5 f u n g s i · pdf filepengertian dan unsur-unsur fungsi fungsi secara sederhana dapat...

1 | Matematika Ekonomi

aswhat.wordpress.com

5 F U N G S I

Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu

ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam

matematika menyatakan suatu hubungan formal antara dua himpunan data. Jika

himpunan data tersebut adalah variabel, maka fungsi dapat dinyatakan sebagai

hubungan antara dua variabel.

5.1. Pengertian dan Unsur-Unsur Fungsi

Fungsi secara sederhana dapat dikatakan sebagai hubungan matematis yang

menyatakan hubungan ketergantungan (hubuungan fungsional) antara satu

variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur

diantaranya variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa

terdapat di dalam setiap bentuk fungsi, namun tidak demikian dengan konstanta.

Variabel merupakan unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan suatu

faktor tertentu. Suatu variabel biasanya dituliskan dalam bentuk huruf-huruf latin,

misalnya x, y, z, dan sebagainya. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam

setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas (independent

variable) dan variabel terikat (dependent variable). Nilai variabel terikat

tergantung pada nilai lain misalnya variabel bebas, tetapi tidak sama halnya

dengan variabel bebas.

Koefisien merupakan bilangan atau angka yang terkait pada suatu variabel

dan pada umumnya terletak di depan variabel. Sementara konstanta adalah

bilangan atau angka-angka yang terkadang ikut membentuk sebuah fungsi tetapi

sifatnya berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait dengan suatu variabel

tertentu.

Secara umum, notasi suatu fungsi biasanya dituliskan sebagai

y = f (x) atau z = f (x, y) (5.1)

dengan x, y, dan z adalah suatu variabel.



Contoh 1

a. f (x) = 2x + 1

Karena y = f (x), maka bentuk tersebut dapat dituliskan juga menjadi

y = 2x + 1.

Bentuk f (x) = 2x + 1 maupun y = 2x + 1, keduanya merupakan bentuk fungsi

dengan fariabel bebas x dan variabel terikat y. Angka 2 disebut sebagai

koefisien dalam hal ini koefisien dari x (karena terletak di depan x), sementara

angka 1 disebut sebagai konstanta.

b. g(z) = -z + 3 atau y = -z + 3.

Bentuk g(z) = -z + 3 atau y = -z + 3, juga merupakan fungsi dengan variabel

bebas z. Koefisien z-nya adalah -1, sedangkan konstanta-nya adalah 3. Untuk

menggambarkan bentuk g(z) = -z + 3 ke dalam bidang cartesian maka g(z)

dimisalkan dengan y sedangkan z sama dengan x. ■

Agar pemahaman tentang fungsi tidak terlalu instan, akan diberikan sekilas

tentang tinjaun matematis terhadap fungsi itu sendiri.

Fungsi biasa juga disebut dengan pemetaan dari himpunan A ke himpunan B,

merupakan relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan

tepat satu anggota himpunan B. Suatu relasi dari himpunan A dan B adalah

himpunan pasangan berurut (a, b) dengan a ∈ A dan b ∈ B.

R = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B} (5.2)

Misalkan f adalah suatu fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan

B, maka fungsi f dapat dinotasikan dengan:

f : A → B (5.3)

Jika a ∈ A dan b ∈ B, dan fungsi f memasangkan a dengan b,maka b disebut peta

atau bayangan dari a. Pada fungsi f : A → B, himpunan A disebut daerah asal

(domain) dari fungsi f dinotasikan dengan Df . Himpunan B disebut daerah kawan

(kodomain) dari fungsi f dinotasikan dengan Kf. Sedangkan himpunan semua peta

A di B disebut daerah hasil (range) dari fungsi f dinotasikan dengan Rf.



Contoh 2

Diketahui A = {1, 2, 3, 4}, dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Jika f : A → B menyatakan “satu kurangnya dari”, maka tentukan daerah hasilnya.

Penyelesaian:

Relasi dari fungsi tersebut adalah = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}

Domain dari f ; Df = A = {1, 2, 3, 4}.

Kodomain dari f ; Kf = B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Daerah hasil dari f ; Rf = {2, 3, 4, 5} ■

Contoh 3

Misalnya f adalah fungsi dengan aturan f (x) = x2 + 1.

Daerah asalnya, Df = {-1, 0, 1, 2, 3}. Maka,

x = -1, f (-1) = (-1)2 + 1 = 2.

x = 0, f (0) = (0)2 + 1 = 1.

x = 1, f (1) = (1)2 + 1 = 2.

x = 2, f (2) = (2)2 + 1 = 5.

x = 3, f (3) = (3)2 + 1 = 10.

Jadi, daerah hasilnya, Rf = {1, 2, 5, 10}.

Gambar 5.1. Diagram Panah f (x) = x2 + 1.

