55106414 modul kalkulus

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

1/233

SEKOLAH TINGGI ILMU

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

2/233

MODUL KALKULUS I

SEKOLAH TINGGI ILMUSTATISTIK

Tahun Akademik 2008 /2009

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

3/233

Dosen Pembimbing Dra. Lusia Sugiyati

Tim Penyusun

Fisca Nandya Agustina (08.5644)

Frisca Ully Hapsari Saragih (08.5647)

Gilang Alip Utama (08.565 1)

Hinca Gita Lestari Pardede (08.5665)

I Gede Heprin Prayasta (08.5667)

Jamiatul Mualifah (08.5686)

Lidya Indah Aribi (08.5 699)

M. Aulia Rahman (08. 5709)

Moh. Safiudin (08.5727)

Muhamad Anwar (08. 5731)

Nana Khaira (08.5737)

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIKTahun Akademik 2008 / 2009

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

4/233

KATA PENGANTAR

Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan

rahmat Beliau lah kami dapat merampungkan modul mata kuliah Kalkulus ini tepat padawaktunya.

Adapun tujuan penyusunan modul mata kuliah kalkulus ini adalah untuk memenuhitugas akhir semester genap ini. Selain itu kami berharap modul ini dapat digunakan sebagai

panduan dalam satuan acara perkuliahan mata kuliah Kalkulus I. Pada modul ini kamiberusaha menampilkan seluruh materi ang tercantum dalam silabus acara perkuliahan matakuliah Kalkulus tahun akademik 2008 / 2009, serta didukung oleh beberapa latihan soaldilengkapi dengan pembahasannya.

Akhir kata kami ucapkan terima kasih kepada Ibu Lusia Sugiyati selaku dosenpembimbing, rekan-rekan tim penyusun,beserta semua pihak yang tidak dapat kami sebutkansatu per satu yang telah membantu kami dalam proses penyusunan modul ini. Kamimenyadari bahwa karya kami masih sangat jauh dari sempurna, maka dari itu kritik dan saranyang bersifat membangun sangat diharapkan demi kesempurnaan karya kami berikutnya.Terima Kasih.

Jakarta, 28 Juli 2009

Penulis

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

5/233

DAFTAR ISI

Halaman Judul ..........................................................................................................................i

Kata Pengantar...........................................................................................................................ii

Daftar Isi .................................................................................................................................. iii

Fungsi Invers Trigonometri....................................................................................................... 1

Integral Fungsi Trigonometri......................................................................................................7

Integral Parsial............................................................................................................................7

Rumus Reduksi Trigonometri................................................................................................... 8

Integral Substitusi Trigonometri ............................................................................................. 14

Integral Fungsi Rasional ......................................................................................................... 16

Integral Substitusi Lain............................................................................................................26

Improper Integral......................................................................................................................29

Fungsi Gamma & Fungsi Beta.................................................................................................32

Barisan Tak Hingga, Kemonotonan Barisan, Konvergensi Barisan.........................................40Deret Geometri, Deret Harmonis, Uji Konvergensi.................................................................42

Deret Kuasa, Deret Taylor, Deret Mac Laurin.........................................................................50

Radius Konvergensi dan Interval Konvergensi........................................................................50

Fungsi dua Variabel, Domain, Range...................................................................................... 53

Turunan parsial, Aturan Rantai.................................................................................................55

Integral Rangkap dan Volume Benda Ruang............................................................................57

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

6/233

FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

I. TURUNAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

1. Turunan Fungsi Invers Sinus

Perhatikan grafik y = sin x, kita mencatat bahwa pada interval

pembatasan sin x menjadikannya satu-satu. Kemudian kita mendefinisikan sin-1 x sebagai fungsi

inversnya. Domain dari fungsi ini [-1,1], yang merupakan range dari sin x. Jadi,

1. sin-1 x = y jika dan hanya jika sin y = x.

1. Domain sin-1 x adalah [-1,1].

3. Range sin-1 x adalah [-

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

7/233

Dengan membatasi domain tan x pada interval (-

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

8/233

6. Turunan Fungsi Invers Cosec

Dengan membatasi domain cosec x pada interval (0,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

9/233

2.4

a>0

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

10/233

3. Integral Fungsi Invers Sec dan Cosec

2.5

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

11/233

2.6

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

12/233

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418 dan 433.

Contoh Soal :

1. Tentukan dy/dx dari y = (3x-1) cos-1 (x2)

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn. 419.

Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

13/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

14/233

2. Tentukan dy/dx dari

( 1


Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

15/233

1 x 1 x

d x

d

y

d

(

1 11

d

(

( x

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

16/233


7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

17/233

)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

18/233


( 1 ) x

3. Tentukan dy/dx dari y = 7 cos-1


Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

19/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

20/233

J ____________________________________

4. Tentukan Integral dari 2

1 co

0


Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

21/233

s i n

1 cos /

s (c o

t n

= tan-1 (1) tan-1 (0)

5. Seorang berdiri di atas sebuah bukit vertical kira-kira 200 kaki di atas sebuah danau. Dia melihat sebuah

perahu bermotor yang bergerak menjauhi bukit dengan laju 25 kaki tiap detik. %Wr1XD Saj}

XWD}Maha[ Ss}U}tEXW[gliQata[ aXabila SXWraJ} bWrada XQda jaraD 1DE kOki daribukit itu?

Sumber : Purcell Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima hlmn.418.

Jawab :

Orang

200

L

X Perahu

'DariLg JDPr taUXak DaPSD S}E}t KWXDWsi 6 GWmW[}Gi h}U}[VL[

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

22/233

Maka

Apabila kEta sDLI1tEtusEkan x = 15V dNn dxL1[L= 25, kEta 1 G1 QeLol[L d/dL= -0,08radian tiap detik.

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Apabila pengintegralan dengan metode substitusi tidak berhasil, dengan menerapkan metodepenggunaan ganda, yang lebih dikenal edengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasi. Metode inididasarkan pada penggunaan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

Andaikan u=u(x) dan v=v(x). Maka

Dx>uXx1[L1)]L u1x) L1x) L1[L1x)uL1[L

dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh

u(x)v(x) = +

atau

= u(x)v(x) -

.DaUI{a DvL=Gv(I1x dLn L1L1= [(x) dQ, pGrsa1 LaX ter[khEr [LILI dEtUlEs sPLIaDaE LIerEkut.

