215526_turunan1
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 215526_turunan1
1/29
KELAS XI SEMESTER GENAP
-
7/24/2019 215526_turunan1
2/29
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsidalam pemecahan masalah
Standar
Kompetensi
Kompetensidasar
Indikator
Menggunakan konsep dan aturan turunan dalamperhitungan turunan fungsi
1. Menghitung fungsi yang mengarah ke konsep turunan2. Menjelaskan arti sis (sebagai laju perubahan dan
arti geometri turunan di satu titik.!. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan
menggu nakan defenisi turunan.". Menentukan sifat#sifat turunan fungsi$. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri
dengan menggunakan sifat#sifat turunan%. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan
rantai
-
7/24/2019 215526_turunan1
3/29
h
xfhxfmPQ
)()( +=
Turunan di satu titik&endahuluan ( dua masalah dalam satu tema
a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQadalah '
f( &
)*h
f(*h+
h
f(*h#f(
,ikax+hx- maka tali busur PQakan berubah menjadi garissinggung di ttk Pdgn kemiringan
h
f(x)h)f(xm
h
+=
0lim
-
7/24/2019 215526_turunan1
4/29
b. Kecepatan Sesaat
Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinatsehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s= f(t). Pada
saat t = c benda berada di f(c)dan saat t = c+ h benda
berada di f(c+h).
c
c*h
&erubahan aktu &erubahan
posisi
s
f(c
f(c*h
h
cfhcfv ratarata
)()( +=
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h adalah
-
7/24/2019 215526_turunan1
5/29
!ika h ", diperoleh kecepatan sesaat dix= c#
$ntuk kecepatan sesaat di se%barang te%pat dapat
&ituliskan sebagai berikut
&ari dua bentuk diatas # ke%iringan garis singgung dankecepatan sesaat terlihat bahwa dua %asalah tersebutberada dala% satu te%a, yaitu turunan #
Definisi :'urunan perta%a (ungsi f(x) dinotasikan denganlambang f(x) dan dide(inisikan sebagai berikut #
h
cfhcfvv
hratarata
h
)()(limlim
00
+==
h
f(x)h)f(xxf
h
+=
0lim)('
h
xfhxfvv hrataratah
)()(limlim 00
+==
-
7/24/2019 215526_turunan1
6/29
)otasi dari turunan (ungsi (* #
)(),(',)(
Leibnitzasidisebutnotdx
dybentuk
dx
dyxy
dx
xdf
0)(lim)()(
lim00
=
=+
h
ccit
h
xfhxfit
hh
1)(lim)()(
lim00
=+
=+
h
xhxit
h
xfhxfit
hh
))((lim)()(lim22
00 hxhxit
hxfhxfit
hh+=+
xh
hxhit
h
xhxhxit
hh2
)2(lim
)2(lim
0
222
0=+=++=
-. (* =
!awab # (* =
/ontoh #
&iketahui (* tentukan (* jika #
-. (* =
!awab # (* =
-. (* = /!awab # (* =
-
7/24/2019 215526_turunan1
7/29
-. (* = 0
!awab # (* = hxhx
ith
xfhxfit
hh
))(lim
)()(lim
33
00
+=+
222
0
33223
0
333(
lim33
lim xh
hxhxhit
h
xhxhhxxit
hh
=++
=+++
=
-. (* = n
!awab # (* =h
xhxith
xfhxfitnn
hh
))(lim)()(lim00
+=
+
h
xhhhnxxit
nnnn
h
++++=
...(...)lim
21
0
111
0
)...(...)(lim
=
+++=
nnn
h
nxh
hhnxhit
-
7/24/2019 215526_turunan1
8/29
1
23
2
)(')(
3)(')(
2)(')(
1)(')(
0)(')(
==
==
==
==
==
nn nxxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xfxxf
xfcxf
1)(')( ==
nnnaxxfaxxf
Secara u%u% dapat diru%uskan jika #
$ntuk #
-
7/24/2019 215526_turunan1
9/29
/ontoh Soal #
'entukan turunan dari (* jika #
a. (* = + 0 - 1
b. (* = 152
32
++xx
x
!awab #
a. (* = + 0 - 1 (* = 2 + 0
b. (* =
1523 12 ++= xxx (* = 0 3 2-0+1-
152
32 ++
xx
x
23
543
xx+=
-
7/24/2019 215526_turunan1
10/29
Soal
'entukan 'urunan dari (ungsi (* di bawah ini #
4. (* = 12+-0 +5
. (* = 6+ 1
0. (* = 0-+ 2-0+ 2
2. (* =
1. (* = * + 0
5. (* =
6. (* =
73
2323
32
4 +++xx
xx
22 )12( x
+
33
2223 3
2 +++x
xxx
-
7/24/2019 215526_turunan1
11/29
&engan %enggunakan de(inisi tersebut dapat diturunkan
aturan untuk mencari turunansebagai berikut #
4.
