67-205-1-pb

7/26/2019 67-205-1-PB

1/14

199

TRUKTUR MARKOV PADA MA ALAH LAJU KREDIT

Riri Syafitri Lubis

Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN - SU

Jl. Williem Iskandar Pasar Medan !state" #$%&'

(Markov)!"# $%&'*+

.-, 4 5/01 23 67 89 : 4 2; 7 ?58 ABC D@

$"! +"!45> E 4 FGH IC J E!" %L"BK2,

OPN"!M , K+QRST!PU %L

BV WX 4 Q Y Z + E[\4T!PG

/01 .^O&%$ ]9:JNG # %PK

Abstrak:Penelitian ini menggunakan model Markov untukmenganalisis perubahan dalam kredit. Model dibuat untukmenghasilkan dana dan modal yang dibutuhkan untuk

membantu individu dan tingkat risiko portofolio kredit dari

instrumen kredit. Mengembangkan transisi kredit dari satutingkat ke yang lain, dan sering digunakan untuk

memperkirakan model yang menggambarkan evolusi kredit

probalistik. Semua spesifikasi yang sering digunakan adalahsimple Markov Model dengan waktu homogen. Markov

spesifikasi dapat digunakan untuk menggambarkan

perubahan jangka pendek dalam risiko portofolio.

Kata Kunci: Rantai Markov, Transisi Kredit, Manajemen

Resiko.

A.Pendahuluan

erkembangan ekonomi dunia tidak terlepas dari apa yangdisebut dengan kredit. Mulai dari aktivitas ekonomi yang

berskala kecil sampai pada aktivitas ekonomi yang berskala

besar. Kredit seolaholah sudah menjadi salah satu syarat suksesnya

seseorang. Perkembangan ini tentunya mempengaruhi turunnaiknya laju kredit.

Laju kredit adalah suatu perubahan rating kredit dari suatu

level tertentu ke level lainnya yang dipengaruhi oleh beberapa

7/26/2019 67-205-1-PB

2/14

Riri Syafitri Lubis:Struktur Markov Pada Masalah Laju Kredit

200

faktor tertentu. Laju kredit merupakan perubahan ekspektasi di

dalam kualitas kredit, yang digunakan untuk mengestimasi

penurunan distribusi, peentuan skenario analisis kredit, danpenghitungan ukuran Value at Risk (VaR). Probabilitas laju kredit

ditentukan berdasarkan data historis yang dihitung dari beberapaperiode waktu tertentu, dengan asumsi ketidakpastian.

Tujuan utama dari sistim laju kredit adalah menyediakan

klasifikasi sederhana dari risiko kegagalan terhadap rangkaian

masalah, nasabah dan lain sebagainya (Goldfeld: 1986). Turunnaiknya laju kredit pada suatu badan keuangan dapat dipengaruhi

oleh beberapa faktor antara lain adanya peningkatan kualitas

pelayanan, periklanan, promosi dan faktor lainnya.

Pengembangan laju kredit dapat dilakukan dengan pendekatan

rantai Markov (Markov Chain). Rantai Markov adalah sebuahproses perubahan dengan pola tetap sehingga akhirnya menuju ke

sebuah komposisi yang setimbang, yang tak berubah ubahlagi(Ross: 1983). Pada umumnya, keadaan setimbang itulah yang

selalu dicari, sehingga pemecahan permasalahan rantai Markov ini

menjadi sederhana.

Transisi rating atau laju memiliki makna yang sama denganestimasi probabilitas transisi, yang didalamnya terdapat beberapa

kasus statistik, yang sudah pasti berhubungan dengan probabilitas.

Secara teori, matriks transisi dapat diestimasi untuk beberapa

horizon transisi, dalam kerangka waktu yang berbeda. Transisimatriks memiliki nilai eigen. Nilai eigen ini dapat membantu untuk

menentukan bahwa laju kredit adalah Markov.

Dengan menggunakan spesifikasi model Markov denganwaktu yang homogen, proses stokastik dapat ditetapkan secaralengkap pada probabilitas transisi. Sehingga digunakan rantai

Markov sederhana untuk problema pengembangan laju laju kredit.

