9 point circle

20
LINGKARAN SEMBILAN TITIK DAN VISUALISASINYA DENGAN MAPLE Oleh I WAYAN BAWA PARMITA

Upload: wayan-bawa

Post on 27-Jun-2015

629 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

by I Wayan Bawa Parmita

TRANSCRIPT

Page 1: 9 Point Circle

LINGKARAN SEMBILAN TITIK

DAN VISUALISASINYA DENGAN MAPLE

Oleh

I WAYAN BAWA PARMITA

Page 2: 9 Point Circle

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Segitiga adalah bangun datar yang terjadi dari tiga buah ruas garis yang menghubungkan

tiga buah titik yang tidak segaris. Segitiga didefinisikan sebagai poligon yang hanya

memiliki tiga buah sisi. Selain itu, ada yang mendefinisikan segitiga sebagai gabungan ketiga

ruas garis hubung dua-dua titik dari tiga titik yang tidak segaris. Suatu segitiga biasanya

dinyatakan dengan “∆”.

Segitiga memiliki garis – garis yang istimewa yaitu garis tinggi (Altitude), garis berat

(Median), dan garis bagi sudut (Bissectrice). Garis tinggi (Altitude) suatu segitiga adalah ruas

garis yang berujung di titik sudut suatu segitiga dan di sisi depannya atau perpanjangannya

dan tegak lurus garis pemuat sisi depan tersebut. Sehingga dalam suatu segitiga terdapat tiga

buah garis tinggi. Garis berat (Median) suatu segitiga adalah ruas garis yang berujung di titik

sudut suatu segitiga dan di titik tengah sisi di hadapan sudut tersebut. Sehingga dalam suatu

segitiga terdapat tiga buah garis berat. Garis bagi sudut (bissectrice) adalah ruas garis yang

melalui titik sudut segitiga dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besarnya

yang ujung – ujungnya terletak pada titik sudut tersebut dan pada sisi di depan sudut

tersebut. Dengan demikian, dalam suatu segitiga juga terdapat tiga buah garis bagi sudut.

Ketiga garis – garis diatas dikatakan istimewa karena dari masing – masing garis tersebut

perpotongan masing – masing garis itu terletak pada satu titik. Dalam hal ini, perpotongan

ketiga garis tinggi suatu segitiga atau perpanjangannya terletak pada suatu titik. Begitu juga

dengan garis berat dan garis bagi sudut.

Garis – garis yang memuat ketiga garis tinggi suatu segitiga berpotongan di suatu titik

yang disebut dengan orthocenter. Titik potong ketiga buah garis berat disebut dengan

centroid. Sedangkan titik potong ketiga garis bagi sudut disebut dengan incenter.

Selain orthocenter, centroid, dan incenter, dalam suatu segitiga juga terdapat suatu titik

yang disebut dengan circumcenter, yaitu titik potong ketiga garis sumbu dalam suatu

segitiga. Circumcenter ini merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiga itu sendiri.

Sesuai dengan definisi, segitiga memiliki tiga buah sisi. Dari masing – masing sisi

segitiga terdapat sebuah titik tengah sisi. Dari masing - masing garis tinggi pada suatu sudut

segitiga terdapat titik yang berpotongan dengan sisi dihadapan sudut tersebut atau

perpanjangannya. Kemudian dari orthocenter, ditarik garis ke masing – masing titik sudut

segitiga dan diperoleh tiga buah titik dari masing –masing ruas garis itu, dimana titik yang

dimaksud adalah titik tengah orthocenter dengan titik sudut segitiga. Sehingga kesembilan

titik yang diperoleh terdapat pada lingkaran, yang disebut dengan lingkaran sembilan titik.

Page 3: 9 Point Circle

2

Pembahasan mengenai pembuktian keberadaan kesembilan titik – titik tersebut pada

suatu lingkaran masih jarang dibahas. Oleh karena itu penulis merasa tertarik untuk

membahas masalah tersebut dan mencoba membahasnya dalam makalah ini. Selain itu juga

dibuat suatu visualisasi dengan Pemrograman Maple sehingga pembahasan masalah ini

menjadi semakin menarik dan mudah. Melalui program Maple ini juga akan mempermudah

melihat bahwa dari suatu segitiga terdapat sembilan buah titik yang terdapat pada lingkaran.

1.2 Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah “Bagaimana membuktikan dan

menunjukkan bahwa dari suatu segitiga terdapat sembilan titik yang terdapat pada

lingkaran?”