■



5.2. Jenis-Jenis Fungsi

Jika dilihat dari hubungan antara variabel-variabel yang terdapat dalam suatu

fungsi, maka fungsi dapat dibedakan ke dalam dua jenis. Fungsi tersebut yaitu

fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

Fungsi eksplisit adalah fungsi yang antara variabel bebas dan variabel terikat

dapat dengan jelas dibedakan.

f (x) = y (5.4)

Misalnya f (x) = 2x + 3, maka y = 2x + 3. Dalam hal ini, nilai y ditentukan

oleh nilai x. Jadi jika x = 2, maka nilai y = 7. Sedangkan fugsi implisit adalah

fungsi yang antara variabel bebas dan variabel terikatnya tidak mudah untuk

dibedakan. Misalnya fungsi dengan dua variabel, f (x,y), Di sini,

f (x,y) = 0 (5.5)

Misalnya f (x,y) = x2 – 5xy + 6y, maka 0 = x

2 – 5xy + 6y. Dari sini, jelas tidak

mudah untuk menetukan berapa nilai x dan nilai y. Harga x dapat diketahui jika

terlebih dahulu ditentukan nilai y, begitu pula sebaliknya. Misalnya lebih dulu

ditentukan x = 1, maka diperoleh y = -1. Sedangkan jika misalnya lebih dulu

ditentukan y = 1, maka x = 2 atau x = 3.

Pembahasan mengenai fungsi matematika tidak terlepas dari pembahasan

tentang titik koordinat. Titik koordinat dapat ditentukan dengan dasar suatu

ukuran yang digunakan dari titik asal (origin point) sebagai titik tolak pengukuran

dan penentuan letak titik dalam gambar grafik dari suatu fungsi. Titik koordinat

(x, y) terdiri dari nilai absis (nilai x) dan nilai ordinat (nilai y).

Dilihat dari bisa tidaknya suatu fungsi dikonstruksi menggunakan operai

aljabar maka fungsi dalam matematika terbagi dua yaitu fungsi aljabar dan fungsi

non-aljabar (fungsi transenden).

5.2.1. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut sebagai fungsi aljabar jika f dapat dikonstruksi menggunakan

operasi aljabar yaitu jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar

fungsi-fungsi suku banyak. Fungsi aljabar terdiri dari fungsi linear, fungsi



kuadrat, fungsi pangkat banyak (pangkat tiga, empat, dan seterusnya), dan fungsi

pecah.

a. Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat

satu. Bentuk umum fungsi linear adalah:

f (x) = ax + b, dengan a, b ∈ R, dan a ≠ 0 (5.6)

Grafik fungsi linear berbentuk garis lurus. Grafik fungsi linear dapat

diperoleh dengan terlebih dahulu mencari hitungan matematisnya seperti langkah

berikut:

1. Menetapkan titik potong fungsi terhadap sumbu-x, dengan memisalkan y = 0.

2. Menetapkan titik potong fungsi terhadap sumbu-y, dengan memisalkan x = 0.

Karena grafik fungsi linear berbentuk garis lurus, maka untuk

menggambarkan grafik fungsi linear cukup ditentukan dua titik saja yaitu titik

yang memotong sumbu-x dan titik yang memotong sumbu-y. Sehingga pada

dasarnya langkah yang ditempuh cukup sampai dengan langkah ke-2 saja.

Namun demikian, jika ingin dilihat arah fungsi linear yang dimaksud atau

yang biasa disebut dengan gradien garis (notasi: m), maka dapat dilanjutkan

sampai dengan langkah ke-3.

3. Gradien garis ditentukan oleh persamaan

2 1

2 1

y ym

x x

(5.7)

Gradien garis ini ternyata sama dengan nilai a pada f (x) = ax + b. Gradien

garis biasa juga disebut dengan koefisien arah. Nilai gradien garis dapat

berharga positif atau negatif, tergantung dari tanda yang menyertai a dalam

persamaan y = ax + b. Jika a positif maka arah garis dari kiri bawah ke kanan

atas. Sendagkan jika a negatif maka arah garisnya dari kiri atas ke kanan

bawah.



Contoh 4

Gambarkan grafik fungsi f (x) = 2x + 3.

Penyelesaian:

Perpotongan terhadap sumbu-x, maka y = 0.

f (x) = 2x + 3

y = 2x + 3

0 = 2x + 3

x = -2/3.

Jadi, kurva berpotongan di titik (-2/3, 0).

Perpotongan terhadap sumbu-y, maka x = 0.

y = 2x + 3

y = 2(0) + 3

y = 3.

Jadi,kurva berpotongan di titik (0, 3).

Nilai gradien m = a = 2.

