigen dari A diperoleh saat
(λ – 2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0 (λ – 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0 (λ – 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0 (λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0 (λ – 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0 (λ – 1)2( λ – 4) = 0
0det IA
0
2- 1- 1-
1- 2- 1-
1- 1- 2-
01- 1-
2- 1-
2- 1-
1- 1-
2- 1-
1- 2-2
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 8
Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4.• Untuk λ = 1
Dengan OBE diperoleh
maka
0
0
0
z
y
1- 1- 1-
1- 1- 1-
1- 1- 1- x
0
0
0
000
000
111
t
s
ts
z
y
x
ts
1
0
1
0
1
1
dimana s, t adalah parameter
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 9
Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah
1
0
1
,
0
1
1
Ingat bahwa…
Vektor eigen merupakan kelipatan dari unsur basis tersebut
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 10
• Untuk λ = 4
Dengan OBE diperoleh
maka
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah
0
0
0
2 1- 1-
1- 2 1-
1- 1- 2
z
y
x
s
z
y
x
1
1
1
0
0
0
000
110
101
1
1
1
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 11
Diagonalisasi
Definisi : Suatu matriks kuadrat Anxn dikatakan
dapat didiagonalkan (diagonalizable)
jika terdapat matriks P yang mempunyai invers
sehingga P–1AP merupakan matriks diagonal.
Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan
(pendiagonal) dari A.
Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-
vektor eigen dari A.
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 12
Contoh :Tentukan matriks yang mendiagonalkan
110
110
001
A
0. AI
0
110
110
001
00
00
00
det
Jawab : Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :
atau
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 13
0
110
110
001
det
131312121111.det cacacaAI
002 1
2 1
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :Pilih Baris I
Sehingga diperoleh nilai eigen
2 ; 1 ; 0
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 14
0
~. AI
110
110
001
110
110
001
~
000
110
001
~
Untuk
Dengan OBE maka
0
t
x
x
x
1
1
0
3
2
1
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
1
1
0
1P
adalah
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 15
1
~. AI
010
100
000
010
100
000
~
000
100
010
~
Untuk
Dengan OBE maka
1
t
x
x
x
0
0
1
3
2
1
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
0
0
1
2P
adalah
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 16
Untuk
Dengan OBE maka
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
, dimana t adalah parameter tak nol
adalah
2
110
110
001
~. AI
000
110
001
~
t
x
x
x
1
1
0
3
2
1
1
1
0
3P
2
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 17
0332211 PkPkPk
0
0
0
101
101
010
3
2
1
k
k
k
101
010
101
~
101
101
010
200
010
101
~
100
010
101
~
100
010
001
~
321 ,, PPP
Perhatikan
Jadi
merupakan himpunan yang bebas linear
Dengan OBE
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 18
Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :
Matriks diagonal yang dihasilkan adalah :
Hal yang perlu diperhatikan, matriks
Juga mendiagonalkan A.
Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah :
101
101
010
P
200
010
0001APPD
110
110
001
P
200
000
0011APPD
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 19
Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika B–1 = Bt
Pernyataan berikut adalah ekivalen :• Bnxn adalah matriks ortogonal.• Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunan
ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.• Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunan
ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.
xPx , untuk setiap x di Rn
Misalkan P merupakan matriks ortogonal maka berlaku :
• P t P = I
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 20
Contoh :
2
1
2
12
1
2
1
A
2
1
2
1
2
1
2
1
0
010
0
B
Berikut adalah contoh matriks ortogonal :
Terlihat bahwa setiap vektor baris/kolommerupakan vektor satuanDan hasilkali dalam antar vektor tersebut adalah nol
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 21
22xt IAA
33xt IBB
6
8
21
21
21
21
2
22
14
2
4
2
196
100
6
8
Perhatikan bahwa :
dan
Sementara itu,
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 22
Definisi : Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sedemikian hingga
P–1AP (=PtAP) merupakan matriks diagonal.
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 23
Perhatikan bahwa :
D = P–1AP atau A =PDP–1
Misalkan P merupakan matriks ortogonal, maka
A = PDPt Sehingga diperoleh hubungan
At = (PDPt)t
= (Pt )t DPt
= PDPt = A
A dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika A matriks simetri
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 24
Misal Anxn, cara menentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A :
• Tentukan nilai eigen• Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen
yang diperoleh• Rubah setiap basis pada (b) menjadi basis ruang
eigen yang ortonormal. • Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya
berupa basis ruang eigen yang ortonormal.