.
0. dengan g*x 7 ".
( )(x)g(x)f
dx
g(x)f(x)d '' +=+
( ) )()()()()()( '' xgxfxgxf
dx
xgxfd +=
( )
)(
)()()()(2
'')(
)(
xg
xgxfxgxf
dx
d xgxf
=
-
7/24/2019 215526_turunan1
12/29
/ukti aturan ke#2
Misal u( 0 f(.g(
h
xuhxuxu
h
)()(lim)('
0
+=
h
xgxfhxghxf
h
)()()()(lim
0
++=
h
xgxfxghxfxghxfhxghxf
h
)()()()()()()()(
lim0
+++++
=
+++
++=
h
xfhxfhxg
h
xghxghxf
h
)()()(
)()()(lim
0
h
xfhxfhxg
h
xghxghxf
hhhh
)()(lim)(lim
)()(lim)(lim
0000
+++
++=
)(')()(')( xfxgxgxf +=
)(')()()(' xgxfxgxf +=
-
7/24/2019 215526_turunan1
13/29
13)(
2 ++=
xxxf
22
22
1
261
)x(
xxx
++=
22
2
1
3211
)x(
)x(x)x.()x('f
+
++=
!.entukan turunan pertama dari
.)x(
xx
22
2
1
16
+
+=
ontoh
1. entukan turunan pertama dari 43)( 23
++= xxxf,aab '
02.33)(' 2 ++= xxxf xx 63 2 +=
2. entukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 +++= xxxxf
,aab '
)22)(1()32(3)(' 322 +++++= xxxxxxf
2222963 34234 ++++++= xxxxxx
22985 234 ++++= xxxx
,aab '
-
7/24/2019 215526_turunan1
14/29
entukan fungsi turunan pertama dari
)12()1()( 3 +++= xxxxf
1
1)(
+=
x
xxf
1)(
2 =
x
xxf
1
1)(
2
2
+
=x
xxf
1)( 3 22/1 ++= xxxf1.
2.
!.
".
$.
-
7/24/2019 215526_turunan1
15/29
89
:
/
&
9/= cos ; /:= sin
Perhatikan ga%bar di sa%ping.
Misalkan =89: adalah sudut pusat lingkarandengan jari jari =4.
