594-1337-2-pb

7/21/2019 594-1337-2-PB

http://slidepdf.com/reader/full/594-1337-2-pb 1/7

Vol. 9. No. 2, 2012 Jurnal Sains, Teknologi dan Industri

79

KONVERGENSI MODIFIKASI METODE NEWTON GANDA

DENGAN MENGGUNAKAN KELENGKUNGAN KURVA

Yuslenita Muda1)

, Wartono2)

, Novi Maulana3)

1),2)Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika

3)Program Studi S1, Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan TeknologiUIN Sultan Syarif Kasim Riau

Email: [email protected]

ABSTRAK

Metode Newton Ganda adalah salah satu metode iterasi yang digunakan untuk menentukan akar-akar

persamaan nonlinier dengan konvergensi orde empat. Banyaknya iterasi yang digunakan oleh sebuah metode

iterasi bergantung kepada orde konvergensinya. Semakin tinggi orde konvergensinya, semakin sedikit iterasiyang dilakukan. Oleh karena itu, pada kajian ini penulis memodifikasi metode Newton Ganda dengan

menggunakan kelengkungan kurva untuk meningkatkan orde konvergensi. Berdasarkan hasil penelitian,

diperoleh bahwa modifikasi metode Newton Ganda dengan menggunakan kelengkungan kurva menghasilkan

sebuah metode iterasi baru dengan konvergensi orde delapan.

Katakunci: Kelengkungan Kurva, Metode Newton Ganda, Orde Konvergensi.

ABSTRACT

The Double Newton’s method is an iterative methods for solving nonlinear equations with fourth-order

convergence. The number of iterations used by an iteration method depends on the order of convergence. The

higher order of convergence, the fewer iterations are performed. The main aim of this paper is to modify the Double Newton’s method by using curvature to increase the order of convergence. Based on this research,

showed that the modification of Double Newton’s method by using curvature produces a new iteretive

method with eighth-order convergence.

Keywords: Curvature, Double Newton’s method, Order of convergence.

PENDAHULUAN

Penentuan akar-akar persamaanmerupakan salah satu persoalan yangterdapat dalam persamaan nonlinear. Untuk

menentukan akar-akar persamaan suatu persamaan nonlinear yang cukup rumitdigunakan metode iterasi sebagai pendekatanhasil numerik. Salah satu metode iterasi yangsering digunakan yaitu metode Newtondengan orde konvergensi berbentukkuadratik. Oleh karena konvergensinya

berorde dua, maka metode Newton cukupcepat menghampiri akar-akar persamaannonlinier. Bentuk umum metode Newtonadalah:

,...3,2,1,0,)('

)(1 n

x f

x f x x

n

nnn

(1)

Belakangan ini, beberapa peneliti telah

melakukan berbagai macam pendekatanuntuk meningkatkan orde konvergensi suatumetode iterasi. Salah satunya adalah Metode Newton Ganda yang memiliki ordekonvergensi tingkat empat. Bentuk umum

dari metode Newton Ganda (Traub, 1964)adalah

)('

)(

n

nnn

y f

y f y z

(2)

mailto:[email protected]




7/21/2019 594-1337-2-PB



80

dengan

)('

)(

n

nnn

x f

x f x y

Selanjutnya, persamaan (2)

dimodifikasi dengan melakukan beberapa pendekatan untuk meningkatkan ordekonvergensi sehingga menghasilkan akar-akar untuk menghampiri nilai eksak denganerror yang kecil. Sanjay K. Khattri dan Ravi

P. Agarwal (2010) telah memodifikasimetode Newton Ganda dengan Kuadraturyang menghasilkan orde konvergensidelapan. Selain itu, Sanjay K. Khattri danIoannis K. Argyros (2010) juga telah

memodifikasi metode Newton Gandadengan ekspansi Taylor yang menghasilkanorde konvergensi tujuh.

