Algoritma Komputasi dan

Program R dalam GLM

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Sekolah Pascasarjana Departemen Statistika IPB

Semester Genap 2017/2018

2

Pendugaan parameter melalui metode kemungkinan

maksimum (maximum likelihood) dapat dilakukan

secara analitik maupun secara numerik.

Pada GLM terkadang metode analitik tidak dapat

dilakukan karena tidak ditemukan bentuk closed-form

pada fungsi kemungkinan maksimumnya.

Salah satu metode numerik yang banyak digunakan

pada GLM adalah metode Fisher-Scoring atau

Newton-Raphson.

3

4

5

6

7

(Lihat: Dobson, 2002)

Fisher Information(Fisher Information Matrix)

8

9

10

(a)

(b)

(a)

(a)

11

Contoh 1:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan : x3 + 2x – 1 = 0

Iterasi 0 1 2 3 4 5

x 1 0,600000 0.4649351 0.4534672 0.4533977 0.4533977

)('

)(

12)(

)1(

)1()1()(

3

m

mmm

xf

xfxx

xxxf

12

#Solusi untuk : x^3 + 2*x - 1 = 0

x <- 1

for (i in 2:6)

{x[i] <- x[i-1] - ((x[i-1])^3 + 2*x[i-1] - 1)/(3*((x[i-1])^2) + 2)}

x

------------------------------------------------------------------

> x

[1] 1.0000000 0.6000000 0.4649351 0.4534672 0.4533977 0.4533977

13

Contoh 2:

Tentukan nilai √11 secara iteratif hingga tingkat

ketelitian 6 desimal

14

Contoh 3: (Lihat: Dobson, 2002)

15

16

of Weibull

17

18

(a)

19

Jadi perbedaan Fisher-Scoring dari Newton-

Raphson adalah dari sisipenggunaan E(U’’) sebagai

pendekatan bagi U’

20

21

Pemodelan GLM dapat diimplementasikan dalam Program R.

Pada program ini, pendugaan parameter GLM dilakukan

melalui teknik Fisher-Scoring.

Disamping bersifat open-source, program R memiliki banyak

kelebihan dibandingkan program lainnya (SAS, dll) untuk

pemodelan GLM.

Diantaranya adalah ketersedian di R berbagai sebaran

keluarga eksponensial yang lebih luas, pendekatan Quasi-

likelihood, metode Bayes, dsb.

Karena itu, pada kuliah GLM ini lebih direkomendasikan untuk

menggunakan program R.

22

Bentuk Umum Metode Fisher Scoring

L(,y) adalah fungsi kemungkinan (likelihood), I disebut

matrik informasi Fisher. Maka penduga secara iteratif

adalah sebagai berikut :

srr

r

LE

LU

),( ;

),( 2yβ

Iyβ

)1()1()1()()1( ˆˆ kkkkkUβIβI

)1()1()1()( )(ˆˆ kkkkUIββ

Model GLM g((E(y)) = g() = = X

23

Program R

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

#Contoh Simulasi Data GLM (1)

set.seed(1001)

n <- 50

x <- runif(n,1,6)

b0 <- 1.5

b1 <- 3.0

y <- c(1:n)

for (i in 1:n) {y[i] <- rnorm(1,b0+b1*x[i],1)}

cbind(x,y)

plot(x,y)

fit.dataku <- glm(y ~ x, family=gaussian(link="identity"))

summary(fit.dataku)

y_duga <- fitted(fit.dataku)

sisaan <- resid(fit.dataku)

cbind(x,y,y_duga,sisaan)

plot(x,y)

par(col="red")

abline(fit.dataku)

par(col="black")

plot(y_duga,sisaan)

qqnorm(sisaan); qqline(sisaan)

34

> cbind(x,y)

x y

[1,] 5.928444 18.690387

[2,] 3.063142 8.788586

[3,] 3.147696 11.136597

[4,] 3.095861 10.205783

[5,] 3.132533 9.352388

[6,] 5.438988 18.295776

[7,] 1.030480 4.820782

[8,] 1.406079 5.580310

[9,] 2.443287 11.240599

[10,] 4.826711 14.057338

.

.

.

[48,] 1.008779 3.946260

[49,] 4.527118 13.109931

[50,] 4.646557 17.004236

35

36

> summary(fit.dataku)

Call:

glm(formula = y ~ x, family = gaussian(link = "identity"))

Deviance Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-2.1868 -0.8818 0.0415 0.7586 3.1982

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 2.0186 0.4436 4.551 3.65e-05 ***

x 2.8581 0.1176 24.308 < 2e-16 ***

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1

Null deviance: 1044.593 on 49 degrees of freedom

Residual deviance: 78.483 on 48 degrees of freedom

AIC: 170.44

Number of Fisher Scoring iterations: 2

37

> cbind(x,y,y_duga,sisaan)

x y y_duga sisaan

1 5.928444 18.690387 18.962859 -0.27247193

2 3.063142 8.788586 10.773441 -1.98485474

3 3.147696 11.136597 11.015107 0.12148961

4 3.095861 10.205783 10.866956 -0.66117247

5 3.132533 9.352388 10.971768 -1.61938059

6 5.438988 18.295776 17.563928 0.73184798

7 1.030480 4.820782 4.963818 -0.14303598

8 1.406079 5.580310 6.037330 -0.45701975

9 2.443287 11.240599 9.001810 2.23878933

10 4.826711 14.057338 15.813957 -1.75661973

.

.

.

48 1.008779 3.946260 4.901792 -0.95553208

49 4.527118 13.109931 14.957682 -1.84775158

50 4.646557 17.004236 15.299055 1.70518141

38

39

40

41

McCullagh, P. and Nelder, J.A. (1989) Generalized

Linear Models, 2nd. C&H.

Dobson and Barnett. (2008). An Introduction to

Generalized Linear Models, New York: C&H, 3rd ed.

Agresti, A. (2015). Foundations of Linear and

Generalized Linear Models. New Jersey: Wiley.

42

Jiang, J. (2007). Linear and Generalized Linear Mixed

Models and Their Applications, Springer.

McCulloch, C.E. and Searle, S.R. (2001) Generalized,

Linear, and Mixed Models, Wiley

Pawitan, Y. (2001) In All Likelihood. Oxford.

Lee, Y., Nelder, J.A. and Pawitan, Y. (2006).

Generalized Linear Models with Random Effects. C&H.

43

Melalui Program R:

1. Bangkitkan data respon Yi, i = 1, 2, …, 50, dengan fungsi sebaran

Bernoulli dan mempunyai hubungan dengan dua peubah bebas X1 yang

menyebar Uniform(0, m) dan X2 yang menyebar Uniform(5, 2*m).

Parameter 0 = 0.m, 1 = - 3.m, 2 = 4.m. Catatan, m adalah jumlah 2

digit terakhir dari NIM.

2. Lakukan pengulangan pembangkitan data tersebut masing-masing

sebanyak 10 kali sehingga terdapat 10 set data.

3. Pada 10 set data tersebut lakukan pendugaan parameter model (0, 1,

2) masing-masing dengan fungsi hubung logistik (model 1) dan probit

(model 2).

4. Bandingkan rata-rata nilai bias dan kuadrat tengah galat kedua model

tersebut. Model mana yang lebih baik? Jelaskan.

44

Materi ini bisa di-download di:

kusmansadik.wordpress.com

45