6. perhitungan numerik pelat · 100 universitas kristen petra 6.2. patch test seperti telah...

99 Universitas Kristen Petra

6. PERHITUNGAN NUMERIK PELAT

Pada bab ini akan dilakukan perhitungan numerik untuk menguji kestabilan,

keakuratan, dan kekonvergensian dari elemen makro segitiga pada pelat Reissner-

Mindlin dengan menggunakan teknik DSG. Hasil yang didapat selanjutnya akan

dibandingkan dengan solusi eksak. Pengujian yang dilakukan terdiri dari uji

stability, patch test dengan 2 macam model yaitu constant curvature dan constant

shear test, pelat dengan bentuk lingkaran, bentuk segiempat, rhombic plate, dan

pengujian distorsi geometri serta geometric invariant.

6.1. Uji Stability

Pada bab ini akan dibahas mengenai kestabilan dari elemen makro segitiga

tersebut. Uji kestabilan ini dilakukan dengan menghitung rank dari matriks

kekakuan elemen makro segitiga tersebut. Rank adalah jumlah maksimum dari

vektor baris atau vektor kolom yang linearly independent. Elemen makro segitiga

tersebut dianggap stabil jika memiliki nilai rank sebesar 6. Konfigurasi elemen

makro segitiga yang digunakan terlihat seperti Gambar 6.1.

(a) (b) (c)

Gambar 6.1. (a) Elemen makro segitiga; (b) Konfigurasi 1; (c) Konfigurasi 2

Dengan menggunakan konfigurasi elemen makro segitiga seperti pada

Gambar 6.1b, dihasilkan rank sebesar 5, sehingga elemen makro segitiga tersebut

tidaklah stabil. Sedangkan dengan menggunakan konfigurasi elemen makro

segitiga seperti pada Gambar 6.1c, dihasilkan rank sebesar 6, sehingga elemen

makro segitiga tersebut stabil. Demikian, konfigurasi elemen makro segitiga yang

digunakan seperti terlihat pada Gambar 6.1c.

http://www.petra.ac.id

http://dewey.petra.ac.id/dgt_directory.php?display=classification

http://digilib.petra.ac.id/help.html


6.2. Patch Test

Seperti telah disebutkan di atas, patch test yang dilakukan terdiri dari constant

curvature test dan constant shear deformation test. Adapun untuk masing - masing

pengujian beban yang diberikan berupa prescribed displacement dan prescribed

forces pada keempat titik nodal pojok. Bentuk pelat dan properti material yang

digunakan dapat dilihat pada Gambar 6.2.

Gambar 6.2. Contoh soal untuk patch test

Sumber: Sugianto (2016, p. 94) dikutip dari Katili (1993, p. 1870)

6.2.1. Constant Curvature Test

Pengujian dilakukan untuk berbagai macam ketebalan mulai dari ℎ 𝐿⁄ =

10−4 hingga ℎ 𝐿⁄ = 104. Untuk beban prescribed displacement dapat dilihat pada

persamaan (6.1), pelat diberi perletakan jepit pada titik 1, 2, 3 dan 4. Sedangkan

untuk beban prescribed forces, pelat diberi perletakan sendi dalam jumlah

minimum dimana perletakan hanya digunakan untuk membuat pelat dalam keadaan

stabil. Dalam analisis ini, perletakan sendi diletakkan hanya pada titik 1, 2, dan 4.

Untuk beban prescribed forces dapat dilihat pada Gambar 6.3.

𝑤 = −1

2𝑥2 −

1

2𝑦2 −

1

2𝑥𝑦; 𝜓𝑥 = − (𝑥 +

𝑦

2) ; 𝜓𝑥 = − (𝑦 +

𝑥

2) (6.1)

Gambar 6.3. Gaya nodal ekivalen saat 𝑀𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑀𝑥𝑦 = 1

Sumber: Sugianto (2016, p. 95)


6.2.1.1. Prescribed Displacement

Hasil pengujian dengan prescribed displacement dapat dilihat pada Tabel

6.1. Pada tabel 6.1. displacement di titik 5 menghasilkan defleksi (w), rotasi arah x

(𝜓𝑥), dan rotasi arah y (𝜓𝑦), yang sama dengan hasil eksak. Hasil eksak yang

dihasilkan berlaku untuk berbagai macam ketebalan, yaitu dengan nilai 𝑤5 =

−33.5, 𝜓𝑥5 = −5.5, dan 𝜓𝑦5 = −8. Hal itu juga berlaku untuk momen, momen

yang dihasilkan adalah konstan dan eksak, sesuai dengan rasio h/L–nya masing-

masing. Nilai eksak momen untuk rasio h/L = 10-4 yaitu 𝑀𝑥 = 𝑀𝑦 = 1.1905 10−7

dan 𝑀𝑥𝑦 = 3.2051 10−8, sementara nilai eksak momen untuk rasio h/L = 104 yaitu

𝑀𝑥 = 𝑀𝑦 = 1.1905 1017, 𝑀𝑥𝑦 = 3.2051 1016. Kemudian untuk gaya geser, hasil

yang dihasilkan sama dengan hasil eksak yaitu nol kecuali untuk rasio h/L = 104.

Sehingga dapat dikatakan bahwa elemen linear makro segitiga pelat Reissner-

Mindlin lolos constant curvature test dengan beban prescribed displacement.

Tabel 6.1. Hasil Analisis Displacement, Momen, dan Gaya Geser, untuk

Prescribed Displacement dengan Rasio ℎ 𝐿⁄ = 10−4 sampai ℎ 𝐿⁄ = 104

h/L w 𝜓𝑥 𝜓𝑦 Mx My Mxy Qx Qy

0,0001 -33.5 -5.5 -8 1.19E-07 1.19E-07 3.21E-08 1.94E-16 -9.99E-16

0,001 -33.5 -5.5 -8 1.19E-04 1.19E-04 3.21E-05 4.17E-14 5.42E-14

0,01 -33.5 -5.5 -8 1.19E-01 1.19E-01 3.21E-02 1.07E-13 -1.42E-14

0,1 -33.5 -5.5 -8 1.19E+02 1.19E+02 3.21E+01 2.16E-12 2.27E-12

1 -33.5 -5.5 -8 1.19E+05 1.19E+05 3.21E+04 1.59E-12 4.55E-13

10 -33.5 -5.5 -8 1.19E+08 1.19E+08 3.21E+07 9.46E-11 -4.37E-11

100 -33.5 -5.5 -8 1.19E+11 1.19E+11 3.21E+10 -1.13E-06 5.75E-07

1000 -33.5 -5.5 -8 1.19E+14 1.19E+14 3.21E+13 0.00E+00 -4.66E-10

10000 -33.5 -5.5 -8 1.19E+17 1.19E+17 3.21E+16 -1.06E+00 5.37E-01

6.2.1.2. Prescribed Forces

Pada Tabel 6.2. dapat dilihat bahwa momen yang dihasilkan sudah sesuai

dengan yang diharapkan pada semua rasio h/L, yaitu bernilai konstan dan eksak

sebesar 𝑀𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑀𝑥𝑦 = −1. Kemudian nilai displacement dan gaya gesernya

sama dengan hasil eksak pada semua rasio h/L. Sehingga dapat dikatakan bahwa

elemen linear makro segitiga pelat Reissner-Mindlin lolos constant curvature test

dengan beban prescribed forces untuk displacement, momen, dan gaya geser.



Prescribed Forces dengan Rasio ℎ 𝐿⁄ = 10−4 sampai ℎ 𝐿⁄ = 104


0,0001 6.30E+07 8.40E+07 4.80E+07 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -4.12E-08 -9.43E-08

0,001 6.30E+04 8.40E+04 4.80E+04 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.38E-09 -1.70E-09

0,01 6.30E+01 8.40E+01 4.80E+01 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -5.06E-12 -9.38E-13

0,1 6.30E-02 8.40E-02 4.80E-02 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 4.42E-14 -1.09E-13

1 6.30E-05 8.40E-05 4.80E-05 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 3.47E-16 7.98E-17

10 6.30E-08 8.40E-08 4.80E-08 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -3.16E-16 -1.86E-16

100 6.30E-11 8.40E-11 4.80E-11 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -7.04E-17 -2.60E-16

1000 6.30E-14 8.40E-14 4.80E-14 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.46E-16 -1.54E-16

10000 6.30E-17 8.40E-17 4.80E-17 -1.00E+00 -1.00E+00 -1.00E+00 6.32E-17 -1.85E-16

6.2.2. Constant Shear Test

Sama dengan bentuk pengujian sebelumnya, beban yang diberikan pada

pengujian constant shear test juga menggunakan prescribed displacement dan

prescribed forces. Untuk beban prescribed displacement dapat dilihat pada

persamaan (6.2) sebagai berikut:

𝑤 =1

2𝑥 +

1

2𝑦; 𝜓𝑥 = −

1

2; 𝜓𝑦 = −

1

2 (6.2)

dan pengujian dilakukan untuk berbagai macam ketebalan mulai dari ℎ 𝐿⁄ = 10−4

hingga ℎ 𝐿⁄ = 104. Sedangkan untuk beban prescribed forces dapat dilihat pada

Gambar 6.4.

