3. MEKANIKA BENDA LANGIT

3.1. ELIPS

Sebelum belajar Mekanika Benda Langit lebih lanjut, terlebih dahulu perlu diketahui

salah satu bentuk irisan kerucut yaitu tentang elips.

Gambar 3.1. Geometri Elips

Dimana :

a = setengah sumbu panjang elips (semi-major axis)

b = setengah sumbu pendek elips (semi-minor axis)

c = jarak fokus elips (focal length)

f = titik fokus elips (foci)

Perhatikan bahwa elips mempunyai 2 buah titik fokus.

70 | P a g e

Hubungan-hubungan yang berlaku di antara besaran-besaran di atas adalah

di mana : e = eksentrisitas elips. Eksentrisitas adalah ukuran kelengkungan sebuah

elips. Nilainya ada di antara 0 dan 1 (0 < e < 1).

Luas elips dapat dihitung dengan rumus L = πab

Sedangkan keliling elips adalah K = ½ π (a + b)

Lintasan benda-benda langit (dalam hal ini kita batasi saja dulu, lintasan planet-planet

dalam tata surya kita), kebanyakan berbentuk elips, walaupun sebenarnya orbitnya

hampir menyerupai lingkaran (dikarenakan oleh eksentrisitas yang cukup kecil,

mendekati 0, hanya untuk planet-planet yang cukup dekat dengan matahari).

Orbit Bumi mengelilingi matahari, misalkan, mempunyai eksentrisitas 0.0167.

Sedangkan Komet Halley, mempunyai orbit yang sangat lonjong, eksentrisitasnya 0,967

(nyaris parabola). Karena itu, untuk orbit-orbit yang eksentrisitasnya sangat kecil, untuk

mempermudah persoalan, biasanya akan diasumsikan orbit benda yang dimaksud

berbentuk lingkaran (e = 0).

3.2. HUKUM KEPLER

Hukum I Kepler

Dari sifat fisis elips kita mengetahui bahwa elips mempunyai dua titik focus. Matahari

kita berada disalah satu titik fokusnya, sesuai dengan pernyataan kepler I:

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari

terletak pada salah satu fokusnya.

71 | P a g e

Konsekuensinya, pada saat tertentu, planet akan mempunyai jarak yang terdekat

dengan matahari yang kita sebut perihelion, dan juga ada saatnya planet berada pada

jarak terjauhnya dari matahari yang kita sebut aphelion (gambar 2). Sesuai dengan

aturan kekekalan momentum sudut (mvr = konstan), maka kecepatan planet mengorbit

planet tidaklah sama pada setiap saat. Ketika planet ada di perihelion, maka

kecepatannya akan maksimum (karena r-nya minimum) dan ketika planet ada di

aphelion, maka kecepatannya akan minimum (karena r-nya maksimum).

Pada saat mencapai perihelion, jarak planet ke matahari kita sebut dp, dapat dihitung,

dp = a – c = a – ea = a(1 – e)

Pada saat mencapai aphelion, jarak planet ke matahari kita sebut da, dapat dihitung,

da = a + c = a – ea = a(1 + e)

Hukum II Kepler

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk

setiap periode waktu yang sama.

72 | P a g e

dpdaa+c a-c

Gambar 3.2. Lintasan Planet Mengelilingi Matahari

Gambar 3.3. Hubungan luas daerah dengan periode

a+c a-c

a c

Hukum Kepler yang kedua menjelaskan bahwa untuk selang waktu yang sama, planet

menyapu luas juring yang sama. Konsekuensinya, pada perihelion planet akan

mempunyai kecepatan orbit yang paling besar dan pada aphelion planet akan

mempunyai kecepatan orbit yang paling kecil.

Hukum III Kepler

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit

sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.