Sektor /9& cos< > sin cos < > .4
:agi dengan > cos ? " diperoleh;
cos
1sincos
!ika @" %aka cos @4 sehingga # 1sin
lim10
it
Sehingga # 1sin
lim0
=
it
-
7/24/2019 215526_turunan1
16/29
xxfxxfa cos)('sin)(. ==
xxfxxfb sin)('cos)(. ==
h
xhxxf
h
sin)sin(lim)('
0
+=
h
hhx
h
)2
sin().2
cos(2lim
0
+=
.cos
1.cos
x
x
==
:ukti#
a. Misal (* = sin %aka
)
2
)
2
sin(
).(2
cos(lim0 h
h
hxh +=
-
7/24/2019 215526_turunan1
17/29
b. Misal f( 0 cos maka
h
xhxxf
h
cos)cos(lim)('
0
+=
h
xhxhx
h
cossin.sincoscoslim
0
=
h
hxhx
h
sinsin)1(coscoslim
0
= h
hx
h
hx
h
sinsin
)2
sin(cos
lim
2
0
=
)sin
sin4)2/(
)2
sin(cos(lim
2
2
0 h
hx
h
hh
x
h
=
h
hx
h
h
hx
hh
sinlimsin
42/
)2/sin(limcos
0
2
0)2/(
=
x
xx
sin
1.sin0.cos
==
-
7/24/2019 215526_turunan1
18/29
3ntuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh
4engan menerapkan rumus perhitungan turunan- khususnyaturunan bentuk u56
( ) ( )dx
d
dx
xdc
xx
cossin
tan. =
x
xx2
22
cos
sincos +=
x2cos
1= x2sec=
( ) ( )dx
d
dx
xdd
xx
sincos
cot. =
x
xx2
22
sin
cossin =
x2sin
1= x2csc=
( ) ( )dx
d
dx
xde
xcos1sec
. =x
x2cos
sin=
xx
x
cos
1
cos
sin= xx sectan=
( ) ( )dx
d
dx
xdf
xsin1csc
. = xx
2sin
cos=
xx
x
sin
1
sin
cos= xx cotcsc=
-
7/24/2019 215526_turunan1
19/29
Soal Aatihan
'entukan turunan dari (ungsi (* berikut ini #
a. (* = sin 0 + cos
b. (* = sin
c. (* = sin
d. (* = 0 cos
e. (* = tgn
(. (* = tgn
g. (* = > tan sin
-
7/24/2019 215526_turunan1
20/29
Andaikany f(u) dan ug(x). !ika
dx
du
du
dy
dx
dy=
du
dy
dx
du
dx
dy)1sin( 2 += xy
12 += xu
xdx
du2=
uy sin=
udu
dycos=
)1cos(2 2 += xxxxdx
dy2)1cos( 2 +=
Barena
dan ada ,
/ontoh 4# 'entukan dari
!awab #Misal # sehingga bentuk diatas %enjadi
dan
%aka
-
7/24/2019 215526_turunan1
21/29
/ontoh #
'entukan turunan dari # y = *0+22
!awab #
Misal u=*0+2 %aka
&an y= u2 %aka
xdx
du
6=
34udu
dy=
sehingga #
dx
du
du
dy
dx
dy.= = 5.2u0
= 5.2*0+20
= 2.*0+20
adalah y= 2.*0+20'urunan dari y = *0+22
!ika (*= un %aka (*=nuun-4
-
7/24/2019 215526_turunan1
22/29
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy=
,ika y 0 f(u- u 0 g(6- 6 0 h(- dan
dx
dv
dv
du
du
dy,, 7da- maka
ontoh !' entukandx
dy)5( 34 += xSinydari
53 += xv23x
dx
dv=
,aab '
Misal u = Sin v )5cos(cos 3 +== xv
dv
du
4uy= )5(44 333 +== xSinu
dudy
sehingga
)5()5(12.. 3332 ++== xCosxSinxdx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
-
7/24/2019 215526_turunan1
23/29
( )y x= 2 310
y x=sin3
( )xxy = 24 4cos2
1
1
+
=x
xy
7. entukan fungsi turunan pertama dari
y = sin x tan [ x2 +1 ]
yx x
x x=
+
+
2
2
2 5
2 31.
2.
!.
".
$.
%.
( )y x= sin 2 1( )y x= 2 34
y
x
x= + 1
( )y x= cos2
/.entukan turunan keduadari
1.
2.
!.
".
-
7/24/2019 215526_turunan1
24/29
$ntuk %enentukan persa%aan garis singgung pada kurCa.
'elah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatuBurCa (* adalah turunan perta%a dari (ungsi terebut #
% = (* =dx
dy
/ontoh Soal#
'entukan nilai gradien garis singgung pada kurCa #
a. y = -0 +2 di titik 8. * ,
b. y = sin untuk = 3
1
!awab #
a. y = -0 +2 gradien % = y = 3 0 di titik * ,
% = y = . 3 0 = 4
b. y = sin gradien % = y = cos untuk =
% = cos = >
3
1
3
1
-
7/24/2019 215526_turunan1
25/29
Pe%akaian Dradien untuk %enentukan persa%aan garis singgung
'erhadap suatu kurCa di titik tertentu .