(a) (b)

Gambar 5.2. (a). Grafik Fungsi f (x) = 2x + 3; (b). Grafik Fungsi f (x) = -2x + 3.

■

Sebagai perbandingan untuk melihat nilai gradien m, maka diberikan grafik fungsi

f (x) = -2x + 3. Dengan cara yang sama, diperoleh perpotongan terhadap sumbu-x

adalah (3/2, 0), dan perpotongan terhadap sumbu-y adalah (0, 3). Nilai gradien m

= -2. Perhatikan grafik fungsinya pada Gambar 5.2.(b).

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y



b. Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah

f (x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c ∈ R, dan a ≠ 0 (5.8)

Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.

Langkah-langkah untuk menggambarkan grafik fungsi kuadrat adalah sebagai

berikut:

1. Mencari titik potong kurva terhadap sumbu y

2. Mencari titik potong kurva terhadap sumbu x

3. Menetapkan koordinat titik puncak

,2 4

b D

a a

, dengan D = b2 – 4ac. (5.9)

4. Mencari persamaan sumbu simetri, yaitu sumbu yang membagi grafik fungsi

kuadrat menjadi dua bagian yang sama besar.

2

bx

a

(5.10)

Contoh 5

Gambarkan grafik fungsi f (x) = x2 + 5x + 6.

Penyelesaian:

Titik potong terhadap sumbu-y, maka x = 0.

y = x2 + 5x + 6

y = 02 + 5(0) + 6

y = 6

Jadi titik potong terhadap sumbu-y adalah (0,6).


y = x2 + 5x + 6

0 = x2 + 5x + 6

(x + 2) (x + 3)= 0.

x + 2 = 0 dan x + 3 = 0

x1 = -2 x2 = -3

Jadi titik potong terhadap sumbu-x adalah (-2, 0) dan (-3, 0).



Koordinat titik puncak ,2 4

b D

a a

.

D = b2 – 4ac = (5)

2 – 4(1)(6) = 25 – 24 = 1

Selanjutnya,

5 5

2 2(1) 2

b

a

dan

1 1

4 4(1) 4

D

a

Sehingga koordinat titik puncaknya adalah (-5/2, -1//4).

Persamaan sumbu simetri, 5

2 2

bx

a

Gambar 5.3. Grafik fungsi f (x) = x2 + 5x + 6.

■

c. Fungsi Pangkat Banyak

Fungsi pangkat merupakan fungsi yang variabel bebasnya memiliki pangkat

sebuah bilangan real yang bukan nol. Bentuk umum yang paling sederhana dari

fungsi pangkat adalah

f (x) = xn, dengan n ∈ R (5.11)

Fungsi pangkat banyak berangkat dari konsep fungsi polynomial yaitu fungsi

yang memiliki banyak suku pada variabel bebasnya. Bentuk umum fungsi

polynom adalah:

f (x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2x

n-2 +... + a2x

2 + a1x

1 + a0, (5.12)

dengan ai ∈ R untuk i = n, n-1, n-2, ..., 2, 1, 0, dan an ≠ 0.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y



Persamaan (5.12) disebut fungsi polynom berderajat n. Jika n = 2, maka

disebut fungsi polynom berderajat 2 dalam hal ini sama dengan fungsi kuadrat.

Jika n = 3 maka disebut fungsi polynom berderajat 3 atau sama dengan fungsi

kubik, dan seterusnya.

Fungsi kubik adalah fungsi yang variabel bebasnya pangkat 3. Bentuk umum

fungsi kubik adalah:

f (x) = ax3 + bx

2 + cx + d, dengan a, b, c, d ∈ R, dan a ≠ 0 (5.13)

Contoh 6

Gambarkan grafik fungsi f (x) = x3 – 2x

2 – x + 2.

Penyelesaian:


y = x3 – 2x

2 – x + 2

y = 03 – 2(0)

2 – 0 + 2 = 2

Jadi, titik potong kurva terhadap sumbu-y adalah (0, 2).

Titik potong terhadap sumbu-x, maka y = 0.

x3 – 2x

2 – x + 2 = 0

x2 (x – 2) – (x – 2) = 0

(x2 – 1) (x – 2) = 0

(x + 1) (x – 1) (x – 2) = 0

Jadi, titik potong kurva terhadap sumbu-x adalah (-1, 0), (1, 0), dan (2, 0).

Gambar 5.4. Grafik fungsi f (x) = x2 + 5x + 6.

■

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y



d. Fungsi Pecah

Fungsi pecah merupakan fungsi nonlinear yang variabel bebasnya merupakan

penyebut. Fungsi pecah terbagi menjadi fungsi pecah kuadrat dan fungsi pecah

linear. Grafik fungsi pecah berbentuk hiperbola. Untuk menggambarkan garifk

fungsi pecah, maka perlu diketahui ciri-ciri matematisnya apakah termasuk ke

dalam fungsi pecah kuadrat atau fungsi pecah linear.

