ABSTRAK

Arif Muntohar, 2016. PENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADAPENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DIPT. SOLO GRAFIKA UTAMA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahu-an Alam, Universitas Sebelas Maret.

Sistem produksi merupakan contoh dari sistem kejadian diskret (SKD). Ka-rakteristik dari SKD adalah dinamika berjalan yang berarti bahwa proses operasidapat dimulai setelah semua proses sebelumnya terselesaikan. Dalam menyele-saikan permasalahan SKD dapat menggunakan aljabar maks-plus dengan meng-ubah persamaan nonlinier menjadi persamaan linier. Aljabar maks-plus adalahhimpunan R ∪ {−∞} yang dilengkapi operasi maksimum (⊕) dan jumlah (⊗).Tujuan dari penelitian ini untuk menentukan penjadwalan sistem produksi ha-rian umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama dengan menggunakan sistemproduksi tipe serial dalam aljabar maks-plus. Dari pengamatan proses produk-si harian umum Solopos, kemudian disusun persamaan sistem produksi dalambentuk x(k + 1) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k + 1) dan y(k) = C ⊗ x(k). Selanjutnyamenentukan matriks A, dengan A = A

⊕B ⊗ C. Supaya penjadwalan sistem

produksi berjalan secara periodik, ditentukan periode dan waktu awal yang baikuntuk mengawali sistem produksi, yaitu dengan menentukan nilai eigen dan vek-tor eigen dari matriks A. Hasil dari penelitian ini, dapat disusun jadwal sistemproduksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama.

Kata Kunci : aljabar maks-plus, sistem produksi tipe serial, sistem penjadwal-an.

iii

ABSTRACT

Arif Muntohar, 2016. APLICATION OF MAX-PLUS ALGEBRA ONSCHEDULING PRODUCTION SYSTEMS OF SOLOPOS DAILY NEWSIN SOLO GRAFIKA UTAMA LTD. Faculty of Mathematics and NaturalSciences, Sebelas Maret University.

The production system is an example of a discrete event system (DES).Characteristics of DES is the dynamics of running, which means that the processof operation can be started after all of the previous process has completed. Incompleting DES problems we can use a max-plus algebra by replacing the nonlinearequations into linear equations. Max-plus algebra is the set of R ∪ {−∞} withmaximum operation (⊕) and plus operation (⊗). The aim of this study is todetermine the scheduling of the production system of Solopos daily news in SoloGrafika Utama Ltd. with production system serial type in the max-plus algebra.From the observations of Solopos daily news, we arrange equation productionsystem in the form x(k + 1) = A ⊗ x(k) ⊕ B ⊗ u(k + 1) and y(k) = C ⊗ x(k).Then we determine the matrix A, for A = A

⊕B⊗C. In order to the scheduling

production systems run periodically, we determine the period and a good start toinitiate production system, to determine the eigenvalues and eigenvectors of thematrix A. In this research, we arrange schedules of production system of Soloposdaily news in Solo Grafika Utama Ltd.

Keywords : max-plus algebra, production system serial type, scheduling system.

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

ibu, ayah, kakak, dan adik saya

yang selalu menyertakan nama saya dalam setiap do’a-nya.

v

MOTO

If ”Plan A” didn’t work. Stay cool, the alphabet has

25 more letters!

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan

kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi ini

berkat dorongan, dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu

penulis menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

dalam penulisan skripsi ini, terutama kepada

1. Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bim-

bingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini,

2. Drs. Santoso B.W., M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan dalam penulisan skripsi ini,

3. Andika E. S. H. M., S.Si., Dwi Setiawan serta Ahmad Dimyati yang sering

berbagi ilmu mengenai aljabar maks-plus, dan

4. Raras Tri Puspitaningrum, S.Si. yang selalu mendukung dan memberi mo-

tivasi untuk segera menyelesaikan skripsi ini.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Januari 2016

Penulis

vii

DAFTAR ISI

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Matriks dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Graf dalam Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.5 Bentuk Persamaan Sistem Produksi Sederhana . . . . . . . 8

viii

2.2.6 Bentuk Persamaan 5 Tipe Sistem Produksi . . . . . . . . . 10

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

IIIMETODE PENELITIAN 17

IVHASIL DAN PEMBAHASAN 18

4.1 Gambaran Umum PT. Solo Grafika Utama . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.1 Sejarah Perkembangan PT. Solo Grafika Utama . . . . . . 18

4.1.2 Aspek Produksi di PT. Solo Grafika Utama . . . . . . . . 19

4.2 Penerapan Aljabar Maks-plus pada Sistem Produksi Harian Umum

Solopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2.1 Sistem Produksi Berita Nasional . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.2 Sistem Produksi Berita Soloraya . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.3 Sistem Produksi Berita Olahraga . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.4 Jadwal Sistem Produksi Harian Umum Solopos . . . . . . 36

V PENUTUP 39

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

DAFTAR PUSTAKA 40

ix

DAFTAR GAMBAR

2.1 Sistem produksi sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Sistem produksi tipe serial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Sistem produksi tipe assembly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Sistem produksi tipe splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Sistem produksi tipe parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Sistem produksi tipe flexible dengan Aktivitas Barisan Tertentu . 14

