aljabar linear elementer ma1223 3 sks silabus : bab i matriks dan operasinya
DESCRIPTION
Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 2
Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
Sub Pokok Bahasan– Definisi RHD– Himpunan Ortonormal– Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD : bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,
seperti metode least square dalam peminimuman BER dalam berbagai bidang rekayasa.
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 3
DefinisiMisalnya V adalah suatu ruang vektor, dan maka notasi < , > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut:
1. (Simetris)
2. (Aditivitas)
3. untuk suatu kR,
(Sifat Homogenitas)
4. , untuk setiap
dan
Vvu ,
vu , uv ,
wvu , wvwu ,,
vuk , vku , vuk ,
0, uu
0, uu 0 u
u
(Sifat Positifitas)
Ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasilkali
dalam dinamakan Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 4
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor dinyatakan oleh :
Contoh 1 : Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn )Misalkan , Rn maka
= (u12 + u22 + …..+un2)½
0, 21 uuu
u
nnvuvuvuvu ..., 2211u v
0, 21 uuu
Sudut antara dua vektor dalam suatu RHD :
vu
vu
,cos
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh 2 :
Misalnya W R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali , dimana Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam
Jawab :
Misalkan 2u1v1 + u2v2 + 3u3v3
= 2 v1u1 + v2u2+ 3v3u3
(terbukti simetris)
332211 32, vuvuvuvu
Wvu ,
Wwvu ,,
vu ,
uv ,
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 6
<(u1+v1, u2+v2, u3+v3), (w1, w2, w3)>
= 2(u1+ v1)w1 + (u2+v2)w2 + 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2 +v2w2+3u3w3+3v3w3
= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
(bersifat aditivitas)
(iii) untuk suatu kR, <(ku1, ku2, ku3), (v1, v2, v3)>
= 2ku1v1 + ku2v2 + 3ku3v3
= k2u1v1 + ku2v2 + k.3u3v3
(bersifat
homogenitas)
wvu ,)ii(
wvwu ,,
vuk ,
vku , vuk ,
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 7
Jelas bahwadan
Contoh :Tunjukan bahwa
bukan merupakan hasil kali dalamJawab :
Perhatikan
Pada saat 3u32 > u1
2 + 2u22
maka
23
22
21 32,)iv( uuuuu
uuu setiapuntuk 0, 21
0jika hanya0, uuu
332211 32, vuvuvuvu
23
22
21 32, uuuuu
0, uu
Tidak memenuhi
Sifat positivitas
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 8
Himpunan Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut adalah ortogonal (saling tegak lurus).
Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang setiap vektornya memiliki panjang (normnya) satu.
Misalkan, pada suatuRHDT dikatakan himpunan vektor ortogonal jika
untuk setiap i ≠ j Sedangkan, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku
ncccT ,...,, 21
0, ji cc
1ic
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 9
Contoh : 1.
Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
2.
Pada RHD Euclides, B merupakan himpunan ortonormal.
0
1-
0
1
,
A
1-
0
0
1
,
B
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 10
Misalkan
adalah basis ortonormal untuk RHD V Jika adalah sembarang vektor pada V, maka
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :
Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
nvvvS ,...,, 21
u
nnvkvkvku ...2211
inni vvkvkvkvu ,..., 2211
inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211
ivv ii setiapuntuk 1, jivv ji setiapuntuk 0, dan
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 11
Sehingga, untuk setiap i berlaku
ii kvu ,
nn vvuvvuvvuu ,...,, 2211
nnvkvkvku ...2211Kombinasi linear
Ditulis menjadi
Contoh :Diketahui
2
1a pada RHD Euclides
berupa bidang yang dibangun
21
21
u
21
21
vdan
Nyatakan vua dandarilinearkombinasisebagai
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 12
Jawab :
vvauuaa ,,
vua
21
21
21
21
,2
1,
2
1
2
1
vua 21
23
Ingat …..{u , v} merupakanBasis ortonormal
vkuka 21
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 13
Proses Gramm-Schmidt
ncccS ,, 21
nwwwB ,...,, 21
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
1
11.1
c
cw
Langkah yang dilakukan
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 14
2. Langkah kedua
2c
1w 1p
1q
2w
2w2c
1121
11221 ,
,1
wwcw
wwccproyp w
121 pcq
2122
11222
,,
,
wwcc
wwccw
Vektor satuan searah 1q
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 15
3. Langkah ketiga 3w3c
W
3c
1w 2w
2p
2q
3w
22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq
2231133
22311333 ,,
,,
wwcwwcc
wwcwwccw
Vektor satuan
Yang tegak lurusBidang W
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 16
Contoh :Diketahui :
B merupakan basis pada RHD Euclides di R3.Transformasikan basis tersebut menjadi basis Ortonormal
Jawab :Langkah 1.