Gambar 6.4. Gaya nodal ekivalen saat 𝑄𝑥 = 1, dan 𝑄𝑦 = 0



6.2.2.1. Prescribed Displacement

Hasil pengujian dengan prescribed displacement dapat dilihat pada Tabel

6.3. Pada Tabel 6.3. menunjukkan bahwa untuk h/L ≥ 10 hasil displacement sama

dengan hasil eksak yaitu, 𝑤5 = 4.5000, 𝜓𝑥5 = −0.5000, dan 𝜓𝑦5 = −0.5000 dan

hasil gaya geser sama dengan hasil eksak yaitu, 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 = 0.32051 untuk h/L =

10-4 dan 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 = 3.2051 107 untuk h/L = 104. Tetapi untuk momen, hasil

analisis menunjukkan tidak sama dengan hasil eksak yaitu 𝑀𝑥 = 𝑀𝑦 = 𝑀𝑥𝑦 = 0

karena terjadi round-up error. Kemudian gaya geser untuk h/L ≤ 1, tidak sama

dengan eksak karena tidak mungkin ada gaya geser tanpa ada momen kecuali pelat

dipertebal. Sehingga dapat dikatakan bahwa elemen linear makro segitiga pelat

Reissner-Mindlin lolos constant shear test dengan beban prescribed displacement.


Prescribed Displacement dengan Rasio ℎ 𝐿⁄ = 10−4 sampai ℎ 𝐿⁄ = 104


0,0001 4.5000 1.5000 1.5000 -1.46E-08 3.57E-09 -2.96E-09 -5.01E-02 -7.63E-02

0,001 4.4996 1.5001 1.4999 -1.46E-05 3.57E-06 -2.96E-06 -5.01E-01 -7.63E-01

0,01 4.4618 1.5045 1.4946 -1.46E-02 3.54E-03 -2.93E-03 -5.10E+00 -7.58E+00

0,1 4.0110 1.2929 1.2037 -1.32E+01 2.81E+00 -2.38E+00 -1.70E+01 -2.06E+01

1 4.4463 -0.2791 -0.2576 -1.58E+03 4.88E+02 -3.91E+02 2.76E+03 2.76E+03

10 4.4997 -0.4971 -0.4967 -2.08E+04 7.02E+03 -5.57E+03 3.20E+04 3.20E+04

100 4.5000 -0.5000 -0.5000 -2.09E+05 7.05E+04 -5.59E+04 3.21E+05 3.21E+05

1000 4.5000 -0.5000 -0.5000 -2.09E+06 7.05E+05 -5.59E+05 3.21E+06 3.21E+06

10000 4.5000 -0.5000 -0.5000 -2.09E+07 7.05E+06 -5.59E+06 3.21E+07 3.21E+07

6.2.2.2. Prescribed Forces

Hasil pengujian dengan prescribed forces dapat dilihat pada Tabel 6.4.

Pada Tabel 6.4. menunjukan bahwa untuk h/L ≥ 10 hasil displacement sama dengan

hasil eksak yaitu, 𝑤5 = 6.24 10−8, 𝛽𝑥5 = 0, dan 𝛽𝑦5 = 0 untuk h/L = 104 dan hasil

gaya geser sama dengan hasil eksak yaitu, Qx = 1 untuk semua rasio h/L. Kemudian

gaya geser untuk h/L ≤ 1, tidak sama dengan eksak karena tidak mungkin ada gaya

geser tanpa ada momen kecuali pelat dipertebal. Sehingga dapat dikatakan bahwa

elemen linear pelat makro segitiga Reissner-Mindlin lolos constant shear test

dengan beban prescribed forces.



Prescribed Forces dengan Rasio ℎ 𝐿⁄ = 10−4 sampai ℎ 𝐿⁄ = 104


0,0001 3.09E+08 1.20E+08 -3.60E+07 -5.00E+00 -8.04E-08 -1.64E-07 3.57E+00 -6.97E+00

0,001 3.09E+05 1.20E+05 -3.60E+04 -5.00E+00 -1.58E-05 -1.67E-05 3.57E+00 -6.97E+00

0,01 3.10E+02 1.20E+02 -3.60E+01 -5.00E+00 -1.45E-03 -1.59E-03 3.41E+00 -6.73E+00

0,1 3.49E-01 1.35E-01 -3.79E-02 -5.12E+00 2.02E-02 -1.81E-02 1.74E+00 -2.77E+00

1 1.30E-03 2.36E-04 -7.81E-05 -5.72E+00 4.10E-01 1.32E-01 1.10E+00 -2.61E-01

10 6.32E-05 2.56E-07 -1.01E-07 -5.77E+00 5.13E-01 -4.26E-02 1.00E+00 -3.34E-03

100 6.24E-06 2.57E-10 -1.02E-10 -5.77E+00 5.15E-01 -4.75E-02 1.00E+00 -3.35E-05

1000 6.24E-07 2.57E-13 -1.02E-13 -5.77E+00 5.15E-01 -4.75E-02 1.00E+00 -3.35E-07

10000 6.24E-08 2.57E-16 -1.02E-16 -5.77E+00 5.15E-01 -4.75E-02 1.00E+00 -3.35E-09

Berdasarkan hasil di atas dapat dikatakan bahwa elemen linear pelat Reissner-

Mindlin dengan teknik DSG lolos constant curvature test dan constant shear test.

Sehingga menjamin hasil yang konvergen terhadap hasil eksak.

6.3. Pelat Lingkaran

Salah satu contoh soal yang akan digunakan untuk menguji kinerja elemen

linear makro segitiga pelat Reissner-Mindlin adalah pelat berbentuk lingkaran.

Peninjauan tidak dilakukan untuk satu lingkaran penuh akan tetapi cukup ditinjau

seperempat saja dengan syarat memasukkan kondisi batas untuk menjaga

kesimetrian dari pelat. Pengujian dilakukan untuk perletakan sendi dan jepit.

Adapun dimensi dan properti material dari pelat dapat dilihat pada Gambar 6.5.

Selanjutnya pelat akan dibagi-bagi dalam beberapa jumlah mesh yaitu 6, 24, 54,

dan 96 elemen. Pembagian ini digunakan untuk menguji konvergensi dari elemen

linear pelat Reissner-Mindlin khususnya untuk pelat lingkaran. Adapun bentuk

meshing dari pelat dapat dilihat pada Gambar 6.6.


Gambar 6.5. Dimensi dan properti material dari pelat lingkaran


Gambar 6.6. Model mesh dari pelat lingkaran


Solusi eksak pada pelat lingkaran untuk mencari displacement (w), momen

arah r (Mr), dan gaya geser (Q), dengan perletakan sendi dan jepit dapat dilihat pada

Tabel 6.5. Untuk menguji gejala shear locking, maka pelat ditinjau untuk ketebalan

dari ℎ = 2 hingga ℎ = 0.0001 dengan model meshing 96 elemen saja.

w=x=y=0

Symmetry condition: on CB : y = 0

on CA : x = 0


Tabel 6.5. Solusi Eksak untuk Pelat Lingkaran dengan Perletakan Sendi

dan Perletakan Jepit

Perletakan Sendi Perletakan Jepit

𝑤 = 𝑓𝑧𝑅4

64𝐷𝑏(1 −

2) ((6+2𝑣)

(1+𝑣)− (1 +

2) +8(ℎ 𝑅)⁄ 2

3𝑘(1−𝑣)) 𝑤 =

𝑓𝑧𝑅4

64𝐷𝑏(1 −

2) ((1 − 2) +

8(ℎ 𝑅)⁄ 2

3𝑘(1−𝑣))

𝑀𝑟 = 𝑓𝑧𝑅2

16(3 + 𝑣)(1 −

2) 𝑀𝑟 = 𝑓𝑧𝑅2

16(1 + 𝑣) (1 −

(3+𝑣)

(1+𝑣)

2)

𝑇𝑟 = − 𝑓𝑧𝑟

2 𝑇𝑟 = −

𝑓𝑧𝑟

2


6.3.1. Perletakan Sendi

Berikut ini ditunjukkan hasil dari analisis berupa displacement dalam bentuk

3 dimensi, diagram momen dan gaya geser dalam bentuk kontur warna, dan

diagram momen dan gaya geser dalam bentuk kontur garis. Sebagai contoh

digunakan pelat dengan jumlah elemen 96 dan ketebalan ℎ = 2. Adapun hasil

analsa dapat dilihat pada Gambar 6.7a. – Gambar 6.7c.

