Filter Wiener, Spike dan Prediktif• Efek suatu filter ditentukan oleh watak respon sistem filter terhadap

suatu pulsa, artinya jika diketahui watak respon suatu filter terhadap pulsa, maka dapat ditentukan keluarannya untuk sebarang pulsa masukan.

• Proses filter inversi adalah untuk menghapuskan efek filter sebelumnya (misal, oleh sistem filter bumi, lapisan air laut dan lain lain.), disebut sebagai dekonvolusi. Filter Wiener merupakan metode dekonvolusi yang dapat merubah wavelet seismik menjadi bentuk spike atau mendekati spike. Metode ini menggunakan cara meminimumkan beda/kesalahan (least square error) antara keluaran wavelet seismik sebenarnya (dari rekaman lapangan) dengan keluaran wavelet seismik yang diharapkan/diinginkan.

• Keluaran wavelet seismik yang diinginkan dapat berupa spike atau spike dengan waktu tunda dan lain sebagainya. Jika efek dari filter sebelumya tidak muncul sinyal/pulsa yang dinginkan, maka filter baru harus dirancang sedemikian rupa sehingga memberikan respon pulsa impuls

(spike) setajam mungkin.

Filter WienerAndaikan diberikan data masukan gt, dan filter yang telah ada (bisa juga

yang akan dirancang) adalah ft serta keluaran yang diinginkan adalah ht,

maka hasil keluaran sebenarnya dari masukan tersebut (gt * ft ). Kesalahan

atau perbedaan antara hasil sebenarnya (gt * ft ) dengan keluaran yang

diinginkan ht adalah,

ht - (gt * ft) (7.1)

Dengan metode least square akan dioptimasi nilai elemen-elemen filter ft

sedemikian rupa sehingga kesalahan/perbedaan tersebut nol atau minimum. f

h g f i ni

t t tt

( ) 2 0 0 1 2 3 = , , , , ...

2 0

0

( ) ( )

( ) ( )

h g ff

g f

h g ff

g f

t t ti

t tt

t t ti

t tt

Dalam bentuk konvolusi

(7.2c)

hanya bentuk yang mengandung gt-i saja di dalam konvolusi yang

menyangkut fi pada suku derivatif di atas, maka persamaan tersebut

dapat dituliskan sebagai,

(7.3)

atau(7.4)

Ruas kiri adalah bentuk korelasi silang

  (7.5)

 

dan ruas kanan bila disubstitusikan indek j=(t-k) dan jumlah seluruh j menggantikan k, akan menjadi

(7.6)

yang merupakan perubahan urutan.

( . ) ( . )h g ff

g ftk

k t ki k

k t kt

0

( . )h g f gtk

t t k t it

0

h g g g ftt

t i k t i t kki

.

gh tt

t ii h g( ) .

gh t j t i jj

jj

t j t iii

i g g f f g g( ) .

Wiener Filter

Suku adalah auto korelasi pada posisi (i-j), gg(i-j). Sehingga diperoleh

persamaan normalnya berupa,

 (7.7)

 

atau (7.8) Jadi elemen-elemen matrik A adalah auto korelasi data masukan gt, dan elemen

matrik c adalah korelasi silang antara masukan gt dengan keluaran yang diinginkan

ht. Sedangkan elemen-elemen matrik f adalah nilai filter yang akan dicari.

g gt j t ii

.

gg gg gg

gg gg gg

gg gg gg n

gh

gh

gh

n

n

n n

f

f

f n

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... .... ... ...

( ) ( ) ... ( )

...

( )

( )

...

( )

0 1

1 0 1

1 0

0

10

1

A f c.

Dekonvolusi SpikeDi dalam penapisan dengan dekonvolusi spike, diharapkan bahwa wavelet yang keluar berupa spike (zero lag spike) yaitu (1, 0, 0, 0, 0, ...). Proses tersebut disebut Wiener Spiking Filter. Dengan demikian bentuk matrik pada persamaan di atas akan menjadi, 

(7.9)

gg gg gg

gg gg gg

gg gg gg n

ghn

n

n n

f

f

f

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... .... ... ...

( ) ( ) ... ( )

...

( )

...

0 1

1 0 1

1 0

0

0

0

0

1

Contoh :Diberikan wavelet masukan gt = (4, -2, 1), dan keluaran yang diharapkan

berupa spike yakni, ht = (1, 0, 0), maka filter yang akan dicari adalah

dengan A-1 = matrik inversi dari matrik A, yang elemennya fungsi auto korelasi data masukan dan matrik c adalah korelasi silang antara masukan gt dengan

keluaran yang diinginkan ht.