Selain teknik pendekatan kuadraturdan ekspansi Taylor, terdapat sebuah teknikyang juga dapat meningkatkan ordekonvergensi suatu metode iterasi yangdisebut kelengkungan kurva. Yong-Il Kimdan Changbun Chun (2010) telah

memodifikasi metode Jarratt dengan

menggunakan Kelengkungan Kurva yangmenghasilkan orde konvergensi dua belas.

Oleh karena itu, pada makalah ini penulis tertarik untuk melakukan penelitiandengan memodifikasi metode Newton Gandadengan menggunakan Kelengkungan Kurva

untuk menghasilkan orde konvergensi yangtinggi.

BAHAN DAN METODE

Pandang persamaan metode NewtonGanda sebagai berikut:

)('

)(

n

nnn

y f

y f y z

(3)

dengan

)('

)(

n

nnn

x f

x f x y

dan kelengkungan kurva di ))(,( nn x f x

adalah sebagai berikut:

2

322

22

2

)("

))('1(

)("

)('1)(

)("

)('1)(

n

n

n

nn

n

nnn

x f

x f

x f

x f x f y

x f

x f x f x x

(4)

Sehingga untuk kelengkungan kurva yang berada pada )(', nn z f z dapat dirumuskan kembali

menjadi

)("

))('1(

)("

)('1)('

)("

)('1)('2

322

22

2

n

n

n

nn

n

nnn

z f

z f

z f

z f z f y

z f

z f z f z x (5)

Persamaan (5) di atas selanjutnya diaproksimasi pada titik 0,1n x terhadap sumbu x ,

sehingga diperoleh

)("

))('1(

)("

)('1)('0

)("

)('1)('2

322

22

2

1

n

n

n

nn

n

nnnn

z f

z f

z f

z f z f

z f

z f z f z x (6)

Apabila manipulasi aljabar dilakukan terhadap persamaan (6) di atas, maka didapat

0)("

)('1)(2)(

)("

))('1)(('2

2

2

1

22

1

n

n

nnnn

n

nn

nn z f

z f z f z f z x

z f

z f z f z x (7)

Kemudian, persamaan (7) difaktorisasi terhadap nn z x 1 sehingga persamaan (7) menjadi

)("

)('1)(2)(

)("

))('1)(('2

2

2

2

11

n

n

nn

n

nn

nnnn z f

z f z f z f

z f

z f z f z x z x

(8)

7/21/2019 594-1337-2-PB



81

Selanjutnya, dengan melakukan manipulasi aljabar terhadap persamaan (8) didapat

)("))('1)(('2

)("

)('1)(2)(

2

1

2

2

1

n

nnnn

n

n

nn

nn

z f z f z f z x

z f

z f z f z f

z x

Variabel 1n x yang terletak disebelah kanan persamaan (8) di atas disubstitusikan dengan

iterasi Newton yang menghasilkan

)("

))('1)(('2

)('

)(

)("

)('1)(2)(

2

2

2

1

n

nn

n

n

n

n

n

n

nn

nn

z f

z f z f z

z f

z f z

z f

z f z f z f

z x

)(")())('1()('2

))('1)((')(2)()(")('22

22

nnnn

nnnnnn

n z f z f z f z f

z f z f z f z f z f z f z

(9)

Pada persamaan (9) dibutuhkanevaluasi turunan kedua. Untuk itu, turunankedua pada persamaan (9) di atas

diaproksimasikan pada

nn

nnn

z w

z f w f z f

)(')(')(" (10)

dengan

)('

)(

n

nnn

z f

z f z w

(11)

Sedemikian sehingga diperoleh

)(")())('1()('2

))('1)((')(2)()(")('22

22

1

nnnn

nnnnnn

nn z f z f z f z f

z f z f z f z f z f z f z x

nn

nnnnn

nnnn

nn

nnn

n

z w

z f w f z f z f z f

z f z f z f z f z w

z f w f z f

z

))(')('(

)())('1()('2

))('1)((')(2)())(')('(

)('