Jika T1 dan T2 menyatakan periode dua planet, dan r1 dan r2 menyatakan jarak rata-rata

mereka dari matahari, maka

(T1T2 )2

=( r1r2 )3

CONTOH:

1. Sebuah planet pada berada di aphelion berjarak 18 SA. Pada saat diperihelion

berjarak 15 SA. Tentukan eksentrisitas planet tersebut?

a. 0,12

b. 0,09

c. 0,06

d. 0,04

e. 0,25

2. Jarak Merkurius pada titik perihelionnya adalah 0,341 SA dari Matahari, dan

setengah sumbu panjangnya adalah 0,387 SA. Luas daerah yang disapunya dalam

satu periode adalah

a. 0,467 SA2

b. 0,312 SA2

c. 0,104 SA2

d. 0,213 SA2

73 | P a g e

e. 0,621 SA2

(OSK 2009)

3. Periode orbit Merkurius adalah 88 hari. Jika jarak perihelion 0,30 SA, berapa

eksentrisitasnya?

a. 0,09

b. 0,15

c. 0,17

d. 0,19

e. 0,22

4. Jika setengah sumbu panjang dan eksentrisitas planet Mars adalah a = 1,52 dan e =

0,09 sedangkan untuk Bumi a = 1 SA dan e = 0,017. Kecerlangan minimum Mars

pada saat oposisi, terjadi ketika jaraknya dari Bumi pada saat itu;

a. 0,67 SA

b. 0,70 SA

c. 0,72 SA

d. 0,37 SA

e. 0,50 SA

(OSP 2008)

PEMBAHASAN:

1. da = 18 SA

dp = 15 SA

e = ……

dad p

=a (1+e )a (1−e )

1815

=(1+e )(1−e )

1,2=(1+e )(1−e )

1,2 – 1,2e = 1 + e

74 | P a g e

0,2 = 2,2e

e = 0,09 (B)

2. dp = 0,341 SA

a = 0,387 SA

Luas elips =….

Le = π.a.b

Dari jarak perihelion, kita dapat menghitung eksentrisitas

dp = a(1 – e)

e = 0,119

c = e.a = 0,046

a2 = b2 + c2

b = 0,384 SA

Sehingga dapat dihitung Luas elips = 3,14 x 0,387 x 0,384 = 0,467 SA2 (A)

3. P = 88 hari = 0,24 tahun

dp = 0,30 SA

eksentrisitas =…

Pertama-tama kita harus mencari setengah sumbu panjang, dengan menggunakan

hukum Kepler III

a = 0,242/3 = 0,387 SA

dp = a(1 – e)

e = 0,22 (E)

4. Kecerlangan minumum Mars pada saat oposisi terjadi pada saat Bumi berada

paling dekat dari Matahari (Bumi di perihelion) dan Mars berada paling jauh

dengan Matahari (Mars di aphelion)

Diketahui:

aM = 1,52 SA

eM = 0,09

aB = 1 SA

eB = 0,017

75 | P a g e

Sehingga pada saat Bumi berada di perihelion, jaraknya dari Matahari adalah:

da = a (1 - e) = 1 ( 1 - 0,017) = 0,983 SA

Sedangkan pada saat Mars berada di aphelion, jaraknya dari Matahari adalah:

dp = a (1 + e) = 1,52 ( 1 + 0,09) = 1,6568 SA

Dengan demikian, jarak antara Mars dan Bumi pada saat kecerlangan maksimum

Mars adalah

1,6568 AU – 0,983 AU = 0,6738 SA (A)

LATIHAN:

1. Jika setengah sumbu pendek sebuah asteroid adalah 9 SA dan eksentrisitasnya

0,15, hitung setengah sumbu panjang asteroid tersebut?

a. 9,8 SA

b. 9,6 SA

c. 9,3 SA

d. 9,1 SA

e. 8,5 SA

2. Planet X berada di aphelion pada jarak 24 AU. Jika eksentrisitasnya 0,18, berapa

radius orbit planet tersebut?

a. 17,21 SA

b. 19,10 SA

c. 20,34 SA

d. 22,20 SA

e. 26,30 SA

3. Jika jarak terdekat komet Halley ke Matahari adalah 8,9 x 1010 meter, dan

periodenya 76 tahun, maka eksentrisitasnya adalah

a. 0,567

b. 0,667

c. 0,767

76 | P a g e

d. 0,867

e. 0,967

(OSK 2009)

