5. steepest ascent descen

7/21/2019 5. Steepest Ascent Descen

http://slidepdf.com/reader/full/5-steepest-ascent-descen 1/15

Mata Kuliah / MateriKuliah

Brawijaya University

2011

REKAYASA DAN OPTIMASI PROSESSteepest Ascent/Descent

Ir. Usman Effendi, MSLab. Komputasi Dan Analisis Sistem, FTP, Universitas BrawijayaEmai ! "sman#e$$%"&'ac'i(

1. PENDAHULUAN1.1 Pengantar1.2 Tujuan

2. PENCARIAN TIDAKBERKENDALA DENGANVARIABEL GANDA

3. PENCARIAN KI I!KI I"LATTICE EARCH#

$. PENCARIAN UNIVARIAT

"u%i&ariat EARCH#

)' MET'DEPENDAKIAN/PENURUNAN TERCURAM "(tee)e(ta(*e%t / +e(*e%t

*' MET'DE 'NE AT ATIME

+' PENDA,U-UAN

M'DU

,Mi%--u ,

S

E

L

F-

P

R

O

P

A

G

A

TI

N

G

E

N

T

R

E

P

R

E

+'+ Pen.antarMari sekaran mempertimban kan pen!arian untuk desain

"an optimal ketika sistem diatur ole# dua atau lebi# $ariabelindependen. Dia%ali den an mempertimban kan #an"a dua $ariabel,kemudian memperluas teknik untuk se&umla# besar $ariabel "an

timbul dalam sistem "an lebi# rumit. 'amun, kompleksitas masala#menin kat ta&am seba ai menin katn"a &umla# $ariabel dan,ole#karena itu, per#atian umumn"a diara#kan pada $ariabel "an palinpentin , biasan"a dibatasi untuk dua atau ti a. Selain itu, ban"aksistem termal praktis dapat den an baik ditandai den an dua atauti a $ariabel dominan. (onto# ini meliputi pan&an dan diameterpenukar panas, la&u aliran fluida dan su#u e$aporator dalam sistempendin in, dimensi menara pendin in dan ener i "an ditolakole#n"a, dimensi ruan pembakaran dan tin kat aliran ba#an bakardan seba ain"a.



Brawijaya 2012Re a a(a +a% ')ti0a(i Pr (e( / tee)e(t A(*e%t /

+' TU0UAN+' '+ T"j"an Instr"1si2na Um"mSetela# men ikuti mata kulia# ini ma#asis%a akan memiliki kemampuan melakukananalisis suatu proses dan melakukan optimasi den an metode "an tela# dipela&arin"a

+' ' T"j"an Instr"1si2na K3"s"sSetela# mempela&ari pokok ba#asan ma#asis%a dapat )

• Mema#ami suatu masala# dalam proses "an melibatkan ban"ak $ariabel danmema#ami pen ambaran se!ara rafis untuk fun si den an $ariabel keputusan

anda• Mampu men ukan metode Steepest As!ent dan Des!ent untuk men"elesakan

masala# optimasi den an ban"ak $ariabel.• Mampu menerapkan metode *ne at A Time untuk me"elesaikan masala# optimasi

"an kompleks..

' PEN4ARIAN TIDAK BERKENDA-A DEN5AN6ARIABE- 5ANDA

Dalam ran ka untuk men ambarkan se!ara rafis pendekatan iteratif untuk desainoptimum, metode "an n"aman adala# pen unaan kontur atau aris nilai konstanFun si Tu&uan. +ambar memperli#atkan plot kontur k#as di mana setiap konturme%akili nilai tertentu dari fun si tu&uan dan maksimum atau minimum ditun&ukkanole# kontur terdalam. Plot ini mirip den an "an di unakan dalam topolo i untukme%akili ketin ian "an berbeda atau penin katan di pe unun an. Pun!ak me%akilimaksimum dan lemba# merupakan minimum. -epresentasi rafis beker&a den an baik

untuk masala# dua $ariabel karena bidan ambar memadai untuk menun&ukkanerakan ke ara# pun!ak atau lemba#.

