6 bab ii kajian teori a. kemampuan penalaran matematisrepository.ump.ac.id/6823/3/titik tri mardhani...

6

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Kemampuan Penalaran Matematis

Menurut Keraf (2007) penalaran adalah suatu proses berpikir

yang menghubungkan fakta-fakta untuk memperoleh suatu kesimpulan

yang logis. Sedangkan dalam KBBI (Depdiknas, 2007) penalaran adalah

proses mental dalam mengembangkan pikiran dari beberapa fakta/

prinsip. Penalaran tidak hanya dapat dilakukan dengan menggunakan

fakta-fakta yang polos, tetapi penalaran juga dapat menggunakan fakta-

fakta yang berbentuk pendapat atau kesimpulan. Pernyataan tersebut

diperkuat oleh Sumiati (2009), penalaran adalah kemampuan berpikir

logis untuk menarik kesimpulan dari adanya suatu hubungan sebab

akibat. Dari beberapa pernyataan tersebut dapat didefinisikan secara

umum bahwa kemampuan penalaran matematis adalah kemampuan

seseorang dalam menghubungkan fakta matematika untuk memperoleh

kesimpulan matematis yang logis.

Dalam penalaran siswa sebaiknya belajar untuk membuat

penyelesaian dari persoalan matematika. Siswa harus dapat

mengidentifikasi (memilih) dan menggunakan rumus serta menggunakan

pengalaman dan observasi untuk membuat konjektur (kesimpulan

sementara). Siswa harus belajar menggunakan sebuah contoh

perhitungan untuk menyangkal konjektur dan belajar untuk

Deskripsi Kemampuan Penalaran..., Titik Tri Mardhani, FKIP UMP, 2013

7

menggunakan model. Siswa sebaiknya mampu membedakan antara

pernyataan yang valid dan pernyataan yang tidak valid (Reys, 1998).

B. Kemampuan penalaran deduktif dan induktif

Terdapat berbagai cara penarikan kesimpulan, namun dalam

dunia keilmuan, secara garis besar dapat dibedakan menjadi dua, yaitu

secara deduktif dan induktif (Ihsan, 2010). Penalaran deduktif dan

penalaran induktif, keduanya merupakan argumen dari serangkaian

proposisi yang bersifat terstruktur, terdiri dari beberapa premis dan

kesimpulan atau konklusi, sedangkan perbedaan keduanya terdapat pada

sifat kesimpulan yang diturunkannya. Berikut penjabaran dari kedua

penalaran tersebut:

1. Penalaran induktif

Penalaran induktif dapat diartikan sebagai penarikan

kesimpulan yang bersifat umum atau khusus berdasarkan data yang

teramati (Sumarmo, 2010). Pernyataan ini diperjelas oleh Ihsan

(2010) yang menyatakan bahwa penarikan kesimpulan secara

induktif adalah suatu cara penarikan kesimpulan pada suatu proses

berpikir dengan menyimpulkan sesuatu yang bersifat umum dari

berbagai kasus yang bersifat individual. Dapat disimpulkan bahwa

penalaran induktif merupakan proses penarikan kesimpulan dari

kasus-kasus khusus menjadi kesimpulan yang bersifat umum.


8

Beberapa kegiatan yang tergolong pada penalaran induktif

adalah sebagai berikut:

a. Transduktif

Transduktif adalah menarik kesimpulan dari satu kasus

atau sifat khusus yang satu diterapkan pada kasus khusus

lainnya. Penalaran bentuk ini merupakan bentuk penalaran

induktif yang paling sederhana. Transduktif dalam matematika

dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan matematis dari

suatu kasus matematika yang diterapkan pada kasus matematika

lain. Dalam pola berpikir transduktif, rawan sekali terjadi

kesalahan dalam penarikan kesimpulan, karena ini merupakan

pola berpikir yang paling rendah tingkatannya.

Contoh:

Pernyataan : sin 30 = dan sin 45 = √2Kesimpulan: sin(30 + 45 ) = ( + √2)Keterangan :

Karena 30 + 45 = 75, maka apabila ditanyakan besarsin(30 + 45 ) siswa yang menggunakan pola berpikir

transduktif akan menjawab sin(30 + 45 ) = ( + √2).b. Generalisasi

Keraf (2007) menyatakan bahwa generalisasi adalah

suatu proses penalaran yang bertolak dari sejumlah fenomena

individual untuk menurunkan suatu inferensi yang bersifat


9

umum yang mencakup semua fenomena tadi. Artinya bahwa

siswa akan mampu mengadakan generalisasi, yaitu menangkap

ciri-ciri atau sifat umum yang terdapat dari sejumlah hal-hal

khusus, apabila siswa telah memiliki konsep, kaidah, prinsip

(kemahiran intelektual) dan siasat-siasat memecahkan masalah

tersebut.