Pengintegralan parsial integral tak tentu adalah

= uv Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial tentu adalah

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

23/233

= [u v -

, dengan 0 < k < n.a. Rumus reduksi untuk

Setelah metode Integral parsial digunakan pertama kali, kita amsih harus menghitung integral yangkedua dengan metode yang sama tetapi pangkat dari x lebih kecil. Jadi di sini pangkat dari x direduksi agarsamakin kecil, sehingga masalahnya dapat diselesaikan. Teknik semacam ini dikenal sebagai rumusreduksi, yang bentuk umumnya

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

24/233

Misalkan

,u = dan dv =makadu = dx dan v =.Jadi kita mempunyai rumus reduksi

-b. Rum us redu ks i unt uk

dan , n bilangan asli

Untuk n bilangan ganjil, n = 2k+1, k = 1,2,3,...,

= = = -dan = = =.

Secara umum, rumus reduksinya dapat diperoleh dengan metode integral parsial. Untuk itu,

=Misalkan

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

25/233

du = (n 1) dan v = -u = dan dv =maka

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

26/233

akibatnya,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

27/233

pindahkan ke ruas kiri, diperoleh

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

28/233

Jadi kita mempunyai rumus reduksi

Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk , yaitu

c. Rumus reduksi untuk


7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

29/233

Untuk n =3,4,5,...,====Untuk n = 1, = ln | sec x | + C dan = ln | sin x |+ CUntuk n = 2,= == =.d. Rumus reduksi untuk

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

30/233


;Untuk n = 1, = ln | sec x + tan x| + C dan = ln | csc x - cot x | + C

Untuk n = 2,

Khusus untuk n bilangan genap, n =2k, k=1, 2, ...,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

31/233

= = == = = -

Untuk n = 3,4,5,...,

=Misalkan

u = dan dv =maka

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

32/233

pindahkan ke ruas kiri, diperolehdu = (n 2) dan v =

= (n 2)akibatnya,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

33/233

Jadi kita mempunyai rumus reduksi

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

34/233

+

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

35/233

Dengan menggunakan proses yang sama diperoleh rumus reduksi untuk , yaitu

+

e. Rumus reduksi untukdimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.

Tipe 1. Sekurang-kuarangnya salah satu dari sin x dan cos x berpangkat ganjil. Makasubstitusi untuk lainnya berlaku.

Tipe 2. Kedua pangkat sin x dan cos x adalah genap. Ini selalu melibatkan perhitungan denganmenggunakan identitas-identitas seperti :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

36/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

37/233

f. Rumus reduksi untukdimana m dan n bilangan adalah bilangan bulat non negatif.

Tipe 1. n adalah genap; substitusikan u = tan x

Tipe 2. n adalah ganjil dan m adalah ganjil. Substitusikan u = sec x

f. Rumus reduksi untuk kitamemerlukan identitas-identitas:

sin Ax cos Bx =

sin Ax sin Bx = cos Ax cos Bx =

Soal latihan

1

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

38/233

Misalkan :u = x, du= dxdv = , v == x -] + C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

39/233

Misalkanu = ln x,du =

dv = , v =

2

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

40/233

= ln x . - = ln x===Misalkanu = csc xdu = - csc x.cot x dx -du = csc x.cot x dx

3.(kemudian u diganti dengan csc x)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

41/233

Misalkanu = x , du = dxdv = csc x dx , v = -tan xMisalkan u = cos xdu = - sin x dx

4.=5.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

42/233

+6.7

Misalkanu = du =

dv = dx, v = x

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

43/233

dp = - 8xdx - dp = 2xdx

+

8.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

44/233

Misalkan

u = d u =dv = cos x, v = - sin x

Dimisalkan lagiu = d u =dv = sin x, v = cos x

9.2

Misa lkan u = cos xdu = - sin x dx

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

45/233

u diganti kembali dengan cos x menjadi==Sumber buku :

1. 6FhaD)s VLIlines OalQulus,LI.Db 3N dOn baLILI

1. Kalkulus karya Drs. Koko Martono, M.Si, bab 63. Kalkulus dan Geometri Analitis karya Edwin J. Purcell, bab 8.4:

Sumber Soal

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

46/233

1. Purcell hal. 457, no. 15


3. Kalkulus hal. 236, no. 12


5. Kalkulus hal. 236, no. 24

6. Kalkulus hal. 230

7. Schaum hal. 183, no. 16

8. Soal dari catatan

9. Soal dari Ibu Lusia


7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

47/233

INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

48/233

= + C= - + Cz

2Terkadang kita merasa kesulitan dan bingung ketika menemukan integral yang bentuknya takwajar dan tidak bisa diselesaikan dengan satu atau dua langkah penyelesaian. Untuk itulah, kitamempelajari berbagai macam substitusi untuk menemukan solusi dari masalah yang akan kitapecahkan.

S u a t u I n t e g r a l y a n g t e r d i r i d a r i s a l a h s a t u b e n t u k , , a t a u t e t a p ibukan faktor irrasional lain, dapat diubah ke dalam bentuk lain yang menyangkut fungsitrigonometrik peubah baru sebagai berikut :

Untuk Gunakan Guna Memperoleh

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

49/233

u = sin z a = a cos z

u = tan z a = a sec z

u = sec z a = a tan z

Untuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yangbersangkutan dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku siku seperti yangditunjukkan dalam penyelesaian soal soal dibawah ini.

Latihan Soal

Carilah penyelesaian dari integral sebagai berikut :

1.

Ambil x = 2 tan z; maka dx = 2 dan = 2 sec z

Penyelesaian :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

51/233

Penyelesaian := + 2 ln | x + | + C

32x

z

z2x

Ambil x = 2 sec z ; maka dx = 2 sec z tan z dan Penyelesaian := =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

52/233

z

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

53/233

5.

43xz

Ambil x = ; maka dx = dz dan = 4cos z

= =

= =

= + C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

54/233

= + C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

55/233

Sumber : Kalkulus Edisi Kedua

Frank Ayres, JR.

J.C. Ault, M.Sc.Dra. Lea Prasetio, M.Sc.