+ambar . Metode Pen!arian Latti!e untuk ruan dua $ariabel

'amun, representasi ti a dimensi diperlukan untuk ti a $ariabel, den an setiap

kontur di antikan ole# permukaan. Ini men&adikan $isualisasi dan kompleksitasmenin kat den an menin katn"a &umla# $ariabel. 'amun, perluasan treatmen

of 1,




matematika ke "an lebi# besar &umla# $ariabel san at muda# dan dapat di unakanuntuk masala# lebi# komplek.

/erba ai metode "an disa&ikan di sini untuk multi$ariabel, optimasi takberkendaladidasarkan pada per#itun an peruba#an ara# penin katan fun si ob&ektif untuk maksimum dan ara# penurunan fun si tu&uan untuk minimum. *le# karena itu,prosedur untuk menentukan maksimum adala# serupa untuk pendakian menu&u pun!ak

unun atau bukit, se#in a metode ini dikenal seba ai teknik meman&at bukit. Ti ametode "an diba#as se!ara rin!i di sini adala# kisi pen!arian, pen!arian uni$ariat, danpendakian ter!uram. Metode Eliminasi, "an men uran i inter$al ketidakpastian den anmen #ilan kan daera#, mun kin &u a dikombinasikan den an teknik ini, terutamaden an pen!arian uni$ariat, untuk memperole# optimal.

' PEN4ARIAN KISI7KISI 8-ATTI4E SEAR4,9Metode pen!arian ini didasarkan pada men #itun U fun si tu&uan di sekitar titik

a%al dipili# dan kemudian meminda#kan titik ini ke lokasi "an memiliki nilai terbesardari U, &ika pen!arian adala# untuk maksimal. Den an demikian, per#itun an ber erakke ara# penin katan nilai dari fun si ob"ektif untuk menemukan sebua# maksimal.Maksimum ter!apai ketika nilai di titik pusat lebi# tin i dari nilai pada titik titiktetan an"a. Meskipun men!ari maksimal di U adala# dipertimban kan di sini, prosedur"an sama dapat diikuti untuk minimum, per#itun an ber erak dalam ara# penurunannilai fun si tu&uan. Untuk memper&elas ini dapat dili#at pada +ambar

:' PEN4ARIAN UNI6ARIAT 8"nivariat SEAR4,9

Sebua# pen!arian uni$ariat melibatkan men optimalkan fun si tu&uanse#ubun an den an sala# satu $ariabel pada suatu %aktu. *le# karena itu, masala#multi$ariabel direduksi men&adi seran kaian masala# optimasi $ariable tun al, den anproses kon$er ensi se!ara optimal seba ai $ariabel "an ber anti anti. Prosedur iniditun&ukkan se!ara rafis pada +ambar 0.

Sebua# titik a%al dipili# berdasarkan informasi "an tersedia pada sistem atauseba ai titik &au# dari batas batas %ila"a#. Pertama, sala# satu $ariabel, katakan 1,diadakan konstan dan fun si ini dioptimalkan se#ubun an den an " $ariabel lainn"a.Titik A merupakan optimum "an diperole#. Lalu " tetap konstan pada nilai pada titik Adan fun si dioptimalkan ter#adap 1 untuk mendapatkan optimal diberikan ole# titik /.Sekali la i, 1 tetap konstan pada nilai pada titik / dan " ber$ariasi untuk memperole#"an optimal, "an diberikan ole# titik (. Proses ini dilan&utkan, bolak $ariabel, "anberuba# sekali us memperta#ankan "an lain konstan, sampai optimal ter!apai.

2al ini ditun&ukkan ole# peruba#an dalam fun si tu&uan, dari satu lan ka# kelan ka# berikutn"a, men&adi kuran dari kriteria kon$er ensi "an dipili# atau toleransi.

of 1,




+ambar 0. /erba ai ta#ap dam metode pen!arian uni$ariat

*le# karena itu, masala# dua $ariabel dikuran i men&adi dua masala# optimasi$ariable tun al diterapkan se!ara ber antian. Prosedur dasar den an muda# dapatdiperluas untuk ti a atau lebi# $ariabel independen. Dalam meme!a#kan masala#$ariabel tun al, dapat di unakan metode pen!arian "an disa&ikan sebelumn"a, sepertiFibona!!i dan pen!arian ba ian emas,

4ONTO, +!