Dalam hal ini kesembilan titik yang dimaksud adalah titik tengah masing-masing sisi

segitiga, titik potong garis tinggi dari masing – masing titik sudut dengan sisi dihadapan

sudut tersebut atau perpanjangannya, dan titik tengah ketiga ruas garis yang menghubungkan

orthocenter dengan masing-masing titik sudut.

1.3 Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk membuktikan dan menunjukkan bahwa

dari suatu segitiga terdapat sembilan titik yang terdapat pada suatu lingkaran.

Page 4: 9 Point Circle

3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Teori – Teori yang Mendasari

2.1.1 Kesebangunan Segitiga

Teorema A :

Jika suatu garis memotong dua sisi masing-masing atas bagian yang sama

panjangnya, maka garis tersebut sejajar dengan sisi segitiga yang tak terpotong.

D adalah titik tengah AC dan E adalah titik tengah BC

Maka AB //DE .

Bukti:

Karena D adalah titik tengah AC dan E adalah titik tengah BC , maka dapat dituliskan

BC

BE

AC

AD

Dari kasus ini, terdapat dua kemungkinan, yaitu DE //AB atau DE//AB .

Andaikan DE//AB , maka ada E’ pada BC dengan E ≠ E’ sehingga AB//'DE .

Dengan itu juga dapat dituliskan bahwa

BC

BE'

AC

AD

Akibatnya BC

BE'

AC

AD atau BE'BE

Artinya pada BC ada dua titik berlainan E dan E’ yang jaraknya sama terhadap titik B.

Hal ini tidak mungkin, karena melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat

satu garis yang sejajar dengan garis yang pertama.

Karena itu, kondisi yang berlaku haruslah DE//AB .

A B

C

D E

gambar 1

Page 5: 9 Point Circle

4

A B

C D

gambar 3

E

Karena 2

1

AB

DE

BC

BE

AC

AD , maka perbandingan 1:2DE:AB

Sehingga AB2

1DE

Teorema B:

Suatu trapesium adalah sama kaki jika dan hanya jika kedua diagonalnya sama panjang.

Bukti:

Akan dibuktikan dua hal yaitu:

1). Jika suatu trapesium sama kaki maka kedua diagonalnya sama panjang.

Perhatikan ∆ ABD dan ∆ BAC

BCAD (diketahui)

ABAB (berimpit)

m(DAB) = m(BAC), karena ABCD trapesium

sama kaki

Maka BACABD menurut S – Sd – S

Akibatnya BDAC

2). Jika kedua diagonal trapesium sama panjang maka trapesium tersebut sama kaki.

Diketahui BDAC .

Melalui C dibuat garis sejajar DB sehingga memotong perpanjangan ABdi E

BECD adalah suatu jajar genjang, sehingga CABDCE

∆ CAE adalah segitiga sama kaki, sehingga m(DBA) = m(CEA) (sudut sehadap).

Dengan demikian m(CAB) = m(DBA).

Jadi CABDBA menurut Sd – S – Sd

Sehingga BCAD

A B

C D

gambar 2

Page 6: 9 Point Circle

5

Dari 1). dan 2). dapat disimpulkan bahwa Suatu trapesium adalah sama kaki jika dan hanya

jika kedua diagonalnya sama panjang.

2.1.2 Dalil Stewart

Dalil Stewart dapat digunakan untuk menentukan panjang suatu ruas garis yang

dibuat dari suatu titik sudut yang memotong sisi atau perpanjangan sisi dihadapan

sudut tersebut.

Pada ∆ BCD berlaku

ED2222 qqra ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (1)

Pada ∆ ABD berlaku

ED2222 pprc ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2)

Kedua ruas persamaan (1) dikalikan dengan p

ED2222 pqpqprpa ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (3)

Kedua ruas persamaan (2) dikalikan dengan q

ED2222 pqqpqrqc ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (4)

Jumlahkan Persamaan (3) dan (4) akan menghasilkan:

ED2ED2222222 pqpqqppqqrprqcpa

222222 qppqqrprqcpa

pqqprqpqcpa 222

bpqbrqcpa 222

A

B

C D E

c a

r

q p

b

gambar 4

Page 7: 9 Point Circle

6

bpqqcpabr 222 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (5)

Maka berlakulah hubungan bpqqcpabr 222 yang disebut dengan Dalil Stewart.