22

22

(12)

Oleh karena)('

)(

n

nnn

z f

z f z w , maka persamaan (12) menjadi

n

n

nn

nnnnn

nnnn

n

n

nn

nnn

nn

z z f

z f z

z f w f z f z f z f

z f z f z f z f z

z f

z f z

z f w f z f

z x

)(

)('

)](')('[)())('1()('2

))('1)((')(2)(

)(

)('

)](')('[)('

22

22

1 (13)

Selanjutnya, persamaan (13) dapat disederhanakan sehingga diperoleh

)(')('2)('

)(')(')('32)(3

2

1

nnn

nnnn

nnw f z f z f

w f z f z f z f z x

(14)

7/21/2019 594-1337-2-PB



82

Cara berbeda dapat diturunkan dengan memanipulasi persamaan (7). Variabel2

1 )( nn z x

diganti dengan iterasi Newton yang menghasilkan

0

)("

)('1)(2)(

)("

))('1)(('2

)('

)( 2

2

1

22

n

n

nnnn

n

nn

n

n

z f

z f z f z f z x

z f

z f z f

z f

z f (15)

Kemudian, manipulasi aljabar dapat dilakukan pada persamaan (15) sehingga diperoleh

3

22

1)('2

)(')(2)(")(

n

nnnn

nn z f

z f z f z f z f z x

(16)

Selanjutnya, dengan menggunakan aproksimasi persamaan (10) terhadap persamaan (16) diatas, maka didapatkan

)('

)(

)('

)('3

2

11

n

n

n

n

nn z f

z f

z f

w f z x

(17)

dengan)('

)(

n

nnn z f

z f z w ,

)('

)(

n

nnn y f

y f y z dan

)('

)(

n

nnn x f

x f x y .

Persamaan (17) di atas merupakanmetode iterasi baru yang diperoleh dari

modifikasi metode Newton Gandamenggunakan kelengkungan kurva.Aproksimasi nilai suatu fungsi f denganmenggunakan persamaan (17) untuk setiapiterasi dilakukan dengan enam evaluasifungsi, yaitu tiga evaluasi fungsi f dan tiga

' f , dan terdiri dari empat tahap yaitu

mencari n y , n z , nw dan 1n x .

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai

analisa konvergensi persamaan (17) di atasuntuk mengetahui orde konvergensi dari persamaan (17) itu. Berikut ini teorema yangmemberikan persamaan tingkat kesalahandari persamaan (4.21) yang menunjukkanorde konvergensinya.

Teorema 3.1 Diberikan )( x f adalah

fungsi bernilai rill yang mempunyai turunan

di R R I f : , untuk I interval

terbuka. Jika 0 x menghampiri maka

persamaan (17) di atas mempunyai ordekonvergensi delapan dengan persamaangalat

)(4 987

21 nnn eOece (18)

dengan nn xe dan)('

)(

!

1 )(

f

f

k C

k

k , k

= 1, 2, 3, ...

Bukti: Misalkan adalah akar dari )( x f ,

maka 0)( f . Asumsikan 0)(' x f dan

nn e x , dan dengan menggunakan

rumus ekspansi Taylor untuk

mengaproksimasi fungsi f di sekitar n x ,

diperoleh

)()( nn e f x f

)()('''!3

1)("

!2

1)(')( 432

nnnn eOe f e f e f f (19)

Oleh karena f ( )=0, maka dengan melakukan manipulasi aljabar pada persamaan (19) diperoleh

)('

)(

)('

)('''

!3

1

)('

)("

!2

1)(')(

432

f

eO

f

e f

f

e f e f x f nnnnn

)()(' 43

3

2

2 nnnn eOeC eC e f (20)

7/21/2019 594-1337-2-PB



83

Jika untuk )(' n x f dilakukan ekspansi Taylor di sekitar x maka,

)('

)(

)('

)('''

!2

1

)('

)("1)(')('