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Fungsi rasional adalah hasil bagi dua polinomial ( suku banyak ). Pada umumnyafungsi rasional sangat sulit untuk diintegralkan. Akan tetapi, ada beberapa metode yang

dalam teori dapat digunakan untuk menyelesaikan fungsi rasional sebagai jumlahanfungsi rasional sederhana yang dapat diintegralkan dengan metode dari pelajaransebelumnya. Sebuah fungsi

berbentuk disebut fungsi rasiona dimana N (x) adalah pembilang dan D (x)

adalah

penyebut

Ada dua macam fungsi rasional yaitu sebagai berikut :

1. Fungsi rasional sejatiYaitu dimana derajat pembilang < derajat penyebut. Contoh 1 :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

56/233

2. Fungsi rasional tidak sejati

Dimana derajat pembilang > derajat penyebut. Dapat disederhanakan sebagai penjumlahandari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contoh 2 :

=hasil di atas diperoleh dengan melakukan pembagian oleh penyebut.

Kasus I : Metode Pecahan Parsial

Dalam hal ini diasumsikan bahwa kita ingin mengevaluasi , dimana

Adalah fungsi rasional yang wajar. D(x) ditulis sebagai hasil kali faktor kuadrat linier danfaktor kuadrat iredusibel. Dalam hal ini yang dimaksud dengan iredusibel yaitu hasil akar-akar tersebut tidak boleh negatif dimana

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

57/233

.

Contoh 3 :

adalah iredusibel karena 0-4(1)(4)= 1 6 0

adalah redusibel karena

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

58/233

Metode ini menjabarkan fungsi rasional menjadi faktor linier atau pecahan parsialdan yang kemudian ditentukan nilai integral tak tentunya.

Kasus I : D (x) mempunyai koefisien utama 1 dan merupakan hasil kali faktor-faktor

linier yang berbeda.Contoh 4 : Hitunglah

Integran ini dapat ditulis sebagai

Diasumsikan A dan B adalah konstanta tertentu dan untuk mendapatkan konstanta-konstanta ini kedua sisi dapat kalikan (x-1)(x+2) untuk memperoleh

1= A(x+2) + B(x1)

Pertama, substitusikan -2 untuk x pada 1= A(0) + B( )= 3B. jadi B=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

59/233

Kedua, substitusikan x=1 dan menghasilkan 1= A(3) + B(0)= 3A. jadi A= Jadi,

=

= l n x - 1 l n x + 2 + C

= ln + C

Aturan kasus I. menyatakan integran sebagai jumlah dari suku-suku berbentuk untuksetiap factor linier x-a dari penyebut, dimana A adalah konstanta yang tidak diketahui. Laluselesaikan konstanta tersebut dan integrasi menghasilkan jumlah suku-suku berbentuk

A ln

x-a.

Perhatian: kita mengasumsikan tanpa bukti bahwa integran selalu mempunyai representasiyang dikehendaki. Untuk soal khusus, dapat diperiksa pada akhir perhitungan.

Kasus II : Faktor-faktor Linier8QtLk setPaV faktor SalIO EenRLk fakDr lPnPer EerLlanX ( xIr ) RanX OLQcLl kkali pada

penyebut, gunakan sebagai bagian dari representasi integran.

Tiap faktor linier yang muncul hanya sekali ditangani seperti dalam kasus I.

dengan konstanta yang ditentukan.

Contoh 5 : Tentukan Integran ini dapat ditulis kembali sebagai

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

60/233

Meskipun adalah faktor kuadrat , itu tidak irredusibelsebab . Jadi, denganaturan faktor linier, memperkenalkan dua suku (sebab m=2) berbentuk

Dan faktor (x-2) memperkenalkan satu suku (sebab m=1) berbentuk

Sehingga pecahan parsialnya adalah

Kalikan dengan menghasilkan

Menentukan nilai A, B, dan C dengan memisalkan x=0 dan x=2 untuk memperoleh

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

61/233

B= 2 dan C= 2

Lalu samakan koefisien yang bersesuaian yang memberikan A+C =0 karena tidak ada

nilai yang memiliki nilai untuk . Dan A= C= 2Sehingga menjadi

= 2 l n x+ + 2 ln x-2 +C = 2 ln + + CKasus III

: D(x) adalah hasil kali satu atau lebih factor-faktor kuadrat iredusibel yangberbeda dan mungkin juga beberapa faktor linier(yang mungkin muncul lebih dari sekali).Contoh 6: (faktor kuadrat yang berbeda). Jabarkan menjadi pecahan parsial bentuk

=

Untuk menentukan konstanta A, B, dan C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan(4x+1)( . sehingga kita memperoleh

1) +(4x+1)

Apabila kita ambil x= , x= 0 dan x=1 , kita mendapat

+ ( ) jadi A = 2jadi C = 1

jadi B = 1

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

62/233

Maka

== += ln 4x+1+ ln 1+ C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

63/233

Aturan umum kasus III : faktor-faktor linier ditangani seperti pada kasus I-II. Untuktiap

faktor kuadrat iredusibel , tempatkan suku padarepresentasi

integran.

Kasus IV : D (x) adalah hasil kali nol atau lebih faktor linier dengan satu atau lebih factor-faktor kuadratik iredusibel.

jika dimisalkan

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

64/233

Aturan umum kasus IV: faktor linier ditangani seperti kasus I-II. Untuk tiap factor

kuadrat iredusibel yang muncul pada pangkat ke k, sisipkan sebagai bagiandari representasi integran.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

65/233

Contoh 7 : (Faktor kuadrat berulang). Tentukan dx

cos x )

Penjabaran disini adalah

Kita akan memperoleh A=1, B =1, C =3D=5, E=0.

Sehingga ,

ln + ( ) += ln + CIntegral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam sin x dan cos x

Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasil kali, dan hasil bagi berhinggadari sin x dan cos x disebut fungsi-fungsi rasional dari sin x dan cos x . sebagai contoh :

jika dimisalkan

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

66/233

Metode untuk mengintegralkan fungsi-fungsi seperti ini dapat dilakukan berdasarkan padakesamaan trigonometri

sin x = 2sin )cos ) (1)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

67/233

u

1

Maka dari gambar di atas diperoleh

jika dimisalkan

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

68/233

sin ) = dan cos) = (3)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

69/233

(4)

(5)

substitusi ke dalam persamaan (1) dan (2) diperoleh

sin x = 2cos x =

kombinasidari persamaan (3), (4), dan (5) mengakibatkan rumus-rumus substitusi berikut,yang seringkali efektif untuk pengintegralan fungsi-fungsi rasional sin x dan cos x.

u = tan (

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

70/233

= =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

71/233

1.