Dengan menggunakan Dalil Stewart, dapat dihitung panjang ruas garis berat dari sudut siku-

siku pada segitiga siku-siku, seperti pada gambar 5

Menurut Dalil Stewart maka

bpqqcpabr 222

Dalam hal ini, karena BD adalah garis berat, maka b2

1CDAD

Sehingga bqp2

1

Substitusikan p dan q pada persamaan (5), diperoleh:

2222

4

1

2

1

2

1bbbcbabr

Kedua ruas pada persamaan di atas dibagi dengan b, maka diperoleh

2222

4

1

2

1

2

1bcar

Karena ∆ ABC siku-siku di B, maka menurut Theorema Phytagoras b2 = a

2 + c

2

Sehingga persamaan menjadi:

22222

4

1

2

1

2

1cacar

22222

4

1

4

1

2

1

2

1cacar

222

4

1

4

1car

222

4

1car

A B

C

D

c

a b

2

1

b2

1

r

gambar 5

Page 8: 9 Point Circle

7

22

4

1br

br2

1

Jadi AC2

1CDADBD

Sehingga panjang ruas garis berat segitiga siku-siku dari sudut siku-sikunya sama dengan

setengah dari hipotenusa dari segitiga siku-siku itu sendiri.

2.2 Lingkaran Sembilan Titik

Jika deketahui sebarang segitiga, maka titik tengah masing-masing sisi, titik potong garis

tinggi dari masing-masing titik sudut dengan sisi di hadapan sudut tersebut, dan titik tengah

yang menghubungkan orthocenter dengan titik sudut segitiga terdapat pada suatu lingkaran.

.

Pada gambar 6, Misalkan ∆ ABC,

a) Ao adalah titik tengah BC , B

o adalah titik tengah AC , dan C

o adalah titik tengah

AB ;

b) A’ adalah titik potong garis tinggi dari titik A dengan BC , B’ adalah titik potong

garis tinggi dari titik B dengan AC , dan C’ adalah titik potong garis tinggi dari titik

C dengan AB ;

c) A” adalah titik tengah AH , B” adalah titik tengah BH , dan C” adalah titik tengah

CH .

gambar 6

Page 9: 9 Point Circle

8

Maka kesembilan titik-titik Ao, B

o, C

o, A’, B’, C’, A”, B”, C”, berada pada lingkaran dengan

pusat N, yaitu titik tengah orthocenter (H) dengan circumcenter (R).

Untuk membuktikan bahwa kesembilan titik di atas berada pada lingkaran, dapat dilakukan

dengan beberapa langkah:

1. Perhatikan segi empat A’AoC

oB

o pada gambar 7,

A’Ao // B

oC

o (menurut teorema A terhadap ∆ ABC)

ini berarti A’AoC

oB

o adalah sebuah trapesium.

∆ AA’B siku-siku di A’ dan Co adalah titik tengah AB , maka

AB2

1ACCA' oo (berdasakan Dalil Stewart)

Pada ∆ ABC, Ao adalah titik tengah BC dan B

o adalah titik tengah AC . Sehingga

AB2

1BA oo

Karena ooo CB// AA' dan ooo BACA' , maka A’AoC

oB

o adalah trapesium

samakaki.

Pada trapesium sama kaki selalu dapat dibuat lingkaran luar yang menyinggung

keempat titik sudutnya.

Sehingga lingkaran luar ∆ AoB

oC

o pasti memuat A’.

Dengan memperhatikan segi empat BoB’A

oC

o pada gambar 7, analog dengan cara

di atas didapatkan bahwa lingkaran luar ∆ AoB

oC

o pasti memuat B’.

A B

C

Ao

Bo

Co

B’

C’

A’

B”

C”

A”

H

R

N

gambar 7

Page 10: 9 Point Circle

9

Dengan memperhatikan segi empat AoB

oC’C

o pada gambar 7, analog dengan cara

di atas didapatkan bahwa lingkaran luar ∆ AoB

oC

o pasti memuat C’.

2.

Perhatikan ∆ ABH pada gambar 8,

A” adalah titik tengah AH dan Co adalah titik tengah AB .

Sehingga BH// CA" o . (berdasarkan teorema A terhadap ∆ ABH)

Berarti BB'// CA" o .

Perhatikan ∆ ABC,

Ao adalah titik tengah BC dan C

o adalah titik tengah AB .

Sehingga AC//CA oo . (berdasarkan teorema A)

ini memberikan bahwa AoC

oA” adalah siku-siku.

