35

10. TRANSFORMASI LINEAR

Definisi 10.1: Jika T: V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W,

maka T dinamakan transformasi linear jika dipenuhi:

(i) T(u + v) = T(u) + T(v) untuk setiap u dan v anggota V dan

(ii) T(ku) = kT(u) untuk setiap u anggota V dan setiap skalar k.

Contoh 10.1: T: R2 R

3 adalah fungsi yang didefinisikan sebagai T(v) = (x, x + y, x – y)

untuk setiap v = (x, y) R2. Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi linear.

Tentukan bayangan u = (1, –3) oleh T.

Penyelesaian:

(i) Ambil sembarang u R2 dan v R

2 maka u = (x1, y1) dan v = (x2, y2)

u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

sehingga T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)

= (x1 + x2, [x1 + x2] + [y1 + y2], [x1 + x2] – [y1 + y2])

= (x1 , x1 + y1 , x1 – y1) + (x2 , x2 + y2 , x2 – y2)

= T(u) + T(v)

(ii) Ambil sembarang u R2 dan k sembarang skalar maka u = (x1, y1)

ku = (kx1, ky1)

sehingga T(ku) = T(kx1, ky1)

= (kx1 , kx1 + ky1 , kx1 – ky1)

= k(x1 , x1 + y1 , x1 – y1)

= kT(u)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan T merupakan transformasi linear.

T(u) = T(1,–3) = (1, 1 + (–3), 1 – (–3)) = (1, –2, 4)

Misalkan T: V W adalah sebuah transformasi linear. Jika u dan v sembarang vektor dalam V,

k dan l sembarang skalar maka:

T(ku + lv) = kT(u) + lT(v).

Lebih umum, misalkan T: V W adalah sebuah transformasi linear. Jika v1, v2, …, vn,

vektor-vektor dalam V, k1, k2, …, kn skalar-skalar maka:

T(k1v1 + k2v2 + … + knvn) = k1T(v1) + k2T(v2) + … + knT(vn).

36

Contoh 10.2: Misalkan V dan W sembarang ruang vektor. T: V W adalah fungsi yang

didefinisikan sebagai T(v) = o untuk setiap v V. Tunjukkan bahwa T

merupakan transformasi linear. Selanjutnya T ini disebut transformasi nol.

Penyelesaian:

Contoh 10.3: Misalkan V sembarang ruang vektor. T: V V adalah fungsi yang didefinisikan

sebagai T(v) = v untuk setiap v V. Tunjukkan bahwa T merupakan

transformasi linear. Selanjutnya T ini disebut transformasi identitas.

Penyelesaian:

Contoh 10.4: Misalkan V = C[0, 1] adalah ruang vektor dari fungsi-fungsi kuntinu pada [0, 1].

J: V R adalah pemataan yang didefinisikan sebagai J(f) = 1

0

)( dxxf .

Tunjukkan J merupakan transformasi linear.

37

Teorema 10.1: Jika T: V W adalah transformasi linear, maka:

1. T(o) = o

2. T(–v) = –T(v) untuk setiap v V.

3. T(u – v) = T(u) – T(v) untuk setiap u, v V.

Bukti:

Definisi 10.2: Jika T: V W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di dalam V

yang dipetakan ke o dinamakan kernel T (atau ruang nol dari T). Himpunan ini

dinotasikan dengan ker(T).

Himpunan semua vektor di dalam W yang merupakan bayangan T dari paling

sedikit satu vektor dalam V dinamakan image T (atau jangkauan dari T).

Himpunan ini dinotasikan dengan Im(T).

Jadi, ker(T) = {v V T(v) = o} dan Im(T) = {w W v V, T(v) = w}

Teorema 10.2: Jika T: V W adalah transformasi linear, maka:

1. ker(T) merupakan sub ruang dari V.

2. Im(T) merupakan sub ruang dari W.

38

Bukti:

Misalkan { nvvv ...,,, 21 } adalah sebuah basis untuk ruang vektor V, dan T: V W

adalah transformasi linear. Jika kita ketahui bayangan vektor basis, yaitu T(v1), T(v2), …, T(vn)

maka kita dapat memperoleh bayangan T(v) dari sembarang vektor v dengan menyatakan

terlebih dahulu v dalam basis tersebut.

Jadi, jika

v = k1v1 + k2v2 + … + knvn

maka

T(v)= k1T(v1) + k2T(v2) + … + knT(vn).

Dengan demikian sebuah transformasi linear ditentukan secara lengkap oleh nilainya pada

sebuah basis.

Contoh 10.5: Tinjaulah basis S = { 321 .,, vvv } untuk R3, dengan v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0) dan

v3 = (1,0,0). Misalkan T: R3 R

2 adalah suatu transformasi linear sehingga

T(v1) = (1, 0), T(v2) = (2, –1) dan T(v3) = (4, 3), tentukan rumus untuk T.