Catatan : Metode dari contoh di atas dapat menimbulkan dekomposisi pecahanparsial yang tidak praktis dan akibatnya hanya akan digunakan jika tidak didapatkanmetode yang lebih sederhana.

Soal- soal Latihan ( Sumber : soal soal Tutorial tahun 2007)

jika dimisalkan

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

72/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

73/233

misal u= 3-x du= dx

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

74/233

= 2 = ln u+ ln3-x+

=

2. dengan metode pecahan parsial=

Jadi,misal u= du= 2x dx= = lnu+ = lnln3-x+ ln + C

6x+4 = A(

x=3 jadi 22= 1 1A maka A = 2 x=0 jadi 4= 2A+3C maka C=0

x=1 jadi 10=3A+2B+2C maka B= 2

2.

3. (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)

4. (Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1, Edwin. J. Purcell)

5.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

75/233

2. (Sumber 6-10: Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 1 )

2.

3.

10.Penyelesaian soal !

1. =

2.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

76/233

4x=1 jadi 6=0+2C maka C= 3x=0 jadi 1=B +C =B+3 maka B=2

x=1 jadi 4=(A+B)(2)=2A2(2 maka A=4

= Untuk Misal u= du= 2x dx maka 2du=4x dx= = 2 ln u + 2= 2 ln= 2 ln Untuk =3 ln x-1+Jadi, 3 ln x- 1+C

3. x11= A(x1)+ B(x+4)

untuk x=1 m aka B= 2

untuk x=4 maka A=3 maka,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

77/233

ln x+42 ln x1 + C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

78/233

4.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

79/233

2= A(x+2)+ Bx

Untuk x= 0 maka 2= A(2), A = 1 Untuk x=2 maka 2=B(2) B= 1

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

80/233

Jadi,

= ln x ln x+2+ C

= ln + C5.

5x= jadi = C maka C = 1x= 0 jadi 1= B+C maka B=0x=1 jadi 8=3 (A+B)+2C maka A=2 Jadi,== ln ln 2x+1+C

6.Missal x=dx= 2z dz x=0,z=0 x=9,z=3

maka =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

81/233

= 2

= 2

= 27.

Misal x= dx=5 dz menjadi,

= =Misal 2zdz=du

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

82/233

Zdz=ln + C = ln + C8.

x=dx=2z dz maka,

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

83/233

=

Diselesaikan dengan melakukan pembagian pembilang dengan penyebutSehingga menjadi,

= (2z4)dz +

= ln 1z) + C

= ln 1z ) + C sesuai ketentuan subs. di atas

= ln 1 ) + C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

84/233

Misal

=

,

=

9.

x= ln ( dx= maka,

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

85/233

=

Untuk u=1 , 2=2A maka A=1 Untuku=1,2=2B maka B= Sehingga,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

86/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

87/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

88/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

89/233

C

=C= ln u-1 l n u+1+ C

= C

10.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

90/233

x= du

=

= = 36u du =dv u

du =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

91/233

= C

= C

= + C

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

92/233

INTEGRAL SUBSTITUSI LAIN

Bila integran adalah rasional kecuali bentuk akar maka agar lebih mudah menyelesaikannya dapatdigunakan beberapa substitusi yaitu;

1. , substitusi cu # b = znakan menggantikan bentuk itu dengan integranrasional.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

93/233

1. , substitusi q # pu # u2= (z - u)2akan menggantikannya dengan

integran rasional.

3. , substitusi q # pu - u2

= ( + u)2

z2

atau q # pu - u2

=( u )2

z2

akan menggantikannya dengan integran rasional.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

94/233

3.

Penyelesaian :Misalkan = (z-x)2

x= ; dx =

= ;

4. substitusi dengan menggantikan p=zbdimana b adalah kelipatan

persekutuan terkecil dari m dan n.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

95/233

1. =

Penyelesaian :

Misalkan 1 -x = z2 sehingga -dx=2z dz

Maka integralnya menjadi = = -ln+ C

Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh = - ln

(Sumber :Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi,halaman 267)

+ C

1.

=Penyelesaian :

Misalkan x + 2 = z2 maka x = z2-2; dx = 2z dz;

Maka integralnya menjadi = =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

96/233

+C

Kembalikan nilai x, sehingga hasilnya diperoleh = ln(Sumber :Kalkulus edisi kedua,Frank Ayres,dkk 1998,halaman 157)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

97/233

=dz = 2z =jadi hasilnya adalah ln+ c(Sumber :Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi ,halaman 267)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

98/233

=4.

Uraikan= 5 4Sedang

Jadi integralnya menjadi =Hasilnya yaitu :

(2 =+ c= (5+x)2z2= (5+x)(1-x) dan substitusi

(Sumber :Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi,halaman 267)

5. =.......

Ambilah z = x4 maka dx = 4z3 dz dan

+

dz = 4(1/2 z2 + z + ln

= 2 +c

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

99/233

(Sumber :Kalkulus edisi kedua seribuku Schaum,halaman 157).

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

100/233

IMPROPER INTEGRAL

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

101/233

Dalam definisi , diasumsikan bahwa interval [a,b] terbatas. disebut

improper integral jika :

1. Paling sedikit, satu dari batas integralnya tak berhingga. Seperti , ,

.

1. mengandung titik discontinue pada [a,b]. Kemudian kita mendefinisikan

improper integral tersebut dengan cara sebagai berikut :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

102/233

a. =

a. =

c. += +

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

103/233

Jika adalah fungsi tidak negative dan continue pada [a,+), maka untuk setiap b>a,

definit integral merupakan daerah dibawah kurva y= dengan batas [a,b]

y

x

Selain itu, disebut improper intregal jika mengandung titik diskontinu pada [a,b].1. diskontinue pada titik = a1. diskontinue pada titik = b

Dari limit itu, kita bisa menarik kesimpulan, yaitu Jika limitnya ada, maka

improper integral dikatakan konvergen dan nilai dari limit adalah nilai dari integral.

Jika limitnya tidak ada maka improper integral dikatakan divergen yang mana tidak

mempunyai nilai.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

104/233

3. diskontinue pada titik = c (a,b)= += +

LATIHAN SOAL

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

105/233

Tentukan nilai improper integral dibawah ini:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

106/233

1.

==

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

107/233

Misal :=

==

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489 Penyelesaian:

Misal :

= sec=

= = = = =

=

2.