U fun si tu&uan, "an merupakan bia"a sistem kipas dan saluran, adala# diberikandalam bentuk $ariabel desain 1 dan ", dimana 1 merupakan kapasitas kipas dan "pan&an saluran,

Kedua 1 dan " adala# real dan positif. Men unakan pen!arian uni$ariat, dapatkan nilaiU optimum dan nilai nilai "an sesuai dari 1 dan ". Apaka# ini optimal minimum ataumaksimal3

SO-USI

Metode kalkulus dapat di unakan untuk sin le $ariabel dua masala# optimasi "andiperole# dalam pen!arian uni$ariat. 4ika " diperta#ankan konstan, nilai 1 di optimaldiberikan ole#

Demikian pula, &ika 1 tetap konstan, nilai " se!ara optimum diberikan ole#

Page $ of 1,




Karena informasi "an #an"a tersedia pada 1 dan " adala# ba#%a ini adala# n"atadan lebi# besar dari 5, mari kita memili# 1 6 "6 5,7 seba ai titik a%al. 4ika solusitersebut tidak diperole#, titik a%al dapat ber$ariasi. Pertama 1 tetap konstan dan "ber$ariasi untuk mendapatkan nilai optimum dari U. Maka " tetap konstan dan 1ber$ariasi untuk mendapatkan optimal nilai U. Dalam kedua kasus, persamaansebelumn"a di unakan.

Untuk setiap lan ka#, sala# satu $ariabel tetap konstan, seperti "an ditun&ukkan,dan optimal adala# diperole# dalam #al $ariabel lainn"a. Prosedur ini diulan sampaikeseluru#an optimal, "an merupakan minimum di U, di!apai. Iterasi di#entikan ketika 1dan " ber#enti beruba#. Sebua# kriteria kon$er ensi &u a dapat di unakan untukmen #entikan proses iteratif. Prosedur ini !ukup muda# dan kon$er en !ukup !epatuntuk ini masala# seder#ana. /a#kan untuk titik tolak substansial berbeda, metodemen"atu den an optimal. *ptimal &u a dapat diperole# den an metode kalkulus,.2asiln"a identik den an "an diperole# di sini ole# uni$ariate pen!arian, memberikan$alidasi untuk skema ini. 4ika U tidak di#itun pada setiap lan ka#, dapat ditetapkanba#%a minimal bia"a di!apai den an mem$ariasikan 1 atau " dari nilai nilai "andiperole# pada optimal. 'ilai U menin kat &ika sala# satu dari

ber$ariasi, menun&ukkan ba#%a meman minimum diperole#.

;' METODE PENDAKIAN/PENURUNAN TER4URAM8steepest ascent / (escent 9

Metode pendakian 8 keturunan !uram adala# metode pen!arian "an san atefi!ient untuk optimasi multi $ariabel dan se!ara luas di unakan untuk berba ai aplikasi,termasuk termal sistem. Ini adala# teknik mendaki bukit dalam #al itu men!oba untukber erak menu&u pun!ak, untuk memaksimalkan fun si tu&uan, atau ke ara# lemba#,

untuk minimalkan fun si tu&uan, selama &alur sesin kat mun kin.

Page , of 1,




Metode ini disebut ter!uram pendakian dalam kasus mantan dan penurunan!uram di kedua. Pada setiap lan ka#, dimulai den an titik a%al sidan , ara# di manafun si tu&uan peruba#an pada tin kat terbesar dipili# untuk meminda#kan lokasi titik,"an merupakan desain pada ruan multi$ariabel. +ambar 9 menun&ukkan erakan iniskema di atas bukit serta pada plot kontur dua $ariabel. Se&ak pen!arian selalu ber erakke ara# tin kat terbesar peruba#an U, &umla# sidan ber&alan diperlukan untukmen!apai optimal di#arapkan akan relatif ke!il dan Metode men&adi san at efi!ient.'amun, tidak memerlukan e$aluasi radien untuk menentukan ara# "an tepat erak,membatasi penerapan metode untuk masala# dimana radien dapat diperole# se!araakurat dan muda#.

