ALJABAR BOOLE DAN FLIP - FLOP

Oleh :

Nama : Febrian

Stambuk : 1032002

Jurusan : Teknik Elektro

UNIVERSITAS ATMA JAYA MAKASSAR

Aljabar Boole dan Flip - Flop

1. Aljabar Boole

Konsep dasar aljabar Boole (Boolean Algebra) telah diletakkan oleh seorang

matematisi Inggris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu membutuhkan

waktu yang cukup lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika

maupun dalam bidang teknik.

Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan dan

menyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, aljabar Boole memegang peranan

yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga di bidang lain seperti teori

peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori himpunan dan lain-lain. Teori ini

juga dipakai dalam merancang komputer elektronik dengan menerjemahkannya ke dalam

rangkaian saklar (switching circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau

terbuka, mengalirkan arus listrik atau tidak.

Aljabar Boole dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara yang

paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur – unsur pembentuknya dan operasi

– operasi yang menyertainya.

Pada aljabar boole terdapat aksioma yang dinamakan Posulat Huntington sebagai berikut:

1. Identitas

(i) a + 0 = a

(ii) a . 1 = a

2. Komutatif

(i) a + b = b + a

(ii) a . b = b . a

3. Distributif

(i) a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

(ii) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

4. Komplemen

Untuk setiap a 0 B terdapat elemen unik a’ 0 B sehingga

(i) a + a’ = 1

(ii) a . a’ = 0

Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang berada di dalam B. 0 disebut

elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda –

beda pada beberapa aljabar Boole (misalnya i dan U pada himpunan, False dan

True pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai

dua elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1

disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan, . disebut operator

perkalian, dan ‘ disebut operator komplemen.

Perbedaan antara aljabar Boole dengan aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil :

1. Hukum distributif yang pertama, a . (b + c) = (a . b) + (a . c) sudah dikenal di

dalam aljabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua, a + (b . c) = (a + b) .

(a + c), benar untuk aljabar Boole, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

2. Aljabar Boole tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse)

dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan

pengurangan di dalam aljabar Boole.

3. Aksioma nomor 4 pada definisi 2.1 mendefinisikan operator yang dinamakan

komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.

4. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang

tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boole memperlakukan

himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada

aljabar Boole dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya

dua nilai, 0 dan 1.

Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan perubah

(variable) pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan

bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c dan sebagainya.

Dengan cara yang sama pada aljabar Boole, orang mendefinisikan elemen – elemen

himpunan dan peubah seperti x, y, z sebagai simbol – simbol yang merepresentasikan

elemen.

Berhubung elemen – elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas

menentukan anggota – anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boole,

orang harus memperlihatkan :

1. elemen – elemen himpuan B,

2. kaidah / aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,

3. himpunan B, bersama – sama dengan dua operator tersebut, memenuhi

keempat aksioma di atas.

Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan

dapat dikatakan sebagai aljabar Boole.

Aplikasi Aljabar Boole

Aljabar Boolean mempunyai aplikasi yang luas, antara lain bidang jaringan

pensaklaran dan rangkaian digital.

1. Aplikasi dalam jaringan pensaklaran ( Switching Network)

Saklar adalah obyek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Kita

asosiasikan setiap peubah dalam fungsi Boolean sebagai “gerbang” (gate) didalam

sebuah saluran yang dialiri listrik, air, gas, informasi atau benda lain yang mengalir

secara fisik, gerbang ini dapat berupa kran di dalam pipa hirolik, transistor atau dioda

dalam rangkaian listrik, dispatcher pada alat rumah tangga, atau sembarang alat lain

yang dapat melewatkan atau menghambat aliran.

Kita dapat menyatakan fungsi logika untuk gerbang yang bersesuaian. Pada fungsi tersebut, peubah komplemen menyatakan closed gate, sedangkan peubah bukan komplemen menyatakan opened gate.

a x y b

Saklar dalam hubungan SERI: logika ANDa

b

x

yc

Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR

2. Aplikasi dalam rangkaian digital elektronik

Rangkaian digital elektronik biasanya dimodelkan dalam bentuk gerbang

logika. Ada tiga macam gerbang logika dasar : AND, OR, dan NOT. Secara fisik,

rangkaian logika diimplementasikan dalam rangkaian listrik spesifik.