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 489 Penyelesaian :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

108/233

=

==

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

109/233

= 0

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

110/233

3.

==

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

111/233

Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490

Penyelesaian :

=+ 1Misal :==d dx==== 1=4.=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

112/233

= =

=Calculus With Analytic Geometry, Howard Anton, hal 490

Penyelesaian :

==

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

113/233

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA

1. Fungsi gammaNotasi : ['(n)

Definisi :

Yang mana konvergen untuk n > 0Sifat-sifat fungsi gamma := += ++ n ['(n)['(n) =misal :

Padahal :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

114/233

= 0dan seterusnya== =

Terbukti bahwa :

['(n+1) = n ['(n)

b. [ ' ( n + 1 ) = n ! ( n a d a l a h b i l a n g a n b u l a t p o s i t i f )

['(n) =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

115/233

Bukti: ['(1) =

= = =

= 1

Jadi ['(1) = 1

n=1*['(n+1) = n ['(n)

['(2) =1

['(

1)

n=['(3) =

2'

= 2.1n=

['(4) =3

'= 3.2.1

n=['(5)

= 4'

= 4.3.2.1

Terbukti bahwa:

['(n) = (n-1)! atau ['(n+1) = n!

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

116/233

c.

'

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

117/233

2. Fungsi Beta

Notasi : B(m,n) Definisi :

B (m,n) =Sifat-sifat fungsi beta :

a. B(m,n) = B(n,m)

Misal : x = 1-y

x = 0 y = 1 x = 1 y=0

B (m,n) =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

118/233

== B(n,m)

Terbukti bahwa :

B(m,n) = B(n,m)

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

119/233

b. B (m,n) =

Bukti:B(m,n) =

=

=x=0x=1Misal

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

120/233

Terbukti bahwa :

B (m,n) =

c.Bukti :

Misal,==Dengan cara yang sama diperoleh :

===Dengan koordinat polar maka:

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

121/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

122/233

1'

1'

= 4

= 2 1'= 1'

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

123/233

LATIHAN SOAL

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

124/233

1.

=

=

= 1 '

= 1'

=

=

2.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

125/233

Misal :

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

126/233

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal

295

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

127/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

128/233

Penyelesaian :

==

=

=

=

=

==


295

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

129/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

130/233

MissalMisal:

3.


Penyelesaian:


295

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

131/233

Misal:

===

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

132/233

4.

==

Misal:



7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

133/233

== =

5.


Penyelesaian :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

134/233

==== 4!= 24

Missal

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

135/233

6.

=

=

=

= =

7.


Penyelesaian

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

136/233

Misal :


7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

137/233

====== 12

8.

Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 295 Penyelesaian

:

Penyelesaian

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

138/233

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

139/233

=

=

=

=

=

=

=

9. Diketahui

Dengan menggunakan subtitusi x = y/(1 -y), tunjukkan bahwa :

(p) (1-p) = Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 291Penyelesaian

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

140/233

, Kemudian carilah nilai !Advanced Calculus, Murray R Spiegel, hal 292

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

141/233

Misal :

Penyelesaian

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

142/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

143/233

===

Penyelesaian

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

144/233

= B(p, 1- p)=

=

(p) (1-p) =

=

=

=

=

= =

=

Terbukti bahwa :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

145/233

=

10.


Penyelesaian :

=

=

=

=

=BARISAN TAK TERHINGGA

Suatu barisan tak terhingga (sn) adalah fungsi di mana domainnya adalah himpinan bilangpositif(0,1,2,3,..,..); an adalah nilai fungsi tersebut untuk bilangan bulat positif n yang diberikan. Barisan takterhingga biasanya hanya dituliskan beberapa suku pertama dari barisannya saja, contohnya :

1. an = a1 , a2 , a3 , . . , an , . .; an adalah bilangreal.

1. adalah baris 1, , , , . . , , . .

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

146/233

3. adalah baris , , , , . . , , . .

Konvergensi barisan

Barisan disebut konvergen ke L jika

Jika tidak ada , maka barisan divergen.

Suatu barisan juga disebut divergen jika limit pada suku genap dan suku ganjiilnya tidak sama. Contoh :

1. an = n+1 konvergen ke

1. an = divergen

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

147/233

3. an

= n2

n -* divergen4. an = -* konvergen ke

Sifat-sifat dari barisan yang konvergen :

Theorema :: Andaikan barisan an dan bn masing-masing konvergen ke L dan M serta c suatukonstanta, maka barisan :

1. (c an ) -* konvergen ke cL2. an + bn-* konvergen ke L+M

1. an - bn-* konvergen ke L-M2. an x an-* konvergen ke L x M5. an an-* konvergen ke L M ; 1ILI 1O1I

Kemonotonan barisan

an disebut . .

1. Naik jika a1 < a2 < a3 < . . . < an < . .2. Tidak turun jika a11L2 )1L3 1.1.1.11Ln [I11I1.

1. Turun jika a1 > a2 > a3 > . . . > an > . .2. Tidak naik a11a2 1a3 1.1.1.11Ln U11.1.

Untuk menentukan kemonotonan suatu barisan, digunakan uji beda dan uji rasio.

* Uji Beda

4Naik jika an+1 - an > 0 4 Turunjika an+1 - an < 0 4 Tidak turunan+1 - anL1L 4 Tidak naik an+1 - anL1L

* Uji Rasio

4 Naik j ika

4 Turun jika

4 Tidak turun jika 4

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

148/233

Tidak naik jika

Deret tak terhingga

disebut suku-suku deret.

Barisan tak terhingga dapat dibentuk dari jumlah parsial( nya sebagai berikut :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

149/233

:S adalah jumlah dari deret.

Jika konvergen ke S, maka disebut juga deret konvergen ke S. Bila

divergen, maka deret divergen, dan tak ada jumlahnya.

Deret Geometrik

Deret geometrik merupakan penjumlahan suku-suku barisan , disebut deret geometrik denganrasio rdan suku pertama a.jumlah parsial ke-n, Sn , dinyataka oleh . .

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

150/233

jumlah . Jika , XI VrVtXtVr}VbuLXI ivVIgVnXEV X., oleh karena itu , deret konvergen denganUntuk

Theorema deret tak terhingga:

1. konvergen j ika dan hanya jika konvergen.1. konvergen jika adalah deret konvergen.