Gambar 6.7a. Displacement pelat dalam bentuk 3 dimensi untuk perletakan sendi

dengan 96 elemen dan h=2

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

2

4

6

53

54

44

45

55

35

36

46

26

27

563728

47

1718

57

29 38

X axis

19

48

1011

20

39

12

58

5 6

2130

4049

13

Reissner-Mindlin Plate Element

31

7

2

3

2214

8

23

1

15

4

325041

24

59

9

33

16

4251

25

60

Y axis

34435261

w


(a)

(b)

Gambar 6.7b. Momen pelat (Mx, My, dan Mxy) untuk perletakan sendi dengan 96

elemen dan h=2. (a) dalam bentuk kontur warna; (b) dalam bentuk kontur garis

0 5

0

2

4

Bending moment in the x-direction

1

2

3

4

5

0 5

0

2

4

Bending moment in the y-direction

1

2

3

4

5

0 5

0

2

4

Twisting moment

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 2 40

1

2

3

4

5

3.0

12

4

3.4343.85564.27724.6989


0 2 40

1

2

3

4

5

1.74312.16252.58183.00123.42053.8399

4.25934.6786


0 2 40

1

2

3

4

5

-0.46432-0.39907-0.33383-0.26858-0.20334

-0.1

3809

-0.07

2845

Twisting Moment


(a)

(b)

Gambar 6.7c. Gaya geser pelat (Qx, dan Qy) untuk perletakan sendi dengan 96


0 5

-4

-2

0

2

4

6

8

Shear force at x planes

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 5

-4

-2

0

2

4

6

8

Shear force at y planes

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

70.3

0698

0.3

06

98

0.5

14

96

0.5

14

96

0.7

22

95

0.7

22

95

0.9

3093

0.9

3093

1.1

389

1.1

389

1.3

46

91.3

46

91.5

54

91.7

62

91.9

70

8


0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0.33323

0.55445

0.775680.996911.21811.4394

1.66061.8818



Pengujian konvergensi pada pelat dengan perletakan sendi hanya ditunjukkan

pada pelat dengan rasio 𝑅 ℎ⁄ yaitu 2.5, 50 dan 50000 yang mewakili keadaan pelat

yang sangat tebal, normal, dan sangat tipis. Pengujian dilakukan untuk mengamati

konvergensi dari displacement dan momen. Adapun hasil pengujian dapat dilihat

pada Tabel 6.6a. sampai 6.6b. Tabel-tabel tersebut kemudian diperjelas lagi dalam

Gambar 6.8a. – Gambar 6.8f. Sebagai pembanding, ditampilkan juga hasil-hasil

dari elemen linear makro segitiga standar dengan teknik DSG (Sugianto, 2016).

Tabel 6.6a. Perbandingan Konvergensi Displacement (w) pada Pusat Lingkaran

untuk 6, 24, 54, dan 96 Elemen

R/h Eksak

Jumlah Elemen

6 24 54 96

Makro Standar Makro Standar Makro Standar Makro Standar

2.5 5.87E+00 5.57E+00 5.10E+00 5.81E+00 5.72E+00 5.85E+00 5.80E+00 5.86E+00 5.84E+00

50 3.98E+04 3.17E+04 2.94E+04 3.73E+04 3.64E+04 3.88E+04 3.84E+04 3.93E+04 3.90E+04

50000 3.98E+13 3.00E+13 2.82E+13 3.00E+13 3.50E+13 3.01E+13 3.63E+13 3.03E+13 3.71E+13

Tabel 6.6b. Perbandingan Konvergensi Momen Arah Radius (Mr) pada Pusat

Lingkaran untuk 6, 24, 54, dan 96 Elemen

R/h Eksak

Jumlah Elemen

6 24 54 96


2.5 5.1563 4.4641 4.0258 4.9840 3.6664 5.0862 4.7089 5.1205 4.8164

50 5.1563 3.4844 3.0689 4.6376 3.4215 4.9698 4.5437 5.0693 4.7791

50000 5.1563 3.1159 2.8283 3.1215 3.3217 3.1268 4.4614 3.1441 4.2948


Gambar 6.8a. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat lingkaran

untuk 6, 24, 54, dan 96 elemen dengan 𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.8b. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat lingkaran

untuk 6, 24, 54, dan 96 elemen dengan 𝑅/ℎ = 50

Gambar 6.8c. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat lingkaran


0,86

0,88

0,9

0,92

0,94

0,96

0,98

1

1,02

6 24 42 60 78 96

w/w

eksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

6 24 42 60 78 96

w/w

eksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

6 24 42 60 78 96

w/w

eksa

k

N

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.8d. Perbandingan konvergensi momen arah radius (Mr) pada pusat

lingkaran untuk 6, 24, 54, dan 96 elemen dengan 𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.8e. Perbandingan konvergensi momen arah radius (Mr) pada pusat

lingkaran untuk 6, 24, 54, dan 96 elemen dengan 𝑅/ℎ = 50

Gambar 6.8f. Perbandingan konvergensi momen arah radius (Mr) pada pusat


0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

6 24 42 60 78 96

Mr/

Mr e

ksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0,55

0,65

0,75

0,85

0,95

1,05

6 24 42 60 78 96

Mr/

Mr e

ksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

6 24 42 60 78 96

Mr/

Mr e

ksa

k

N

Eksak

Makro

Standar


Dari hasil pengujian konvergensi di atas dapat dilihat bahwa hasil analisis

terhadap displacement dan momen menunjukkan hasil yang konvergen untuk

semua ketebalan. Tetapi, untuk pengujian akurasi untuk pelat tipis masih jauh dari

hasil eksaknya. Hasil pengujian shear locking pada pelat dengan perletakan sendi

ditunjukkan pada Tabel 6.7. Adapun hasil dari tabel kemudian digambarkan pada

Gambar 6.9.

Tabel 6.7. Perbandingan Hasil Displacement dan Solusi Eksak pada Pusat

Lingkaran dengan Jumlah Elemen 96 dan Rasio 𝑅/ℎ Mulai dari 2.5 hingga 50000

R/h 2,5 5 50 500 5000 50000

Eksak 5.87E+00 4.16E+01 3.98E+04 3.98E+07 3.98E+10 3.98E+13

96 elemen 5.86E+00 4.15E+01 3.93E+04 3.60E+07 3.24E+10 3.03E+13

Gambar 6.9. Perbandingan hasil displacement dan solusi eksak pada pusat

lingkaran dengan jumlah elemen 96 dan rasio 𝑅/ℎ mulai dari 2.5 hingga 50000

Dari hasil yang ditunjukkan pada Gambar 6.9., dapat dilihat bahwa terdapat

gejala shear locking yang terjadi dan hasil yang ditunjukkan juga memiliki

keakurasian yang rendah. Dapat dikatakan bahwa elemen linear makro segitiga

pelat lingkaran Reissner-Mindlin ini belum bisa menghilangkan fenomena shear

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

0,5 5 50 500 5000 50000

w/w

eksa

k

R/h

Eksak Makro (96 elemen)


locking pada ketebalan pelat yang sangat tipis dengan rasio jari-jari dibanding

ketebalan sebesar R/h ≥ 50.

Berdasarkan hasil plot pada Gambar 6.10a. – Gambar 6.10i. dapat dilihat

bahwa diagram displacement, momen dan geser, yang dihasilkan oleh elemen linear

makro segitiga pelat lingkaran Reissner-Mindlin memiliki hasil yang mendekati

hasil eksaknya untuk pelat tebal dan normal, tetapi untuk pelat tipis hasilnya tidak

memuaskan.