Elemen matrik A : gg(i-j) =

(i-j) = 0, gg(0) =

(i-j) = 1, gg(1)

(i-j) = 2, gg(2)

f A c -1

g gt t i jt

n

0

g g g g g g g gt tt

0

2

0 0 1 1 2 2 4 x 4 ( 2) x ( 2) 1 x 1 21

g g g g g g0 1 1 2 2 3 4 x (-2) ( 2) x 1 1 x 0 10

g g g g g g0 2 1 3 2 4 44 x 1 ( 2) x 0 1 x 0

Karena auto korelasi sifatnya simitri, maka

gg(-1) = gg(1) gg(-2) = gg(2)

dengan demikian diperoleh matrik A , yaitu

Inversi matrik A dihitung melalui

A-1 =

dengan adj A = (kofaktor A)T

Maka diperoleh

A

21 10 4

10 21 10

4 10 21

adj A

A

A 1

0 062 0 031 0 003

0 031 0 0775 0 031

0 003 0 031 0 062

, , ,

, , ,

, , ,

Elemen-elemen matrik c :

(i) = 0, gh(0) =

(i) = 1, gh(1)

(i) = 2, gh(2)

Sehingga matrik c

Dengan demikian elemen-elemen matrik f dapat dihitung, yakni

jadi filter yang dicari adalah f = ( 0,248 ; 0,124 ; 0,012 )

gh tt

t i tt

t ii h g g h( ) . .

g g g h g h g ht t it

0

2

0 0 1 1 2 2 4 x 1 ( 2) x 0 1 x 0 4

0322110 hghghg

g h g h g h0 2 1 3 2 4 0

c 4

0

0

f A c -1

0 062 0 031 0 003

0 031 0 0775 0 031

0 003 0 031 0 062

4

0

0

0 248

0 124

0 012

, , ,

, , ,

, , ,

,

,

,

Filter f tersebut dikenakan pada wavelet masukan sehingga diperoleh keluaran sebenarnya,

hsebenarnya = gt * ft = (4, -2, -1) * ( 0,248 , 0,124 , 0,012 )

= (0,992 ; 0; 0,048 ; 0; 0,012)

Kesalahannya dihitung menurut rumus,

error = h2 sebenarnya - h2 yg diinginkan (7.10)

= (0,992)2 + (0,048)2 + (0,012)2 - 12

= 0,0135 atau 1,35 %.

 

Dekonvolusi Prediktif• Dekonvolusi prediktif (gapped) adalah suatu filter yang berusaha

menghilangkan efek multipel. Prediksi waktu tunda (gap) filter ini dapat diperkirakan dari selisih waktu tiba rambatan gelombang pantul utama (primer) terhadap waktu tiba rambatan gelombang multipelnya. Operator dekonvolusi prediktif serupa dengan filter Wiener di depan, hanya data keluarannya untuk sinyal utama harus terjaga baik, dan nol untuk sinyal multipelnya (phase multipel selisih 180o terhadap phase sinyal utama).

• Dengan demikian pada waktu tunda tertentu L ( = prediction lag ) filter ini harus mempunyai efek mereduksi amplitudo multipel. Oleh karena itu digunakan auto korelasi gg setelah waktu tunda L (dari gh) pada keluarannya. Sehingga persamaan normalnya menjadi,

(7.11) gg jj

n

ggi j f L i( ) ( )

0

Dekonvolusi Prediktif

dalam bentuk matrik, 

(7.12) 

Persamaan ini akan memberikan filter prediksi yang panjangnnya n+1 dan waktu tunda (gap) L. Secara grafis operasi dekonvolusi prediktif ini dapat di-ilustrasikan pada gambar 7.1.

gg gg gg

gg gg gg

gg gg gg

gg gg gg

gg gg gg

L

L

n

gg

gg

gg

gg

n

n

L L L n

L L L n

n n

f

f

f

f

f

L

L

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... ... ... ...

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

... ..... .... ...

( ) ( ) ... ( )

...

...

( )

( )

...

( )

0 1

1 0 1

1

1 1

1 0

1

0

0

1

1

( )

...

( )

1

gg n L

Soal Latihan

1. a. Tentukan filter spike untuk wavelet masukan gt = [3, -1, 1] dan

keluaran yang diharapkan adalah ht = [1, 0, 0].

b. Berapa persen kesalahannya ?.

2. a. Tentukan filternya untuk wavelet masukan gt = (1, -2, 4) yang berupa

maksimum phase dan keluaran yang diharapkan adalah ht = [1, 0, 0].

b. Berapa persen kesalahannya ?.

c. Apakah filter Wiener tersebut stabil untuk wavelet maksimum phase ?