Rantai Markov dalam pengembangan laju kredit baik digunakankarena struktur rantai Markov dengan waktu yang homogen dapat

merepresentasikan laju kredit dalam suatu horizon waktu yang

panjang.

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas bagaimanastruktur rantai markov dalam menjelaskan pengembangan laju

kredit dan mengembangkan struktur rantai markov untuk

7/26/2019 67-205-1-PB

3/14

Vol. I No. 2, Juli Desember 2!!

201

mengestimasi probabilitas transisi laju kredit akan diuraikan dalam

pembahasan berikut ini.

B.Model Dalam Problema Laju Kredit

1. Model Satu Faktor Gaussian Copula

Model satu faktor Gaussian Copula didasarkan pada industrikeuangan sebagai suatu model yang menilai perdagangan hutang

obligasi(Bielecki et.al,2002). Andaikan :

==>t

i duu

ietFtQ 0

)(

)(1)(

itVVX

21 +=

dimana F adalah referensi filtrasi trivial (diasumsikan sebagaipendekatan langsung), i adalah intensitas marjinal, merupakan

fungsi deterministik, V dan Vi, i = 1, 2, , n adalah bebas,

variabel Gaussian dibawah Qdan parameter korelasi berada di(-1,1). Andaikan C adalah fungsi copula yang bersesuaian dengandistribusi dari vektor (X1, , Xn), maka C untuk setiap

[ ]1,0,...,,21

nvvv :

))(),...,((),...,( 11

1

11 nnnvNXvNXQvvC

7/26/2019 67-205-1-PB

4/14


202

{ } { }

==

2

1

1

))(()(1

VtFNVtFt i

iiii

Dengan kebebasan bersyarat dari X1, , Xn, yang

mempertimbangkan faktor utama V, sehingga menghasilkan pasar

risiko kredit yang luas secara sistematis, maka untuk setiap t1, , tn

+R :

=

=R

n

i

i

nndvvn

vtFNNttQ

12

1

11)(

1

))((),...,(

dimana nadalah fungsi padat peluang dari V.

2. Model Kusuoka

Model ini mengasumsikan bahwa beberapa perusahaandiklasifikasikan sebagai yang utama, ketika perusahaan lain

dijadikan yang kedua, hal ini tidak relevan dengan sudut pandang

dari model tersebut(Bielecki et.al,2002). Untuk kemudahan,diasumsikan :

Diambil n = 2, ini ditujukan untuk kasus dua nama kredit.

Tingkat suku bunga r sama dengan nol, sehingga B(t,T) = 1

untuk setiap Tt Filtrasi referensi Fadalah trivial

Semua ikatan perusahaan setuju untuk patuh kepada skema

tanpa perlindunganPersamaan harga perusahaan pada waktu [ ]Tt ,0 adalah :

)(),(21

1

0

1 ttHHTQTtD >=

Nilai diatas didasarkan pada informasi yang lengkap, seperti yang

dimodelkan filtrasi penuh 21VHHG= . Untuk perbandingan, akandievaluasi kesesuaian nilai yang didasarkan pada asumsi bahwa

hanya tersedia sebuah pengamatan parsial, secara spesifik dihitung

dengan :

)(),(1

1

0

1 tHTQTtD >= , 2

1

0

1(),(

tHTQTtD >= )

dimana t dan T adalah parameter waktu dan Hi adalah proses

filtrasi.

Spesifikasi Model :

7/26/2019 67-205-1-PB

5/14


203

Dengan ukuran peluang P waktu acaki

, i = 1, 2diasumsikan sebagai variabel acak yang saling bebas dengan

parameter eksponensial1dan 2 .

Untuk T > 0, didefinisikan suatu ukuran peluang Q yang

ekivalen dengan P pada ),( G dengan :

T

dP

dQ=

Dimana proses kepadatan Radon Nikodym [ ]Ttt

,0, memenuhi :

([ ]

)1(2

1,0

=

+=i

t

i

u

i

uutdMK

Dimana proses selanjutnyaM

1

danM

2

diberikan oleh :

== it

ii

i

ti

i

t

i

ttHduHM

0

)(

{ }it

i

tH

=1 , dan G dapat diprediksi dengan K1 dan K

2 yang

diberikan oleh :

( )

= > 11

1

11

2

tt

K

dan( )

= > 11

2

22

1

tt

K

0>i

untuk i = 1,2.