Gambar 6.10a. Displacement (w) pada potongan C-B dengan rasio 𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.10b. Displacement (w) pada potongan C-B dengan rasio 𝑅/ℎ = 50

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

w

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

45000

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

w

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.10c. Displacement (w) pada potongan C-B dengan rasio 𝑅/ℎ = 50000

Gambar 6.10d. Diagram momen arah radius (Mr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.10e. Diagram momen arah radius (Mr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50

0

5E+12

1E+13

1,5E+13

2E+13

2,5E+13

3E+13

3,5E+13

4E+13

4,5E+13

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

w

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

0

1

2

3

4

5

6

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

Mr

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

0

1

2

3

4

5

6

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

Mr

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.10f. Diagram momen arah radius (Mr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50000

Gambar 6.10g. Gaya geser arah radius (Qr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.10h. Gaya geser arah radius (Qr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50

0

1

2

3

4

5

6

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

Mr

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar


(a)

(b)

Gambar 6.10i. Gaya geser arah radius (Qr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50000. (a) Tampak semua; (b) Detail

6.3.2. Perletakan Jepit




digunakan pelat dengan jumlah elemen 96 dan ketebalan ℎ = 2. Adapun hasil

analisis dapat dilihat pada Gambar 6.11a. – Gambar 6.11c.

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Standar


Gambar 6.11a. Displacement pelat dalam bentuk 3 dimensi untuk perletakan jepit

dengan 96 elemen dan h=2

(a)

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

53

54

44

45

5546

35

36

37

26

27

56

28

47

1718

57

2938

X axis

19

48

1011

20

39

58

12

49

5 6

2130

40

13


31

7

2

3

2214

59

8

23

1

15

4

3241

24

50

9

33

16

4251

25

60

Y axis

344352

61

w

0 5

0

2

4


-2

-1

0

1

0 5

0

2

4


-2

-1

0

1

0 5

0

2

4

Twisting moment

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2


(b)

Gambar 6.11b. Momen pelat (Mx, My, dan Mxy) untuk perletakan jepit dengan 96


(a)

0 2 40

1

2

3

4

5

-0.0

82718

0.333550.749811.16611.5823


0 2 40

1

2

3

4

5

-1.303

-0.0748090.334570.743951.15331.5627


0 2 40

1

2

3

4

5

-0.47923-0.41185-0.34448-0.2771-0.20973

-0.1

4235

-0.07

4976

Twisting Moment

0 5

-4

-2

0

2

4

6

8


0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 5

-4

-2

0

2

4

6

8


0.5

1

1.5

2

2.5


(b)

Gambar 6.11c. Gaya geser pelat (Qx, dan Qy) untuk perletakan jepit dengan 96


Pengujian konvergensi pada pelat dengan perletakan jepit hanya ditunjukkan

pada pelat dengan rasio 𝑅 ℎ⁄ yaitu 2.5, 50 dan 50000 yang mewakili keadaan pelat

yang sangat tebal, normal, dan sangat tipis. Pengujian dilakukan untuk mengamati

konvergensi dari displacement dan momen. Adapun hasil pengujian dapat dilihat

pada Tabel 6.8a. – Tabel 6.8b. Tabel-tabel tersebut kemudian diperjelas kembali

dalam Gambar 6.12a. – Gambar 6.12f.

Tabel 6.8a. Perbandingan Konvergensi Displacement (w) pada Pusat Lingkaran

untuk 6, 24, 54, dan 96 Elemen

R/h Eksak

Jumlah Elemen

6 24 54 96


2.5 2.11E+00 1.80E+00 1.54E+00 2.05E+00 2.01E+00 2.09E+00 2.08E+00 2.10E+00 2.10E+00

50 9.78E+03 6.56E+02 4.34E+02 5.83E+03 5.35E+03 8.44E+03 7.45E+03 9.23E+03 8.73E+03

50000 9.77E+12 7.40E+05 4.71E+05 2.25E+07 3.35E+12 1.44E+08 6.34E+11 6.34E+08 7.28E+11

0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0.3

0415

0.3

04

15

0.5

06

89

0.5

06

89

0.7

09

64

0.7

09

64

0.9

1238

0.9

1238

1.1

15

11.1

151

1.3

179

1.3

17

9

1.5

206

1.5

20

61.7

23

41.9

26

1


0 1 2 3 4 5-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

0.33135

0.55035

0.769340.98834

1.20731.4263

1.64531.8643



Tabel 6.8b. Perbandingan Konvergensi Momen Arah Radius (Mr) pada Pusat

Lingkaran untuk 6, 24, 54, dan 96 Elemen

R/h Eksak

Jumlah Elemen

6 24 54 96


2,5 2.0313 1.3701 1.1946 1.8690 0.3685 1.9664 1.6275 1.9986 1.7897

50 2.0313 0.1394 0.1158 1.3555 0.0145 1.8171 1.2067 1.9376 1.6542

50000 2.0313 0.0000 0.0000 0.0000 0.1668 0.0001 0.6610 0.0003 0.6463

Gambar 6.12a. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat lingkaran

untuk 6, 24, 54, dan 96 elemen dengan 𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.12b. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat lingkaran


0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

1

1,05

6 24 42 60 78 96

w/w

eksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

6 24 42 60 78 96

w/w

eksa

k

N

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.12c. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat lingkaran


Gambar 6.12d. Perbandingan konvergensi momen arah radius (Mr) pada pusat

lingkaran untuk 6, 24, 54, dan 96 elemen dengan 𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.12e. Perbandingan konvergensi momen arah radius (Mr) pada pusat


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

6 24 42 60 78 96

w/w

eksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

6 24 42 60 78 96

Mr/

Mr e

ksa

k

N

Eksak

Makro

Standar

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

6 24 42 60 78 96

Mr/

Mr e

ksa

k

N

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.12f. Perbandingan konvergensi momen arah radius (Mr) pada pusat


Dari hasil pengujian konvergensi di atas dapat dilihat bahwa hasil analisis

terhadap displacement dan momen menunjukkan hasil yang konvergen untuk

ketebalan normal dan tebal, namu untuk ketebalan sangat tipis, hasil yang

didapatkan sangat jelek. Hasil pengujian shear locking pada pelat dengan

perletakan jepit ditunjukkan pada Tabel 6.9. Adapun hasil dari tabel kemudian

digambarkan pada Gambar 6.13.

Tabel 6.9. Perbandingan Hasil Displacement dan Solusi Eksak pada Pusat

Lingkaran dengan Jumlah Elemen 96 dan Rasio 𝑅/ℎ Mulai dari 2.5 Hingga 50000

R/h 2,5 5 50 500 5000 50000

Eksak 2.08E+00 1.14E+01 8.73E+03 2.40E+06 8.18E+08 7.28E+11

96 elemen 2.10E+00 1.14E+01 9.23E+03 2.69E+06 6.13E+07 6.34E+08

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

6 24 42 60 78 96

Mr/

Mr e

ksa

k

N

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.13. Perbandingan hasil displacement dan solusi eksak pada pusat

lingkaran dengan jumlah elemen 96 dan rasio 𝑅/ℎ mulai dari 2.5 hingga 50000

Dari hasil yang ditunjukkan pada Gambar 6.13., dapat dilihat bahwa terdapat

gejala shear locking yang terjadi dan hasil yang ditunjukkan juga memiliki

keakurasian yang jelek. Dapat dikatakan bahwa elemen linear makro segitiga pelat

lingkaran Reissner-Mindlin ini belum bisa menghilangkan fenomena shear locking

pada ketebalan pelat yang sangat tipis dengan rasio jari-jari dibanding ketebalan

sebesar R/h ≥ 50

Berdasarkan hasil plot pada Gambar 6.14a. – Gambar 6.14i. dapat dilihat

bahwa diagram displacement, momen dan geser, yang dihasilkan oleh elemen linear

makro segitiga pelat lingkaran Reissner-Mindlin memiliki hasil yang mendekati

hasil eksaknya untuk pelat tebal dan normal, tetapi untuk pelat tipis hasilnya tidak

memuaskan.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,5 5 50 500 5000 50000

w/w

eksa

k

R/h

Eksak Makro (96 elemen)


Gambar 6.14a. Displacement (w) pada potongan C-B dengan rasio 𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.14b. Displacement (w) pada potongan C-B dengan rasio 𝑅/ℎ = 50

Gambar 6.14c. Displacement (w) pada potongan C-B dengan rasio 𝑅/ℎ = 50000

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

w

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

w

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

0

2E+12

4E+12

6E+12

8E+12

1E+13

1,2E+13

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

w

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.14d. Diagram momen arah radius (Mr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.14e. Diagram momen arah radius (Mr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50

Gambar 6.14f. Diagram momen arah radius (Mr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50000

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

Mr

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

Mr

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

Mr

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar


Gambar 6.14g. Gaya geser arah radius (Qr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 2.5

Gambar 6.14h. Gaya geser arah radius (Qr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50

Gambar 6.14i. Gaya geser arah radius (Qr) pada potongan C-B dengan rasio

𝑅/ℎ = 50000

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-10

-5

0

5

10

15

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar

-200

-100

0

100

200

300

0 0,625 1,25 1,875 2,5 3,125 3,75 4,375 5

V

-X Axis (m)

Eksak

Makro

Standar


6.4. Rhombic Plate

Contoh soal lain yang akan digunakan untuk menguji kinerja elemen makro

segitiga Reissner-Mindlin dengan DSG adalah pelat berbentuk jajar genjang

(rhombic plate). Dalam pengujian digunakan rhombic plate dengan ukuran L = 100

m dan sudut = 30o (sudut kritis) karena banyak elemen yang gagal pada rhombic

plate dengan sudut kritis. Pengujian dilakukan untuk perletakan sendi. Adapun

dimensi dan properti material dari pelat dapat dilihat pada Gambar 6.15.