4. Jika setengah sumbu panjang dan eksentrisitas planet Mars adalah a = 1,52 dan e =

0,09 sedangkan untuk Bumi a = 1 SA dan e = 0,017. Kecerlangan maksimum Mars

pada saat oposisi, terjadi ketika jaraknya dari Bumi pada saat itu;

a. 0,37 SA

b. 0,27 SA

c. 0,32 SA

d. 0,40 SA

e. 0,50 SA

(OSP 2008)

5. Planet A dan B masing-masing berjarak rata-rata sebesar p dan q terhadap

matahari. Planet A mengitari matahari dengan periode T. Jika p = 4q maka periode

planet B mengitari matahari adalah…

a. 112T

b. 110T

c. 18T

d. 16T

e. 14T

6. Jika perbandingan jarak sebuah planet X ke matahari dangan jarak bumi

kematahari adalah 9:1, maka periode planet mengitari matahari adalah….

a. 3 tahun

b. 6 tahun

c. 9 tahun

d. 18 tahun

77 | P a g e

e. 27 tahun

7. Dua buah benda mengorbit benda ketiga sebagai benda sentral. Benda A

mengorbit elips dengan setengah sumbu panjang 16 satuan dan setengah sumbu

pendek 9 satuan, benda B mengorbit lingkaran dengan jari-jari 12 satuan.

Keduanya bergerak dari titik awal yang sama. Setelah menyelesaikan satu putara,

maka di titik awal itu

a. Benda A dan benda B tiba bersamaan

b. Benda A tiba lebih awal dari benda B

c. Benda B tiba lebih awal dari benda A

d. Benda A mendahului benda B

e. Benda A berada dibelakang benda B

(OSK 2009)

8. Menurut Hukum II Kepler, komet (yang mempunyai orbit yang sangat lonjong)

akan menghabiskan waktu terbanyak pada saat

a. Dekat dengan Matahari

b. Jauh dari Matahari

c. Menambah laju rotasinya

d. Dekat dengan planet-planet

e. Mengurangi laju rotasinya

(OSK 2007)

9. Bila diketahui eksentrisitas orbit bumi mengelilingi Matahari adalah 0.017 maka

perbandingan diameter sudut Matahari saat Bumi di titik perihelion, P, dan saat

Bumi di apgelion, A, P/A, adalah

a. 967/1000

b. 17/1000

c. 983/1000

d. 34/1000

e. 1.00

(OSP 2007)

78 | P a g e

MaMb

10. Jika pada titik X dalam orbitnya, sebuah planet memiliki kecepatan gerak

(kecepatan orbit) paling besar dibandingkan kecepatan di titik lainnya, pernyataan

yang TIDAK BENAR adalah:

a. pada titik X tersebut, jarak planet ke Matahari mencapai maksimum

b. titik X dan kedua titik fokus elips orbit planet akan terletak segaris

c. titik X tersebut adalah titik perihelion

d. garis singgung orbit planet pada titik X akan membentuk sudut 90° dengan garis

hubung planet-Matahari

e. titik X berada di sumbu panjang elips orbit planet

(OSK 2005)

KUNCI JAWABAN

1. D

2. C

3. E

4. A

5. C

6. E

7. B

8. B

9. A

10. A

3.3. HUKUM GRAVITASI NEWTON

Newton mengajukan hukum gravitasi umum Newton, yang berbunyi :

Gaya gravitasi antara dua benda merupakan gaya tarik-menarik yang besarnya

berbanding lurus dengan massa masing-masing benda dan berbanding terbalik dengan

kuadrat jarak antara keduanya.

F

79 | P a g e

d

Gambar 3.4. Tarik-menarik antara dua benda

F=GM aM b

d2

Keterangan:

Ma = massa benda pertama (kg)

Mb = massa benda kedua (kg)

d = jarak kedua benda (m)

G = Konstanta gravitasi umum = 6,67 x 10-11 N m2/kg2

Pertanyaan selanjutnya, mengapa dua benda yang tidak bersentuhan dapat saling

menarik? Mengapa matahari dapat menarik Bumi, padahal keduanya tidak

bersentuhan? Untuk menjelaskan masalah ini, kita perlu mengenal konsep kuat medan

gravitasi. Setiap benda menghasilkan medan gravitasi pada ruang disekitarnya.