Intensitas1

dan2

dibawah Qdiberikan oleh :

{ } { }2211

11

1

7/26/2019 67-205-1-PB

6/14


204

bukan merupakan intensitas H2 dari

1 dibawah Q, ketika

diketahui:

{ } )(1)(221

1

11

1 tQtttHeEHHsQ st

Untuk mengobservasi proses1 yang merupakan intensitas H2dari

1 dibawah sebuah ukuran peluang Q

~, yang ekivalen dengan P,

diberikan oleh :

TdP

Qd~

~

=

Dimana proses kepadatan Radon Nikodym [ ]( )t

Tt ,0,~ memenuhi:

[ ]= t uuut dMK,022~1~

Hal ini dapat diperiksa dengan syarat persamaan dibawah ini

terpenuhi, untuk setiap s > t :

{ })(!)(

~ 2~

21

1

11

1 tQtttHeEHHsQ st

Hasil akhir memperlihatkan bahwa proses1 dan 2

menentukan intensitas transisi, sehingga model tersebut dapat

diterapkan dengan suatu rantai Markov dua dimensi.

Hurd dan Kuznetsov (2005) mengajukan perluasan dari rantaimarkov untuk menyelesaikan persoalan perubahan kredit dari

beberapa perusahaan. Perubahan esensial dari model yang diajukan

adalah membentuk rantai markov untuk laju kredit dari masing-

masing perusahaan yang dipersyaratkan bebas tehadap perubahan

waktu stokastik.

Model rantai markov campuran terhadap dinamika laju kredit

diajukan oleh Frydman dan Schuermann (2007). Penggabungan dua

rantai markov dilakukan pada laju perubahan diantara rating kredit.

Model ini diestimasi dengan menggunakan data historis laju kedit

dari Standard and Poors selama tahun 1981-2002 danmemperlihatkan bahwa model campuran dari kedua model tersebut

secara statistik didominasi oleh model markov sederhana dan

bahwa perbedaan diantara kedua model memiliki makna secara

7/26/2019 67-205-1-PB

7/14


205

ekonomi. Penelitian ini mempertimbangkan sebuah tipe yang

berbeda dari kelakuan non makov dan mengajukan non markov

sebagai suatu generalisasi dari suatu rantai markov waktu homogenkontinu. Suatu rantai markov waktu homogen kontinu memiliki

jangka waktu yang mengikuti distribusi eksponensial. Non markov

yang terdapat di dalam model mengimplikasikan bahwa distribusi

dari laju kredit perusahaan di masa yang akan datang bergantung

tidak hanya pada rating tertentu pada saat itu tetapi juga pada rating

di masa lampau.

C.Pengertian Kredit

Pengertian kredit mempunyai dimensi yang beraneka ragam,

dimulai dari arti kredit yang berasal dari bahasa Yunani credere

yang berarti kepercayaan, karena itu dasar kredit dalah kepercayaan.

Dengan demikian seseorang memperoleh kredit pada dasarnya

adalah memperoleh kepercayaan. Kredit dalam bahasa latin adalah

creditum yang berarti kepercayaan akan kebenaran. Dalam

praktek sehari-hari pengertian ini berkembang luas lagi menjadi

kemampuan untuk melaksanakan suatu pembelian atau mengadakan

suatu pinjaman dengan suatu janji pembayarannya akan dilakukan

pada suatu jangka waktu yang disepakati (Muljono dkk,1993).

Pada dasarnya kredit hanya satu macam saja bila dilihat dari

pengertian yang terkandung di dalamnya. Akan tetapi untuk

membedakannya, kredit dibedakan menurut faktor-faktor dan

unsur-unsur yang ada di dalam pengertian kredit, maka diperolehpembedaan kredit berdasarkan jenis penggunaan, keperluan kredit,

jangka waktu kredit, cara pemakaian, dan jaminan.