32

f

eO

f

e f

f

e f f x f nnn

n

)(321)(' 3232 nnn eOeC eC f (21)

Apabila persamaan (20) dibagi dengan persamaan (21) diperoleh

43

3

2

2

2

2 2'

nnnn

n

n eOeccece x f

x f (22)

sehingga,

)('

)(

n

nnn

x f

x f x y

43

3

2

2

2

2 2 nnn eOeccec (23)

dengan demikian, maka

43

3

2

2

2

2 2)(' nnnn eOeccec f y f (24)

dan

43

3

2

22

22

2 421)('' nnnn eOecccec f y f (25)

Selanjutnya, dengan cara yang sama maka diperoleh

543

2

3

3

2

2

2

2 22)('

)(nnnn

n

n eOececcec y f

y f (26)

Sehingga diperoleh

)('

)(

n

nnn y f

y f y z

(27)

)(2 543

2 nn eOec

maka

)(2)(')( 543

2 nn eOec f z f (28)

)(41)(')(' 544

2 nn eOec f z f (29)

Sehingga

)(82)('

)( 987

2

43

2 nnn

n

n eOecec z f

z f

(30)

Kemudian substitusikan persamaan (27) dan(30) ke dalam persamaan (11) sehinggadidapatkan

)('

)(

n

nnn

z f

z f z w

)(8 987

2 nn eOec (31)

Sedemikian sehingga

)(8)(')( 987

2 nnn eOec f w f (32)

dan

)(161)(')(' 988

2 nnn eOec f w f (33)

Selanjutnya, dengan cara yang sama makadiperoleh

)(41)('

)(' 544

2 nnn eOec

z f

w f

(34)

Sehingga persamaan (17) diperoleh

persamaan galatnya sebagai berikut:

)(4 987

21 nnn eOece

Simulasi Numerik

Pada bagian ini akan diberikansimulasi numerik menggunakan software Matlab versi 7.0.4 dengan digit error e=10

-16

dan kriteria penghentian program komputer:

i. e x x nn 1

ii. e x f n )( 1 yang bertujuan untuk membandingkan jumlah iterasi beberapa metode iteratifdalam menghampiri akar persamaan darifungsi-fungsi berikut:

7/21/2019 594-1337-2-PB



84

3cos2)(1 x x x x f

3647595322516915.3

31

)(2 x

x x f

3269516335955628.9

20)(3 xe x f x

8444708424389537.2

104)( 23

4 x x x f

1409683652300134.1

1)2()(5 xe x x f

0238854428544010.0

Berdasarkan hasil perhitungankomputasi atau simulasi numerik diperoleh

jumlah iterasi dari berbagai metode seperti:

NW dinotasikan sebagai metode Newtondengan orde kovergensi dua, NG dinotasikansebagai metode Newton Ganda dengan ordekonvergensi empat, JMC dinotasikan sebagaimetode Jarrat yang dimodifikasi

menggunakan kelengkungan kurva denganorde konvergensi dua belas oleh Young Il-Kim (2010), OM dinotasikan sebagaimodifikasi metode Ostrowski dengan ordekonvergensi delapan oleh Guofeng Zhang

(2009) dan NGC dinotasikan sebagai persamaan (17) dengan orde konvergensi

delapan. Berikut ini adalah tabel perbandingan jumlah iterasi dari metodetersebut.

Tabel 1. Perbandingan Jumlah Iterasi

)( x f 0 x Jumlah Iterasi

NW NG JMC OM NGC

)(1 x f -4.8 6 3 2 3 3

)(2 x f 15.5 4 3 2 2 2

)(3 x f 0.0 12 6 3 10 4

)(4 x f 1.6 4 3 2 2 2

)(5 x f 2.0 8 4 3 3 5

Selanjutnya untuk menegaskan tingkatorde konvergensi suatu metode iterasi, perlu

dilakukan perbandingan terhadap hampiranakar-akar dari sebuah fungsi f . Salah satumetode yang digunakan untuk penegasan itudikenal dengan istilah Computational Order

of Convergence (COC). Berikut ini diberikandefinisi tentang COC.