1. Gerbang NOT

2. Gerbang OR

3. Gerbang AND

Contoh: tiga bentuk gate paling sederhana:1. a

x b

Output b hanya ada jika dan hanya jika x tertutup x2.

ax y b

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y tertutup

xy3. a

x

b yc

Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y tertutup x + y

Penggunaan Aljabar Boole

Aplikasi soal Aljabar BooleDari Postulat dan Teorema Aljabar Boolean diatas tujuan

utamanya adalah untuk penyederhanaan :-Ekspresi Logika-Persamaan Logika -Persamaan

Boolean (Fungsi Boolean)yang inti-intinya adalah untuk mendapatkan Rangkaian

Logika(Logic Diagram) yang paling sederhana.

Berikut beberapa penyerdehanaan dengan menggunakan aljabar boole :

1. Sederhanakan A . (A . B + C)

PenyelesaianA . (A . B + C)= A . A . B + A . C

= A . B + A . C

= A . (B + C)

2. Sederhanakan A + A . B’+ A’. B

Penyelesaian A + A . B’+ A’. B= (A + A . B’) + A’. B

= A + A’. B

= A + B

3. Sederhanakan A’. B + A . B + A’. B’

PenyelesaianA’. B + A . B + A’. B’= (A’+ A) . B + A’. B’(T3a)

= 1 . B + A’. B’

= B + A’. B’

= B + A’

2. Flip - Flop

Rangkaian Logika terbagi menjadi dua kelompok yaitu rangkaian logika

kombinasional dan rangkaian sekuensial. Rangkaian logika kombinasional adalah

rangkaian yang kondisi keluarannya (output) dipengaruhi oleh kondisi masukan (input).

Rangkaian logika sekuensial adalah rangkaian logika yang kondisi keluarannya

dipengaruhi oleh masukan dan keadaan keluaran sebelumnya atau dapat dikatakan

rangkaian yang bekerja berdasarkan urutan waktu. Ciri rangkaian logika sekuensial yang

utama adalah adanya jalur umpan balik (feedback) di dalam rangkaiannya.

Rangkaian yang termasuk rangkaian logika kombinasional yaitu Dekoder, Enkoder,

Multiplekser, Demultiplekser. Pada rangkaian-rangkaian itu terlihat bahwa kondisi

keluaran hanya dipengaruhi oleh kondisi masukan pada saat itu. Adapun contoh

rangkaian yang termasuk rangkaian sekuensial yaitu flip-flop, counter, dan register.

Flip-flop adalah rangkaian utama dalam logika sekuensial. Counter, register serta

rangkaian sekuensial lain disusun dengan menggunakan flip-flop sebagai komponen

utama. Flip-flop adalah rangkaian yang mempunyai fungsi pengingat (memory). Artinya

rangkaian ini mampu melakukan proses penyimpanan data sesuai dengan kombinasi

masukan yang diberikan kepadanya. Data yang tersimpan itu dapat dikeluarkan sesuai

dengan kombinasi masukan yang diberikan.

Ada beberapa macam flip-flop, yaitu flip-flop R-S, flip-flop J-K, dan flip-flop D.

Ada juga masalah pemicuan yang akan mengaktifkan kerja flip-flop.

Hubungan input-output ideal yang dapat terjadi pada flip-flop adalah:

A. Set, yaitu jika suatu kondisi masukan mengakibatkan keluaran (Q) bernilai

logika positif (1) saat dipicu, apapun kondisi sebelumnya.

B. Reset, yaitu jika suatu kondisi masukan mengakibatkan keluaran (Q) bernilai

logika negatif (0) saat dipicu, apapun kondisi sebelumnya.

C. Tetap, yaitu jika suatu kondisi masukan mengakibatkan keluaran (Q) tidak

berubah dari kondisi sebelumnya saat dipicu.

D. Toggle, yaitu jika suatu kondisi masukan mengakibatkan logika keluaran (Q)

berkebalikan dari kondisi sebelumnya saat dipicu.

Secara ideal berdasar perancangan kondisi keluaran Q’ selalu berkebalikan dari

kondisi keluaran Q.