Besarnya kuat medan gravitasi yang dihasilkan oleh benda bermassa M adalah

g (r )=G Mr2

Arah kuat medan gravitasi selalu menuju ke pusat benda seperti tampak pada gambar

berikut

Gaya gravitasi muncul akibat interaksi antara medan gravitasi yang dihasilkan suatu

massa dengan massa lain yang berada pada lokasi medan gravitasi itu.

Dari hukum gravitasi Newton ini dapat kita gunakan untuk menentukan massa Bumi.

Semua benda yang kita jatuhkan dekat permukaan bumi akan bergerak dengan

80 | P a g e

Gambar 3.5. Arah kuat medan gravitasi

percepatan g = 9,8 m/s2. Jadi pada benda bekerja gaya F = -mg dengan F adalah gaya

gravitasi antara benda dan bumi. Sehingga terdapat hubungan

g=GM⨁

R⊕2

M⨁ adalah massa bumi dan R⊕❑ adalah jari-jari bumi. Dari pengukuran jari-jari bumi

yang dilakukan dengan metode triangulasi didapat bahwa

Jari-jari ekuator a = 6378,2 km

Jari-jari kutub b = 6356,8 km

Bumi tidak berbentuk bola sempurna melainkan agak pipih di kutub. Kita dapat

mendefinisikan jari-jari rata-rata bumi sebagai jari-jari sebuah bola yang volumenya

sama dengan volume bumi sebenarnya. Dapat dihitung jari-jari rata-rata bumi adalah

RB = 6371 km

= 6,37 x 106 m

Dengan demikian dapat dihitung massa Bumi

M⨁=g .RB

2

G=9,8m /s2 x (6,37 x106m)2

6,67 x10−11N .m2/kg2=5,98x 1027 kg

Selanjutnya akan kita bahas gerak bulan mengitari bumi berdasarkan hukum gravitasi

Newton. Andaikan bulan tidak mengalami gaya apapun juga, bulan akan bergerak lurus

dengan kecepatan tetap. Tetapi kenyataannya bulan tidak bergerak lurus melainkan

bergerak mengitari bumi, berarti pada bulan harus bekerja suatu gaya yang tak lain

adalah gaya gravitasi bumi. Bila kita mengabaikan gaya gravitasi bulan terhadap bumi

(karena massa bulan hampir 100 kali lebih kecil dari massa bumi) maka percepatan

bulan terhadap bumi akibat gaya gravitasi tersebut adalah

a=G.M⨁

d2

d adalah jarak bumi bulan. Sebenarnya orbit bulan berupa elips, tetapi untuk

perhitungan sederhana kita andaikan orbit bulan berbentuk lingkaran dengan jejari d.

81 | P a g e

Kita tahu bahwa pada benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan tetap terjadi

percepatan kea rah pusat, yang disebut percepatan sentripetal yang besarnya adalah

a= v2

d

Percepatan pada bulan ini disebabkan oleh gaya gravitasi bumi, sehingga:

v2

d=G .M⨁

d2

Bila kala edar atau periode orbit bulan kita sebut P, maka

v=2πdP

Sehingga,

d3

P2=G .M⊕

4 π 2

Dari pengamatan diketahui kala edar bulan 27,3 hari atau 2.358.780 secon dan jarak

Bumi-Bulan adalah 384.000 km, sehingga dapat dihitung massa bumi

M⊕=4 π2d3

GP2

M⊕≈6x 1024 kg

CONTOH:

1. Hitunglah percepatan gravitasi di permukaan planet Mars. Diketahui massa Mars

6,418 x 1023kg dan jari-jari 3,38 x 106m

a. 1,2 N/kg

b. 3,75 N/kg

c. 8,5 N/kg

d. 12,7 N/kg

e. 17,8 N/kg

2. Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan radius orbit 30.000 tahun cahaya.