Misalkan titik P*4,y4 terletak pada kur(a (*, %aka persa%aan
Daris singgung yang %elalui titik P pada kurCa (* dituliskan sbb#
E 3 y4 = (* * 3 4
/ontoh soal #
'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (* = 03 + 0
&ititik P*,6.!awab #
Dradien garis singgung = % = (* = 03 di titik * ,6 %aka % = (* = 4"
Persa%aan garis singgungnya ,
E 3 y4 = (**-4 yaitu y 3 6 = 4" * 3
y 3 6 = 4" 3 "
y = " - 40
-
7/24/2019 215526_turunan1
26/29
!ika l4 garis yang %e%iliki gradien %4; dan l garis yang %e%iliki
Dradien %, %aka hubungan antara %4 dan % terhadap kedudukanDaris l4 dan l adalah sebagai berikut #
!ika l4 sejajar l %aka nilai %4 = % dan
!ika l4 tegak lurus l %aka nilai %4.% = -4
/ontoh soal #
'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (* = 3 0 +
Eang sejajar terhadap garis y= 0 + 2
!awab #
Dradien garis singgung = % = (* = 3 0 sejajar garis y = 0 + 2 %4 = % = 0 %aka 3 0 = 0 ; = 0
untuk = 0 nilai y = 03 0.0 + = %aka titik singgungnya di * 0,
Persa%aan garis singgung yang ditanyakan adalah #
E 3 = 0 * 3 0
E = 0 3 44
-
7/24/2019 215526_turunan1
27/29
Selain digunakan untuk %enentukan gradien garis singgung,
turunan !uga digunakan untuk %enentukan kelajuan. !ika suau
Cariabel ada lah (ungsi dari waktu laju perubahan terhadap
waktu dinyatakan &ala% dFdt.
/ontoh soal #
Mobil %eluncur dengan %e%bentuk (ungsi S = 1" 3 0t 3 t
,tentukan Becepatan %obil saat t=0.
!awab.
Becepatan = C = dSFdt = -0 3 2t saat t = 0
Maka C = -0 -2.0
= - 41
-
7/24/2019 215526_turunan1
28/29
/ontoh soal #
8ir %engalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 1 c%0
s-4
!ari-jari dasar corong adalah 4" c% dan tingginya " c%. hitung
kelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 1 c% dari puncak.
4"
"r
h
9
8 :
/ &
Segitiga 98: sebangun dengan segitiga 9/&
%aka rF4" = hF" sehingga r = > h
hrv 2
3
1= Barena r = > h %aka
3
12
1 hv =
&iketahui dCFdt = 1 c%0s-4
dt
dhh
dt
dv 2
4
1=
dt
dhh2
4
15 =
2
20
hdt
dh
=
8ir berjarak 1 c% dari puncak
Maka air telah turun sejauhh = " 3 1 = 41 c%
Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah #
.45
4
15.15.
5.4
15
202
===dt
dhc%0s-4
-
7/24/2019 215526_turunan1
29/29
S98A A8'GH8)
4.'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (*= 2
+ 4 3 1&i titik * 4, 44
.'entukan persa%aan garis singgung pada kurCa (* = 0 - 0 3
Eang sejajar dengan garis y = - 6
0.'entukan pesa%aan garis singgung pada kurCa (* = 3 5 + 2
Eang tegak lurus dengan garis y= > - 12.'entukan persa%aan garis singgung pada lingkaran berpusat di *","
yang berjari jari 1 dan %elalui titik P*0,2.
1.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 41%, yang %elewati
Batrol di p berjarak 5% di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk
&engan jarak ".1 % dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela
!uan 0%s-s, berapa cepat beban naik jika beban berada % diatas
'anahI Perhatikan ga%bar dibawah ini. J-
y5-
".1