Karena ∆ A”CoA

o siku-siku di C

o dan ∆ A”A’A

o siku-siku di A’, maka sisi di

hadapannya yaitu oAA" adalah diameter dari lingkaran luar yang melalui Co dan

A’.

Karena lingkaran ini melalui Ao, C

o, dan A’, maka lingkaran ini juga melalui A”.

Analog dengan cara di atas, didapatkan:

Lingkaran ini melalui Bo, A

o, dan B’, maka lingkaran ini juga melalui B”.

Lingkaran ini melalui Co, B

o, dan C’, maka lingkaran ini juga melalui C”.

A B

C

Ao

Bo

Co

B’

C’

A’

B”

C”

A”

H

R

N

gambar 8

Page 11: 9 Point Circle

10

Dari proses di atas, diperoleh bahwa kesembilan titik-titik Ao, B

o, C

o, A’, B’, C’, A”, B”, C”,

berada pada suatu lingkaran.

2.3 Pusat dan Jari-Jari Lingkaran Sembilan Titik

Perhatikan ABH pada gambar 9, A adalah titik tengah AHdan B adalah titik tengah

BH . Sehingga AB // B"A" dan B"A" = AB2

1.

Perhatikan BCH, B adalah titik tengah BH dan C adalah titik tengah CH . Sehingga

CB // C"B" dan C"B" = BC2

1.

Perhatikan ACH, A adalah titik tengah AHdan C adalah titik tengah CH . Sehingga

AC // C"A" dan C"A" = AC2

1.

Ini berarti bahwa ABC ABC = 1 : 2 dengan orthocenter yang sama yaitu H.

Perhatikan kembali ABC , telah dibuktikan bahwa A, B, dan C pada Lingkaran

Sembilan Titik. Ini berarti Lingkaran Sembilan Titik adalah lingkaran luar A B C.

Pusat lingkaran luar ABC adalah circumcenter segitiga itu sendiri yaitu R. Sehingga

pusat dari lingkaran luar ABC adalah N, dimana N adalah titik tengah antara

orthocenter dan circumcenter ABC, atau HR2

1HN . Berarti pusat Lingkaran

Sembilan Titik adalah N.

A B

C

A’

B’

C’

Ao B

o

Co

A” B”

C”

H

N

R

gambar 9

Page 12: 9 Point Circle

11

Perhatikan BRH pada gambar 9, B adalah titik tengah BH dan N adalah titik tengah

HR , sehingga BR2

1NB"danBR//NB" .

Karena R adalah titik pusat lingkaran luar ABC dan N adalah titik pusat lingkaran

sembilan titik, maka jari-jari lingkaran sembilan titik adalah setengah dari lingkaran luar

ABC.

2.4 Lingkaran Sembilan Titik dengan Maple

Dengan menggunakan Maple, dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa kesembilan titik-

titik yang dimaksud di atas berada pada suatu lingkaran.

Dalam program ini, user dapat memasukkan titik-titik koordinat segitiga yang diinginkan

pada pendefinisian segitiga. Dalam makalah ini akan diperlihatkan visualisasi dari segitiga

ABC dengan koordinat titik A(-3,0), B(0,5), dan C(5,0).

Adapun langkah dan sintak dari program Lingkaran Sembilan Titik dengan Maple adalah

sebagai berikut:

> restart;

> with(geometry):

Mendefinisikan Segitiga ABC.

> triangle(ABC,[point(A,-3,0), point(B,0,5), point(C,5,0)]):

Menentukan titik tengah dari BC, AC, AB.

> midpoint(A0,B,C):

midpoint(B0,C,A):

midpoint(C0,A,B):

Titik Kordinat A0, B0, dan C0

> 'A0'=coordinates(A0);

'B0'=coordinates(B0);

'C0'=coordinates(C0);

A0

,

5

2

5

2

B0 [ ],1 0

C0

,

-3

2

5

2

Page 13: 9 Point Circle

12

Menentukan orthocenter dan circumcenter dari ABC.

> orthocenter( H, ABC ):

circumcircle( L, ABC,'centername'=R ):

Titik Koordinat orthocenter dan circumcenter

> 'H'=coordinates(H);

'R'=coordinates(R);

H [ ],0 3

R [ ],1 1

Menentukan Garis tinggi dari ABC.