Anggap massa Galaksi sebagian besar terkumpul di pusat dan orbit Matahari

82 | P a g e

berbentuk lingkaran sempurna. Jika Matahari dipindahkan mendekati pusat Galaksi

sehingga radius orbitnya menjadi 1% dari semula, kecepatan liniernya menjadi

berapa kali?

a. 0,1 kali

b. 1 kali

c. 2 kali

d. 10 kali

e. 100 kali

(OSK 2005)

3. Percepatan gravitasi bulan adalah 1/6 kali percepatan gravitasi bumi dan jari-jari

bulan adalah 0,25 kali jari-jari bumi. Hitunglah perbandingan antara kerapatan bulan

dan kerapatan bumi?

a. 1/2

b. 2/5

c. 2/3

d. 4/5

e. 8/3

4. Jika massa Matahari menjadi dua kali lebih besar dari sekarang, dan apabila planet-

planet termasuk Bumi tetap berada pada orbitnya seperti sekarang, maka periode

orbit Bumi mengelilingi Matahari adalah,

a. 258 hari

b. 321 hari

c. 365 hari

d. 423 hari

e. 730 hari

(OSK 2009)

5. Callisto yang merupakan bulannya planet Jupiter, mengedari planet Jupiter pada

jarak 1,88 juta kilometer dan dengan periode 16,7 hari. Apabila massa Callisto

83 | P a g e

diabaikan, karena jauh lebih kecil daripada massa Jupiter, maka massa planet Jupiter

adalah

a. 10,35 x 10-4 massa Matahari

b. 9,35 x 10-4 massa Matahari

c. 8,35 x 10-4 massa Matahari

d. 7,35 x 10-4 massa Matahari

e. 6,35 x 10-4 massa Matahari

(OSK 2009)

PEMBAHASAN:

1. Diketahui : M = 6,418 x 1023 kg

R = 3,38 x 106 m

Ditanya: g

Jawab:

g=G MR2

g=6,67 x10−11N m2/kg2 x 6,418 x1023 kg

(3,38 x106m)2

g=3,747N /kg

2. Diketahui : R = 30.000 tahun cahaya

R’ = 1% R = 300 tahun cahaya

Ditanya : V’

Jawab:

V 2=G .MR

(V 'V )2

= RR '

=100

Maka V’ = 10 V (D)

3. Diketahui : gBL = 1/6 gBM

84 | P a g e

RBL = 0,25 RBM

Ditanya : ρBL/ ρBM

Jawab:

ρBLρBM

=gBLgBM

RBMRBL

=16 ( 10,25 )=23 (C )

4. Diketahui: M’ = 2M

R’ = R

Ditanya: PB’ = …

Jawab:

V 2=G .MR

V=2πRP

Maka

M=4. π .R3

G .P2

MM '=(P 'P )

2

P'= P

√2=365

√2=258hari (A)

5. Diketahui : d = 1,88 x 106 km = 0,012533 AU

P = 16,7 hari = 0.045753 tahun

Ditanya Massa Jupiter

Jawab:

M= d3

P2=0,012533

3

0,0457532=9,35 x10−4M⊙(B)

LATIHAN:

85 | P a g e

1. Besar gaya gravitasi dua buah benda adalah F. Jika jarak antara kedua buah benda

diperkecil menjadi seperempat, maka besar gaya gravitasi berubah menjadi….

a. 16F

b. 8 F

c. 4F

d. F/4

e. F/16

2. Pada jarak berapa Bulan harus ditempatkan dari Bumi agar Bulan menjadi

geostasioner? (Geostasioner terjadi ketika periode orbit bulan sama dengan periode

rotasi Bumi, yaitu 24 jam)

a. 2500 km

b. 4267 km

c. 6780 km

d. 8432 km

e. 9456 km

3. Anggap Bumi mengelilingi matahari dalam orbit lingkaran dengan radius orbit 1

satuan astronomi dan periode orbit 365,25 hari. Berapa percepatan sentripetal yang

dialami Bumi?

a. 6 m/s2

b. 0,6 m/s2

c. 0,06 m/s2

d. 0,006 m/s2

e. 0,0006 m/s2

(OSK 2010)

