Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 1 BAB IRUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R2 dan R3 beserta semua konsep yang terkait.Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk perumuman dari Rn, yaitu yang kita sebut sebagai ruang vektor.Pada kuliah ini kita hanya membicarakan ruang vektor dengan skalar bilangan real. RuangVektorDefinisi 1.1: Misalkan V suatu himpunan tak kosong dan R menyatakan himpunan skalar real.V dikatakan ruang vektor atas R jika terdapat operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian dengan skalar real sehingga untuk semua x, y, z e Iuan o, [ e R memenuhi: 1.x + y e I, (Kctcrtutupon tcrboJop pcn]umlobon) 2.x + y = y + x, (Komutoti)3.(x + y) + z = x + (y + z) (Asosioti) 4.Teiuapat u e I sehinggax + u = x (Eksistcnsi unsur iJcntitos Ji I) 5.Teiuapat- x e I sehinggax + (-x) = u(Eksistcnsi unsur bolikon Ji I) 6.ox e I, (Kctcrtutupon tcrboJop pcrkolion skolor) 7.o(x + y) = ox + oy,8.(o + [)x = ox + [x 9.(o[)x = o([x) 10.1x = x Mari kita lihat beberapa contoh ruang vektor berikut. Contoh 1.2: MisalkanI = R2.Definisikan: jx1y1[ + jx2y2[ = jx1 + x2y1 + y2[(1) k jx1y1[ = _kx1ky1_ (2) Dapat diperiksa bahwa terhadap operasi (1) dan (2), Vmerupakan ruang vektor.Dalam hal ini unsurnol di I adalah u = juu[.Secara umum terhadap operasi yang serupa,Rn membentuk ruang vektor. Contoh 1.3: MisalkanP2(x) = {o0 + o1x + o2x2 |o0, o1, o2 e R], yaitu himpunan semua polinom dengan derajat paling tinggi 2.Definisikan, Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 2 (o0 + o1x + o2x2) + (b0 + b1x + b2x2) = (o0 + b0) + (o1 + b1)x + (o2+b2)x2 k(o0 + o1x + o2x2) = ko0 + ko1x + ko2x2 Terhadap kedua operasi ini, P2(x) juga membentuk ruang vektor.Elemen nol di P2(x) adalah polinom konstan 0. Contoh 1.4: Himpunan semua matriks berukuran mxn, dinotasikan Mmxn merupakan ruang vektor terhadap operasi penjumlahan matriks biasa serta perkalian dengan skalar. Selanjutnya kita akan mengidentifikasi subhimpunan di V yang mempunyai struktur yang sama dengan V sebagai ruang vektor. SubruangVektorDefinisi: (Subruang) Misalkan V suatu ruang vektor dan W subhimpunan tak kosong dari V.W dikatakan subruang dari V jika W merupakan ruang vektor terhadap operasi yang sama. Bagaimana kita dapat memastikan bahwa suatu himpunan itu suatu subruang? Jawaban dari masalah ini adalah kriteria berikut. Teorema: (Subruang) Misalkan W subhimpunan tak kosong dari ruang vektor V.W merupakan subruang dari V jika memenuhi kedua sifat berikut:1.x + y e w,untuk semua x, y e w 2.ox e w,untuk semua o e R, x e w Contoh: Misalkan w = {(x, u)|x e R].Akan ditunjukkan bahwa W adalah subruang dari R2. Ambil u = (u1, u), : = (:1, u) e w, k e R.Perhatikan bahwa u + : = (u1, u) + (:1, u) = (u1 + :1, u) e w ku = (ku1, u) e w Dengan demikian W suatu subruang di R2. Contoh: K = {(x, u)|x u] K bukan subruang dariR2 karena terdapat x = (1,u) e K,uan- 1 e R sehingga (-1)x = (-1,u)K. Soal-Soal: Periksa apakah himpunan-himpunan berikut merupakan subruang. 1.K = {(x, y, z)|x = 2y, z = -y] Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage S 2.K = {(x, y, z)|x - 2y + Sz = u] 3.K = {(x, y, z)|x = 2y - 1] 4.A = ]jo bJ c[ : o + b + c = J 5.K = {o0 + o1x + o2x2 |o0 = o1] 6.{o0 + o1x + o2x2 | o0 = u] 7.Buktikan bahwa himpunan solusi SPL homogen Ax = u membentuk subruang. 8.Periksa apakah himpunan semua matriks simetri di M2x2 merupakan subruang. 9.Misalkan I = {: |u,1] - R | kontinu].Periksa bahwa I suatu subruang dari ruang fungsi. 