Definisi Computational Order of

Convergence (Weerakoon, 2000). Diberikan

adalah akar dari )( x f , dan 1n x , n x dan

1n x berturut-turut alalah iterasi yang dekat

dengan , maka Computational Order of

Convergence (COC) dapat

diaproksimasikan dengan menggunakanrumus

)/()(ln

)/()(ln

1

1

nn

nn

x x

x x

Atau

)/()(ln

)/()(ln

1

1

nn

nn

ee

ee

Perhitungan COC melibatkan hasil

pemograman pada tabel 1 dan menggunakan

software Maple versi 9.5. Berikut ini adalah

tabel perbandingan

COC dari berbagai

metode tersebut diatas.

7/21/2019 594-1337-2-PB



85

Tabel 2. Perbandingan Nilai COC

)( x f 0 x

COC

NW NG JMC OM NGC

)(1 x f -4.8 1.99 3.90 Ttd 3.96 6.03

)(2 x f 15.5 2.00 3.74 Ttd Ttd Ttd

)(3 x f 0.0 2.00 3.97 10.83 2.01 6.09

)(4 x f 1.6 2.02 3.99 Ttd Ttd Ttd

)(5 x f 2.0 1.50 3.29 9.59 5.56 3.92

KESIMPULAN Pada makalah ini diberikan sebuah

metode iterasi baru yang diperoleh dengancara memodifikasi metode Newton Ganda

dengan menggunakan kelengkungan kurvaseperti terdapat pada persamaan (17).Aproksimasi nilai suatu fungsi f denganmenggunakan persamaan (17) untuk setiapiterasi dilakukan dengan enam evaluasifungsi, yaitu tiga evaluasi fungsi f dan tiga

' f , dan terdiri dari empat tahap yaitu

mencari n y , n z , nw dan 1n x . Berdasarkan

hasil simulasi numerik pada Tabel 1 danTabel 2, NGC secara umum memiliki iterasiyang lebih sedikit dan nilai COC yang lebih

tinggi dibandingkan metode iterasi Newtondan Newton Ganda. Sehingga, metode inilebih efektif dalam menyelesaikan persamaannonlinier dibandingkan metode lainnya yangmemiliki orde konvergensi yang lebihrendah.

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, Steven C., Raymond P. Canale,2006, Numerical Methods for Engineers, fifthedition, MC Graw Hill, Singapura.

F, Traub J., 1964, Iterative Method for TheSolution of Equations, Prentice Hall, NewYork.

JR, Frank Ayres & Elliot Mendelson, 2004, Kalkulus Edisi Keempat , Erlangga, Jakarta,

Khattri, Sanjai K. & Ioannis K. Argyros,2010, How to Develop Fourth and Seventh

Order Iterative Methods?, Novi Sad J. Math,Vol. 40, No. 2.

Kim, Yong-Il & Changbun Chun, 2010, NewTwelfth-Order Modifications of Jarratt’s Method for Solving Nonlinear Equations,Studies in Nonlinear Sciences 1,(1):14-18.

Kim, Yong-Il, Changbun Chun, WeonbaeKim, 2010, Some Third-Order Curvature Based Methods for solving Nonlinear

Equations, Studies in Nonlinear Sciences1,(3):72-76.

Purcell, Edwin J., Dale Varberg., Steven E.Rigdon, 2004, Kalkulus Edisi Kedelapan. Jilid2, Erlangga, Jakarta.

Smith, Robert T. & Roland B. Minton, 2002,Calculus Second Edition, MC Graw Hill, New

York.

Weerakon, S. & Fernando, T.G.I., 2000, AVariant of Newton’s Method With Accelerated Third-Order Convergence.

Applied Mathematics Letters. 13:87-93.

594-1337-2-pb

Documents