Contoh :Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks
110
110
001
A
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 25
Jawab :Basis ruang eigen :
• Untuk adalah
• Untuk adalah
• Untuk adalah
0
1
2
1
1
0
0
0
1
1
1
0
21
21
0
0
0
1
21
21
0
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 26
Sehingga matriks ortogonal yang mendiagonalkan A adalah :
21
21
21
21
0
0
010
P
21
21
0
0
0
1
21
21
0
Dengan demikian, secara berurutan basis ruang eigen yang ortonormal matriks tersebut
,
,
dan
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 27
Ingat Kembali Pers. Diferensial
Jika sekumpulan PD orde 1 ditulis :
Dengan mudah solusi sistem PD tersebut adalah :
)()(
tyadt
tdy atcety )(
)()(
)(3)(
)(2)(
33
22
11
trdt
tdr
trdt
tdr
trdt
tdr
3
2
1
3
2
1
100
030
002
'
'
'
r
r
r
r
r
r
t
t
t
e
e
e
r
r
r
3
2 3
2
3
2
1
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 28
Masalahnya, sistem persamaan diferensial tidak selalu memberikan matriks koefisien yang berbentuk matriks diagonal.
Bentuk Umum SPD orde 1 :
Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde 1 linear :• Menentukan matriks P yang mendiagonalkan A.• Tulis SPD dummy dalam bentuk
dimana • Tentukan solusi SPD dummy • Solusi SPD adalah
nnnnn
n
n
n x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
2
1
21
22221
11211
2
1
'
'
'
DUU 'APPD 1
DUU 'PUX
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 29
Contoh 6 :Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial
Jawab :Tulis SPD dalam bentuk :
Dengan PK
Nilai eigen dari matriks koefisien,
2
1
2
1
11
24
'
'
x
x
x
x
212
211 24
xxdt
dx
xxdt
dx
011
24
= 2 dan = 3
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 30
• BRE yang bersesuaian dengan = 3 • BRE yang bersesuaian dengan = 2
Sehingga diperoleh
Karena
maka SPD dummy berbentuk :
Solusi SPD dummy adalah
dan
1
2
1
1
11
12P
20
031APPD
2
1
2
1
20
03
'
'
u
u
u
u
tecu 311
tecu 222
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 31
Solusi dari SPD
atau
PUX
t
t
ec
ec
x
x2
2
31
2
1
11
12
tt ececx 22
311 2
tt ececx 22
312
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 32
)(2 tqtpdt
dp
)(2 tqtpdt
dq
10 p 30 q
Contoh 8.9 :Tentukan solusi dari masalah nilai awal
dengan kondisi awal
dan .
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 33
21
12A
0 AI.det
21
120
1220
1440 2
340 2
310
3 ; 1diperoleh
Jawab : Kita punya
Maka Persamaan Karakteristiknya adalah
Akhirnya diperoleh
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 34
1
00
11~
11
11~. AI
tx
xx
xx
2
21
21 0
1
tx
x
1
1
2
1
1
1
11P
Untuk
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah vektor tak nol yang berbentuk
, dimana t merupakan parameter.
adalah
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 35
3
00
11~
11
11~. AI
tx
xx
xx
2
21
21 0
3
tx
x
1
1
2
1
3
1
12P
Untuk
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
adalah vektor tak nol yang berbentuk
Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan
adalah
, dimana t merupakan parameter
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 36
t
t
e
eU3
PUX
t
t
ec
ec
q
p3
2
1
11
11
tt ececp 321
tt ececq 321
Sehingga Solusi Umum SPD U’ = D U adalah
Dengan demikian solusi SPD kita adalah :
atau
sehingga
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 37
0t
21
21
3
1
CC
CC
2 ; 1 21 CC
tt eetp 32)(
tt eetq 32)(
Untuk
Dengan Eliminasi didapat
Jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah
10 p 30 qdan sehingga
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 38
Latihan Bab 8
1. Tentukan basis ruang eigen dari
2. Diketahui :
Apakah B matriks dapat didiagonalkan, jelaskan3. Suatu Matriks A2x2 memiliki basis ruang eigen :
• λ = – 3
• λ = 1
Tentukan matriks A !
144
010
023
B
301
020
301
A
3
1
2
1
20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 39
4. Tentukan solusi dari masalah nilai awal :
dengan kondisi awal dan
)(2)(
)()(2
tqtpdt
dq
tqtpdt
dp
1)0( p 3)0( q