Diferensiasi numerik dapat di unakan &ika ekspresi al&abar tidak tersedia untukfun si tu&uan, "an serin ter&adi untuk sistem termal.

+ambar 9. Metode Steepest as!ent, ditun&ukkan dalam batasan :a; meman&at keara#pun!ak dan :b; dalam batasan kontur U konstan

Untuk masala# multi$ariabel, radient $ektor dapat ditulis seba ai

mana i , i 0 , <, dalam adala# $ektor satuan dalam 1 , 1 0 , <, 1 n ara#, masin masin .

Pada setiap titik sidan , $ektor radien ditentukan dan pen!arian tersebut akandipinda#kansepan&an $ektor ini, ara# "an dipili# se#in a menin kat &ika Umaksimum adala# di!ari, atau U menurun &ika minimum "an menarik.

Ara# di%akili ole# $ektor radien diberikan ole# #ubun an antara peruba#an dalam$ariabel independen. =an menun&ukkan ini den an > 1 , > 10, <, > ?n, kita #arus darianalisis $e!tor

*le# karena itu, &ika > 1 "an dipili#, peruba#an dalam $ariabel lain #arus di#itun daripersamaan. Selain itu, > 1 diambil seba ai positif atau ne atif, ter antun pada apaka#menin kat atau berkuran den an U 1 dan apaka# maksimal atau minimal "an di!ari.

Page of 1,




Untuk maksimal di U, > 1 dipili# se#in a U menin kat, "aitu, > 1 adala# positif &ika @U 8 @ 1 positif dan ne atif &ika @ U 8 @ 1 adala# ne atif. Turunan Parsial, seperti @ U 8@ 1 , umumn"a diperole# se!ara numerik den an men unakan ekspresi seperti

di mana # adala# peruba#an ke!il di 1 . Demikian pula, turunan parsial lain dapatdie$aluasi. 4ika ekspresi al&abar "an tersedia untuk fun si tu&uan, misaln"a, dari #asilsimulasi numeri! pen!o!okan kur$a, kalkulus dapat di unakan se!ara men untun kanuntuk men e$aluasi tutunan.

4ONTO, !

Pertimban kan fun si kuadratik berikut

An apla# tela# di#itun radient $e!tor

Ara# penerunan ter!uram

Page of 1,




+ambar , +radien $e!tor untuk

+ambar 7. Metode Steepest Des!ent untuk fun si Kuadratik se!ara umum

Ara# radien adala# ara# "an memberikan respon terbesar pada fun si tu&uan per unitpan&an $ariabel independen. Peruba#an in!remental dalam setiap $ariabel diambilproporsional den an turunan parsialn"a, "an mana menentukan ara# radien. Ara# inidisbut ara# dari pendakian :atau penurunan; ter!uram: steepest as!ent or des!ent;

Page 4 of 1,




4ONTO, :!

Diberikan fun si tu&uan seba ai berikutB

(arila# nilai minimum dari fun si ini dan nilai ? dan = pada nilai minimum, mulai dari ?6 0 dan = 6 0.

SO-USI !

Titik mulai din"atatakan ole# M pada +ambar. Pertama kali turunan parsial #arusdi#itun dan die$aluasi pada titik permulaan

Pada titik permulaan turunan parsial ini men&adi

Karena dua duan"a turunan parsial adala# positip, fun si tu&uan ber$ariasi dalam ara#"an sama seperti ? dan =. Karenan", dalam kasus ini minimasi, baik ? dan =se#arusn"a diturunkan a ar supa"a menurunkan nilai C. -atio penurunan dalam ?ter#adap penurunan dalam = diambil proporsional den an turunan parsialn"a masinmasin , "aitu 8 5. Misal diambil sebaran nilai Peruba#an = a%aln"a dipili# adala#

5.7, berkaitan den an peruba#an ? sebesar 5. 5 : 5.7; 6 5.9.