2. konvergen jika adalah deret konvergen.

1. atau tidak ada, maka deret tersebut divergen.

Deret Harmonik

Jumlah parsial deretnya adalah . .

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

151/233

Jawaban:1. a.

b.

Melanjutkan dengan cara ini kita akan mendapatkan dan dan secara umum

bila n>1. Ini menunjukkan bahwa , dan karena itu deret harmonik

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

152/233

tersebut divergen. Namun, jika dilihat, . Ini tidak membuktikan bahwa eret

harmonik adalah konvergen.

Latihan Soal

1. Untuk tiap barisan berikut, tulislah rumus suku ke-n dan tentukan limitnya (jika ada).Diasumsikan bahwa n= 1, 2, 3, 4, . .

a.b.

c.

2. Tunjukkan bahwa barisan adalah konvergen.

2. Tentukan kekonvergenan deret

3. Tentukan jumlah dari deret

4. Evaluasilah

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

153/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

154/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

155/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

156/233

c.2.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

157/233

Karena maka barisan konvergen.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

158/233

2.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

159/233

Jadi, . Maka deret ini konvergen dan jumlahnya

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

160/233

adalah 1.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

161/233

, maka jumlah deret tersebut adalah .

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

162/233

5.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

163/233

deret geometrik dengan dan suku pertama . , maka deret konvergen

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

164/233

dan jumlahnya adalah..

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

165/233

4.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

166/233

(Sumber : Kalkulus Edisi Schaum halaman 245s.d 263)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

167/233

UJI KONVERGENSI

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

168/233

1. Teorema dan sifat-sifat deret

Ada beberapa teorema dalam uji konvergensi, untuk mengetahui apakah suatu deretkonvergen ataukah divergen.

Teorema 1:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

169/233

Diketahui deretnya adalah dan suku ke-n adalah , maka:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

170/233

a) Jika 0 , maka deret tersebut sudah pasti divergen.b) Jika = 0 , maka deret ini bisa jadi divegen, bisa juga konvergen.

Ex: deret , tentukan apakah deret ini konvergen atau divergen!

Jaw: == 0, pangkat pembilang < pangkat penyebut

Jadi deret ini bisa jadi konvergen, bisa jadi divergen.Untuk mengetahui lebih lanjut kekonvergensiannnya, akan dicari pada ujikonvergensi.

Teorema 2:

2. Uji-uji konvergensi

Uji integral

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

171/233

Jika diketahui deret konvergen, suku ke-n adalah , maka: = 0

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

172/233

Teorema ini tidak berlakku kebalikannya. Maksudnya, Jika = 0 , deret

ini

bisa jadi divegen, bisa juga konvergen. Seperti halnya teorema di atas (teorema 1).

Ada beberapa sifat dari deret yang berhubungan dengan uji konvergensi.

1) Jika dan adalah deret-deret konvergen, maka:a)b)

= += -

2) Jika c 0 (c konstanta), dan deret dan adalah deret konvergen dua-

duanya

atau divergen dua-duanya, maka:

= c


Uji integral

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

173/233

Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan misalkan f(x) fungsi

dimana k diganti dengan x dalam formula . Jika f(x) turun dan kontiniu pada

interval [a, + ), maka dan keduanya konvergen atau keduanya

divergen.

* K o n v e r g e n s i d e r e t - PJika diketahui deret = 1 + + + +.....+ +.....

a) Konvergen jika p>1

b) Divergen jika p

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

174/233

=

* Uji Akar Misal deret adalah deret dengan suku-suku positif, dan anggapr.a) Jika r1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.c) Jika r=1, deret-deret mungkin konvergen ataupun divergen (tes gagal)

* Uji Banding Limit Misalkan dan deret-deret dengan suku-suku non negative,dan anggap

= r.

Jika r>0 dan r + atau interval (0,+ ), maka deret tersebut keduanya adalah

konvergen atau keduanya divergen.


Uji integral

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

175/233

* Uji Rasio Konvergensi Mutlak:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

176/233

Misal deret adalah deret dengan suku-suku bukan 0, dan anggap

= r .a) Jika r1 atau p=+ , deret-deret tersebut divergen.c) Jika r=1, tidak dapat ditentukan apakah konvergensi atau konvergen

mutlaknya.

Uji Deret Ganti Tanda

==

Kedua deret ganti diatas dikatakan konvergen jika memenuhi dua kondisi sebagai berikut:

a) an>an+1 , deret decreasing atau dengan uji kemonotonan rasio, < 1

a) = 0

Kedua syarat harus terpenuhi. Jika salah satu tidak terpenuhi, maka deret tersebutdivergen.

Ada hal lain yang harus diperhatikan, yaitu kemutlakan konvergen dari deret tersebut.Untuk mengetahui apakah deret tersebut konvergen mutlak atau bersyarat. Setelahmelakukan uji deret ganti tanda, dilakukan Uji rasio konvergensi mutlak. Jika setelahmelakukan uji rasio konvergensi mutlak, maka:

a) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensimutlak juga konvergen, deret tersebut konvergensi mutlak.

b) Jika uji deret ganti tanda konvergen dan dengan uji rasio konvergensi

mutlak divergen, deret tersebut konvergensi bersyarat.

Contoh soal:1. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

177/233

a.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

178/233

b.

Dengan menggunakan uji perbandingan, maka:

Pembanding adalah = d e n g a n =

< . . .

Dengan menggunakan uji konvergensi ke-P, terlihat disini bahwa konvergenkarena p=2 atau p > 1.

Menurut uji perbandingan, jika konvergen, maka juga konvergen.Jadi dengan begitu deret di atas konvergen juga.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

179/233

< . . .Karena p = atau p

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

180/233

2. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!Dengan menggunakan uji akar, didapatkan:a.Pembanding adalah= dengan =

r= < 1, maka deret ini konvergen

3. Tentukan kekonvergensian dari deret-deret berikut!

a. + + + +........ =a.

b. + + + + . . . . . . . . . == =

=

r= > 1, maka deret ini divergen== =

r= < 1, maka deret ini konvergen.

= === ; == ===; =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

181/233

r= >1, maka deret ini divergen

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

182/233

4. Tentukan kekonvergensian mutlak dari deret-deret berikut! a)

Dengan uji deret ganti tanda, maka:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

183/233

= =r= = =

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

184/233

deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi.