D.Rantai Markov

Suatu proses stokastik },...1,0, =nXn

yang mempunyai ruang

keadaan berupa himpunan berhingga atau himpunan terbilang.

Secara umum, ruang keadaan ini dapat dinotasikan sebagai

himpunan { 0, 1, ... }. Jika pada waktu n proses tersebut berada di

keadaan i, maka kejadian ini ditulis sebagai iXn= . Proses yang

kita pelajari mempunyai sifat khusus, yaitu untuk semua

jiii n ,,,..., 10 dan semua 0n , berlaku :} }iXjXPiXiXiXjXP

nnnnnn ======= ++ 11001 ,,...,

7/26/2019 67-205-1-PB

8/14


206

Proses stokastik },...1,0, =nXn

dinamakan rantai Markov,

sebagai penghargaan atas jasa Andrei Markov (1856-1922) yang

untuk pertama kalinya meneliti kelakuan proses stokastik tersebutsetelah proses berjalan dalam selang waktu yang panjang.

Untuk dapat menganalisis rantai Markov ke dalam suatu

kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi :

a. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari

sistim sama dengan 1.

b. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua

partisipan dalam sistim.

c. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.

d. Kondisi merupakan kondisi independen sepanjang waktu.

E. Matriks Peluang Transisi

Misalkan proses },...1,0, =nXn

suatu r antai Markov

dengan ruang keadaan { 0, 1, ... } Matriks peluang transisi (satu

langkah) dari },...1,0, =nXn

, dinotasikan P, adalah suatu matriks

dengan elemen ke (i,j)nya adalahij

P . Jadi

P =

............

...

...

...

222120

121110

020100

PPP

PPP

PPP

Definisikan }iXjXPnPnnij

=== +1)( . Peluang )(nPij ini

dikenal dengan nama peluang transisi satu langkah. Jika nilai )(nPij

sama untk setiap nilai n, maka rantai Markov }n

X dinamakanhomogen.

Dari definisiij

P dilihat bahwa elemen-elemen dari matriks P

bernilai tak negatif dan jumlah elemen-elemen pada satu baris di

matriks peluang transisi ini haruslah sama dengan satu.

Matriks transisi ini sangat membantu dalam menganalisa

kelakuan rantai markov dalam beberapa langkah ke depan dan juga

setelah proses berjalan lama (long run behavior).

Persamaan Chapman-Kolmogorov

7/26/2019 67-205-1-PB

9/14


207

Peluang proses yang berada pada keadaan iakan berada pada

keadaanjsetelah proses mengalami n transisi, misalnya dinyatakan

peluang ini dengann

ijP . Maka :

},iXjXPPmmn

n

ij === + 0,,0 jim

Dapat dilihat bahwaijij

PP =1 . Selanjutnya denganmenggunakan aturan probabilitas total, untuk semua n, ,0m dan semua ,0, ji

mn

ijP + = }iXjXP

mn ==+ 0

= } }

=

+ =====0

00,

k

nnmniXkXPiXkXjXP

=

=0k

n

ik

m

kjPP

Persamaan ini, dikenal dengan nama persamaan Chapman-

Kolmogorov. Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan suatu

metode untuk menghitung peluang transisi dalam n langkah.

Misalkan)(n

P adalah matriks dengan elemen-elemennya

merupakan peluang transisi dalam n langkahn

ijP . Dari persamaan

tersebut didapatkan : nnnnPPPPP === + )1()1()11()(

Rantai Markov yang pada awalnya berada pada keadaan i

setelah satu transisi akan berada pada keadaan j dengan peluang

yang diberikan oleh suku (i,j) dari matriks P. Secara umum,

definisi vektor baris diberikan oleh :

,...),(0

2

0

1

0 = Dengan

0

i menyatakan peluang rantai Markov berada

dikeadaan i pada permulaan proses, maka peluang setelah satu

transisi rantai Markov tersebut berada di keadaan j (0

j

), diberikan

oleh :

