101

6

FITTING DATA

Sering kita jumpai bahwa hasil suatu eksperimen harus dianalisis dengan

membandingkannya terhadap kurva teoritis. Dalam banyak kasus kurva ini berbentuk garis

lurus. Maka reduksi terhadap data yang diperoleh adalah berasal dari penentuan slope kurva

serta titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Jika semua data berbobot sama, penentuan parameter-parameter secara umum tidak

menemui kesulitan besar. Namun demikian, pada banyak kasus masih terjadi bahwa

ketidakpastian pada tiap-tiap data tidaklah sama. Dari sinilah biasanya kesulitan itu mulai

lahir. Untuk data yang mempunyai bobot ketidakpastian berbeda. Analisis data eksperimen

tidaklah lengkap tanpa mengikutsertakan estimasi ralat yang baik terhadap besaran yang

dihitung. Ketidakpatian data (uncertainties) jarang diperhitungkan dan pada banyak kasus

estimasi ralat untuk titik-titik data yang diintrapolasikan atau diekstrapolasikan (seperti halnya

titik potong dengan sumbu-x) sering tidak diberikan sama sekali, atau hanya diestimasikan

secara ridak benar.

Tujuan ditulisnya bab ini adalah untuk menunjukkan kepada pembaca secara umum

bagaimana menghitung koefisien ketidakpastian di dalam intrapolasi atau ekstrapolasi yang

menentukan sebuah garis lurus, dengan ketidakpatian pada tiap data bisa berlaianan. Bab ini

juga akan memperlihatkan kebaikan dari suatu fit dapat dievaluasi, baik untuk polinomial

orde satu ataupun orde dua. Polynomial dengan orde lebih dari dua jarang sekali dilakukan

fittng, tetapi metoda-metoda yang diterangkan di dalam bab ini dapat pula secara langsung

digunakan dengan penyesuaian untuk kasus-kasus tertentu.

6.1. METODE KUADRAT TERKECIL

Data yang kita dapatkan merupakan pasangan data yang terdiri dari variabel bebas (x)

dan variabel tergantung (y). Bila tiap titik data dianggap sebagai sebuah sample dari suatu

distribusi normal dengan standar deviasi i, maka kementakan (probabilitas) dari pengukuran

(xi, yi) adalah sesuai dengan persamaan (2.17)

P(yi, i, i) =

2

2

1 2

)(exp

2

1

i

iiy

(6.1)

102

dengan i adalah harga rata-rata dari y (yang belum diketahui) dari distribusi, sedangkan yi

adalah sebuah sampel. Probabilitas dari keseluruhan himpuanan data yang diperoleh adalah

hasil kali dari masing-masing probabilitas, dengan catatan tidak ada ketergantungan lain di

antara titik-titik data daripada yang diketahui polynomial. Sehingga diperoleh

Ptotal =

2

2

2 2

)(exp

...)2(

1

i

ii

ni

n

y

(6.2)

Penjumlahan di sini dan untuk selanjutnya pada bab ini berlaku untuk penjumlahan semua

titik-titik data i = 1, 2, …, n. Estimasi terbaik yang dapat kita buat untuk i adalah harga fit

terbaik yang diambil pada x = xi. Harganya adalah a + bxi (untuk garis lurus). Yang dimaksud

dengan fit terbaik adalah suatu harga yang membuat probabilitas memperoleh himpunan data

lengkap sebesar mungkin. Probabilitas maksimum ini terjadi apabila argumen dari eksponen

mempunyai harga minimum

2

2

22 )(

)(iii

i

ii bxaywy

= minimum (6.3)

dengan wi 2

1

i dan i adalah harga estimasi terbaik = a + bxi

. Karena argumen dari eksponen adalah 2

2

1 , kita harus mencari probabilitas maksimum

dari harga-harga a dan b sehingga 2 minimal. Metoda ini disebut sebagai metoda kwadrat

terkecil (method of least squares). Pada tahap ini sangatlah tepat untuk mengingat kembali

bahwa metoda ini diturunkan dari prinsip kesamaaan maksimum dari perolehan himpunan

data dan yang kita asumsikan bahwa titik-titik data tersebut terdistribusi normal (Gaussian)

serta masing-masing tidak saling tergantung.