10. Kita melihat bahwa di ruang vector kita dapat menjumlahkan dua vectoruntuk mendapatkan vector baru.Sebagaimana kita juga dapat mengalikan dulu masing-masing dengan suatu scalar.Operasi-operasi ini dapat kita lakukan terhadap sebanyak hingga vector sehingga menghasilkan vector baru.Selanjutnya, kita mempunyai definisi berikut. HimpunanPerentang(SpanningSet)Definisi: Misalkan V suatu ruang vektor dan:1, :2, , :n e I. Himpunan {:1, :2, , :n] dikatakan merentang V jika setiap vektor di V merupakan kombinasi linier dari:1, :2, , :n. Dalam hal ini kita menuliskan Spon {:1, :2, , :n] = I. Contoh: Periksa apakah himpunan I = {(1,2), (1,S)] merentang R2.Untuk itu kita ambil vektor sebarang (a,b) di R2.Selanjutnya tuliskan persamaanr(1,2) + s(1,S) = (o, b). Dengan mudah kita dapatkan solusi persamaan ini adalah s = b - 2o, r = So - b.Ini artinya setiap vektor di R2 merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor di L.Jadi himpunan L merentang R2. KebebaslinearanMisalkansubruang Kmempunyai perentang {:1, :2, , :n].Satu masalah yang muncul adalah apakah kita dapat mereduksi himpunan ini dengan membuang sebagian vector tetapi sifat merentang masih dipertahankan.Untuk menjawab masalah ini kita mempunyai criteria berikut. Definisi: (Bebas linier) Misalkan V suatu ruang vektor dan:1, :2, , :n e I.Himpunan {:1, :2, , :n] dikatakan bebas linier jika persamaank1:1 + k2:2 + +kn:n = u(S) hanya dapat dipenuhi olehk1 = k2 = = kn = u Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 4 BasisdanDimensiDefinisi: (Basis dan Dimensi)Misalkan V suatu ruang vektor dan:1, :2, , :n e I. Himpunan B = {:1, :2, , :n] dikatakan sebagai basis bagiVjika B merentang V dan bebas linier.Dalam hal ini jika B merupakan basis bagi V maka dikatakan V berdimensi n(uim(I) = n). Contoh:Dengan mudah kita dapat memeriksa bahwa B = {(1,u), (u,1)] bebas linier serta merentang R2.Jadi B merupakan suatu basis untuk R2 dan dim(R2) = 2.B ini yang kita sebutbasis baku bagi R2. Basis suatu ruang vektor tidaklah tunggal.Selain basis baku di atas dengan mudah kita dapat memeriksa bahwa K = {(1,1), (1, -1)] juga basis untuk R2 .Secara umum jika o, [ keduanya tidak nol maka {o(1,1), [(1, -1)] juga merupakan basis bagi R2.Kita mempunyai sifat bahwa kardinalitas setiap basis dari suatu ruang vector adalah sama, sebagaimana dinyatakan dalam teorema berikut. KoordinatdanMatriksTransisiMisalkan V suatu ruang vektor dengan basis B = {:1, :2, , :n] dan : e I.Koordinat vektor v terhadap basis B adalah|:]B = _k1.kn_ dimana k1:1 + k2:2 + +kn:n = :. Contoh: Tentukan koordinat vektor : = _1uS_ terhadap basis B = __1uu_ , _12u_ , _1-12__. Solusi: Koorinat v terhadap B adalah vektor |:]B = _k1k2k3_ yang memenuhik1_1uu_ + k2_12u_ + k3_1-12_ = _1uS_ Dengan mudah kita melihat bahwa solusi persamaan ini adalah k3 =32, k2 =34, k1 =-94 , sehingga kita peroleh|:]B =lllll-943432 11111 Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage S Peihatikan, bahwa uiutan vektoi ui basis sangat menentukan kooiuinat.}ikaBi = __12u_ , _1-12_ , _1uu__ maka koordinat v terhadap B adalah|:]B =lllll 3432-94 11111 Teorema: Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal. Contoh: Tentukan koordinatp(x) = x teihauap basis{-1, 2 - x, -1 + x + x2] Kita melihat bahwa koordinat vector terhadap suatu basis adalah sesuatu yang unik yang dapat kita anggap sebagai identitas penting dari vector tersebut.Jadi kita dapat mengidentifikasi suatu vector melalui koordinatnya.Lebih jauh lagi, kita mempunyai teorema yang menguatkan hal ini. Teorema: Misalkan V ruang vektor dengan basis B = {:1, :2, , :n].Maka terdapat korespondensi satu-satu antara V dengan Rn. Teorema ini merupakan akibat langsung dari ketunggalan koordinat suatu vektor. MatriksTransisiSekarang pandang dua basis berbeda B = {:1, :2, , :n] dan B' = {u1, u2, , un] untuk ruang vektor V.Matriks transisi dari B ke B adalahP = | |:1]Bi |:n]Bi ]dan memenuhi hubungan |:]Bi = P|:]B Matriks P di atas adalah suatu matriks non-singulir.Lebih lanjut P-1merupakan matriks transisi dari B ke B. Contoh:Pandang dua basis B = {(1,u,u), (u,1,u), (u,u,1)] dan B' = {(1,u,u), (1,1,u), (1,1,1)] untuk ruang vektor R3. Dapat diperiksa bahwa matriks transisi dari B ke B adalahP = _1 -1 1 -1 1_ Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 6 Kita dapat menggunakan matriks P ini untuk mencari koordinat suatu vector terhadap B.Karena koordinat vector : = (1,2,S) terhadap B adalah |:]B = _12S_ maka koordinat : terhadap B adalah|:]Bi = P|:]B = _1 -1 1 -1 1_ _12S_ = _-1-1S_ Sebagai pengujian kita periksa bahwa -1(1,u,u) - 1(1,1,u) + S(1,1,1) = (1,2,S). Soal: Tentukan matriks transisi dariB = {-1, 2 - x, -1 + x + x2] ke B' = {S + x - x2, 2 - x, -2] RuangBarisdanRuangKolomSetiap ruang vektor V senantiasa mempunyai basis, yaitu subhimpunan yang merentang V serta bebas linier.Selanjutnya, jika kita mempunyai subhimpun B yang merentang subruang W, bagaimana kita dapat mereduksi B menjadi basis untuk W.Konsepnya sederhana, yaitu dengan cara membuang sebagian vektor sehingga vektor-vektor yang tersisa bebas linier.Salah satu tujuan pembahasan bab ini adalah menjawab permasalahan tadi.Kita memulai dengan definisi berikut. Definisi: Misalkan V suatu ruang vektor dan B = {:1, :2, , :s] L I.Himpunan yang dibangun oleh B adalah Spon(B) = {k:s1| k e R]. Telah dibuktikan bahwa Spon(B) merupakan subruang dari V.Oleh karena itu Spon(B) mempunyai basis dan dimensi.Terkait dengan hal ini kita mempunyai teorema berikut. Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 7 BAB 2RUANG HASIL KALI DALAM Pada bab sebelumnya kita telah melihat ruang vektor R2 dan R3 yang dilengkapi dengan perkalin titik.Dengan mengacu pada perkalin titik ini kita juga telah melihat definisi panjang vektor, sudut serta ortogonalitas antara dua vektor dan juga proyeksi satu vektor pada vektor lain.Pada bab ini kita akan melihat bentuk perumuman dari perkalian titik, sudut, ortogonalitas dan juga proyeksi. HasilKaliDalamDefinisi: Misalkan V suatu ruang vektor atas R.Suatu fungsi (. , . ): I I - R disebut hasil kali dalam di V jika memenuhi sifat-sifat: 1.(x, x) uuan(x, x) = u x = u 2.(x, y) = (y, x) 3.k(x, y) = (kx, y) 4.(x + y, z) = (x, z) + (y, z) Pasangan (I, (. , . )) kita sebut ruang hasil kali dalam. Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 8 BAB 3 TRANSFORMASI LINIER Kita telah melihat struktur ruang vektor dengan segala sifat-sifat yang dimilikinya.Pada bab ini kita akan mendiskusikan suatu fungsi di suatu ruang vektor.Persisnya, fungsi yang akan kita kaji adalah apa disebut sebagai transformasi linier. Definisi 3.1: (Transformasi Linier) Misalkan V dan W masing-masing adalah ruang vektor berdimensi hingga.Suatu fungsi : I - w disebut transformasi linier jika memenuhi sifat-sifat: 1.