1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
321 uuuB
1
11 u
uv
3
1,1,1
3
13
13
1
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 17
Langkah 2
22
222
1
1
uproyu
uproyuv
v
v
3
1,
3
1,
3
2
3
1,
3
1,
3
1
3
21,1,0
, 112222 1vvuuuproyu v
36
91
91
94
22 1 uproyu v
6
16
16
2
2v
Sementara itu,
Karena itu,
sehingga :
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 18
Langkah 3
Sementara itu,
sehingga :
33
333
uproyu
uproyuv
W
W
2
1,
2
1,0
6
1,
6
1,
6
2
6
1
3
1,
3
1,
3
1
3
11,0,0
,, 223113333 vvuvvuuuproyuW
21
21
3
0
v
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 19
Jadi,
321 ,, vvv
merupakan basis ortonormal untuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides
21
21
616
16
2
313
13
1 0
,,=
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 20
Contoh :
1
1
0
,
1
0
1
1
1
1
u
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang dari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 21
Jawab :
1
1
0
,
1
0
1
21 vv
Diketahui
Selain membangun subruang pada RHD
Karena
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
himpunan tsb juga saling bebas linear (terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).
21 , vv
Langkah awal :Basis tersebut basis ortonormal.
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 22
2
1 , 0 ,
2
1
2
1 , 0 , 1
101
1 , 0 , 1
222
1
11 v
vw
2
12
100
2
1 ,0 ,
2
1 1 , 1 , 0, 12
wvPerhatikan bahwa :
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 23
2
1 , 0 ,
2
1
2
1 , 0 ,
2
1
2
1 , 112 wwv
2
1 , 1 ,
2
1
2
1 , 0 ,
2
11 , 1 , 0 , 1122 wwvv
62
14
6
4
11
4
1
2
11
2
1 ,
22
2
1122
wwvv
Sehingga:
Akibatnya :
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 24
Akhirnya, diperoleh
6
1 ,
6
2 ,
6
1
62
12
1 , 1 ,
2
1
,
,
1122
11222
wwvv
wwvvw
6
16
2 6
1
,
2
102
1
Jadi Basis Orthonormal bagi bidang tsb
=
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 25
1
1
1
u
uoy WPr 2211 , , wwuwwu
2
2
22
1 0
2
1
2
1 , 0 ,
2
1 1 , 1 , 1, 1
wu
Proyeksi Orthogonal Vektor
pada bidang tersebut adalah
Perhatikan bahwa :
6
2
6
1
6
2
6
1
6
1 ,
6
2 ,
6
1 1 , 1 , 1, 2
wu
dan
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 26
uoy WPr2211 , , wwuwwu
3
13
2
3
1
1
0
1
3
43
2
3
2
Dengan demikian,
=
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 27
Latihan
vu ,
vu ,
vu ,
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan
= u12v1 + u2v2
2 di R2
= u1v1 + 2u2v2 – u3v3 di R3
= u1v3 + u2v2 + u3v1 di R3
a.
b.
c.
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal dalam ruang Euclides !
20/04/23 20:07 MA-1223 Aljabar Linear 28
0
1
1
1
0
1
2
1
1
3. W merupakan subruang RHD euclides di 3
yang dibangun oleh vektor
dan
Tentukan proyeksi orthogonal vektor
pada W