Dengan meminimasikan harga 2 terhadap a dan b berarti mencari harga-harga a dan

b dengan derivatif parsial 2 terhadap a dan b sama dengan nol:

0212

2

2

2

iiii bxaybxay

aa

(6.4)

0212

2

2

2

iiiii bxayxbxay

bb

(6.5)

Dalam hal ini kita menganggap bahwa semua standar deviasi adalah sama i . Dan

dengan mengingat persamaan

103

iii xbaNbxay

22

iiiiii xbxabxaxyx (6.6)

Untuk menentukan harga a dan b, kita harus menentukan solusi dari persamaan (6.6), adapun

solusi dari persamaan (6.6) adalah

iiiii

iii

iiyxxyx

xyx

xya

2

2

11 (6.7)

iiii

iii

iyxyxN

yxx

yNb

11 (6.8)

Dan

22

2 ii

ii

ixxN

xx

xN (6.9)

Berarti garis lurus tersebut memotong sumbu y di

22

2

ii

iiiii

xxN

yxxyxa (6.10)

dengan koefisien sudut arah sama dengan

22

ii

iiii

xxN

yxyxNb (6.11)

Perhitungan ketidakpastian pada a dan b dapat diperoleh langsung. Di sini kita

menggunakan prinsip umum yang menunjukkan bahwa ketidakpastian z dari suatu kuantitas

z, yang dapat diekspresikan pada besaran independen y1, y2, …, yn yang dapat diukur, dapat

dihitung dari yi dan ketidakpastian i dengan

2

22

i

izy

z (6.12)

pada persoalan kita, koefisien a dan b merupakan fungsi dari xi, wi dan yi. Apabila kita

mengasumsikan bahwa hanya yi saja yang mempunyai ketidakpastian (i) maka kita dapat

menuliskan dengan analogi rumus

2

22

i

iay

a (6.13)

dan

2

22

i

iby

b (6.14)

104

Dari derivatif persamaan (6.10)dan (6.11)kita mendapatkan

iji

i

xxxy

a 21 (6.15)

ii

i

xNxy

b 1 (6.16)

Dengan mengkombinasikan persamaan (6.12), (6.15) dan (4.16), akan kita peroleh

ketidakpastian dari a dan b

N

j

ijiijia xxxxxx1

22222

2

22

2

222222

2

2

2 iiiii xxxxxN

2

2222

2

2

iiii xxxNx

(6.17)

N

j

iijjb xxNxxN1

222

2

22

2

2222

2

2

2 iii xNxNxN

2

22

2

2 NxxN

Nii (6.18)

Sedangkan diberikan dengan persamaan

222

2

1ii bxay

NS (6.19)

6.2. POLINOMIAL ORDE SATU (garis lurus)

Misal seorang mahasiswa mengadakan penyelidikan tentang hubungan antara posisi

titik pada kawat berarus dengan beda potensial. Dia menggunakan 1 meter kawat perak-nikel

yang dibentangkan di atas papan, batu batterey dan voltmeter analog. Dia menghubungkan

sel-sel batterey dengan kawat dan mengukur beda potensial antara ujung negatif dengan posisi

yang bervariasi sepanjang kawat. Dari pengukuran mengestimasikan ketidakpastian setiap

pengukuran beda potensial adalah 0,05 V. Ketidakpastian posisi adalah kurang dari 1 mm

sehingga dapat diabaikan.

105

Tabel 6.1 Beda potensial merupakan fungsi dari posisi kawat penghantar perak-nikel

Nomer

titik

Posisi

xi (cm)

Beda potensial

Vi (V)

xi 2

xi Vi Harga fit

a+ bx

1 10,0 0,37 100 3,70 0,33

2 20,0 0,58 400 11,60 0,60

3 30,0 0,83 900 24,90 0,86

4 40,0 1,15 1600 4600 1,12

5 50,0 1,36 2500 6800 1,38

6 60,0 1,62 3600 9720 1,64

7 70,0 1,90 4900 13300 1,91

8 80,0 2,18 6400 17440 2,17

9 90,0 2,45 8100 22050 2,43

Jumlah 450,0 12,44 28500 77930

Jika data pada Tabel 6.1 dilukiskan dalam grafik, dengan sumbu horisontal adalah

posisi (x) dan sumbu vertikal adalah beda potensial (V), maka akan tampak seperti pada

Gambar 6.1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

x (cm)

be

da

po

ten

sia

l (V

)

Gambar 6.1. Grafik hubungan antara posisi kawat penghantar (x)

dengan beda potensial (V)

