31002-13-229235852051

Modul Tatap MukaXIII - ©han2008

MODUL TATAP MUKA XIII(28 Juni 2008)

Mata Ajaran : Statistik I

Pengajar : Hayuning Anggrahita, M.S.M

Tahun Ajaran : Semester Genap Tahun Akademik 2007/2008

Tujuan Instruksional Khusus :

Mahasiswa memahami arti dan pentingnya analisis regresi

Mahasiswa memahami cara melakukan analisis regresi menggunakan

metode least square (kuadrat terkecil)

ANALISIS REGRESI

Tujuan analisis regresi adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau

persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel.

Pembahasan kita akan terbatas pada regresi sederhana, yaitu mengenai hubungan

antara dua variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan dalam suatu garis lurus.

Diagram Pencar (Scatter Diagram)

Setelah ditetapkan bahwa terdapat hubungan logis di antara variabel, maka untuk

mendukung analisis lebih jauh, barangkali tahap selanjutnya adalah menggunakan

grafik. Grafik ini disebut Diagram Pencar (atau Diagram Tebaran), yang

menunjukkan titik-titik tertentu. Setiap titik memperlihatkan suatu hasil yang kita nilai

sebagai variabel tak bebas (dependent) maupun bebas (independent). Diagram

pencar ini memiliki dua manfaat, yaitu : (1) membantu menunjukkan apakah terdapat

hubungan yang bermanfaat antara dua variabel, dan (2) membantu menetapkan tipe

persamaan yang menunjukkan hubungan antara kedua variabel tersebut.

Kita dapat menjelaskan tujuan dan manfaat diagram pencar dengan menggunakan

data pada Tabel 7.24. Data tersebut menggambarkan hasil produksi karyawan yang

dinyatakan dalam satuan lusin (sebagai variabel tak bebas), terhadap 8 orang

karyawan pabrik mainan anak-anak “Tackey”. Jika hasil tes kecerdasan

menunjukkan asumsi yang kita perkirakan, rasanya masuk akal bila kita asumsikan

bahwa karyawan yang mempunyai nilai (skor) tinggi akan memberi hasil produksi

yang lebih tinggi juga.

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Hayuning Anggrahita, M.S.M STATISTIK I

1


Tabel 7.24. Hasil produksi dan Skor tes kecerdasan hipotesis dari 8 karyawan pabrik

mainan anak-anak “Tackey”

KaryawanHasil Produksi

(lusin) (Y)Skor Tes Kecerdasan

(X)A 30 6B 49 9

C18 3

D 42 8E 39 7F 25 5G 41 8H 52 10

Peraga 7.4 Diagram Pencar

Data dari seorang karyawan akan menunjukkan satu titik tertentu pada diagram

pencar, seperti yang terlihat pada peraga 7.4. (Titik-titik yang memperlihatkan

karyawan C dan F diberi tanda untuk memperlihatkan bagaimana kedua hasil

pengamatan terhadap kedua karyawan tersebut digunakan untuk membuat grafik).

Seperti yang kita lihat pada peraga 7.4, ke-8 titik membentuk gerakan sedemikian

rupa seakan membentuk suatu garis lurus, dan hubungan yang sangat erat terlihat

dengan fakta bahwa semua titik terlihat sangat dekat dengan garis lurus yang


2

C

F


ditetapkan. Juga kita melihat bahwa ada tes kecerdasan meningkat, maka hasil

produksi juga meningkat. Tentu saja, ada kemungkinan pada variabel tertentu

terdapat hubungan yang negatif (atau berlawanan), yaitu bila X meningkat, Y

menurun.

Persamaan Regresi Linear

Garis lurus yang terdapat pada diagram pencar peraga 7.4, yang memperlihatkan

hubungan antara variabel disebut garis regresi atau garis perkiraan. Seperti telah

kita ketahui, persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data

diagram pencar disebut persamaan regresi atau persamaan perkiraan. Jika kita ingat

pembahasan pada bagian akhir tentang perhitungan trend linear, mungkin kita agak

menemui kesukaran dengan persamaan regresi disini, juga digunakan untuk

menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh. Oleh karena itu, metode

kuadrat terkecil (method of least squares) sekali lagi akan kita gunakan untuk

menempatkan garis pada data yag diamati, sehingga bentuk dari persamaan regresi

adalah sebagai berikut :

dimana, a = Y pintasan, (nilai Y’ bila X = 0)

b = kemiringan dari garis regresi (kenaikan atau penurunan Y’ untuk

setiap perubahan satu satuan X) atau koefisien regresi, yang

mengukur besarnya pengaruh X terhadap Y kalau X naik satu unit.