Gambar 6.15. Dimensi dan properti material dari rhombic plate


Selanjutnya pelat akan dibagi-bagi dalam beberapa model mesh yaitu 4x4,

8x8, 16x16, dan 32x32 elemen. Pembagian ini digunakan untuk menguji

konvergensi dari elemen DSG khususnya untuk rhombic plate. Penomoran elemen

menggunakan cara manual. Adapun bentuk mesh dari pelat yang dapat dilihat pada

Gambar 6.16.

4x4 8x8


16x16 32x32

Gambar 6.16. Model mesh untuk rhombic plate

Pengujian konvergensi, dengan penomoran elemen menggunakan cara

manual untuk L/h = 1000, yang dapat dilihat pada Tabel 6.10a. – Tabel 6.10c,

dilakukan dengan mengamati displacement, momen maksimum, dan momen

minimum pada titik tengah dari pelat. Hasil pengamatan dibandingkan dengan hasil

eksak dan dari elemen standar. Secara lebih jelas, hasil dari tabel kemudian

digambarkan pada Gambar 6.17a. – Gambar 6.17c.

Tabel 6.10a. Konvergensi Mesh terhadap Displacement (w) pada titik tengah pelat

dengan L/h = 1000

Mesh wc=wc*103*Db/fz/L4

Standar Makro Eksak

4x4 0.361 0.376 0.408

8x8 0.308 0.307 0.408

16x16 0.310 0.304 0.408

32x32 0.346 0.353 0.408

Tabel 6.10b. Konvergensi Mesh terhadap Momen Maksimum pada titik tengah

pelat dengan L/h = 1000

Mesh Mmaks=Mmaks*103/fz/L2

Standar Makro Eksak

4x4 15.595 16.076 19.1

8x8 15.687 15.887 19.1

16x16 17.066 16.626 19.1

32x32 18.458 17.647 19.1


Tabel 6.10c. Konvergensi Mesh terhadap Momen Minimum pada titik tengah


Mesh Mmin=Mmin*103/fz/L2

Standar Makro Eksak

4x4 9.389 9.733 10.8

8x8 11.019 11.016 10.8

16x16 12.262 10.886 10.8

32x32 13.465 10.048 10.8

Untuk pelat dengan L/h = 1000, dapat dilihat pada Gambar 6.17a. – 6.17c, bahwa

hasil displacement dari elemen makro lebih baik daripada elemen standar, namun

hasil keduanya tetap lebih kecil daripada hasil eksak yang dibuktikan oleh nilai

error yang besar terhadap nilai eksaknya. Begitu juga dengan hasil momen

maksimum, lebih kecil daripada hasil eksak namun tetap konvergen. Sedangkan

untuk hasil momen minimum, hasil pada mesh 8x8 dan 16x16 memberikan hasil

yang melampaui hasil eksak.

Gambar 6.17a. Persentase error displacement (w) terhadap hasil eksak pada titik

tengah rhombic plate untuk L/h = 1000

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35

Erro

r D

isp

lace

men

t(%

)

Jumlah Mesh

Standar

Makro


Gambar 6.17b. Persentase error momen maksimum terhadap hasil eksak pada

titik tengah rhombic plate untuk L/h = 1000

Gambar 6.17c. Persentase error momen minimum terhadap hasil eksak pada titik


Kemudian hasil dari pengujian pelat dengan L/h = 100, dengan penomoran

elemen menggunakan cara manual, dapat dilihat pada Tabel 6.11a. – Tabel 6.11c.

Secara lebih jelas, hasil dari tabel kemudian digambarkan pada Gambar 6.18a. –

Gambar 6.18c.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 5 10 15 20 25 30 35

Erro

r M

om

en M

aksi

mu

m (

%)

Jumlah Mesh

Standar

Makro

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25 30 35

Erro

r M

om

en M

inim

um

(%

)

Jumlah Mesh

Standar

Makro


Tabel 6.11a. Konvergensi Mesh terhadap Displacement (w) pada titik tengah pelat

dengan L/h = 100

Mesh wc=wc*103*Db/fz/L4

Standar Makro Eksak

4x4 0.363 0.378 0.408

8x8 0.378 0.390 0.408

16x16 0.403 0.411 0.408

32x32 0.416 0.419 0.408

Tabel 6.11b. Konvergensi Mesh terhadap Momen Maksimum pada titik tengah


Mesh Mmaks=Mmaks*103/fz/L2

Standar Makro Eksak

4x4 15.599 16.106 19.1

8x8 18.379 18.346 19.1

16x16 19.066 19.052 19.1

32x32 19.269 19.339 19.1

Tabel 6.11c. Konvergensi Mesh terhadap Momen Minimum pada titik tengah


Mesh Mmin=Mmin*103/fz/L2

Standar Makro Eksak

4x4 9.205 9.467 10.8

8x8 11.510 10.919 10.8

16x16 11.670 10.983 10.8

32x32 11.185 11.193 10.8

Untuk pelat dengan L/h = 100, hasil yang didapatkan oleh elemen makro lebih

baik daripada L/h = 1000 karena memiliki error yang lebih rendah, seperti yang

dapat dilihat pada Gambar 6.18a. – 6.18c. Hasil displacement dari elemen makro

lebih baik daripada elemen standar meskipun pada mesh 16x16 dan 32x32 hasil

elemen makro melebihi hasil eksak. Sementara untuk hasil momen maksimum,

hasil yang didapatkan pada elemen makro sangat mendekati dan konvergen

terhadap hasil eksak. Kemudian untuk hasil momen minimum, hasil yang

didapatkan oleh elemen makro melampaui eksak pada mesh 8x8, 16x16 dan mesh

32x32 dengan error yang cukup berarti karena hal tersebut.


Gambar 6.18a. Persentase error displacement (w) terhadap hasil eksak pada titik


Gambar 6.18b. Persentase error momen maksimum terhadap hasil eksak pada

titik tengah rhombic plate untuk L/h = 100

Gambar 6.18c. Persentase error momen minimum terhadap hasil eksak pada titik


-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40

Erro

r D

isp

lace

men

t (%

)

Jumlah Mesh

Standar

Makro

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40

Erro

r M

om

en M

aksi

mu

m (

%)

Jumlah Mesh

Standar

Makro

-10

-5

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40

Erro

r M

om

en m

inim

m (

%)

Jumlah Mesh

Standar

Makro


Berikut ini ditunjukkan nilai momen pada sisi diagonal BD (lihat Gambar

6.15 untuk mengetahui sisi BD) yang didapat dengan melakukan transformasi

putaran dari sumbu koordinat awal dengan persamaan (6.3). Adapun sudut putaran

sebesar 15° dari arah sumbu x positif. Sumbu koordinat baru berupa sumbu n dan s

yang masing-masing merupakan putaran dari sumbu x dan y.

[𝑀𝑛𝑛 𝑀𝑛𝑠

𝑀𝑛𝑠 𝑀𝑠𝑠] = [

𝐶 𝑆−𝑆 𝐶

] [𝑀𝑥𝑥 𝑀𝑥𝑦

𝑀𝑥𝑦 𝑀𝑦𝑦] [

𝐶 𝑆−𝑆 𝐶

]𝑇

(6.3)

Momen hasil putaran selanjutnya akan disebut MAC yang ekivalen dengan Mnn

dan MBD yang ekivalen dengan Mss. Tabel 6.12 memperlihatkan nilai momen

diagonal pada tengah pelat dimana untuk tipe mesh 4x4 hingga mesh 32x32

memiliki nilai yang mendekati satu sama lain. Selain itu untuk memperjelas hasil

momen di sepanjang diagonal BD, maka diagram momen MAC dan MBD

digambarkan pada Gambar 6.19.

