mekanika benda-langit
TRANSCRIPT
Sabar Nurohman, M.Pd
Bu
mi
Merkurius
Jupiter
BulanMerkurius
Venus
Matahari
Mars
Saturnus
� ��������� ������������� ���� ��������� �������� ����� ����� ����������� ���� ����� ���� ����� ����� ��������������������� ����� ����� ����� ������ ��������
� ��������� ����� ����� ����� ������ ������������ ����� �� ������ ��� ���������� ����� ������ � ���
� ��������� ����� ����� ��� ������� ��������� ������ � ����� ���� ��������� �� ������ ����� !�� ��� "� �#!�$%
BC
D
P
AM
b2 = a2 (1-e2)
E
AC = a = Setengah sumbu mayor
DC = b = Setengah sumbu monir
CM/CA = e = eksentrisitas
b2 = a2 (1-e2)
MA=rp = a( 1-e)
MB = ra = a(1+e)
CM = ae
e = 0 , orbit lingkaran
0 < e < 1, orbit elips
e = 1, orbit parabola
e > 1, orbit hiperbola
Akibatnya, kecepatan
planet tidak sama pada
setiap posisi:
•Paling cepat saat di
perihelion
•Paling lambat saat di•Paling lambat saat di
aphelion
� Hukum Kepler I �Hukum gaya sentral
� Hukum Kepler II �Kekekalan momentum sudut
� Hukum Kepler III � Hukum kekekalan energi
� Benda yang dipengaruhi oleh suatu gaya
sentral, maka lintasan gerak benda tersebut
mengikuti pola:
Lingkaran1. Lingkaran
2. Elips
3. Parabola
4. Hiperbola
Ø
v┴ = v sin Ø
v
Pada selang waktu dt
yang amat kecil, jejari r
telah berlalu menempuhsudut dθ.
Daerah yang dilaluinya
r
dθ
ØdA
Daerah yang dilaluinyaadalah segitiga dengantinggi r dan luas alas rdθ.
Sehingga kecepatansektor dirumuskan:
dt
dr
dt
dA θ2
2
1=
Ø
v┴ = v sin Ø
v
Kecepatan sektor
mempunyai harga yang
sama pada setiap titik
dalam orbit.
Ketika planet dekat
dt
dr
dt
dA θ2
2
1=
r
dθ
ØdA
Ketika planet dekat
dengan matahari: r kecil
dan dθ/dt besarSebaliknya, ketika planet jauhdari matahari: r besar dandθ/dt kecil
Ø
v┴ = v sin Ø
v
Untuk melihat Hk II Kepler
sesuai dengan hukum
Newton, Kita nyatakan
dA/dt dalam persamaan
vektor kecepatan v dari
r
dθ
ØdA
vektor kecepatan v dari
planet yang tegak lurus
dengan garis radial (r).
φsinvv =⊥
Ø
v┴ = v sin Ø
v
Padahal perpindahan
sepanjang arah dari v┴ selamawaktu dt adalah rdθ.
Jadi kita juga dapat menyatakanbahwa kecepatan yang tegak lurusdengan radial sebagai:
dt
drv
θ=⊥
φsinvv =⊥
r
dθ
ØdA
dtDengan demikian kita dapat
menyatakan bahwa:
φθ
sinvdt
dr =
� Berdasarkan persamaan tersebut, makapersamaan kecepatan vektor dapat dinyatakandalam bentuk:
φθ
sinvdt
dr =
φθ
sin2
1
2
1 2rv
dt
dr
dt
dA==
22 dtdt
� Perhatikan r v sin Ø: persamaan tersebutmenunjukan sebagai perkalian vektor r x v, danjika semuanya dikalikan oleh m/m, makapersamaan menjadi:
vmrmdt
dA rr x
2
1=
� Amati persamaan r x mv: Persamaan inimerupakan Momentum Sudut sebuah bendayang bergerak melingkar.
� Sehingga Persamaan Kecepatan vektor dapat
vmrmdt
dA rr x
2
1=
� Sehingga Persamaan Kecepatan vektor dapatdinyatakan sebagai:
m
Lvmr
mdt
dA
2 x
2
1==
rr
� Jadi Hk II Kepler, yaitu bahwa kecepatansektor konstan, berarti bahwa momentum sudut konstan.
� Lintasan planet yang berbentuk elips dalam
pandangan Newton merupakan konsekuensi
dari hukum kebalikan kuadrat gaya sentral.