4. Matahari mengorbit pusat galaksi Bima Sakti dengan setengah sumbu panjang

orbitnya 1,8 x 109 AU dan periodenya 2 x 108 tahun. Apabila massa matahari

diabaikan terhadap massa Bima Sakti, dan hukum Kepler III berlaku, maka massa

galaksi Bima Sakti adalah:

a. 1,46 x 107 kali massa Matahari

86 | P a g e

b. 4,05 x 107 kali massa Matahari

c. 1,46 x 1011 kali massa Matahari

d. 4,05 x 1011 kali massa Matahari

e. 1,02 x 1019 kali massa Matahari

(OSK 2009)

5. Bianca adalah bulannya Uranus yang mempunyai orbit berupa lingkaran dengan

radius orbitnnya 5,92 x 104 km, dan periode orbitnya 0,435 hari. Tentukanlah

kecepatan orbit Bianca

a. 9,89 x 102 m/s

b. 9,89 x 103 m/s

c. 9,89 x 104 m/s

d. 9,89 x 105 m/s

e. 9,89 x 106 m/s

(OSP 2009)

6. Dengan menggabungkan hukum Newton dan hukum Kepler, kita dapat

menentukan massa Matahari asalkan kita tahu

a. Massa dan keliling bumi

b. Temperatur matahari yang diperoleh dari hukum Wien

c. Densitas matahari yang diperoleh dari spektroskopi

d. Jarak Bumi-Matahari dan lama waktu Bumi mengelilingi Matahari

e. Waktu eksak transit Venus dan diameter Venus

(OSP 2009)

7. Dua buah galaksi saling mengorbit satu sama lainnya dengan periode 50 milyar

tahun. Jarak kedua galaksi adalah 0,5 juta parsek. Tentukanlah massa kedua galaksi

tersebut!

a. 1,2 x 1011 massa matahari

b. 2,4 x 1011 massa matahari

c. 3,2 x 1011 massa matahari

d. 4,4 x 1011 massa matahari

87 | P a g e

e. 5,2 x 1011 massa matahari

(OSP 2009)

8. Seorang astronot terbang di atas Bumi pada ketinggian 300 km dan dalam orbit

yang berupa lingkaran. Ia menggunakan roket untuk bergeser dari ketinggian 400

km dan tetap dalam orbit lingkaran. Kecepatan orbitnya adalah

a. Lebih besar pada ketinggian 400 km

b. Lebih besar pada ketinggian 300 km

c. Kecepatannya sama karena orbitnya sama-sama berupa lingkaran

d. Kecepatannya sama karena dalam kedua orbit efek gravitasinya sama

e. Tidak cukup data untuk menjelaskan

(OSK 2008)

9. Apabila Bumi jaraknya menjadi 3 AU dari Matahari, maka bessarnya gaya gravitasi

antara Bumi dan Matahari, menjadi

a. 3 kali daripada gaya gravitasi sekarang

b. 1,5 kali daripada gaya gravitasi sekarang

c. Sama seperti sekarang

d. Sepertiga kali daripada gaya gravitasi sekatang

e. Sepersembilan kali daripada gaya gravitasi sekarang

(OSK 2008)

10. Radius matahari besarnya 110 kali radius bumi dan densitas rata-ratanya ¼

densitas rata-rata Bumi. Dengan data ini, massa matahari besarnya…

a. 1.330.000

b. 330.000

c. 25.000

d. 3.000

e. 10.000

(OSP 2008)

11. Sebuah planet X dengan massa 2 kali massa Bumi mengorbit bintang dengan massa

2 kali massa Matahari dengan jarak rata-rata yang sama dengan jarak rata-rata

88 | P a g e

Bumi-Matahari, maka:

a. periode orbit planet X sama dengan periode orbit Bumi

b. periode orbit planet X adalah (1/√2) periode orbit Bumi

c. periode planet X adalah 4 kali periode orbit planet Bumi

d. periode planet X adalah 2 kali periode orbit planet Bumi

e. periode planet X adalah 1/2 kali periode orbit planet Bumi

(OSK 2005)

KUNCI JAWABAN

1. A

2. B

3. D

4. C

5. B

6. D

7. D

8. B

9. E

10. B

11. B

89 | P a g e