> altitude(AA1, A, ABC, A1):

altitude(BB1, B, ABC, B1):

altitude(CC1, C, ABC, C1):

Koordinat Titik A1, B1, dan C1

> 'A1'=coordinates(A1);

'B1'=coordinates(B1);

'C1'=coordinates(C1);

A1 [ ],1 4

B1 [ ],0 0

C1

,

-15

17

60

17

Menentukan titik - titik A11, B11, C11, yaitu titik tengah orthocenter dengan titik-titik sudut

segitiga ABC.

> midpoint(A11, A, H):

midpoint(B11, B, H):

midpoint(C11, C, H):

Koordinat Titik A11, B11, dan C11

> 'A11'=coordinates(A11);

'B11'=coordinates(B11);

'C11'=coordinates(C11);

A11

,

-3

2

3

2

B11 [ ],0 4

C11

,

5

2

3

2

Page 14: 9 Point Circle

13

Lingkaran dengan pusat N yaitu titik tengah antara orthocenter dengan circumcenter dan

berjari-jari 1/2*jari-jari circumcenter

> circle( L1, [midpoint(N, H, R), 1/2*radius(L)] ):

Persamaan Lingkaran L1

> Equation(L1);

enter name of the horizontal axis > x;

enter name of the vertical axis > y;

x2 y2 x 4 y 0

> radius(L1);

1

217

Cek bahwa A0, B0, C0, A1, B1, C1, A11, B11, C11 pada lingkaran L1.

> IsOnCircle(A0, L1);

IsOnCircle(B0, L1);

IsOnCircle(C0, L1);

IsOnCircle(A1, L1);

IsOnCircle(B1, L1);

IsOnCircle(C1, L1);

IsOnCircle(A11, L1);

IsOnCircle(B11, L1);

IsOnCircle(C11, L1);

true

true

true

true

true

true

true

true

true

Page 15: 9 Point Circle

14

Visualisasi dari Lingkaran Sembilan Titik.

>draw([ABC(style=line,color=blue),A0,B0,C0,H,A1,B1,C1,A11,B11,

C11,AA1(symbol=point),BB1(symbol=point),CC1(symbol=point),R,L(

style=line, color=magenta), N, L1(style=line, filled=true,

color='COLOR'(RGB,2,2,0.8))],scaling=constrained,style=point,

symbol=circle,axes=normal);

Pada program ini, user dapat menentukan titik-titik koordinat segitiga yang

diinginkan. Setelah segitiga didefinisikan, program akan mencari titik-titik yang dimaksud

dan menghitung koordinatnya.

Dalam program ini, didefinisikan bahwa

- A0, B0, dan C0 masing-masing adalah titik tengah BC , AC , dan AB .

- A1 adalah titik potong garis tinggi dari titik A dengan BC , B1 adalah titik potong

garis tinggi dari titik B dengan AC , dan C1 adalah titik potong garis tinggi dari titik

C dengan AB .

- A11 adalah titik tengah AH , B11 adalah titik tengah BH , dan C11 adalah titik

tengah CH .

Didefinisikan juga bahwa H adalah orthocenter dari segitiga dan R adalah circumcenter dari

segitiga. Dari R, dapat dibuat lingkaran luar segitiga L.

L1 adalah lingkaran sembilan titik yang dimaksud dengan titik pusat N, dimana N adalah

titik tengah antara H dan R.

Page 16: 9 Point Circle

15

Yang paling penting disini adalah akan ditunjukkan bahwa kesembilan titik yang

dimaksud berada pada lingkaran L1. Pada program ini dituliskan dengan “IsOnCircle(Nama

Titik,Lingkaran L1”); jika output adalah “True” maka benar bahwa titik tersebut berada pada

lingkaran L1. Visualisasi dari segitiga dan lingkaran sembilan titiknya ditunjukkan dengan

perintah “draw”.

Lingkaran sembilan titik ini dapat terjadi dari suatu segitiga, karena dari tiap-tiap sisi

diperoleh tiga buah titik, dari titik potong garis tinggi dengan sisi di hadapannya diperoleh

tiga titik, dan dari titik tengah orthocenter dengan titik sudut diperoleh tiga buah titik seperti

pada gambar 6 dan 10. Akan tetapi, ada suatu kasus pada segitiga siku-siku dimana terdapat

titik-titik yang berimpit. Dapat dilihat pada gambar 11 bahwa sisi tegak dari segitiga siku-

siku merupakan garis tinggi. Sehingga akan bertemu di satu titik. Jelas juga bahwa

orthocenter terletak pada titik yang sama yaitu pada titik sudut sikunya. Akibatnya titik

tengah sisi-sisi tegaknya berimpit dengan titik tengah orthocenter dengan titik sudut

lancipnya. Jadi pada segitiga siku-siku walaupun sebenarnya terdapat sembilan titik, yang

terlihat hanyalah lima titik karena ada titik-titik yang berimpit.