106

Dari Gambar 6.1 tampak bahwa hubungan antara variabel bebas (x) dan variabel

tergantung (V) dapat didekati dengan garis lurus yang mempunyai bentuk persamaan

bxaxy

Dari data dapat kita hitung

54000)450()28500(9 222 ii xxN

0714,0

54000

30,77945044,122850022

2

ii

iiiii

xxN

VxxVxa

0262.0

54000

44,1245030,779922

ii

iiii

xxN

VxVxNb

001319,054000

2850005,0 22

22

iV

a x

; 036,0a

622

210417,0

54000

05,09

V

b N

; 00063,0b

Dengan asumsi ketidakpastian V adalah 0,05 V , fitting data dengan menggunakan

metode kuadrat terkecil menghasilkan a = 0,07 0,04 V dan b = 0,0262 0,0006 V/cm.

Dengan menggunakan persamaan (6.3) diperoleh 95,12 . Derajat derajat kebebasan 7 (N-2

= 9-2), maka kebolehjadian fit mendekati 96 %.

6.3. POLINOMIAL ORDE DUA (parabola)

Suatu polynomial orde dua lebih jarang dipergunakan untuk tujuan fitting daripada

polynomial orde satu. Tetapi dalam fatsal ini akan kita bahas juga metode untuk mendapatkan

koefisien dan ketidakpastian yang melukiskan sebuah parabola sebagai satu fit terbaik

terhadap satu himpunan titik data. Perluasan ke polynomial berorde lebih tinggi dapat

dilakukan secara langsung tetapu perhitungan yang diperlukan semakin panjang. Pada situasi

biasa pembaca dianjurkan menggunakan komputer untuk memecahkan masalah ini.

Persamaan umum untuk parabola adalah y = A + Bx + Cx2. bila kita punya satu himpunan

titik-titik data dan kita ingin melakukan fit terhadap parabola, kita dapat melakukan proses

107

yang mirip dengan yang telah kita lakukan pada kasus garis lurus. Metoda kwadrat terkecil

memberikan tiga persamaan dengan tiga bilangan anu A, B dan C.

Hal ini dapat kita lihat pada persamaan di bawah ini :

42

32

2

1

iiiiiii

iiiiiii

iiiiii

xwxwyxw

xwxwyxw

xwxwyw

DA

42

32

2

1

iiiiiii

iiiiiii

iiiiii

xwxwyxw

xwxwyxw

xwxwyw

DB

42

32

2

1

iiiiiii

iiiiiii

iiiiii

xwxwyxw

xwxwyxw

xwxwyw

DC

42

32

2

1

iiiiiii

iiiiiii

iiiiii

xwxwyxw

xwxwyxw

xwxwyw

DD

Contoh

Suatu hasil eksperimen dituliskan pada Tabel 6.2

Table 6.2

X (detik) Y (cm)

0

1

2

3

4

5

1,5 0,2

1,9 0,3

3,2 0,3

5,4 0,4

6,6 0,4

9.8 0,5

Dari pengamatan visual langsung kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus yang dihasilkan

tidak fit betul dengan data. Oleh karena itu kita mencoba dengan suatu parabola. Koefisien

dan koefisien silang menunjukkan bahwa fit :

A = 1,46 0,19 cm B = 0,38 0,24 cm/s C = 0,25 0,05 cm/s2

6.4. FITTING UNTUK FUNGSI SEMBARANG

Metode least square dan analisis regresi yang telah kita bahas di depan baru

membahas fitting untuk fungsi-fungsi linier.

n

j

jj xXaaxy1

0 (6.20)

Metode ini juga dapat diperluas untuk mendapatkan suatu teknik fitting data yi dengan suatu

fungsi yang parameter-parameternya tidak linier, yang disebut least square non linier.

108

Misal fungsi y(x) dengan parameter-parameter aj yang berberntuk

xaaxy 21 sin

2

654

2

3

21

2

1exp xaxaa

a

axaxy

Untuk fungsi-fungsi sembarang tersebut kita dapat menentukan ukuran kebaikan fit dengan

meminimalkan 2 .

2

2

2 1ii

i

xyy

(6.21)

dengan i adalah ketidak pastian dari titik data yi . Dalam hal ini terdapat tiga sumber

kesalahan yang memberikan kontribusi terhadap harga 2

- Data yi adalah sampel yang diambil secara acak dari populasi induk, dengan nilai

harapan iy yang diberikan oleh distribusi induk. Perubahan harga yi di sekitar

nilai harap iy lebih besar atau lebih kecil dari pada ketidak pastian yang

diharapkan i

- 2 adalah fungsi kontinu untuk semua parameter aj.