X = nilai tertentu dari variabel bebas

Y’ = nilai yang diukur / dihitung pada variabel tidak bebas.

Kesamaan di antara garis regresi dan garis trend tidak dapat berakhir dengan

persamaan garis lurus. Garis regresi (seperti garis trend dan nilai tengah aritmetika)

memiliki dua sifat-sifat matematis berikut :

Dengan perkataan lain, garis regresi akan ditempatkan pada data dalam diagram

sedemikian rupa sehingga penyimpangan (perbedaan) positif titik-titik terhadap titik-

titik pencar di atas garis akan mengimbangi penyimpangan negatif titik-titik pencar


3


yang terletak di bawah garis, sehingga hasil penyimpangan keseluruhan titik-titik

terhadap garis lurus adalah nol.

Untuk tujuan kita di atas, perhitungan analisis regresi dan analisis korelasi dapat

dipermudah dengan menggunakan rumus dalam bentuk penyimpangan nilai tengah

variabel X dan Y, yaitu penyimpangan dari .

Oleh karena itu, dapat digunakan simbol berikut ini :

Ciri atau sifat kuadrat terkecil :

Nilai a dan b pada persamaan regresi dapat dihitung dengan menggunakan rumus di

bawah ini :

Sekarang kita sudah siap untuk data yang tersedia pada tabel 7.24. Tabel untuk

menghitung nilai yang dibutuhkan dalam mencari nilai a dan b dengan menggunakan

rumus (7.7) dan rumus (7.9), dapat dilihat pada Tabel 7.25.

Tabel 7.25


4


KaryawanHasil Produksi

(lusin) (Y)Skor Tes

(X)Y

(Y - )X

(X - )xy x2 y2

A 30 6 -7 -1 7 1 49B 49 9 12 2 24 4 144C 18 3 -19 -4 76 16 361D 42 8 5 1 5 1 25E 39 7 2 0 0 0 4F 25 5 -12 -2 24 4 144G 41 8 4 1 4 1 16H 52 10 15 3 45 9 225

296 56 0 0 185 36 968

Dari hasil perhitungan di atas, nilai a dan b dihitung sebagai berikut :

Sehingga, persamaan regresi yang memperlihatkan hubungan kedua variabel antara

hasil produksi dan hasil tes kecerdasan karyawan pada pabrik mainan anak-anak

“Tackey” adalah :

Y’ = 1,02 + 5,14X

Interval Kepercayaan Sehubungan dengan Regresi Linier

Kita lihat bahwa regresi linier populasi dalam Rumus XV (8) telah ditaksir oleh regresi

linier sampel Y = a + bX dengan koefisien-koefisien a dan b dihitung menggunakan

rumus XV (6). Jadi nampaj bahwa a dan b masing-masing merupakan titik taksiran

untuk θ1 dan θ2. Dengan asumsi-asumsi yang diberikan dalam bagian sebelumnya,


5


maka berbagai interval taksiran sehubungan dengan regresi linier, termasuk untuk θ1

dan θ2, dapat ditentukan.

Jika koefisien kepercayaan diambil γ, 0 < γ < 1, maka interval teksiran untuk θ1

ditentukan oleh:

dengan Sa dihitung menggunakan rumus XV (12) dan derajat kebebasan dk untuk

distribusi t yang dipakai adalah (n – 2)

Sejalan dengan hal tersebut di atas, interval taksiran untuk θ2 dihitung dari:

dengan Sb dihitung menggunakan rumus XV (11).