Pemicuan Flip-Flop

Pada flip-flop untuk menyerempakkan masukan yang diberikan pada kedua

masukannya maka diperlukan sebuah clock untuk memungkinkan hal itu terjadi. Clock

yang dimaksud di sini adalah sinyal pulsa yang beberapa kondisinya dapat digunakan

untuk memicu flip-flop untuk bekerja. Ada beberapa kondisi clock yang biasa digunakan

untuk menyerempakkan kerja flip-flop yaitu :

1. Tepi naik : yaitu saat perubahan sinyal clock dari logika rendah (0) ke logika tinggi.

2. Tepi turun : yaitu saat perubahan sinyal clock dari logika tinggi (1) ke logika rendah

(0).

3. Logika tinggi : yaitu saat sinyal clock berada dalam logika 1.

4. Logika rendah : yaitu saat sinyal clock berada dalam logika 0.

Tabel Pengujian Pemicuan Clock

Langkah Pengujian Clock Input Output Jenis Pemicuan

1. 1 Diubah-ubah Berubah Logika Tinggi

2. 0 Diubah-ubah Berubah Logika rendah

3.

0 Diubah-ubah Tetap

Tepi naik

0 ke 1

(ditekan) Diubah-ubah Berubah

1 Diubah-ubah Tetap

4.

1 Diubah-ubah Tetap

Tepi turun

1 ke 0

(dilepas) Diubah-ubah Berubah

0 Diubah-ubah Tetap

Jenis – jenis Flip - Flop

1. Flip-Flop R-S

Flip-flop R-S adalah rangkaian dasar dari semua jenis flip-flop yang ada.

Terdapat berbagai macam rangkaian flip-flop R-S, pada percobaan ini flip-flop R-S

disusun dari empat buah gerbang NAND 2 masukan. Dua masukan flip-flop ini

adalah S (set) dan R (reset), serta dua keluarannya adalah Q dan Q’.

Kondisi keluaran akan tetap ketika kedua masukan R dan S berlogika 0.

Sedangkan pada kondisi masukan R dan S berlogika 1 maka kedua keluaran akan

berlogika 1, hal ini sangat dihindari karena bila kondisi masukan diubah menjadi

berlogika 0 kondisi kelurannya tidak dapat diprediksi (bisa 1 atau 0). Keadaan ini

disebut kondisi terlarang.

Tabel Kondisi terlarang, pacu, dan tak tentu, karena perubahan clock

No. S R Clock Keterangan

1. 1 1 Aktif (1) Kondisi terlarang

2. 1 1 Tepi turun (Berubah dari 1 ke 0) Kondisi pacu

3. 1 1 Tidak aktif (0) Kondisi tak tentu

Tabel Kondisi terlarang, pacu, dan tak tentu, karena perubahan clock dan masukan

yang serempak

No. S R Clock Keterangan

1. 1 1 Aktif (1) Kondisi terlarang

2. 0 0 Tepi turun Kondisi pacu

3. 0 0 Tidak aktif (0) Kondisi tak tentu

2. Flip-flop D

Flip-flop D dapat disusun dari flip-flop S-R atau flip-flop J-K yang masukannya

saling berkebalikan. Hal ini dimungkinkan dengan menambahkan salah satu masukannya

dengan inverter agar kedua masukan flip-flop selalu dalam kondisi berlawanan. Flip-flop

ini dinamakan dengan flip-flop data karena keluarannya selalu sama dengan masukan

yang diberikan. Saat flip-flop pada keadaan aktif, masukan akan diteruskan ke saluran

keluaran.

3. Flip-flop J-K

Flip-flop J-K merupakan penyempurnaan dari flip-flop R-S terutama untuk

mengatasi masalah osilasi, yaitu dengan adanya umpan balik, serta masalah kondisi

terlarang seperti yang telah dijelaskan di atas, yaitu pada kondisi masukan J dan K

berlogika 1 yang akan membuat kondisi keluaran menjadi berlawanan dengan kondisi

keluaran sebelumnya atau dikenal dengan istilah toggle. Sementara untuk keluaran

berdasarkan kondisi-kondisi masukan yang lain semua sama dengan flip-flop R-S.