Sumarmo (2004) menyebutkan beberapa sifat dari

generalisasi, antara lain:

i. Makin besar jumlah fakta yang dijadikan dasar penalaran,

makin tinggi probabilitas konklusinya.

ii. Makin besar jumlah faktor kesamaan di dalam premis,

makin rendah probabilitas konklusinya, dan sebaliknya.

iii. Makin besar jumlah faktor disanaloginya di dalam premis,

makin tinggi probabilitas konklusinya, dan sebaliknya.

iv. Semakin luas konklusinya semakin rendah probabilitasnya

dan sebaliknya.

Secara umum, generalisasi dalam matematika dapat

diartikan sebagai penerapan matematis dari suatu kasus

matematika ke dalam kasus matematika lain yang memiliki

kesamaan matematis.

Contoh:

i. Nilai dari sin 210 = −ii. Nilai dari sin 225 = − √2


10

iii. Nilai dari sin 240 = − √3iv. Nilai dari sin 270 = −1

Berdasarkan keempat pernyataan di atas:

i. Nilai dari sin 210 adalah negatif.

ii. Nilai dari sin 225 adalah negatif.

iii. Nilai dari sin 240 adalah negatif.

iv. Nilai dari sin 270 adalah negatif.

Kesimpulan, besar sudut yang berada di kuadran tiga

pada koordinat kartesius selalu bernilai negatif.

c. Analogi

Menurut Ahmadi dan Supriyono (2004) kesimpulan

analogis adalah kesimpulan yang ditarik dengan cara

membandingkan situasi yang satu dengan situasi yang lain.

Kemudian menurut Keraf (2007) analogi adalah suatu proses

penalaran yang bertolak dari dua peristiwa khusus yang mirip

satu sama lain, kemudian menyimpulkan bahwa apa yang

berlaku untuk suatu hal akan berlaku pula untuk hal yang lain.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa analogi

dalam matematika adalah membandingkan dua hal matematis

yang berlainan namun memiliki karakteristik matematis yang

sama. Dalam analogi yang dicari adalah keserupaan dari dua hal

yang berbeda, dan menarik kesimpulan atas dasar keserupaan

itu.


11

Contoh:

Perhatikan segitiga ABC berikut!

Berdasarkan gambar segitiga ABC di atas, diperoleh:= sin = sin= 12 × ×= 12 × ×= 12 × × sin

Berdasarkan pernyataan di atas, dengan menggunakan cara yang

sama akan diperoleh:

= 12 × × sin= 12 × × sin

d. Hubungan kausal.

Penalaran hubungan kausal (sebab akibat) adalah

keadaan atau kejadian yang satu menimbulkan atau menjadikan

keadaan atau kejadian yang lain. Hubungan antara sebab dan

c b

a

A

B CM


12

akibat tersebut bukan hubungan urutan biasa atau hubungan

yang kebetulan. Hubungan sebab akibat merupakan suatu

hubungan intrinsik, azasi, hubungan yang begitu rupa, sehingga

jika salah satu (sebab) ada/ tidak ada, maka yang lain (akibat)

juga pasti ada/ tidak ada. Agar hubungan antara sebab dan akibat

menjadi jelas, dalam logika ‘sebab’ dipandang sebagai suatu

syarat atau kondisi yang merupakan dasar adanya atau

terjadinya sesuatu yang lain, yaitu ‘akibat’. Sama halnya pada

matematika.

Dalam hubungan kausal dapat dibedakan dalam dua

kondisi yaitu kondisi mutlak (necessary condition) dan kondisi

memadai (sufficient condition). Yang dimaksud dengan kondisi

mutlak adalah sebab yang kalau tidak ada, akibatnya juga tidak

ada.

Contoh:

Dua buah kapal berlayar dari suatu pelabuhan pada saat

bersamaan. Kapal A berlayar dengan arah 0500 dan kecepatan

layar 10 km/jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 0900

dan kecepatan layar 13 km/jam. Pada tiga jam kemudian jarak

kedua kapal tersebut adalah 766,37 km.