Contoh:

Untuk data dalam Daftar XV (1) telah dihitung Sa = 2,6495 dan Sb = 0,0714, maka

dengan n = 30, a= 8,24 b = 0,68 dan γ = 0,95 didapat interval taksiran untuk θ1 :

8,24 – (2 ,048) (2,6495) < θ1 < 8,24 + (2 ,048) (2,6495)

Atau 2,81 < θ1 < 13,61

Sedangkan interval taksiran untuk θ2:

0,68 – (2 ,048) (0,0714) < θ1 < 0,68 + (2 ,048) (0,0714)

Atau 0,53 < θ2 < 0,83

Selanjutnya, untuk varians kekeliruan taksiran σ 2 Y.X, interval taksirannya dapat

juga ditentukan. Kita tahu bahwa titik taksirannya adalah S2 Y.X yang dihitung

dengan Rumus XV (9). Dengan menggunakan sifat bahwa x2 = (n – 2) S2 Y.X / σ 2

Y.X berdistribusi x2 dengan dk = (n – 2), maka interval taksiran σ 2 Y.X ditentukan

oleh:


6

a – t γ2 (1+ γ) Sa < θ1 <a + t γ2 (1+ γ) Sa

b – t γ2 (1+ γ) Sb < θ1 < b + t γ2 (1+ γ) Sb

(n – 2) S 2 Y.X < σ 2 Y.X < (n – 2) S 2 Y.X X2 ½ (1+γ) X2 ½ (1 – γ)


Dalam rumus diatas, untuk distribusichi-kuadarat diambil dk = (n – 2).

Untuk contoh di atas misalnya, dengan n = 30 dan S2 Y.X = 1,688, maka interval

kepercayaan 96% untuk σ 2 Y.X adalah

28 (1,688) < σ 2 Y.X < 28 (1,688)

Atau 1,062 < σ 2 Y.X < 3,089

Taksiran yang lebih penting lagi dalam regresi linier adalah menaksir rata-rata Y

untuk X diketahui (diberi simbol μY – X) dan menaksir individu Y untuk X diketahui. Kita

tahu bahwa titik taksiran rata-rata Y dengan mudah dapat dicari dar persamaan

regresi apabila ke dalam persamaan tersebut disubstitusikan harga X yang diketahui.

Interval taksiran rata-rata Y jika X diketahui dengan koefisien kepercaryaan γ,

adalah:

Contoh:

Untuk data dalam daftar XV (1) telah diperoleh simpanagan baku taksiran rata-rata Y

untuk X = 40 sebesar SY = 0,329 dan simpangan baku ramalan individu Y sebesar

SY = 1,340. Untuk X = 40 didapat Y = 8,24 + (0,68) (40) = 35,44. Dengan γ = 0,95

maka interval taksiran rata-rata Y untuk X = 40 adalah : 35,44 – (2,048) (0,329) < μY –

X < 35,44 + (2,048) (0,329) atau 34,77 < μY – X < 36,11 dan interval taksiran individu y

untuk X = 40 adalah 35,44 – (2,048) (1,340) < Y < 35,44 + (2,048) (1,340) atau 32,70

< Y < 38,18

Penggunaan persamaan regresi dalam peramalan

Tujuan utama penggunaan persamaan regresi adalah untuk memperkirakan nilai dari

variabel tak bebas pada nilai variabel bebas tertentu. Misalnya, Hiram Hess, seorang

manajer personalia pada pabrik mainan anak-anak “Tackey” sedang

mempertimbangkan akan memperkerjakan seseorang calon karyawan dengan nilai

tes kecerdasan 4. Sedangkan supervisor pada departemen tersebut menginginkan

seseorang karyawan baru yang dapat berproduksi pada tingkat minimal 30 lusin.


7

Y – t ½ (1+ γ) SY < μY – X < Y + t ½ (1+ γ) SY


Tentu saja, tidak mungkin untuk mengatakan dengan tepat berapa tingkat produksi si

calon karyawan pada waktu mendatang, tetapi Hiram dapat menggunakan

persamaan di atas untuk melihat ramalan produksi calon karyawan tersebut pada

waktu mendatang. Bagaimana? Dengan mensubsitusikan nilai 4 pada X dari

persamaan regresi, maka ramalan dapat dihitung menjadi sebagai berikut :

Y’ = 1,02 + 5,14 (x)

Y’ = 1,02 + 5,14 (4)

Y’ = 21,58

HAYUNING ANGGRAHITA

081387717274 / 93660292

[email protected]


8

mailto:[email protected]

31002-13-229235852051

Documents