= = 0 syarat 2 terpenuhiDeret ini konvergen, tapi untuk mengetahui mutlak atau tidak harus dilakukan ujiperbandingan.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

185/233

D e n g a n =, dengan = ( < )

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

186/233

divergen, karena merupakan deret harmonis. Jadi juga divergen. Karena dengan uji

perbandingan mutlak didapatkan hasil divergen, jadiGOrO}D}OrsObu} DIIGII lIIEDEkonvOrgOnDbOrsyIIrII}R

b

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

187/233

Dengan uji deret ganti tanda, maka:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

188/233

= =r= = = < 1

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

189/233

deret ini decreasing, syarat 1 terpenuhi

= ==Syarat 2 tak terpenuhi, jadi deret ini divergen.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

190/233

DERET PANGKAT (DERET KUASA), INTERVAL, DAN JARI-JARI

KONVERGENSI

'HereLI LIakI hinDNa In(x-c)n dan Danxn secara berurutan disebut sebagai deret pangkat

dalam x sekitar c dan deret pangkat dalam x sekitar 0. deret tersebut bisa konvergen maupun

divergen. Sebagai catatan, deret tersebut pasti konvergen bila x=c.

7erUapDLIS3 kasus Gang mungkin unLIuk dereLI pangkaLI an(x-c)n:

(a) deret tersebut konvergen untuk semua x; atau

(a) deret tersebut konvergen untuk semua x dalam interval terbuka (c-R1 ,c+R1) sekitar c,

tidak di luar interval tertutup [c-R1 ,c+R1 ]; atau

(c) deret tersebut hanya konvergen untuk x=c.

Kasus-kasus di atas masing-masing mempunyai jari-jari dan interval sendiri-sendiri.

(a) pada kasus (a), interval konvergensinya (-~,+~) dan jari-jarinya ~.

(b)pada kasus (b), interval konvergensinya (c-R1 ,c+R1) dan jari-jarinya R1. (c)

pada kasus (c), interval konvergensinya {c} dan jari-jarinya 0.

Untuk mengetahui interval konvergensi, digunakan rumus sebagai berikut:

diLmaPa Qak adaDah dereLI pOngkaLI GHng}Ingin SicQrJ inLIervalLkonQJLILnsJLGa

INTEGRASI DERET PANGKAT

Rumus:

Interval konvergensi dari deret pangkat hasil integrasi adalah sama dengan interval

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

191/233

konvergensi deret asalnya.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

192/233

DIFERENSIASI DERET PANGKAT

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

193/233

f(n)= untuk

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

194/233

Deret Taylor dan Deret MacLaurin

A) Deret Taylor untuk f sekitar c sadalah

deret pangkat a0+a1 (x-

c)+a2(x-c)2+...

Di mana an= untuk semua n.

A) Deret MacLaurin untuk f adalah deret Taylor untuk f sekitar 0,yaitu deret pangkat a0+a1x+a2x2+...

Di mana an= untuk semua n.

Beberapa deret MacLaurin yang penting:1)2)

1) Sin x =

2) Cos x =

1) Ln (1+x) =1)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

195/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

196/233

1) Cari interval konvergensi dari deret !Jawab:Konvergen bila< 1-1

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

197/233

=

Untuk x=-3/2, deret menjadi = yang merupakan deret

konvergen bersyarat.

Untuk x=-1/2, deret menjadi yang divergen menurut perbandingan limit

dengan deret .

Jadi interval konvergensinya [-3/2, -1/2).

2) Cari radius konvergensi dari deret !Jawab:

Konvergen bila

-9

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

198/233

e4x=1 +4x+

=1+4x+ +...

=

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

199/233

f(x)=sin x f( )=0 sin (x- )=f(x)=cos x f( )=- 1

f(x)=-sin x f ( ) =0f(x)=-cos x f ( )=1+ +...

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

200/233

5) Ekspansikan cos 4x !Jawab:

Berdasarkan deret Maclaurin cos 4x, maka:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

201/233

Cos 4x= 1-Cos 4x=

FUNGSI DUA VARIABEL

Definisi:

Fungsi didefinisikan sebagai dua pemadanan antara dua himpunan bilangan, yaknihimpunan daerah asal (domain) dan himpunan daerah hasil (range) sedemikian sehingga untuk

setiap pasangan terurut bilangan dalam domain ada padanannya satu dan hanya satu bilangan

dalam range merupakan padanan.

Contoh 1:

(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)

Jawab:

Fungsi ini terdefinisi untuk bilangan real sedemikian untuk semua pasangan terurut bilangan real

(u,y) yang memenuhi

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

202/233

Untuk (x,y) = (1,0) f(1,0) = = 2

Untuk (x,y) = (4,1) f(4,1) = =

Contoh 2:

(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia Sugiyanti)

Jawab:

X 0 dan (1 -y) 0 sehingga x 0 dan y 1

atau

x 0 dan (1-y) 0 sehingga x 0 dan y 1

jadi Df: { (x,y) x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1 }

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

203/233

LIMIT DUA VARIABEL

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

204/233

Definisi:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

205/233

Untuk variabel didefinisikan sebagai ,

berlaku If(x) -

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

206/233

LI bila 0 Ix-cI . Jadi untuk fungsi dua variabel

didefinisikan oleh , berlaku

If(x,y) - LI bila 0 I(x,y) - (a,b)I .

Dalam penghitungan sangat tergantung dari bagaimana (x,y)

atau

tergantung dari kurva (lintasan) menuju ke (a,b). dikatakan ada bila

nilai

limit dari semua lintasan atau kurva menuju (a,b)

sama. Contoh Soal:

(Sumber: Catatan Perkuliahan oleh Ibu Dra. Lusia

Sugiyanti)Jawab:

i). Lintasan sumbu x (y=0, x 0)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

207/233

= = 0ii). Lintasan y == =Nilai kedua limit tersebut tidak sama jadi limitnya tidak ada.

KONTINUITAS

Definisi:

Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik (x0, y0) jika:

1. f (x0, y0) terdefinisi

1. ada

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

208/233

3.

Teorema:

Jika g dan h adalah suatu fungsi variabel yang kontinu maka f(x,y) = g(x).h(y) adalah suatu

fungsi kontinu dari x dan y.