Register

Register merupakan sekelompok flip-flop yang dapat menyimpan informasi biner

yang terdiri dari bit majemuk. Register dengan n flip-flop mampu menyimpan sebesar n

bit. Ada dua cara untuk menyimpan dan membaca data ke dalam register,

yaitu seri dan paralel. Dalam operasi paralel, penyimpanan atau pembacaan dilakukan

secara serentak oleh semua tingkat reigster. Sedangkan untuk operasi seri, diterapkan

secarasequential bit demi bit sampai semua tingkat register terpenuhi.

Ada empat tipe register :

1. Serial In – Serial Out

2. Paralel In – Paralel Out

3. Serial In – Paralel Out

4. Paralel In – Serial Out

1. Register Serial In – Serial Out

Pada Register Serial In – Serial Out, jalur masuk data berjumlah satu dan jalur

keluarannya juga berjumlah satu. Pada jenis register ini data mengalami pergeseran,

flip-flop pertama menerima masukan dari input, sedangkan flip-flop kedua menerima

masukan dari flip-flop pertama, dan seterusnya.

2. Register Paralel In – Paralel Out

Register Paralel In – Paralel Out mempunyai jalur masukan dan keluaran

sesuai dengan jumlah flip-flop yang menyusunnya. Pada register jenis ini, data masuk

dan keluar secara serentak. Dan hanya membutuhkan satu kali picu.

3. Register Serial In – Paralel Out

Register serial In – Paralel Out mempunyai satu saluran masukan dan saluran

keluaran sejumlah flip-flop yang menyusunnya. Data masuk satu-persatu (secara

serial) dan dikeluarkan secara serentak. Pengeluaran data dikendalikan oleh sebuah

sinyal kontrol. Selama sinyal kontrol tidak diberikan, data akan tetap tersimpan dalam

register.

4. Register Paralel In – Serial Out

Register Paralel In – Serial Out mempunyai jalur masukan sesuai dengan

jumlah flip-flop yang menyusunnya, dan hanya mempunyai satu jalur keluaran. Data

masuk ke dalam register secara serentak dengan dikendalikan sinyal kontrol,

sedangkan data keluar satu-persatu (secara serial).

Aplikasi Penggunaan Flip flop

Counter atau pencacah dapat dibentuk menggunakan rangkaian flip-flop, umumnya

adalah flip-flop jenis J-K, seperti yang ditunjukan Gambar 1, dengan tabel kebenaran

seperti tertera dalam Tabel 1.

Gambar 1. Simbol flip-flop J-K dengan preset dan reset.

Tabel 1. Tabel kebenaran dari flip-flop J-K.

Flip-flop ini akan bekerja sebagai counter jika pin J dan K diberi logika tinggi

(seperti terlihat dalam tabel, output Q akan mengalami toggle jika ada transisi clock

tinggi ke rendah). Sinyal yang dicacah tidak lain adalah sinyal clock itu sendiri.

Sebelum sampai ke counter, Gambar 2 berikut memberikan penjelasan bagaimana

flip-flop J-K ini bekerja.

Gambar 2. Diagram pewaktuan flip-flop J-K.

Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa, ketika J adalah LOW, dan K adalah HIGH

serta sinyal clocknya adalah transisi dari tinggi ke rendah, maka output (Q) akan

bernilai LOW. Ketika J dan K adalah berlogika HIGH, dan sinyal clocknya adalah

transisi dari tinggi ke rendah, maka output (Q) akan berubah ke komplemen

sebelumnya (di sini berubah dari rendah ke tinggi) yang disebut mengalami kondisi

toggle.

Rangkaian counter menggunakan flip-flop J-K dapat diwujudkan

menggunakan rangkaian seperti pada Gambar 3. Counter pada rangkaian Gambar 3

memiliki lebar data sebesar 3 bit, serta jenis counternya adalah jenis asinkron. Jika

menginginkan lebar data yang yang lebih besar maka tinggal merangkaian seri

sebanyak yang diinginkan. Diagram pewaktuannya dapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 3. Rangkaian counter 3 bit.