A%aln"a ? 5 6 0, = 5 6 0, C 5 6 . Setela# lan ka# pertama

Page 5 of 1,




Adala# tampak @C8@? adla# positip teetapi @C8@= adala# ne atip. Karenan"a a arsupa"a menurunkan nilai C, ? #arus diturunkan dan = #arus dinaikkan. Katakanla#peruba#an = dikuran i dari 5.7 man&adi 5.9. dari per#itun an sekaran turunan parsial,rasio ?8 = 6 89 se#in a ? 6 5. .

Ta#ap di#itun seba ai berikut

Dilan&utkan sepan&an aris radien baru ini, titik berikut didapatkan

Karena C lebi# besar dari CG, Ta#ap sukses terak#ir, titik H :?G, =G; ditun&ukkan pada

+ambar. Ara# beruba# sekali la i. Ukuran ta#ap dinaikkan dan seterusn"a, sampai titikoptimum pada ak#irn"a diperole#.

Metode steepest as!ent membutu#kan dua keputusan ketika men #itun ara# radienbaru, dan berapa ukuran step untuk di unakan. Pen alaman dan pen enalan den anmasala# menin katkan eefieinsi pen"elesaian.

4ika ekspresi analitik tidak tersedia, adala# diperlukan untuk eksplorasi den anper!obaan nilai C, Fun si tu&uan, dalam berba ai ara# dari M : ambar; dan untukmenetapkan radien steepest se!ara eksperimental.

Metode dapat diterapkan untuk lebi# dari dua $ariabel den an teknik analisis $ektor.

METODE ONE AT A TIME

Dalam metode ini seluru# $ariabel ke!uali satu diperta#ankan konstan dan $ariabel inidi$ariasikan untuk mendapatkan perbaikan dalm fun si tu&uan. Li#at pada +ambar,suatu pen!arian a%al dimulai, peruba#an #an"a = :? konstan; sepan&an a aris A/

sampai nilai terenda# fun si tu&uan diperole# pada titik (. Suatu pen!arian baru dimulaisepan&an aris (D sampai titik D di!apai, dan proses dilan&utkan sampai optimumdiperole#.

of 1,




4ONTO, ;!

Selesaikan permasala#an dua $ariabel berikut

Minimasi < den an metode *ne at a Time. Mulai pada P 6 075 dan S 6 555

SO-USI !

Den an P 6 075 dan tidak dirariasikan, !ari nilai S terbaik

of 1,




Sekaran untuk S 6 0 7, !ari nilai terbaik P

Teruskan sampai tidak ada peruba#an #asil lebi# lan&ut.

Se#in a minimum ter&adi pada P 6 0JJ.7 dan S 6 57

of 1,




RE<ERENSIEd ar, T F. And DM 2immelblau. 055 . *ptimi<ation *f (#emi!al Pro!esses, Se!ond

Edition. M! ra% 2ill. 'e% =ork.

4aluria, =o es#. 055 . Desi n and optimi<ation of t#ermal s"stems 0nd ed. (-( Press.USA

.4elen, F(. J 7. (ost and *ptimi<ation En ineerin . Se!ond edition. M!+ra% 2ill. 'e%=ork.

PROPA5ASI

A' T".as :E$aluasi mandiri;

. Selesaikan

0. Total bia"a untuk suatu proses din"atakan seba ai berikut B

C 6 075 S 5. 7 5 7 P .7 S 5.7 75 P

Tentukan nilai optimum C dan !arila# S dan P den an men unakan metode B

a. eometri! pro rammin

b. *ne at a time.

!. Steepest as!ent or des!ent

B' =UI> :E$aluasi;

4' PROYEK :Eksplorasi entrepreneurs#ip, penerapan topi! ba#asan padadunia n"ata;

Page 1$ of 1,




Page 1, of 1,

5. steepest ascent descen

Documents