Keunikan dari momen diagonal rhombic plate terletak pada nilai singularitas

momen di titik pojoknya. Untuk masing-masing diagram momen MAC dan MBD nilai

momen harus menuju ke arah negatif tak terhingga dan positif tak terhingga.

Banyak elemen yang gagal dalam menggambarkan fenomena ini seperti nilai

singularitas yang mengarah ke tanda yang sama, cenderung menuju ke hasil yang

terhingga, dan beberapa lainnya. Oleh karena itu, cukup menarik untuk

membandingkan nilai momen dari elemen makro 32x32 dengan referensinya.

Adapun referensi didapat menggunakan SAP2000 dengan elemen segiempat

berjumlah 64x64.

Tabel 6.12. Nilai Momen Diagonal pada Titik Tengah Rhombic Plate

Momen Mesh 4x4 Mesh 8x8 Mesh 16x16 Mesh 32x32

MAC 94.6725 109.1909 109.8274 111.9338

MBD 161.0642 183.4605 190.5203 193.3933

Hasil pada Gambar 6.19. menunjukkan bahwa hasil plot momen sepanjang

diagonal BD antara elemen standar, makro dan referensi dari SAP2000 memiliki

nilai yang hampir sama. Terlihat bahwa elemen ini mampu menggambarkan

singularitas pada titik pojok dengan cukup baik tanpa adanya perubahan ke arah

tanda yang sama.


Gambar 6.19. Momen rhombic plate disepanjang diagonal BD untuk L/h = 100

dengan mesh 32x32

6.5. Pelat Bujursangkar

Contoh soal lain yang akan digunakan adalah pelat berbentuk bujursangkar.

Peninjauan cukup dilakukan hanya untuk seperempat bagian saja dengan syarat

memasukkan kondisi batas untuk menjaga kesimetrian dari pelat. Pengujian

dilakukan untuk perletakan sendi dan jepit. Selanjutnya pelat akan dibagi-bagi

dalam beberapa jumlah mesh yaitu N = 2, 4, 6, dan 8 dengan 2 buah orientasi.

Pembagian ini digunakan untuk menguji konvergensi dari elemen makro khususnya

untuk pelat bujursangkar. Adapun dimensi, properti material, dan bentuk mesh dari

pelat dapat dilihat pada Gambar 6.20. Hasil yang didapatkan akan dibandingkan

dengan hasil eksak dan hasil dari elemen standar.

Gambar 6.20. Dimensi dan properti material dari pelat bujursangkar

Sumber: Sugianto (2016, p. 144) dikutip dari Batoz dan Katili (1992, p. 1627)

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0 10 20 30 40

M

Momen AC (Standar)

Momen BD (Standar)

Momen AC (Makro)

Momen BD (Makro)

SAP2000 Momen AC

SAP2000 Momen BD


6.5.1. Perletakan Sendi Tipe Hard




digunakan pelat dengan jumlah elemen N = 8, mesh tipe A dan ketebalan ℎ = 1.

Adapun hasil analisis dapat dilihat pada Gambar 6.21a. – Gambar 6.21e.

Gambar 6.21a. Displacement pelat dalam bentuk 3 dimensi untuk perletakan sendi

tipe hard

0

100

200

300

400

500

0

100

200

300

400

500

0

500

1000

1500

9

18

27

8

17

36

26

45

7

16

35

54

25

44

63

6

15

34

53

72

24

43

62

5

14

81

33

52

71

23

X axis

42

61

4

13

80

32

51

70

22

41

60

3

12

79

31

50


69

21

40

59

2

11

78

30

49

68

20

39

58

1

77

29

48

67

10

38

57

76

19

47

66

28

56

75

37

65

Y axis

46

74

55

64

73

w


(a)

(b)

Gambar 6.21b. Momen pelat (Mxx, Myy, dan Mxy) untuk perletakan sendi tipe hard.

(a) dalam kontur warna; (b) dalam kontur garis

0 200 400

0

200

400


-0.02

0

0.02

0.04

0 200 400

0

200

400


-0.02

0

0.02

0.04

0 200 400

0

200

400

Twisting moment

-10

-5

0x 10

-3

0 200 4000

100

200

300

400

500

-0.0

160

45

-0.0

095

182

-0.0029909

-0.0029

909

0.0035364

0.010064

0.016591

0.023118


0 200 4000

100

200

300

400

500

-0.016045-0.0095182-0.0029909

-0.0

029909

0.00353640.0100640.016591

0.023118


0 200 4000

100

200

300

400

500

-0.0096364

-0.0086727

-0.0077091

-0.0077091

-0.0

067

455

-0.0067

455

-0.0

05781

8

-0.0

05781

8

-0.0048182

-0.00

48182

-0.0

048182

-0.0038545

-0.0038545

-0.0

038545-0.0028909

-0.0028909

-0.0

028909

-0.0

019

273

-0.0019273

-0.0

019

273

Twisting Moment


(a)

(b)

Gambar 6.21c. Gaya geser pelat (Txz, dan Tyz) untuk perletakan sendi tipe hard.


0 500

-400

-200

0

200

400

600

800


-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 500

-400

-200

0

200

400

600

800


-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 100 200 300 400 500-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

-0.0

63157

-0.03722

-0.0

372

2

-0.03

722

-0.0

11283-0.011283

-0.0

11283-0.011283

-0.0

11283

-0.011283-0.0

11283

0.0

14

653

0.0

14653

0.014653

0.014653

0.0

14

653

0.04059

0.04059


0 100 200 300 400 500-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

-0.05

8573

-0.058573-0.03426

-0.0

3426

-0.03426

-0.0

3426

-0.03426

-0.0

099465

-0.0

09946

5

-0.0099465

-0.0

09946

5

0.014367

0.0

14

367

0.0

14

367

0.0

14367

0.0

14

3670

.014

367

0.0

14

367

0.03868

0.0

38

68

0.0

38

68

0.0

38

68

0.062994

0.0

62

994

0.0

87307

0.11162



Pengujian konvergensi pada pelat dengan perletakan sendi tipe hard

dilakukan dengan mengamati displacement pada titik tengah pelat dan reaksi pojok

pada titik A. Solusi eksak dari displacement pada titik tengah pelat dapat dilihat

pada persamaan (6.4).

𝑤𝑐 =0.0116𝑃𝐿2

𝐷 ; 𝐷 =

𝐸ℎ3

12(1−𝑣2) (6.4)

Adapun hasil pengujian dapat dilihat pada Tabel 6.13. Tabel tersebut

kemudian diperjelas lagi dalam Gambar 6.22.

Tabel 6.13. Perbandingan Konvergensi Displacement (w) pada Titik Tengah Pelat

untuk N = 2, 4, 6, dan 8 dengan Mesh Tipe A dan B dengan Beban Terpusat

Sebesar 1 pada Titik Tengah Pelat

Mesh A Mesh B

2 4 6 8 2 4 6 8

Makro 2.65E+01 5.08E+02 2.93E+03 4.73E+03 7.81E+03 7.86E+03 8.09E+03 8.59E+03

Standar 5.70E+03 5.51E+02 9.57E+03 8.18E+03 7.81E+03 7.83E+03 9.15E+03 8.88E+03

Eksak 11600 11600 11600 11600 11600 11600 11600 11600

Error(%) 99.77 95.62 74.77 59.22 32.64 32.20 30.22 25.96

Gambar 6.22. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat

bujursangkar untuk N = 2, 4, 6, dan 8 dengan tipe mesh A dan B

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

2 4 6 8

w/w

eksa

k

N

Eksak

Mesh A

Mesh B


Berdasarkan hasil pengujian pada Gambar 6.22. dapat dilihat bahwa elemen

makro segitiga memiliki konvergensi yang cukup baik pada pelat segiempat dengan

perletakan sendi tipe hard. Namun, akurasi yang dihasilkan dari elemen ini masih

jauh dari hasil eksaknya.

6.5.2. Perletakan Jepit




digunakan pelat dengan jumlah elemen N = 8, mesh tipe A dan ketebalan ℎ = 1.

Adapun hasil analisis dapat dilihat pada Gambar 6.23a. – Gambar 6.23c.