2r
kF
c=
� Supaya lebih mempermudah pembahasan, dianggap bahwa orbit planet benar-benarlingkaran dengan jari-jari R, sehinggapersamaan gaya sentral menjadi:
2R
kF
c=
� Benda yang bergerak melingkar mengalami
percepatan sentripetal sebesar, a= v2/R
� Sehingga menurut Hk II Newton:v
2
==
2R
kF
c=
R
vmmaF
s
2
==
� Kedua gaya di atas merupakan gaya yang sama, Fs adalah gaya sentripetal yang arahnya kepusat lingkaran yang juga merupakan gayasentral. Sehingga dapat dibuat persamaan:
mR
kv
R
vm
R
k=⇒= 2
2
2
� Bila periode orbit planet adalah T dan
kecepatannya v,ini berarti:
mR
kv
R
vm
R
k=⇒= 2
2
2
v
RT
T
Rv
ππ 22=⇒=
vT
� Jika semua ruas dikuadratkan, maka:
2
222 4
v
RT
π=
� Dengan mengganti v2 dari persamaan gaya sentral,
maka persamaan tersebut menjadi:3
2222 4
)/(
4R
k
m
mRk
RT
ππ==
� Persamaan di atas dapat disederhanakan
menjadi:
3222
2 4
)/(
4R
k
m
mRk
RT
ππ==
CTmT
=⇒=222 4π
CR
T
k
m
R
T=⇒=
33
4π
� Persamaan di atas merupakan Persamaan HK III Kepler yang diselesaikan secara matematis olehNewton, dengan C:
k
mC
24π=
� Berdasarkan Pers. Terakhir:
k
mC
24π=
� Sehingga dapat disebutkan bahwa:m
24π=
C
mk
4π=
� Maka tampak bahwa k sebanding dengan massa m (k∞m)
� Menurut Hukum III Newton, bila m mengerjakan gayapada M, maka M juga akan mengerjakan gaya pada m. Karena k sebanding dengan massa,maka:
GmMKmMk =⇒∞
� Dengan G suatu konstanta gravitasi umum
� Jika persamaan K tersebut dimasukan dalam
persamaan Gaya sentral:
GmMKmMk =⇒∞
22R
mMG
R
kF
c==
RR
� Dan jika k tersebut dimasukan pada
persamaan Hk III Kepler:
GMR
T
GmM
m
k
m
R
T
2
3
2
22
3
2
4
44
π
ππ
=
==
Pers HK III Kepler
� Persamaan tersebut dapat dimanfaatkan
untuk:
� Mengukur jarak Planet
GMa
T
GMR
T2
3
22
3
2 44 ππ=⇒=
� Menentukan massa matahari
� Menentukan massa bumi
TPP’ ∆t
r
Kecepatan sektor:
T
abh
h
π=
=Periode
Elips Luas
ST
Luas segitiga SPP’:
STPPthSPP '.2
1' =∆=
Untuk ∆t�0, panjang lintasan talibusur=
tvPP ∆= .'
TPP’ ∆t
r
t
.2
1
limt
'.2
1
lim
t
SPP' Luaslim
00
0
∆
∆=
∆=
∆
∆=
→∆→∆
→∆
STtvSTPP
h
h
tt
t
S
2
22 4
.2
1
ST
hvSTvh =⇒=
−=
arb
a
ST
121222
22 4
.2
1
ST
hvSTvh =⇒=
−==
arb
ah
ST
hv
124
42
2
2
22
Sehingga persamaan
kecepatan dapat dituliskan:
−=
−
=
av
arb
a
T
abv
124
124
322
2
2
2
π
π
−==
arb
ah
ST
hv
124
42
2
2
22
1. Kita ganti h dengan
besar kecepatan
sektor:
2.Kita ganti a3/T2
−=
−
=
−=
arGMv
ar
GMv
arT
av
12
12
44
124
2
2
22
2
2
ππ
π2.Kita ganti a3/T2
dengan persamaan
Hk III Kepler
3. Maka diperoleh
Persamaan
Kecepatan orbit
Planet:
� Jika kedua ruas dikalikan dengan ½ m, akan
diperoleh:
−=
arGMv
122
GMv
−=122
CUK
a
GMm
r
GMmmv
ar
GMmmv
arGMv
=+
−=
−=
−=
22
1
12
22
1
2
2� Persamaan tersebutdikenal sebagaipersamaan ENERGI
� Orbit lingkaran merupakan kejadian khusus untuk
orbit planet, dimana nilai r sama dengan a.
� Dengan demikian, maka persamaan kecepatan
orbit lingkaran dapat dinyatakan sebagai:
r
GMv
rGMv
rrGMv
arar
GMv
c=
=⇒
−=
=→
−=
112
12
22
2
CATATAN:
r =Jarak planet
ke pusat
matahari
Kecepatan Orbit
Lingkaran
� Kecepatan lepas/velocity escape adalah
kecepatan minimal yang diperlukan oleh
suatu benda agar dapat meninggalkan
bumi/planet induknya.bumi/planet induknya.
� Artinya benda akan dilepaskan dari
permukaan bumi (berjarak r dari pusat bumi)
ke suatu titik tak hingga (a=∞)
GMv
aar
GMv
12
12
2
2
∞−=
∞=→
−=
r
GMv
rGMv
e
2=
∞
−=
Catatan:
r : Jarak benda ke pusat
planet (Jari-jari Planet)
� Jika kita melepas sebuah wahana luar angkasa
dengan kecepatan v0, maka:
� Bila v0 <<vc: orbit berbentuk elips dengan sebagian
lintasanya berada di bumi, artinya benda akan jatuh
� Bila vo<vc: orbit berbentuk elips dengan titik pelepasan
sebagai apoge. Satelit semacam ini akan memiliki
parigee yang sangat rendah, sehingga akan mudah
terbakar karena gesekan dengan atmosfer
� Bila vo=vc: orbit benar-benar lingkaran
� Bila vc<vo<ve: lintasan berbentuk elips
� Bila vo=ve: orbit parabola dan satelit akan lepas dari
bumi
� Suatu satelit buatan dapat dibuat
sedemikian hingga agar periode orbitnya
tepat sama dengan periode rotasi bumi.
Satelit ini akan tampak berkedudukan tetap� Satelit ini akan tampak berkedudukan tetap
di atas suatu daerah tertentu.
� Biasanya digunakan untuk mengawasi cuaca
ataupun sarana telekomunikasi
� Dengan menggunakan Hk III Kepler, kita dapatmenentukan berapa ketinggian yang dibutuhkan untuk mengorbitkan planet geostasioner tersebut.
� Jika diketahui periode rotasi bumi 23 jam, 56 � Jika diketahui periode rotasi bumi 23 jam, 56 menit atau 86169 s dan massa bumi M= 5,98 x 1024 kg, maka ketinggian orbit r:
=
=
2
2
2
3
2
4
4
π
π
GMTR
GMR
T