4.1 Bagan unit pemroses harian umum Solopos . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Sistem produksi harian umum Solopos . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Sistem produksi berita Nasional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Sistem produksi berita Soloraya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5 Sistem produksi berita Olahraga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

x

DAFTAR NOTASI

R : himpunan bilangan real

N∗ : himpunan bilangan asli

N∗ : himpunan bilangan cacah

(+) : operasi penjumlahan

(×) : operasi perkalian

⊕ : operasi maksimum pada aljabar max-plus

⊗ : operasi jumlah pada aljabar max-plus

ε : elemen identitas untuk ⊕ dengan ε = −∞

e : elemen identitas untuk ⊗ dengan e = 0

Rmax : R ∪ {ε}

Rmax : himpunan Rmax dilengkapi dengan operasi-operasi ⊕ dan ⊗

Rm×nmax : himpunan matriks berukuran m× n dengan elemen Rmax

Am×n : himpunan matriks A berukuran m× n dengan elemen Rmax

G : graf

D : graf berarah

V (G) : himpunan yang beranggotakan vertex pada graf

E(G) : himpunan yang beranggotakan edge atau busur pada graf

λ : nilai eigen dari suatu matriks A

v : vektor eigen dari suatu matriks A

xi

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Seiring dengan perkembangan dunia industri yang semakin pesat, mena-

rik perhatian dunia akademik untuk memodelkan, menganalisis dan mengontrol

masalah-masalah sistem yang kompleks pada dunia industri. Sebagai contoh sis-

tem yang kompleks pada dunia industri yaitu sistem produksi, sistem penjad-

walan, dan jaringan transportasi (Schutter dan Boom [16]). Sistem tersebut me-

rupakan contoh dari sistem kejadian diskret (SKD). SKD adalah nama klasifikasi

dari masalah suatu sistem buatan manusia dengan sumber daya dan pengguna

yang terbatas untuk mencapai tujuan bersama (Subiono [17]). Salah satu karak-

teristik dari SKD adalah dinamika berjalan yang berarti bahwa proses operasi

dapat dimulai setelah semua proses sebelumnya terselesaikan. Pada umumnya

permasalahan SKD berbentuk persamaan nonlinier sehingga tidak mudah untuk

diselesaikan. Oleh karena itu, dalam menyelesaikan permasalahan SKD dapat

menggunakan aljabar maks-plus dengan mengubah persamaan nonlinier menjadi

persamaan linier (Schutter dan Boom [16]). Aljabar maks-plus adalah himpunan

R ∪ {−∞} yang dilengkapi operasi maksimum (⊕) dan jumlah (⊗). Sedangkan

aljabar biasa adalah himpunan bilangan real R yang dilengkapi operasi hitung

penjumlahan (+) dan perkalian (×). Schutter [15] menjelaskan bahwa terdapat

kesamaan antara aljabar maks-plus dengan aljabar biasa sehingga beberapa teori

dalam aljabar biasa juga berlaku dalam aljabar maks-plus.

Sebelumnya telah diteliti mengenai penerapan aljabar maks-plus pada sis-

tem produksi. Pada tahun 1992, Bacceli et al. [3] menjelaskan penerapan aljabar

maks-plus pada sistem mesin produksi, namun penerapan hanya dilakukan pada

1

sistem produksi sederhana. Kemudian penerapan aljabar maks-plus pada sistem

produksi sederhana diterapkan oleh Kharisma [9], Kuswanto [10], dan Rafflesia

[13]. Pada tahun 1996, Schutter [15] meneliti tentang penerapan aplikasi aljabar

maks-plus pada sistem produksi sederhana yang dapat dikembangkan menjadi 5

tipe sistem produksi yaitu sistem produksi tipe serial, assembly, splitting, parallel,

dan flexible dengan aktivitas barisan tertentu.

Dalam penelitian ini dilakukan pengamatan proses produksi untuk tiap-tiap

unit pemroses pada sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika

Utama. Harian umum Solopos merupakan salah satu harian umum terpopuler di

Kota Solo, hal ini terbukti dengan masih beredarnya harian umum Solopos sejak

terbit untuk pertama kali pada 19 September 1997. Harian umum Solopos me-

nyajikan 3 macam berita, yakni berita tentang Soloraya, Nasional dan Olahraga

yang cukup diminati juga oleh masyarakat di luar Kota Solo. Untuk proses per-

cetakan dan penerbitan harian umum Solopos dilakukan oleh anak perusahaan,

yakni PT. Solo Grafika Utama. Proses produksi harian umum Solopos di PT.

Solo Grafika Utama, setiap unit pemroses memiliki rangkaian yang dihubungkan

secara seri. Berdasarkan hasil pengamatan, dapat diterapkan sistem produksi

tipe serial yang dijelaskan oleh Schutter [15] pada sistem produksi di PT. So-

lo Grafika Utama. Selanjutnya, pada penelitian ini diteliti mengenai penerapan

aljabar maks-plus pada penjadwalan sistem produksi harian umum Solopos di

PT. Solo Grafika Utama.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, dapat dirumuskan suatu masalah yaitu bagai-

mana menentukan penjadwalan sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo

Grafika Utama dengan menggunakan sistem produksi tipe serial dalam aljabar

maks-plus ?

2

1.3 Tujuan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah dapat menentukan penjadwal-

an sistem produksi harian umum Solopos di PT. Solo Grafika Utama dengan

menggunakan sistem produksi tipe serial dalam aljabar maks-plus.

1.4 Manfaat

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini, diharapkan dengan menerapkan ha-

sil penjadwalan ini dapat mengoptimalkan waktu produksi pada sistem produksi

harian umum Solopos sehingga waktu produksi dapat digunakan secara efektif

dan efisien. Selanjutnya, hasil penulisan tugas akhir ini dapat menambah wawas-

an dalam perkembangan teori aljabar maks-plus, khususnya penerapan aljabar

maks-plus pada sistem produksi.

3