4-ruang-vektor

8/6/2019 4-ruang-vektor

1/8

Ruang VektorTujuan:

1. Mengingat kembali persamaan garis dan bidang di ruang.

2. Memahami aksioma ruang vektor, kombinasi linier danruang bagian.

3. Mengingat kembali pengertian bebas dan bergantung linier,

basis dan dimensi.

Arti geometris dari determinanJika A matriks 2x2, |det(A)| = area dari jajaran genjang

dibentuk oleh 2 vektor.Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedumdibentuk oleh 3 vektor.

Persamaan garis dan bidang di ruang

Garis di ruang dimensi 2: persamaannya adalah

y a = m (x b)

(jadi diperlukan kemiringan m dan titik yang dilalui (a,b))

Bidang di ruang dimensi 3:

Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui.

Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegaklurus terhadap bidang.

n
http://www.docu-track.com/buy/http://www.docu-track.com/buy/


2/8

Misal suatu bidang melalui titik 0 0 0 0( , , )P x y z dan mempunyai

vektor normal n

=(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada

bidang.1. Persamaan bidangnya adalah

00n P P

2. atau bentuk normal persamaan bidang:

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z

3. atau bentuk vektor persamaan bidang:

0( ) 0n r r

di mana 0 0 ,r OP r OP

4. atau bentuk parameter persamaan bidang:

0 0 0, , x x ta y y tb z z tc

di mana titik 0 0 0 0( , , )P x y z

dilalui bidang dan vektor( , , )v a b c

paralel dengan bidang.

Contoh:

Cari persamaan bidang yang melalui titik (3,-2,1) dan tegak

lurus terhadap vector n

=(1 2 2). Gambar pada koordinatCartesius.

Bila diketahui SPL berikut:

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Apa arti geometrisnya?


3/8

Yang tidak memiliki solusi: (a), (b), (c)Yang memiliki banyak solusi: (d), (e)

Yang memiliki solusi tunggal: (f)


4/8

Ruang Vektor

Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong di mana 2

operasi berlaku: penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Setiap dua vektor a

dan b

dan kombinasi liniernya ba

, dan bilangan real, merupakan anggota dari V, dan

memenuhi sifat berikut:untuk operasi penjumlahan:

0)(.4

0.3)().(2

.1

aa

aacbacba

abba

untuk perkalian dengan skalar:

aa

ackakc

akacakc

bcacbac

1.4

)()(.3

).(2

)(.1

Contoh ruang vektor:n, ruang vektor (matriks) 22xM , ruang

vektor mxnM .

Ruang bagian :

Diketahui W himpunan bagian tak kosong dari V. W disebut

ruang bagian jika W adalah ruang vektor dengan operasi yang

sama digunakan di V.

Contoh: Himpunan garis yang melewati titik origin adalah

ruang bagian dari3

.


5/8

Kombinasi Linier

Suatu vektor w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor

maaa

,...,, 21 jika dapat dituliskan

mmacacacw

2211

dimana mccc ,,, 21 adalah skalar.

Contoh: Diketahui vektor u = (1,2,-1) dan v =(6,4,2) di3R .

Apakah vektor berikut kombinasi linier dari u dan v ?

(a) w =(9,2,7),

(b) y =(4,-1,8).

Span (membangun) ruang vektorHimpunan vektor S={ maaa

,...,,21 } di sebut membangun V

jika setiap v anggota dari V dapat dinyatakan dalam

kombinasi linier dari maaa

,...,, 21 , yaitu

mm acacacv

2211


6/8


7/8

B asisJika V adalah ruang vektor dan S={ maaa

,...,,21 } adalah

himpunan vektor di V. S adalah basis dari V jika1. S bebas linier2. S membangun V.

Ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu basis.

Contoh: Standard basis

Di3R : i =(1,0,0), j =(0,1,0), k(0,0,1).

Din

: 1e =(1,0,0,,0), 2e =(0,1,0,,0) , , ne =(0,0,,0,1)

Di ruang matriks

10

00,

01

00,

00

10,

00

01:

22xM

D imensiHimpunan vektor V disebut berdimensi hingga jika memuat

himpunan vektor berhingga naaa

,...,, 21 yang merupakan basis

dari V. Dimensi dari V adalah n.

Latihan:

1. Tunjukan vektor-vektor berikut bebas linier: (-1 4 0), (8 4

-3),(0 6 -9)Pilih sembarang vektor (u v w), apakah keempat vektor

bebas linier?


8/8

2. Diketahui1 2

1 2

. (2,1), (0,3),

. (3,9), ( 4,12)

a u u

b w w

.Tunjukan mana

himpunan yang merupakan basis di 2 .

3. Tunjukan himpunan vektor2

1 21 , 1 p x x p x

bukan merupakan basis di ruang vektor 2P .4. Tentukan basis dan dimensi untuk ruang solusi dari SPL

homogen berikut:

1 2 3

1 2 3

1 3

0,

2 2 0,

0.

x x x

x x x

x x

4-ruang-vektor

Documents