Carilah T(2, –3, 5)

39

Penyelesaian:

Definisi 10.3: Jika T: V W adalah transformasi linear, maka dimensi dari Im(T) dinama-

kan rank dari T dan dimensi dari ker(T) dinamakan nulitas dari T.

Teorema 10.3: Jika V ruang vektor berdimensi berhingga dan T: V W adalah transformasi

linear, maka:

(rank dari T) + (nulitas dari T) = dim(V).

Bukti:

Misalkan dim(V) = n. Akan ditunjukkan bahwa dim[Im(T)] + dim[ker(T)] = n.

Akan dibuktikan untuk kasus 1 dim[ker(T)] n. Sedangkan kasus dim[ker(T)] = 0 dan

dim[ker(T)] = n dibiarkan sebagai latihan. Anggap dim[ker(T)] = r n dan { rvvv ...,,, 21 }

sebuah basis untuk kernel tersebut. Karena { rvvv ...,,, 21 } bebas linear, maka ada (n – r)

vektor, katakan nrr vvv ...,,, 21 sehingga { nrrr vvvvvv ...,,,,...,,, 2121 } adalah basis untuk

V. Untuk melengkapi bukti ini maka harus diperlihatkan bahwa (n – r) vektor dalam himpunan

S = { )(...,),(),( 21 nrr vTvTvT } membentuk sebuah basis untuk Im(T).

40

(i) Ditunjukkan bahwa S membangun Im(T). Jika z adalah sebarang vektor anggota Im(T),

maka z = T(v) untuk suatu v V. Karena { nrrr vvvvvv ...,,,,...,,, 2121 } basis untuk V, maka

dapat ditulis

v = c1v1 + c2v2 + … + crvr + cr+1 v r+1 + c r+2 v r+2 + … + cnvn

sehingga T(v) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + … + cr T(vr) + cr+1 T( v r+1) + c r+2 T(v r+2) + … + cn T(vn)

Karena rvvv ...,,, 21 terletak dalam Ker(T) maka T(v1) = T(v2) = … = T(vr) = o sehingga

z = T(v) = cr+1 T( v r+1) + c r+2 T(v r+2) + … + cn T(vn)

Jadi S membangun Im(T).

(ii) Selanjutnya ditunjukkan bahwa S bebas linear.

Dibentuk

kr+1 T( v r+1) + k r+2 T(v r+2) + … + kn T(vn) = o

T(kr+1 v r+1 + k r+2 v r+2 + … + kn vn) = o

Hal ini menunjukkan bahwa kr+1 v r+1 + k r+2 v r+2 + … + kn vn berada dalam Ker(T), sehingga

kr+1 v r+1 + k r+2 v r+2 + … + kn vn merupakan kombinasi linear dari rvvv ...,,, 21 . Jadi

kr+1 v r+1 + k r+2 v r+2 + … + kn vn = rr vkvkvk ...2211

rr vkvkvk ...2211 – kr+1 v r+1 – k r+2 v r+2 – … – kn vn = o

Karena { nrrr vvvvvv ...,,,,...,,, 2121 } basis yang berarti ia bebas linear maka haruslah

k1 = k2 = … = kr = kr+1 = k r+2 = … = kn = 0

Khususnya kr+1 = k r+2 = … = kn = 0

Jadi S bebas linear.

Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa S = { )(...,),(),( 21 nrr vTvTvT } sebuah basis untuk Im(T).

Oleh karena itu dim[Im(T)] = n – r.

Diperoleh

dim[Im(T)] + dim[ker(T)] = (n – r) + r = n.

(Terbukti)

41

SOAL

1. a. Diketahui fungsi T: R3 R

3, dirumuskan dengan T(x, y, z) = (x + y, x + z, 0).

Apakah T merupakan transformasi linear? Jelaskan.

b. Diketahui fungsi F: M22 R, dirumuskan dengan F

dc

ba

dc

badet

Apakah F merupakan transformasi linear? Jelaskan.

2. Misalkan

48

12 adalah matriks transformasi linear dari T: R

2 R

2 .

Apabila

c

b

y

x

48

12:

a. Tentukan nilai x dan y agar ia menjadi anggota Ker(T)

b. Tentukan nilai b dan c agar ia menjadi anggota Im(T)

c. Yang manakah dari vektor-vektor berikut terletak dalam Ker(T) dan mana yang terletak

dalam Im(T).

u =

10

5, v =

0

5, w =

4

1.

3. Diketahui T: R3 R

2 didefinisikan dengan T(x,y,z) = (2x + y, x + z)

a. Tunjukkan bahwa T suatu transformasi linear.

b. Carilah sebuah basis untuk Ker(T)

c. Tentukan dimensi Ker(T) dan dimensi Im(T).

4. Diketahui T: V W transformasi linear yang injektif (satu-satu) dari ruang vector V ke

ruang vector W. Tunjukkan:

a. Jika {T(v1), T(v2), …, T(vn)} bebas linear maka {v1, v2, …, vn} juga bebas linear

b. Jika {T(v1), T(v2), …, T(vn)} membangun Im(T) maka {v1, v2, …, vn} membangun V.