Diilustrasikan sebagai berikut:

Kapal A(10 km/jam)

Kapal B(13 km/jam)

0450

0900

U


13

Jarak yang telah ditempuh kapal A:= × ℎ= 10 ⁄ × 3= 30Jarak yang telah ditempuh kapal B:= × ℎ= 13 ⁄ × 3= 39Jarak kedua kapal dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Jarak antara kapal A dengan kapal B:( ) = + − 2 . cos 45= 30 + 39 − 2 × 30 × 39 × 12√2= 900 + 1521 − 1170√2= 2421 − 1170√2= 2421 − 1654,63= 766,37

Kapal A

Kapal BPelabuhan

Jarak kapal A dan B

450

a

b


14

Keterangan:

Diasumsikan mula-mula kedua kapal (A dan B) berada pada

tempat yang sama dan memiliki jarak 0 km antar kedua kapal.

Karena dua tersebut sama-sama berlayar menjauhi pelabuhan,

maka mengakibatkan jarak antara kapal A dan B 766,37 km satu

sama lain.

2. Penalaran deduktif

Menurut Ihsan (2010) penarikan simpulan secara deduktif

adalah suatu cara penarikan simpulan pada suatu proses berpikir

yang sebaliknya dari penarikan simpulan induktif. Dalam hal ini

penalaran deduktif memberlakukan prinsip-prinsip matematika

umum untuk mencapai kesimpulan yang spesifik, atau dengan kata

lain penalaran deduktif matematis adalah cara berpikir di mana dari

pernyataan matematika yang bersifat umum ditarik kesimpulan

matematis yang bersifat khusus. Penarikkan kesimpulan secara

deduktif biasanya mempergunakan pola berpikir yang dinamakan

silogisme.

Silogisme adalah suatu upaya untuk menghubungkan atau

menggabungkan atau menyintesiskan suatu pendapat (yang lebih

umum, mayor) dengan pendapat lainnya (yang lebih khusus, minor)

secara teratur dan tersusun bertingkat sehingga terbangun suatu


15

wacana atau argumentasi yang memenuhi syarat-syarat logis

(Wiramihardja, 2009).

Silogisme yang standar tersusun atas dua buah pernyataan

dan sebuah kesimpulan. Pernyataan yang mendukung silogisme ini

disebut sebagai premis yang kemudian dibedakan menjadi premis

mayor dan premis minor. Premis mayor adalah premis yang

mengandung term predikat sedangkan premis minor adalah premis

yang mengandung term subjek.

Berdasarkan kedua urain di atas mengenai kemampuan

penalaran induktif dan kemampuan penalaran deduktif, maka

diperoleh beberapa indikator kemampuan penalaran matematis, yaitu

sebagai berikut:

a. Indikator penalaran induktif:

i. Mampu menggunakan pola untuk menganalisis situasi

matematika.

ii. Mampu melakukan analogi ataupun melakukan

generalisasi matematika

iii. Mampu menganalisis soal cerita ke dalam bentuk

matematika (grafik).


16

b. Indikator penalaran deduktif:

i. Mampu memperkirakan jawaban dan proses solusi.

ii. Mampu menentukan pola untuk menyelesaikan masalah

matematika.

iii. Mampu menarik kesimpulan logik.

C. Pokok Bahasan Trigonometri

1. Perbandingan Trigonometri

sin ∝ =cos ∝ =tan ∝ =

2. Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

00 300 450 600 900sin ∝ 012 12√2 12√3 1cos ∝ 112√3 12√2 12 0tan ∝ 013√3 1 √3 ~

3. Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

AB

C

x

y

r

α


17

4. Perbandingan Trigonometri di berbagai Kuadran

Kuadran IIsin ∝ = +cos ∝ = −tan ∝ = −Kuadran Isin ∝ = +cos ∝ = +tan ∝ = +

Kuadran IIIsin ∝ = −cos ∝ = −tan ∝ = +Kuadran IVsin ∝ = −cos ∝ = +tan ∝ = −

5. Identitas Trigonometri

6. Persamaan Trigonometri

7. Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas Segitiga

Pada segitiga ABC sebarang didefinisikan aturan-aturan berikut ini:

a. Aturan Sinus

b. Aturan Cosinus

c. Luas Segitiga

i. Panjang dua sisi dan besar satu sudut diketahui

ii. Besar dua sudut dan panjang satu sisi yang diapit diketahui

iii. Panjang ketiga sisinya diketahui


6 bab ii kajian teori a. kemampuan penalaran matematisrepository.ump.ac.id/6823/3/titik tri mardhani...

Documents