Gambar 6.23a. Displacement pelat dalam bentuk 3 dimensi untuk perletakan jepit

0

100

200

300

400

500

0

100

200

300

400

500

0

500

1000

1500

9

18

27

8

17

36

26

45

7

16

35

54

25

44

63

6

15

34

53

72

24

43

62

5

14

81

33

52

71

23

X axis

42

61

4

13

80

32

51

70

22

41

60

3

12

79

31

50


69

21

40

59

2

11

78

30

49

68

20

39

58

1

77

29

48

67

10

38

57

76

19

47

66

28

56

75

37

65

Y axis

46

74

55

64

73

w


(a)

(b)

Gambar 6.23b. Momen pelat (Mxx, Myy, dan Mxy) untuk perletakan jepit. (a) dalam

kontur warna; (b) dalam kontur garis

0 200 400

0

200

400


-0.02

0

0.02

0.04

0 200 400

0

200

400


-0.02

0

0.02

0.04

0 200 400

0

200

400

Twisting moment

-0.01

-0.005

0

0 200 4000

100

200

300

400

500

-0.015191

-0.0087364-0.0022818

0.0041727

0.010627

0.017082

0.023536


0 200 4000

100

200

300

400

500

-0.015191

-0.0087364

-0.0022818

0.0041727

0.010627

0.017082

0.023536

0.029991


0 200 4000

100

200

300

400

500

-0.0

09545

5

-0.0085909

-0.0076364

-0.0076364

-0.0066818

-0.0066818

-0.0057273

-0.0057273

-0.0047727-0.0

04772

7 -0.0038182

-0.0

03818

2

-0.0038182

-0.0028636

-0.0

02863

6

-0.0028636

-0.0

01909

1

-0.0019091

-0.0

019091

-0.00095455

Twisting Moment


(a)

(b)

Gambar 6.23c. Gaya geser pelat (Txz, dan Tyz) untuk perletakan jepit.


0 500

-400

-200

0

200

400

600

800


-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 500

-400

-200

0

200

400

600

800


-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 100 200 300 400 500-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

-0.1

0241

-0.076642

-0.0

76642

-0.050877

-0.050877

-0.0

50877

-0.025113

-0.025113

-0.0

25113

-0.0

25113

0.00065156

0.0

00

6515

6

0.0

0065156

0.00065156

0.0

0065156

0.00065156

0.0

00

6515

6

0.00065156

0.00

065

156

0.0

26

416

0.0264160.0264160.0

52

181


0 100 200 300 400 500-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

-0.0

64637

-0.0

64637

-0.03

8406

-0.0

38406

-0.038406-0.012175

-0.0

12175

-0.0

12175

-0.0

12175

-0.01

2175

-0.01

2175

-0.0

12175

-0.012175

0.0

14057 0.014

057

0.01

405

7

0.0140570.0

14

057

0.014057

0.014057

0.014057

0.0

14

057

0.0

40

2880

.066519

0.0

92

751

0.1

18

98



Pengujian konvergensi pada pelat dengan perletakan jepit dilakukan dengan

mengamati displacement pada titik tengah pelat. Solusi eksak dari displacement

pada titik tengah pelat dan momen pada tengah sisi masing-masing dapat dilihat

pada persamaan (6.6).

𝑤𝑐 =0.0056𝑃𝐿2

𝐷 ; 𝐷 =

𝐸ℎ3

12(1−𝑣2) (6.6)

Adapun hasil pengujian dapat dilihat pada Tabel 6.14. Tabel tersebut

kemudian diperjelas lagi dalam Gambar 6.24.

Tabel 6.14. Perbandingan Konvergensi Displacement (w) pada Titik Tengah Pelat

untuk N = 2, 4, 6, dan 8 antara Tipe Mesh A dan B dengan Beban Terpusat

Sebesar 1 pada Titik Tengah Pelat

Mesh A Mesh B

2 4 6 8 2 4 6 8

Makro 4.55E+00 1.12E+02 6.01E+02 1.49E+03 4.71E+00 1.13E+02 5.70E+02 1.48E+03

Standar 1.71E+00 3.59E+01 1.65E+03 1.91E+03 1.86E+00 5.85E+01 1.50E+03 1.46E+03

Eksak 11600 11600 11600 11600 11600 11600 11600 11600

Error(%) 99.96 99.03 94.82 87.15 99.96 99.03 95.09 87.22

Gambar 6.24. Perbandingan konvergensi displacement (w) pada pusat

bujursangkar untuk N = 2, 4, 6, dan 8 dengan tipe mesh A dan B

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

2 4 6 8

w/w

eksa

k

N

Eksak

Mesh A

Mesh B


Berdasarkan hasil pengujian pada Gambar 6.24. dapat dilihat bahwa elemen

makro segitiga memiliki konvergensi yang cukup baik pada pelat segiempat dengan

perletakan jepit. Namun, akurasi yang dihasilkan dari elemen ini masih jauh dari

hasil eksaknya.

6.5.3. Pengujian Shear Locking

Pengujian ini dilakukan untuk mendukung pengujian shear locking yang telah

dilakukan pada subbab sebelumnya yaitu pada pelat lingkaran. Pada kali ini, soal

yang digunakan berupa pelat berbentuk bujursangkar dengan dimensi, properti

material, dan bentuk meshing dapat dilihat pada Gambar 6.25. Adapun perletakan

berupa sendi tipe hard dan hasil pengujian shear locking dapat dilihat pada Tabel

6.15. dan Gambar 6.26. Hasil yang didapatkan akan dibandingkan dengan hasil dari

referensi berupa SAP2000 dan akan dibandingkan dengan hasil dari elemen linear

DSG standard.

Gambar 6.25. Dimensi dan properti material pelat bujursangkar

untuk pengujian shear locking



Tabel 6.15. Perbandingan Hasil Displacement Ternormalisasi Berdasarkan pada

Pusat Bujursangkar dengan Jumlah Elemen N = 2 dan Ketebalan Pelat h = 50

sampai dengan h = 250

Tebal (mm)

50 100 150 200 250

Makro 3.0198 3.5797 3.9796 4.4295 4.9663

Standard 2.5710 3.0840 3.5940 4.1330 4.7310

Reference 4.1080 4.2420 4.4650 4.9080 5.1790

Error (%) 26.4892 15.6125 10.8709 9.7489 4.1064

Keterangan: �̅�𝑐 = 𝑤𝑐 × 103 × 𝐷𝑏/𝑓𝑧𝐿4

Gambar 6.26. Perbandingan hasil displacement dengan ketebalan pelat, h, mulai

dari 50 hingga 250

Dari hasil yang tertera pada Gambar 6.26., dapat dilihat bahwa pola error

yang dihasilkan elemen makro segitiga lebih beraturan dan cenderung semakin

mendekati hasil eksaknya pada pelat yang semakin tebal, dibandingkan dengan

elemen standar. Akan tetapi berdasarkan hasil analisis pada Tabel 6.15. dan Gambar

6.26., hasil yang didapatkan dapat dikatakan memiliki kekonvergensian yang baik.

Namun, untuk keakurasiannya, elemen makro segitiga masih belum mendekati

hasil eksak.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

50 100 150 200 250

w/w

eksa

k

Tebal (mm)

Referensi

Makro

Standar


6.6. Pengujian Distorsi Geometri

Untuk pengujian distorsi geometri, maka akan digunakan pelat persegi

panjang dengan menggunakan 2 tipe mesh. Kemudian panjang pelat L akan diubah

dari 2 hingga 10 meter sehingga geometri dari mesh yang awalnya berbentuk

segitiga lama kelamaan akan berubah bentuk tidak lagi menyerupai segitiga. Beban

yang diberikan berupa gaya torsi sebesar 1 di titik 3 dan titik 2. Untuk setiap

pengujian, hasil yang dicatat berupa nilai displacement vertikal di titik 3. Adapun

dimensi, properti material, dan bentuk mesh dapat dilihat pada Gambar 6.27 dengan

nilai 𝐸 = 107, 𝑣 = 0,25, dan ℎ = 0,05.

Gambar 6.27. Contoh soal uji coba distorsi geometri dengan 2 macam mesh

Sumber: Sugianto (2016, p. 157) dikutip dari Batoz dan Katili (1992, p. 1629)

Hasil pengujian selanjutnya akan ditampilkan dalam Gambar 6.28a. dan

Gambar 6.28b. Nilai yang didapat akan dibandingkan dengan nilai referensi yang

diperoleh dengan menggunakan sixteen Hermite rectangular C1 Kirchhoff

elements, 16R16 (Batoz dan Katili, 1992). Perbedaan nilai yang dihasilkan lalu akan

ditampilkan pada Gambar 6.28c.