- Pilihan salah satu perilaku fungsional dari fungsi analitik y(x) sebagai pendekatan

fungsi yang benar xy akan mempengaruhi range nilai yang memungkinkan

untuk 2

Untuk memperbaiki (1) tidak ada yang dapat dilakukan kecuali mengulang-ulang

percobaan. Nilai optimum untuk parameter-parameter aj dapat diestimasi dengan metode

least square dengan meminimalkan 2 (permasalahan 2). Untuk persoalan (3) harga resultan

2 untuk beberapa fungsi y(x) yang berbeda perlu dibandingkan untuk menentukan

kebolehjadian yang terbaik untuk suatu bentuk fungsi y(x).

Menurut metode least square harga optimum dari parameter aj ditentukan dengan

meminimalkan 2 , dengan memperhatikan tiap parameter.

01 2

2

2

ii

ij

xyyaa

(6.22)

109

Memang tidak mudah untuk menurunkan penyelesaian analitis untuk menentukan parameter-

parameter dari fungsi non linier, untuk itu ssudah tersedia program-program komputasi yang

dapat membantu menyelesaikannya.

SOAL-SOAL

1. Misal suatu batang logam digantung diantara dua temperatur yang konstan. Satu ujung

pada temperatur 0oC dan ujung yang lain pada temperatur 100

oC. Kita ingin

menentukan bentuk hubungan anatara temperatur sepanjang batang sebagai fungsi dari

posisi x. Untuk itu kita mengadakan pengukuran temperatur pada berbagai posisi x,

dan hasil pengukuran dinyatakan seperti pada Tabel 6.3.

Tabel 6.3. Hasil pengukuran temperatur pada beberapa posisi x

No Posisi

Xi (cm)

Temperatur

Ti (oC)

Xi2

Xi Ti Ti 2

a+bxi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

15.6

17.5

36.6

43.8

58,2

61.6

64.2

70.4

98.8

1.0

4.0

9.0

16.0

25.0

36.0

49.0

64.4

81.0

15.6

35.0

109.8

175.2

291.0

369.6

449.4

563.2

889.2

243.36

306.25

1339,56

1918.44

3387.24

3794.56

4121.64

4956.16

9761.44

14.2

23.6

33.0

42.4

51.8

61.2

70.6

80.0

89.4

45.0 466.7 285.0 2898.0 29828.65

Tentukan persamaan yang menyatakan T sebagai fungsi X dan hitunglah

kebolehjadian kebenaran fitting data tersebut

2. Seorang mahasiswa mencacah radiasi dari suatu sumber radiasi dengan Geiger

Counter. Dia mencatat hasil pencacahan setiap 15 detik. Hsil pencacahan yang

diperoleh adalah sebagai berikut (Tabel 6.4)

110

Tabel 6.4. Geiger Counter data from an irradiated silver piece, record in 15-s intervals

No Waktu Cacah No Waktu Cacah

1 15 775 31 465 24

2 30 479 32 480 30

3 45 380 33 495 26

4 60 302 34 510 28

5 75 185 35 525 21

6 90 157 36 540 18

7 105 137 37 555 20

8 120 119 38 570 27

9 135 110 39 585 17

10 150 89 40 600 17

11 165 74 41 615 14

12 180 61 42 630 17

13 195 66 43 645 24

14 210 68 44 660 11

15 225 48 45 675 22

16 240 54 46 690 17

17 255 51 47 705 12

18 270 46 48 720 10

19 285 55 49 735 13

20 300 29 50 750 16

21 315 28 51 765 9

22 330 37 52 780 9

23 345 49 53 795 14

24 360 26 54 810 21

25 375 35 55 825 17

26 390 29 56 840 13

27 405 31 57 855 12

28 420 24 58 870 18

29 435 25 59 885 10

30 450 35

Tentukan persamaan yang menyatakan bahwa Cacah adalah fungsi waktu dan

tentukan berapakah kebolehjadian kebenaran fitting data teresebut.

DAFTAR PUSTAKA

Bevington, Philip R, 1992. Data Reduction And Error Analysis for the Physical Sciences.

New York : Mc Graw – Hill.

Kusminarto, Dr. 1993. Metode Fisika Eksperimen. Yogyakarta : Fakultas Matematika Dan

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada