[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

6 September 2012

Aljabar Linier (Kisi-kisi)

1. Sistem Persamaan Linier

2. Eliminasi Gauss

3. Matriks dan Operasi Matriks

4. Invers Matriks

5. Determinan

6. Ekspansi Kofaktor

7. Aturan Cramer

Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear.

Bentuk umum persamaan linier

a1x + a2y = b

Persamaan linier dalam n peubah

x1, x2, x3,… xn

Dinyatakan dalam bentuk,

a1x1 + a2x2 + a3x3 + … anxn

Penyelesaian persamaan linier

1. Grafik

2. Substitusi

3. Eliminasi

4. Gabungan antara Eliminasi dan Substitusi.

Kemungkinan pemecahan pada persamaan linier.

1. Memiliki satu pemecahan

2. Tidak memiliki pemecahan

[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

3. Memiliki banyak pemecahan

Diketahui persamaan.

A11X1 + A12X2 + A13X3 + A1NXN = B1

A21X1 + A22X2 + A23X3 + A2NXN = B2

A31X1 + A32X2 + A33X3 + A3NXN = B3

AM1X1 + AM2X2 + AM3X3 + AMNXN = B1

A11 A12 A13 A1N B1

A21 A22 A23 A2N B2

A31 A32 A33 A3N B3

AM1 AM2 AM3 AMN B1

Contoh. Carilah himpunan pemecahan dari sistem persamaan linear berikut.

x + 2y + 3z = 1

2x + 5y + 3z = 6

x + 8z = -6

Jawab.

1 2 3 1

2 5 3 6

-2 x R1 + R2 = R2

1 0 8 -6

-1 x R1 + R3 = R3

1 2 3 1

-2 x R2 + R1 = R1 0 1 -3 4

0 -2 5 -7

2 x R2 + R3 = R3

1 0 9 -7

0 1 -3 4

0 0 -1 1

R3 x -1 = R3

1 0 9 -7

-9 x R3 + R1 = R1 0 1 -3 4

3 x R3 + R2 = R2

0 0 1 -1

1 0 0 2

0 1 0 1

0 0 1 -1

SPL : x = 2, y = 1, z = -1

[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

Eliminasi Gauss-Jordan

Pecahkan sistem persamaan berikut, menggunakan eliminasi gauss-jordan.

X1 + 3X2 – 2X3 + 2X5 = 0

2X1 + 6X2 – 5X3 – 2X4 + 4X5 – 3X6 = -1

5X3 + 10X4 + 15X6 = 5

2X1 + 6X2 + 8X4 + 4X5 + 18X6 = 6

Jawab.

1 3 -2 0 2 0 0

2 6 -5 -2 4 -3 -1

-2 x R1 + R2 = R2

0 0 5 10 0 15 5

2 6 0 8 4 18 6

-2 x R1 + R4 = R4

1 3 -2 0 2 0 0

0 0 -1 -2 0 -3 -1

R2 x -1 = R2

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

1 3 -2 0 2 0 0

2 x R2 + R1 = R1

0 0 1 2 0 3 1

0 0 5 10 0 15 5

-5 x R2 + R3 = R3

0 0 4 8 0 18 6

-4 x R2 + R4 = R4

1 3 0 4 2 6 2

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 0 0

R3 → R4

0 0 0 0 0 6 2

1 3 0 4 2 6 2

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 6 2

R3 x 1/6 = R3

0 0 0 0 0 0 0

1 3 0 4 2 6 2

-6 x R3 + R1 = R1

0 0 1 2 0 3 1

-3 x R3 + R2 = R2

0 0 0 0 0 1 1/3

0 0 0 0 0 0 0

1 3 0 4 2 0 0

X1 + 3X2 + 4X4 + 2X5 = 0

0 0 1 2 0 0 0

X3 + 2X4 = 0

0 0 0 0 0 1 1/3

X6 = 1/3

0 0 0 0 0 0 0

[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

Eliminasi Gauss.

Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk

eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut :

1. Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada

baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).

2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada

baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris

yang lebih atas.

3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada

bagian bawah matriks.

4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks M x R dan B adalah matriks R x N, maka hasil kali dari A.B adalah

matriks MxN.

Contoh :

Tentukan hasil kali matriks berikut

1. A = [1 2] B = �23

�

2. A = �1 2 32 6 0

� B = �4 1 40 −1 32 7 5

312

�

Jawab.

1. A= 1 x 2, B=2 x 1, maka A x B = 1 x 1

A = [1 2] B = �23

�

A x B = [1.2 + 2.3]

A x B = [8]

2. A= 2 x 3, B=3 x 4, maka A x B = 2 x 4

A = �1 2 32 6 0

� B = �4 1 40 −1 32 7 5

312

�

A X B = �1.4 + 2.0 + 3.2 1.1 + 2. −1 + 3.7 1.4 + 2.3 + 3.52.4 + 6.0 + 0.2 2.1 + 6. −1 + 0.7 2.4 + 6.3 + 0.5

1.3 + 2.1 + 3.22.3 + 6.1 + 0.2

�

A X B = �12 27 258 −4 26

1112

�

[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

Matriks identitas adalah matriks yang unsur-unsur diagonal utamanya adalah 1,

sedangkan unsur-unsur lainnya adalah nol.

Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsur-unsur diluar diagonal utamanya = 0.

Sedangkan pada diagonal utamanya paling sedikit 1 unsur tidak sama dengan nol.

Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris = jumlah kolom

Matriks nol adalah matriks yang semua unsurnya adalah nol.

Transpose matriks, adalah suatu matriks baru yang elemen-elemennya didapat dari

mengubah baris menjadi kolom.

8 December 2012

INVERS MATRIKS.

Invers matriks A hanya dapat diperoleh jika dan hanya jika matriks A adalah matriks kuadrat

yang determinannya tidak sama dengan nol. Apabila matriks A dikalikan dengan inversnya,

maka akan menghasilkan matriks identitas.

A.A-1 = I (matriks identitas)

Misal matriks A = �A BC D

�

Maka A-1 = �

����� � �

D −B−C A

�

Contoh, A = �1 21 3

�

A-1 = �

�.���.� � �

3 −2−1 1

�

A-1 = �

� � �

3 −2−1 1

� = �3 −2

−1 1�

INVERS MATRIKS DENGAN ORDO 3 x 3

Contoh A = �1 2 32 3 51 0 8

� , carilah A-1

1 2 3 1 0 0

2 3 5 0 1 0

-2 x R1 + R2 = R2

1 0 8 0 0 1

-1 x R1 + R3 = R3

1 2 3 1 0 0

0 -1 -1 -2 1 0

-1 x R2 = R2

0 -2 5 -1 0 1

[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

1 2 3 1 0 0

-2 x R2 + R1 = R1

0 1 1 2 -1 0

0 -2 5 -1 0 1

2 x R2 + R3 = R3

1 0 1 -3 2 0

0 1 1 2 -1 0

0 0 7 3 -2 1

1/7 x R3 = R3

1 0 1 -3 2 0

-1 x R3 + R1 = R1

0 1 1 2 -1 0

-1 x R3 + R2 = R2

0 0 1 3/7 - 2/7 1/7

1 0 0 -24/7 16/7 - 1/7

0 1 0 11/7 - 5/7 - 1/7

0 0 1 3/7 - 2/7 1/7

A-1 = -24/7 16/7 - 1/7

11/7 - 5/7 - 1/7

3/7 - 2/7 1/7

15 Desember 2012

DETERMINAN MATRIKS

Misalkan A adalah matriks kuadrat. Determinan A ditulis det (A) atau |A|. didefinisikan

sebagai semua hasil kali elementer bertanda dari matriks A.

A = �A11 A12A21 A22

�

Det A = A11.A22 – A12.A21

A = ��11 �12 �13�21 �22 �23�31 �32 �33

�

- - -

Det A = ��11 �12 �13�21 �22 �23�31 �32 �33

� ��11 �12�21 �22�31 �32

�

+ + +

Det (A) = A11.A22.A33 + A12.A23.A31 + A13.A21.A32 – A13.A22.A31 – A11.A23.A32 –

A12.A21.A33

[ALJABAR LINIER]

Nina Ariani, S.Pd 16:15 – 17:45 WIB Ruang IV, Kampus Kantin

Contoh.

A = �6 47 9

� Det A = 6.9 – 4.7 = 26

B = �3 14 −2

� Det A = 3.-2 – 1.4 = -10

C = �2 3 51 0 12 1 0

� �2 31 02 1

� Det C = 0 + 6 + 5 + 0 – 2 – 0 = 9

D = �2 −1 11 −3 11 2 −1

� �2 −11 −31 2

� Det D = 6 + (-1) + 2 – (-3) – 4 – 1 = 5

Menghitung determinan sebuah matriks dengan reduksi baris.

Misalkan A adalah sembarang matriks N x N.

A. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari hasil kali konstanta dengan baris pertama,

kedua dan ketiga maka determinan (A’) = Konstanta . Det (A)

B. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran 2 buah baris matriks A. maka

determinan A’ = - Det (A)

C. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan 1 baris ditambah pada baris lain,

maka determinan A’ = Der (A)

Contoh. Hitunglah matriks berikut dengan reduksi baris.

A = �0 1 53 −6 92 6 1