Contoh Flip Flop

1. RS Flip - Flop

RS Flip-Flop yaitu rangkaian Flip-Flop yang mempunyai 2 jalan keluar Q dan Q

(atasnya digaris). Simbol-simbol yang ada pada jalan keluar selalu berlawanan satu

dengan yang lain. RS-FF adalah flip-flop dasar yang memiliki dua masukan yaitu R

(Reset) dan S (Set). Bila S diberi logika 1 dan R diberi logika 0, maka output Q akan

berada pada logika 0 dan Q not pada logika 1. Bila R diberi logika 1 dan S diberi logika 0

maka keadaan output akan berubah menjadi Q berada pada logik 1 dan Q not pada logika

0.

Sifat paling penting dari Flip-Flop adalah bahwa sistem ini dapat menempati salah

satu dari dua keadaan stabil yaitu stabil I diperoleh saat Q =1 dan Q not = 0, stabil ke II

diperoleh saat Q=0 dan Q not = 1 yang diperlihatkan pada gambar berikut:

Gambar 2. RS-FF yang disusun dari gerbang NAND

Tabel Kebenaran:

Keterangan :

memory = 1/0

dont care = Q dan Qnot nilainya 1 atau 0 

Q = 0 [reset]

Q = 1 [set]

Yang dimaksud kondisi terlarang yaitu keadaaan yang tidak diperbolehkan

kondisi output Q sama dengan Q not yaitu pada saat S=0 dan R=0. Yang dimaksud

dengan kondisi memori yaitu saat S=1 dan R=1, output Q dan Qnot akan

menghasilkan perbedaan yaitu jika Q=0 maka Qnot=1 atau sebaliknya jika Q=1 maka

Q not =0.

2. CRS Flip – Flop

CRS Flip-Flop

Tabel kebenarannya:

Keterangan:

1 / 0 = memory

Q = 0 [reset]

Q = 1 [set]

CRS Flip-flop adalah clocked RS-FF yang dilengkapi dengan sebuah terminal pulsa

clock. Pulsa clock ini berfungsi mengatur keadaan Set dan Reset. Bila pulsa clock

berlogik 0, maka perubahan logik pada input R dan S tidak akan mengakibatkan

perubahan pada output Q dan Qnot. Akan tetapi apabila pulsa clock berlogik 1, maka

perubahan pada input R dan S dapat mengakibatkan perubahan pada output Q dan Q not.

Daftar Pustaka

1. Aljabar Boole

www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=penjelasan%20aljabar%20boole&sourc

e=web&cd=1&ved=0CEwQFjAA&url=http%3A%2F

%2Fketinggalan.files.wordpress.com%2F2010%2F11%2Fdefinisi-aljabar-boolean-

versi-11.pdf&ei=isXvT4mzEo_JrAfNy7G9DQ&usg=AFQjCNHM48RUsCgjB-

aIegi5tT63H2dDCg

www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=aplikasi%20aljabar

%20boole&source=web&cd=2&ved=0CEwQFjAB&url=http%3A%2F

%2Fviper26.files.wordpress.com%2F2009%2F10%2Fpertemuan-11-

aplikasialjabarboolean.ppt&ei=NcrvT8_KMdHKrAei8Ym-

DQ&usg=AFQjCNEqE2FycPBG65zKpIzGoO3IauuRQQ

www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=contoh%20aljabar

%20boolean&source=web&cd=9&sqi=2&ved=0CGAQFjAI&url=http%3A%2F

%2Focw.usu.ac.id%2Fcourse%2Fdownload%2F4190000007-dasar-teknik-digital

%2Ftke_113_handout_gerbang_dan_aljabar_boole.pdf&ei=sMvvT4-qHcryrQfWj5i-

DQ&usg=AFQjCNFmq9UMjHONFSQPV3_4I9N-OvVlXQ

www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=contoh%20aljabar

%20boole&source=web&cd=20&ved=0CFcQFjAJOAo&url=http%3A%2F

%2Felektroftunp.files.wordpress.com%2F2011%2F11%2Faljabar-boolean-dan-

penggunaan-gerbang-logika.pdf&ei=P8_vT6a2MpDLrQeTkYW-

DQ&usg=AFQjCNF26aZWEOpfH2cEQcAOAu6yAu3KRw

2. Flip – Flop

http://chemicz.wordpress.com/2008/10/29/flip-flop/

http://inovly.blogspot.com/2011/05/apa-itu-flip-flop-trus-cara-menghitung.html

http://m4rry.blogspot.com/2011/01/rangkaian-flip-flop_16.html