gambar 11; segitiga siku-siku gambar 10; segitiga tumpul

Page 17: 9 Point Circle

16

Demikian halnya dengan segitiga sama sisi dan segitiga sama kaki. Karena adanya titik-titik

yang berimpit, maka tidak terlihat sembilan titik yang berada pada suatu lingkaran.

Gambar 12; segitiga sama kaki Gambar 13; segitiga sama sisi

Gambar 14; segitiga siku-siku sama kaki

Page 18: 9 Point Circle

17

BAB III

PENUTUP

3.1 Simpulan

Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa

1. Pada sebuah segitiga terdapat sembilan titik yang dilalui oleh sebuah lingkaran,

dimana kesembilan titik tersebut diperoleh dari titik tengah masing-masing sisi

segitiga, titik potong garis tinggi dari masing-masing titik sudut dengan sisi di

hadapan sudut tersebut atau perpanjangannya, dan titik tengah yang menghubungkan

orthocenter dengan titik sudut segitiga. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan

teori-teori kesebangunan segitiga, poligon dan lingkaran seperti pada

pembahasansebelumnya. Lingkaran yang melalui kesembilan titik ini disebut dengan

Lingkaran Sembilan Titik.

2. Titik pusat lingkaran sembilan titik adalah titik tengah antara orthocenter dan

circumcenter segitiga dengan jari-jari setengah dari jari-jari lingkaran luar segitiga itu

sendiri.

3. Visualisasi kesembilan titik yang dimaksud terlihat pada segitiga sembarang. Melalui

Maple, ternyata untuk kasus-kasus khusus seperti segitiga sama sisi terlihat enam titik,

segitiga sama kaki terlihat delapan titik, segitiga siku-siku terlihat lima titik, dan

segitiga siku-siku sama kaki terlihat empat buah titik. Hal ini disebabkan karena pada

kasus-kasus khusus tersebut terdapat titik-titik yang berimpit.

3.2 Saran

Pada segitiga-segitiga yang khusus seperti segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, dan

segitiga siku-siku tidak terlihat adanya sembilan titik yang terletak pada suatu lingkaran

karena adanya titik-titik yang berimpit. Oleh karena itu bagi pembaca yang berminat, dapat

melakukan pengkajian lebih mendalam terhadap permasalahan ini, serta memeriksa apakah

ada kemungkinan terdapat titik-titik lain yang terdapat pada lingkaran yang sama.

Bagi pembaca yang berminat bisa menyempurnakan program visualisasi lingkaran

sembilan titik yang penulis sajikan dalam makalah ini dengan menggunakan Maple atau

software yang lain. Karena program yang penulis sajikan masih kurang efisien yaitu harus

melakukan beberapa kali eksekusi untuk memperlihatkan visualisasi lingkaran sembilan titik.

Program ini belum bisa memperlihatkan visualisasi lingkaran sembilan titik hanya dalam

sekali eksekusi.

Page 19: 9 Point Circle

18

DAFTAR PUSTAKA

Greenberg, Marvin Jay. 1980. Euclidean and Non Euclidean Geometry. New York: W.H.

Freeman and Company

Wallace E.C.1992. Roads To Geometry. New Jersey: Prentice – Hall Inc.

Wardana, M.Jusuf, 1956. Ilmu Ukur Datar (Planimatra). Bandung: Pustaka Pakuan

Page 20: 9 Point Circle

19

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................... ii

DAFTAR ISI ……………………………………………………………………….. iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ……………………………………………………………….. 1

1.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………….…… 2

1.3 Tujuan ………………………………………………………………………... 2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Teori-Teori yang Mendasari ………………………………………………… 3

2.2 Lingkaran Sembilan Titik …………………………………………………… 7

2.3 Pusat dan Jari-Jari Lingkaran Sembilan Titik ……………………………….. 10

2.4 Lingkaran Sembilan Titik dengan Maple …………………………………… 11

BAB III PENUTUP

3.1 Simpulan …………………………………………………………………….. 17

3.2 Saran ………………………………………………………………………… 17

DAFTAR PUSTAKA

iii