7/26/2019 67-205-1-PB

10/14


208

kik

kjP

=

=0

01 ,...1,0=i

Sekarang definisikan

( ),...,21

nnn = ,...2,1=n

sebagai vektor distribusi peluang dari keadaan rantai Markov

setelah n transisi. Maka dengan persamaan Chapman-Kolmogorov

di atas dapat ditunjukkan :nn

P0=

. Rantai Markov Dengan Ruang Keadaan

Berhingga

Jika ruang keadaan berhingga, distribusi peluang transisi dapat

direpresentasikan dengan sebuah matriks yang disebut matriks

transisi, dengan elemen ke (i , j) pada Psama dengan :

)Pr(1

iXjXpnnij

=== +

P adalah matriks stokastik. Selanjutnya, jika rantai Markov adalah

rantai Markov waktu homogen, sedemikian hingga matriks transisi

P bebas dari label n, maka peluang transisi k langkah dapat

dihitung sebagai kekuatan ke-kpada matriks transisi,pk.

Distribusi stasioner adalah sebuah (baris) vektor yang memenuhi

persamaan :P=

Dengan kata lain, distribusi stasioner adalah sebuah

normalisasi vektor eigen pada matriks transisi yang diasosiasikan

dengan nilai eigen sama dengan 1.

!.Diskusi

Model probabilitas sederhana untuk problema transisi laju

adalah dengan menggunakan model rantai Markov, yaitu model

rantai Markov diskrit. Model rantai Markov diskrit adalah suatu

proses stokastikt

X pada waktu diskrit t membentuk suatu

himpunan terhitung atau terbatas. Keadaan (state) adalah integerpositif. Jumlah keadaan pada suatu dimensi terbatas rantai Markov

ditandai dengan integer K. Probabilitas jXt =+1 , dimana iXt= ,

7/26/2019 67-205-1-PB

11/14


209

disebut sebagai probabilitas transisi satu langkah )(tpij

.

Probabilitas transisi merupakan fungsi dari keadaan awal dan akhir,

dan waktu transisi. Ketika probabilitas transisi adalah bebas darivariabel waktu (biasanya pada kasus di bidang aplikasi finansial),

proses Markov menjadi probabilitas transisi stasioner. Untuk kasus

ini dapat dituliskanijij

ptp =)( . Matriks transisi dari probabilitastransisi diantara semua keadaan :

=

KKKK

K

K

ppp

ppp

ppp

P

21

22221

11211

Catatan untuk setiap baris, jumlah probabilitas transisi sama dengan

satu,=

=Kj ij

p1

1Secara umum :

m

tmtPXX =+

Untuk kasus non homogen :

1112 ++++ == tttttt PPXPXX dan

11... +++ = mtttmt PPXX

Estimasi parameter probabilitas transisi rantai Markov

Spesifikasi yang populer dilakukan model rantai Markov

sederhana dengan waktu homogen. Dengan spesifikasi ini, proses

stokastik dapat dispesifikkan secara lengkap di dalam unsur-unsur

probabilitas transisi. Estimasi probabilitas transisi pada rantai

Markov sederhana dapat diselesaikan secara langsung dengan

menghitung jumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan yang

lain yang terjadi selama periode sampel tertentu. Salah satu caranya

adalah dengan menggunakan rantai sederhana dua tahap, dimana

keadaan kualitas kredit ditandai dengan risiko rendah dan risiko

tinggi.

Matriks transisi periode tunggal adalah sebagai berikut :

P =

2222

1111

1

1

pp

pp

7/26/2019 67-205-1-PB

12/14


210

Probabilitas transisi dalam suatu rantai Markov sederhana

mengandung sejumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan

yang lain yang terjadi selama periode sampel tertentu sehinggadigunakan fungsi log likelihood untuk mengestimasinya. Andaikan

ijn adalah jumlah waktu pada suatu sampel berukuran N, dimana

terdapat perpindahan dari keadaan i ke keadaan j. Fungsi log-

likelihood untuk data yang diasumsikan Markov, diberikan oleh :

1(ln PL Periode

data)2222222111121111 ln)1ln()1ln(ln pnpnpnpn +++=

Pemaksimuman fungsi ini dengan harapan parameter11

p dan

22

p dalam kasus ini, di estimasi dengan maksimum likelihood

estimator. Estimasi ini diberikan oleh :

)(

2211

11

11nn

np

+=

)(

2122

22

22nn

np

+=

Estimator-estimator ini dan generalisasinya dengan kasus K

keadaan adalah sesuai dengan pengamatan transisi satu langkah.