(x + y) = (x) + (y),untuk semua x, y e I 2.o(x) = (ox),untuk semua x e I uan o e R MatriksRepresentasi(Transformasi)Misalkan V , W masing-masing adalah ruang vektor dengan basis masing-masing adalah B = {:1, :2, , :n],B' = {:1, :2, , :m] dan : I - w suatu transformasi linier.Matriks transformasi f adalah|]BBi = ||(:1)]Bi |(:n)]Bi] yaitu suatu matriks berukuran mxn dengan kolom ke-i berupa koordinat (:) terhadap B.Lebih lanjut matriks ini memenuhi hubungan |(:)]B| = |]BBi |:]B Jika : I - I suatu transformasi linier dan V ruang vektor berdimensi hingga dengan basis B maka matriks representasi f sering dinotasikan dengan |]B.Jika B basis lain untuk V maka kita mempunyai hubungan|]Bi = P-1|]BP Dengan B menyatakan matriks transisi dari B ke B. Contoh:Sebagaimana kita ketahui basis ruang vektor itu tidak tunggal.Di sini muncul pertanyaan bagaimana kaitan antara matriks representasi dari basis-basis yang berbeda. KeserupaanDefinisi: (Keserupaan) Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 9 Misalkan A dan B masing-masing adalah matriks kuadrat.Jika terdapat matriks non-singulir P yang memenuhi B = P-1A P Maka dikatakan A serupa dengan B. Berdasarkan definisi ini dua buah matriks transformasi |]Bdan |]Biadalah serupa. Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 1u BAB 4 DIAGONALISASI NilaidanVektorEigenDefinisi 4.1: (Nilai dan vektor eigen) Misalkan M suatu matriks berukuran nxn. Vektor tak nolx e Rn disebut vektor eigen dari M jika memenuhi Hx = kx,untuk suatu k e R Dalam hal ini, k disebut nilai eigen yang bersesuaian dengan x. Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 11 DiagonalisasiOrtogonalDefinisi 4.11: Suatu matriks M dikatakan matriks orthogonal jika memenuhi hubungan H-1 = Ht. Contoh 4.12: Perhatikan matriks-matriks A =lllll 1212uu u 112-12u11111, At =lllll 12u1212u -12u 1 u11111 Dapat diperiksa bahwa AAt = AtA = I.Jadi A suatu matriks orthogonal. Berikut ini kriteria utama dari matriks orthogonal. Teorema 4.13:Jika A suatu matriks real nxn maka pernyataan berikut ekuivalen: 1.A suatu matriks orthogonal 2.Vektor-vektor baris matriks A membentuk himpunan ortonormal terhadap perkalian titik 3.Vektor-vektor kolom matriks A membentuk himpunan ortonormal terhadap perkalian titik Sekarang kita melangkah pada inti bagian ini. Definisi 4.14: Suatu matriks M dapat didiagonalkan secara orthogonal jika M mempunyai matriks pendiagonal P yang bersifat orthogonal. Selanjutnya, misalkan M dapat didiagonalkan secara orthogonal dengan matriks pendiagonal P yang orthogonal.Dengan demikian kita mempunyai hubungan P-1HP = H = PP-1 Ht = PP-1, karena P bersifat orthogonal.Dengan demikian M suatu matriks simetri.Hasil ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 4.15: Jika M adalah matriks berukuran nxn, maka pernyataan berikut ekuivalen: 1.M dapat didiagonalkan secara orthogonal 2.M mempunyai himpunan ortonormal dari n vektor eigen 3.M simetriBagaimana kita dapat memperoleh matriks orthogonal P yang mendiagonalkan M?Seperti biasa kita mencari himpunan n buah vektor eigen yang bebas linier.Kemudian dengan menggunakan proses Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 12 Gram-Schmidt kita mengubahnya menjadi himpunan (basis) ortonormal.Kolom-kolom matriks P berasal dari vektor-vektor basis ortonormal ini.Soal: Carilah matriks orthogonal P yang mendiagonalkan matriks-matriks berikut: 1.A = j1 -1-1 2[2. B = _1 1 u1 -2 2u 2 1_3. C = _u 1 -11 1 S-1 S u_ Aljabai Lineai Elementei Sumanang NuNAT0PIPage 1S DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, Howard. Aljabar Linier Elementer. Edisi Kelima. Penerbit Erlangga, Jakarta. [2] Jacob, Bill. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company. New York. 1990.