Langkah-langkah yang digunakan untuk menggambarkan grafik fungsi pecah

pada dasarnya sama dengan grafik fungsi lain yaitu mencari perpotongan grafik

fungsi terhadapa sumbu-x dan sumbu-y. Namun demikian, pada kasus fungsi

pecah, karena grafiknya berbentuk hiperbola maka grafik fungsinya memiliki dua

asimtot yaitu asimtot tegak dan asimtot datar (pada kasus 2

( )ax bx c

f xpx q

,

memiliki asimtot tegak dan asimtot miring). Bentuk umum dari fungsi pecah

linear adalah:

( )ax b

f xcx d

(5.14)

Misalkan akan digambarkan grafik fungsi pecah linear seperti pada

Persamaan (5.14) dengan bentuk umum. Ciri-diri dari fungsi tersebut adalah:

1. Titik potong terhadap sumbu-x diperoleh jika y = 0.

Untuk y = 0, maka b

xa

. Sehingga titik potong terhadap sumbu-x adalah

, ,0b

x ya

.

2. Titik potong terhadap sumbu-y diperoleh jika x = 0.

Untuk x = 0, maka b

yd

. Sehingga titik potong terhadap sumbu-y adalah

, 0,b

x ya

.

3. Asimtot, terdiri dari asimtot tegak dan asimtot mendatar.

Asimtot tegak diperoleh dengan membuat y , sehingga diperoleh

dx

c

. Sedangkan,



Asimtot mendatar diperoleh dengan membuat x , sehingga diperoleh

ay

c .

Contoh 7

Gambarkan grafik fungsi 2 3

( )1

xf x

x

Penyelesaian:

Titik potong terhadap sumbu-y

Jika x = 0, maka y = 3.

Sehingga titik potong yang dimaksud adalah (0,3)

Titik potong terhadap sumbu-x

Jika y = 0, maka 3

2x .

Sehingga titik potong yang dimaksud adalah 3

,02

Asimtot tegak: x = -1.

Asimtot mendatar: y = 2.

Gambar 5.5. Grafik fungsi 2 3

( )1

xf x

x

.

■

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y



5.2.2. Fungsi Non-Aljabar (Fungsi Transenden)

Fungsi transenden yang akan dibahas pada pokok bahasan ini adalah fungsi

eksponensial dan fungsi logaritma.

a. Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan

bilangan pangkat dari suatu konstanta yang tidak nol. Bentuk umum yang paling

sederhana untuuk fungsi eksponensial adalah

f (x) = ax, untuk a ∈ R, dan a ≠ 0 (5.15)

Grafik fungsi eksponensial f (x) = ax memperhatikan ciri-ciri berikut:

1. Jika x , maka ( )y f x

Jika x , maka ( ) 0y f x

2. Jika x = 0, maka y = 1. Artinya, grafik fungsi eksponensial tersebut hanya

memotong sumbu-y di titik (0, 1), tidak memotong sumbu-x.

3. Asimtot dari fungsi ekponensial adalah sumbu-x. dalam hal ini sebagai asimtot

mendatar.

Contoh 8

Gambarkan grafik fungsi f (x) = 2x.

Penyelesaian:

Untuk x , maka ( )y f x

x 0 1 2 3 ... ∞

y 1 2 4 8 ... ∞

Untuk x , maka ( ) 0y f x

x -1 -2 -3 -4 ... -∞

y 1/2 1/4 1/8 1/16 ... ∞



Gambar 5.6. Grafik fungsi f (x) = 2x.

■

b. Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi kebalikan (invers) dari fungsi eksponensial

dimana variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk umum fungsi

logaritma adalah:

f (x) = alog x (5.16)

Contoh 9

Gambarkan grafik fungsi: f (x) = 2log x.

Penyelesaian:

Dengan mensubtitusi nilai x ke dalam fungsi, maka diperoleh nilai y seperti yang

terlihat pada tabel berikut:

x 1 2 3 4 5 6 ... 10

y 0 1 1,58 2 2,32 2,59 ... 3,32

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y



Gambar. 5.7. Grafik fungsi f (x) = 2log x.

■

Soal Latihan

1. Tentukan domain dari masing-masing fungsi berikut:

a. f (x) = 9 – 2x

b. ( ) 3 1f x x

c. 1

( )3

f xx

2. Gambarkanlah grafik fungsi berikut:

a. f (x) = 7 – 3x

b. f (x) = -x2 + 8x – 15

c. 2 5

( )4 3

xf x

x

d. 2( ) 3xf x

e. f (x) = 3 + log 2x

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

5 f u n g s i · pdf filepengertian dan unsur-unsur fungsi fungsi secara sederhana dapat...

Documents