Andaikan terdapat data pada transisi periode kedua, maka

11p dan 22p akan diestimasi, probabilitas transisi satu periode dalamrantai Markov waktu homogen. Pertama, tandai probabilitas transisi

periode kedua, yaitu )2(11

p dan )2(22p , setiap fungsi dari

probabilitas transisi periode pertama memiliki hubungan 2)2( PP = .Secara spesifik :

=)2()2(1

)2(1)2()2(

2222

1111

pp

ppP

+

+=

)1)(1(...1

...1)1)(1(

2211

2

22

2211

2

11

ppp

ppp

Misalkan )2(11

n adalah jumlah pengamatan pada keadaan 1

untuk dua periode, )2(12

n jumlah perpindahan dari keadaan 1 ke

7/26/2019 67-205-1-PB

13/14


211

keadaan 2, log likelihood untuk mengestimasi11

p dan22

p dari data

transisi dua periode adalah :

++= ))2(1ln()2()2(ln)2()2(ln 11121111 pnpnaperiodedatPL

)2(ln)2())2(1ln()2(22222221

pnpn

Dimana )2(ij

p diatas didefinisikan dalam bentuk ijp . Ketika satu

periode dan dua periode data tersedia, likelihood total adalah

jumlah dari log likelihood, yaitu :

++++= 2222222111121111 ln)1ln()1ln(ln)2&1(ln pnpnpnpnaperiodedatPL)2(ln)2())2(1ln()2())2(1ln()2()2(ln)2(

2222222111121111pnpnpnpn

yang dimaksimumkan berkenaan denganij

p .

Publikasi laju tidak hanya tahunan. Ketika proses transisi

matriks digunakan, publikasi dapat dilakukan bulanan atau

kuartalan.

Parameter dasar dari kasus ini adalah pemisahan matriks

transisi satu periode ,,21

PP sampai denganT

P , dimana T adalah

waktu terpanjang dari transisi yang diamati. Ketika transisi multiple

periode tunggal diamati, metode diatas data digunakan untuk

mengestimasi parameter periode.

".

Penutu#Penelitian ini telah menghadirkan suatu metode untuk vektor

transisi laju dengan menggunakan pendekatan rantai Markov untuk

mengestimasi transisi kredit. Model ini diketahui dengan baik,

dimana ini adalah suatu model sederhana yang digunakan sebagai

deskripsi proses stokastik untuk resiko aset. Probabilitas transisi

dalam suatu rantai Markov sederhana mengandung sejumlah

perubahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain yang terjadi

selama periode sampel tertentu sehingga penelitian ini

menggunakan fungsi log likelihood untuk mengestimasi

probabilitas transisi tersebut. Adopsi kerangka transisi Markov

sederhana membutuhkan biaya,asumsi pembatasan pada kredit

transisi yang dibutuhkan untuk validitas model.

7/26/2019 67-205-1-PB

14/14


212

KEP$%TAKAA&

Bielecki, T. R. and M. Rutkowski., 2002, Credit Risk : Modelling,Valuation and Hedging, Berlin:Springer-Verlag

Frydman, H and Schuermann, Till., 2007, Credit Rating Dynamics

and Markov Mixture Models, Wharton Financial Instittions

Center Working Paper, No. 4-15.

Goldfeld, Stephen M. and Lester V. Chandler., 1986, The

Economics of Money and Banking, Ninth Edition,New

York:Harper&Row,Publishers,Inc

Hurd, Tom. And Kuznetsov, A., 2005, Affine Markov Chain

Models of Multifirm Credit Migration, Working Paper of Mc

Master University of Canada.Muljono, Teguh Pudjo (1993), Manajemen Perkreditan Bagi Bank

Komersil, Yogyakarta:BPFE

Ross, Sheldon M., 1983, Stochastic Process, USA:University of

California.

67-205-1-pb

Documents