Contoh:

Fungsi f(x,y) = kontinu karena f(x,y) merupakan perkalian dua fungsi kontinu

g(x)= dan h(x)=

TURUNAN PARSIAL

Definisi:

Misalkan z = f(x,y) adalah fungsi dua variabel. Jika x bervariasi sementara y dipertahankan tetap,

z menjadi fungsi dari x, maka turunannya terhadap x:

Disebut turunan parsial (pertama) dari f terhadap x dan dilambangkan dengan atau

atau . Demikian pula jika y bervariasi sementara x dipertahankan tetap.

Jadi

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

209/233

Contoh 1:

Tentukan turunan parsial terhadap x dan terhadap y dari f(x,y) =

(SLXPEr: ULkL %alkLlL . SOaLX . VLI liKe . OPm VL22X

Jawab:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

210/233

Berdasarkan teori tersebut kita dapat mendapatkan hasil bahwa:

fx(x,y) = 2x sin y dan fy(x,y) = x2 cos y.

Turunan Parsial dari Orde yang Lebih Tinggi

Kita dapat mengambil turunan parsial terhadap x dan y, dari , menghasilkan:

= fxx (x,y) = ) dan = f yx (x,y) = )

Demikian pula, dari kita memperoleh:

= fyy (x,y) = ) dan = f yx (x,y) = )

Contoh 2:

Tentukan turunan parsial kedua dari z = x2 + 3xy + y2 terhadap x saja!

(SLX1Hr:JULkLJ%KlkLlL .JSchKLO .JOLtlinH .Jhlm Jill 2JdHnOKnJpHrL1KhKP J .Hperlunya)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

211/233

Jawab:

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

212/233

= 2

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

213/233

ATURAN RANTAI

Misalnya z= f(x,y) dimana f diferensiabel, dan dimisalkan x = g(t) dan y = h(t), di mana g

dan h adalah fungsi-fungsi diferensiabel dengan satu variabel. Maka z=f(g(t),h(t)) adalahfungsi diferensiabel dengan satu variabel, dan

Contoh 3:

Misalkan z = xy + sin x, dan misalkan x=t2 dan y = cos

t.Jawab:(SLX1Hr:JULkLJ%KlkLlL .JSchKLO .JOLtlinH .Jhlm Jill 2JdHnOKnJpHVL1KhKP J .HpHrlLnyK

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

214/233

Catat bahwa = y + cos x, dan = x, selanjutnya = 2t d an = -sin t

Sekarang, sebagai fungsi dari t, z = t2 cos t + sin(t2)

Berdasarkan rumus yang disebutkan sebelumnya,

REFERENSI

%FkFXSch6FK2XPFJline2

Catatan Perkuliahan Kalkulus Semester 2 oleh Dra. Lusia Sugiyati

INTEGRAL RANGKAP 2 DAN VOLUME

INTEGRAL RANGKAP 2

Perhatikan sebuah fungsi yang kontinu pada daerah terbatasR dari bidang

penjumlahan

xy. Definisikan partisi P dari R dengan menggambarkan satu kisi dari garis horizontal dan

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

215/233

vertikal yang membagi daerah R menjadi subdaerah R1,R 2.. .,Rn dengan luas masing-masing .

Pada tiap subdaerah,Rk,pilih sebuah titik dan bentuklah

Definisikan diameter subdaerah sebagai jarak terbesar antara sebarang dua titik di dalam atau pada

batasnya dan lambangkan diameter maksimum dari subdaerah tersebut dengan dP .

Andaikan bahwa kita memilih partisi sedemikian rupa sehingga dan

(Dengan kata lainnya kita membuat lebih banyak subdaerah dan membuat dimeternya

semakin kecil). MakaIntegral Rangkap dari atasR didefinisikan sebagai

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

216/233

Yang menyatakan bahwa adalah suatu bilangan sedemikian rupa sehingga

untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif n0sedemikian rupa sehingga, untuk

sebarang dan sebarang partisi dengan , dan sebarang aproksimasi jumlah

yang bersesuaian kita mempunyai

Teorema / Sifat-Sifat Integral Rangkap 2

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

217/233

1.1.1.1.

Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

218/233

Contoh Soal dan Penyelesaian :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

219/233

(1)

Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

220/233

(S6FKuDXs OuLl 2esKalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson

hal. 339)

(

(S6FKuDXs OuLl 2esKalkulus Edisi ke-4 Frank Ayres,JR and Elliot Mandelson hal.

339)

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

221/233

Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

222/233

Jawab :

VOLUME INTEGRAL RANGKAP 2

Bila adalah nonnegatif pada daerahR, dapat diinterpretasikan sebagai volume.

Jika sebarang suku menyatakan volume suatu kolom vertikal yang alasnya

adalah luas dan tingginya adalah jarak yang diukur vertikal dari titik

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

223/233

y an g d ip il ih k e p er mu ka an . K em ud ia n , i ni d ap at d ia ng ga p s eb ag ai

aproksimasi volume kolom vertikal yang alas bawahnya adalah subdaerah Rk dan alas atasnya

adalah proyeksiRkpada permukaan.

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

224/233

Yang berarti bahwa integral rangkap 2 tersebut merupakan volume benda ruang yang dibatasi olehdaerah R pada bagian alas dan permukaan pada bagian alas atasnya.

Contoh Soal dan Penyelesaian :

(3) Misalkan adalah nonnegatif dan kontinu di atas daerahR dari bidangxy

yang batasnya terdiri dari busur dua kurva dan yang

berpotongan pada titik-titik KdanL. Tentukan rumus untuk volume Vdibawah

permukaan !

Jawab :

Misalkan bagian volume tersebut dipotong oleh bidang dimana

, bertemu dengan batasR di titik-titik dan dan

misalkan juga bertemu dengan permukaan pada busur UVsepanjang

. Luas dari bagian STUVterebut diberikan oleh

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

225/233

Jadi, luas bagian irisan melintang dari volume yang dipotong oleh bidang-bidang yang paralel

dengan bidangyzdiketahui sebagai fungsi darix,

dimana x adalah jarak bidang pembagi dari titik asal. Sehingga

(3) Tentukan volume yang dibatasi oleh silinder dan bidang-bidang

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

226/233

dan !

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

227/233

Jawab :

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

228/233

bidangxy. Jika,

dimana diintegrasikan atas lingkaran pada

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

229/233

Maka,

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

230/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

231/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

232/233

7/28/2019 55106414 Modul Kalkulus

233/233

55106414 modul kalkulus

Documents