Gambar 6.28a. Nilai displacement pada titik 3 dengan menggunakan mesh tipe A

Gambar 6.28b. Nilai displacement pada titik 3 dengan menggunakan mesh tipe B

Gambar 6.128c. Nilai persentase error terhadap hasil referensi

0

5

10

15

20

25

30

2 4 6 8 10

w3

x !0

3

L (m)

Eksak

Makro

Standar

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

2 4 6 8 10

w3

x !0

3

L (m)

Eksak

Makro

Standar

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

2 4 6 8 10

Per

sen

tase

Err

or

(%)

L (m)

Eksak

Mesh A

Mesh B


Pada Gambar 6.28a. dan Gambar 6.28b., dapat dilihat bahwa kedua pelat

dengan mesh A dan mesh B memiliki hasil yang sangat menjauhi dan memiliki

tingkat akurasi rendah terhadap hasil eksak untuk elemen makro segitiga.

Pernyataan tersebut didukung oleh Gambar 6.28c., dengan meninjau lokasi pelat

yang lebih panjang pada L > 2 m sampai dengan L = 10 m, memiliki persentase

error semakin besar yang menunjukkan bahwa elemen terdistorsi. Sehingga dapat

dikatakan bahwa elemen makro segitiga terdistorsi secara geometri, yang terlihat

melalui nilai error yang semakin lama semakin besar

6.7. Pengujian Geometric Invariant

Pengujian terhadap geometric invariant dilakukan atas dasar pernyataan

bahwa elemen DSG memiliki sifat geometrically invariant. Untuk kebutuhan kali

ini, penelitian dilakukan dengan cara:

a. Memindahkan sumbu koordinat global sebesar (𝑥0, 𝑦0)

b. Memutar sumbu koordinat global sebesar 30o dan 60o

Pelat yang digunakan berbentuk pelat bujursangkar. Dimensi, properti material, dan

bentuk mesh yang digunakan dapat dilihat pada Gambar 6.29.

Gambar 6.29. Contoh soal pengujian geometric invariant

Sumber: Sugianto (2016, p. 160) dikutip dari Salim dan Winata (2016)

6.7.1. Translasi Sumbu Koordinat Global

Pada pengujian geometric invariant untuk translasi dicoba dengan

memindahkan sumbu koordinat global sebesar (125, 125). Perbedaan displacement

sebelum dan sesudah translasi ditunjukkan dalam Tabel 6.16.

Data:

L = 500; E =10.92

v = 0.3; h = 1

Uniform loading: fz = 1

Simply Supported:

𝑤 = 0 on boundary


Tabel 6.16. Perbandingan Displacement pada 10 Titik Pertama antara Sebelum

dan Sesudah Translasi

Titik Sebelum Translasi Sesudah Translasi

Nodal x y Displacement x y Displacement

1 0 0

w 0

-125 -125

w 0

x 21892.51 x 21892.51

y 21899.24 y 21899.24

2 62.5 0

w 0

-62.5 -125

w 0

x -13886.5 x -13886.5

y 263872.5 y 263872.5

3 125 0

w 0

0 -125

w 0

x 15734.64 x 15734.64

y 348621.3 y 348621.3

4 187.5 0

w 0

62.5 -125

w 0

x -10766.1 x -10766.1

y 363199 y 363199

5 250 0

w 0

125 -125

w 0

x 11879.63 x 11879.63

y 266260.6 y 266260.6

6 312.5 0

w 0

187.5 -125

w 0

x -9716.34 x -9716.34

y 157987 y 157987

7 375 0

w 0

250 -125

w 0

x 9996.204 x 9996.204

y 4165.98 y 4165.98

8 437.5 0

w 0

312.5 -125

w 0

x -10037.6 x -10037.6

y -45177.7 y -45177.7

9 500 0

w 0

375 -125

w 0

x 10024.46 x 10024.46

y -10033.2 y -10033.2

10 0 62.5

w 0

-125 -62.5

w 0

x 263863.7 x 263863.7

y -13890.5 y -13890.5

Pada Tabel 6.16. terlihat bahwa hasil displacement antara sebelum dan

sesudah translasi sangat akurat. Hal ini disebabkan karena titik koordinat hanya

dipindahkan sepanjang (𝑥0, 𝑦0) sedangkan panjang dari kotak tetap sama. Oleh

karena itu, dapat disimpulkan elemen segtiga makro lolos pada pengujian translasi.


6.7.2. Rotasi Sumbu Koordinat Global

Cara kedua dalam pengujian geometric invariant adalah dengan memutar

sumbu koordinat sebesar 30o dan 60o tertentu. Pengujian jenis ini lebih efektif bila

dibandingkan dengan translasi karena pengujian rotasi melibatkan transformasi

beberapa kali. Elemen dinyatakan lolos dalam pengujian ini jika hasil sebelum dan

sesudah rotasi tidak berbeda terlalu jauh. Perbedaan displacement sebelum dan

sesudah rotasi ditunjukkan dalam Tabel 6.17a. dan 6.17b.

Tabel 6.17a. Perbandingan Displacement pada 10 Titik Pertama antara Sebelum

dan Sesudah Rotasi (𝛼 = 30°)

Titik Sebelum Rotasi Sesudah Rotasi


1 0 0

w 0

0 0

w 0

x 21892.51 x 21892.51

y 21899.24 y 21899.24

2 62.5 0

w 0

54.13 -31.25

w 0

x -13886.5 x -13886.5

y 263872.5 y 263872.5

3 125 0

w 0

108.25 -62.5

w 0

x 15734.64 x 15734.64

y 348621.3 y 348621.3

4 187.5 0

w 0

162.38 -93.75

w 0

x -10766.1 x -10766.1

y 363199 y 363199

5 250 0

w 0

216.51 -125

w 0

x 11879.63 x 11879.63

y 266260.6 y 266260.6

6 312.5 0

w 0

270.63 -156.25

w 0

x -9716.34 x -9716.34

y 157987 y 157987

7 375 0

w 0

324.76 -187.5

w 0

x 9996.204 x 9996.204

y 4165.98 y 4165.98

8 437.5 0

w 0

378.89 -218.75

w 0

x -10037.6 x -10037.6

y -45177.7 y -45177.7

9 500 0

w 0

433.01 -250

w 0

x 10024.46 x 10024.46

y -10033.2 y -10033.2


Tabel 6.17a. Perbandingan Displacement pada 10 Titik Pertama antara Sebelum

dan Sesudah Rotasi (𝛼 = 30°) (sambungan)



10 0 62.5

w 0

31.25 54.13

w 0

x 263863.7 x 263863.7

y -13890.5 y -13890.5

Tabel 6.17b. Perbandingan Displacement pada 10 Titik Pertama antara Sebelum

dan Sesudah Rotasi (𝛼 = 60°)



1 0 0

w 0

0 0

w 0

x 21892.51 x 21892.51

y 21899.24 y 21899.24

2 62.5 0

w 0

31.25 -54.13

w 0

x -13886.5 x -13886.5

y 263872.5 y 263872.5

3 125 0

w 0

62.5 -108.25

w 0

x 15734.64 x 15734.64

y 348621.3 y 348621.3

4 187.5 0

w 0

93.75 -162.38

w 0

x -10766.1 x -10766.1

y 363199 y 363199

5 250 0

w 0

125 -216.51

w 0

x 11879.63 x 11879.63

y 266260.6 y 266260.6

6 312.5 0

w 0

156.25 -270.63

w 0

x -9716.34 x -9716.34

y 157987 y 157987

7 375 0

w 0

187.5 -324.76

w 0

x 9996.204 x 9996.204

y 4165.98 y 4165.98

8 437.5 0

w 0

218.75 -378.89

w 0

x -10037.6 x -10037.6

y -45177.7 y -45177.7

9 500 0

w 0

250 -433.01

w 0

x 10024.46 x 10024.46

y -10033.2 y -10033.2


Tabel 6.17b. Perbandingan Displacement pada 10 Titik Pertama antara Sebelum

dan Sesudah Rotasi (𝛼 = 60°) (sambungan)



10 0 62.5

w 0

31.25 54.13

w 0

x 263863.7 x 263863.7

y -13890.5 y -13890.5

Dari kedua tabel diatas untuk 𝛼 = 30° dan 𝛼 = 60°, dapat dilihat bahwa

displacement antara sebelum dan sesudah dirotasikan menunjukkan hasil yang

sama. Hal ini menunjukkan bahwa elemen makro segitiga lolos pada pengujian

geometric invariant untuk rotasi koordinat.

6. perhitungan numerik pelat · 100 universitas kristen petra 6.2. patch test seperti telah...

Documents